資源簡介

5.4.3 正切函數的圖象與性質
【教材分析】
本節課是三角函數的繼續，三角函數包含正弦函數、余弦函數、正切函數.而本課內容是正切函數的性質與圖象.首先根據單位圓中正切函數的定義探究其圖象，然后通過圖象研究正切函數的性質.
【教學目標與核心素養】
課程目標
1、掌握利用單位圓中正切函數定義得到圖象的方法;
2、能夠利用正切函數圖象準確歸納其性質并能簡單地應用.
數學學科素養
1.數學抽象：借助單位圓理解正切函數的圖象；
2.邏輯推理： 求正切函數的單調區間；
3.數學運算：利用性質求周期、比較大小及判斷奇偶性.
4.直觀想象：正切函數的圖象；
5.數學建模：讓學生借助數形結合的思想，通過圖象探究正切函數的性質.
【教學重難點】
重點：能夠利用正切函數圖象準確歸納其性質并能簡單地應用；
難點：掌握利用單位圓中正切函數定義得到其圖象.
【教學過程】
情景導入
三角函數包含正弦函數、余弦函數、正切函數.我們已經學過正弦函數、余弦函數的圖象與性質，那么根據正弦函數、余弦函數的圖象與性質的由來，能否得到正切函數的圖象與性質.
要求：讓學生自由發言，教師不做判斷。而是引導學生進一步觀察.研探.
二、預習課本，引入新課
閱讀課本209-212頁，思考并完成以下問題
1. 正切函數圖象是怎樣的？
2. 類比正弦、余弦函數性質，通過觀察正切函數圖象可以得到正切函數有什么性
質？
要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內可商量，最終選出代表回答問題。
三、新知探究
1.正切函數，且圖象：
2.觀察正切曲線，回答正切函數的性質：
定義域： 值域：R（-∞，+∞）
最值： 無最值 漸近線：
周期性：最小正周期是 奇偶性: 奇函數
單調性：增區間
圖象特征：無對稱軸，對稱中心：
四、典例分析、舉一反三
題型一 正切函數的性質
例1 求函數f(x)＝tan的定義域、周期和單調遞增區間．
【答案】定義域：{x|x≠2k＋，k∈Z}；最小正周期為2；
單調遞增區間是，k∈Z.
【解析】由x＋≠kπ＋，得x≠2k＋(k∈Z)．
所以函數f(x)的定義域是{x|x≠2k＋，k∈Z}；
由于＝2，因此函數f(x)的最小正周期為2.
由－＋kπ＜x＋＜＋kπ，k∈Z，解得－＋2k＜x＜＋2k，k∈Z.
因此，函數的單調遞增區間是，k∈Z.
解題技巧：（求單調區間的步驟）
用“基本函數法”求函數y＝Atan(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的單調區間、定義域及對稱中心的步驟：
第一步：寫出基本函數y＝tan x的相應單調區間、定義域及對稱中心；
第二步：將“ωx＋φ”視為整體替換基本函數的單調區間(用不等式表示)中的“x”；
第三步：解關于x的不等式．
跟蹤訓練一
1．下列命題中：
①函數y＝tan(x＋φ)在定義域內不存在遞減區間；②函數y＝tan(x＋φ)的最小正周期為π；③函數y＝tan的圖象關于點對稱；④函數y＝tan的圖象關于直線x＝對稱．
其中正確命題的個數是(　　)
A．0個 B．1個
C．2個 D．3個
【答案】D．
【解析】　：①正確，函數y＝tan(x＋φ)在定義域內只存在遞增區間．②正確．③正確，其對稱中心為(k∈Z)．④函數y＝tan不存在對稱軸．所以①②③正確，故選D.
題型二 比較大小
例2 與
【答案】.
【解析】
又在上是增函數
解題技巧：(比較兩個三角函數值的大小)
比較兩個同名三角函數值的大小，先利用誘導公式把兩個角化為同一單調區間內的角，再利用函數的單調性比較．
跟蹤訓練二
1．若f(x)＝tan，則(　　)
A．f(0)＞f(－1)＞f(1) B．f(0)＞f(1)＞f(－1)
C．f(1)＞f(0)＞f(－1) D．f(－1)＞f(0)＞f(1)
【答案】A
【解析】　f(x)＝tan在內是增函數．
又0，－1∈，0＞－1，∴f(0)＞f(－1)．
又f(x)＝tan在上也是增函數，f(－1)＝tan＝tan＝tan.
∵－1,1∈，且－1＞1，∴f(－1)＞f(1)．
從而有f(0)＞f(－1)＞f(1)．
五、課堂小結
讓學生總結本節課所學主要知識及解題技巧
六、板書設計
七、作業
課本213頁習題5.4.
【教學反思】
正切函數是在學習了正弦函數、余弦函數的圖象與性質的基礎上學習的，學生相對而言容易掌握，單調性方面學生需要注意是開區間且只有增區間.

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