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中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
專題27.1.1圖形的相似（一）六大題型（一課一講）
（內(nèi)容:成比例線段）
【人教版】
題型一：成比例線段
【經(jīng)典例題1】在比例尺為的銅仁交通游覽圖上，烏江特大橋長約，它的實際長度約為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此題考查了比例線段，能夠根據(jù)比例尺靈活計算，注意單位的換算問題， 根據(jù)實際距離圖上距離除以比例尺．代值計算即可得出答案．
【詳解】解：它的實際長度約為：
，
故選：C．
【變式訓(xùn)練1-1】下列各組中的四條線段是成比例線段的是（ ）
A．4cm、2cm、1cm、3cm B．2cm、3cm、4cm、5cm
C．25cm、35cm、45cm、55cm D．1cm、2cm、20cm、40cm
【答案】D
【分析】本題考查了比例線段，熟練掌握比例的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)比例線段的定義，對題目各選項中的四條線段逐個分析并判斷是否成比例即可．
【詳解】解：由于，故不成比例，故A選項錯誤；
由于，故不成比例，故B選項錯誤；
由于，故不成比例，故C選項錯誤；
由于，故成比例，故D選項正確．
故選：D．
【變式訓(xùn)練1-2】已知a，b，c，d是成比例線段，其中，，，則線段d的長為（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
【答案】B
【分析】本題考查成比例線段，根據(jù)a，b，c，d是成比例線段，得到，進(jìn)而利用比例性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：∵a，b，c，d是成比例線段，
∴，
∵，，，
∴，
解得，
故選：B．
【變式訓(xùn)練1-3】已知線段，線段，則線段a，b的比例中項是 ．
【答案】
【分析】此題考查比例的性質(zhì)，設(shè)線段的比例中項是c，則，即可求出c，正確理解比例中項定義是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：設(shè)線段的比例中項是c，則
∴
∴（負(fù)值舍去）
故答案為：．
【變式訓(xùn)練1-4】已知四個數(shù)a，b，c，d成比例．
(1)若，，，求d；
(2)若， ，，求c．
【答案】(1)
(2)
【分析】此題考查了成比例線段的定義．此題比較簡單，解題的關(guān)鍵是注意掌握比例線段的定義．
（1）根據(jù)四個數(shù)a，b，c，d成比例，得出，然后代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計算即可；
（2）根據(jù)四個數(shù)a，b，c，d成比例，得出，然后代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計算即可．
【詳解】（1）解：∵四個數(shù)a，b，c，d成比例，
∴，
∵，，，
∴，
即，
∴．
（2）解：∵四個數(shù)a，b，c，d成比例，
∴，
∵， ，，
∴，
即．
∴．
題型二：比例的性質(zhì)
【經(jīng)典例題2】已知，則下列結(jié)論一定成立的是（ ）
A．， B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了比例的性質(zhì)．利用“兩內(nèi)項之積等于兩外項之積”是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)比例的基本性質(zhì)以及合比性質(zhì)進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：A．由，不一定得到，，故本選項錯誤；
B．由，不一定得到，故本選項錯誤；
C．由，可得；
由，可得，
∴，故本選項正確；
D．由，可得；
由，可得，故本選項錯誤．
故選：C．
【變式訓(xùn)練2-1】如果，那么下列各式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查比例的性質(zhì)，已知幾個量的比值時，常用的解法是：設(shè)一個未知數(shù)，把題目中幾個量用所設(shè)的未知數(shù)表示出來，進(jìn)行約分．
根據(jù)比例的基本性質(zhì)，設(shè)，，分別代入各選項進(jìn)行計算即可得出答案．
【詳解】解：設(shè)，（），
A. ，式子成立，故選項不符合題意；
B. ，式子成立，故選項不符合題意；
C. ，式子成立，故選項不符合題意；
D. ，式子不成立，故選項符合題意；
故選：D．
【變式訓(xùn)練2-2】如果線段a是線段b、c的比例中項，，那么下列結(jié)論中正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；根據(jù)題意易得，則有，然后問題可求解．
【詳解】解：由線段a是線段b、c的比例中項，可知：，
∵，
∴，即，
∴；
故選B．
【變式訓(xùn)練2-3】如果線段，，，滿足，那么下列各式中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查比例的性質(zhì)，根據(jù)比例的性質(zhì)與乘法的相互轉(zhuǎn)換，比例的性質(zhì)進(jìn)行判定即可求解．
【詳解】解：，
∴
．
不一定成立的是，
故選：B．
【變式訓(xùn)練2-4】如果，那么
【答案】12
【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．由可得把兩式相乘即可得到．
【詳解】解：∵，
∴，
故答案為：12．
【變式訓(xùn)練2-5】已知，則的值是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了比例的性質(zhì)、代數(shù)式求值等知識點(diǎn)．由，設(shè)，，然后代入計算即可．
【詳解】解：∵，
∴設(shè)，，
∴．
故答案為：．
題型三：利用設(shè)“k”法求參數(shù)的值
【經(jīng)典例題3】已知，且，求a、b、c的值．
【答案】，，．
【分析】本題考查了比例的性質(zhì)．根據(jù)設(shè)法進(jìn)行計算，即可解答．
【詳解】解：設(shè)，
∴，，，
∵，
∴，
解得：，
∴，，．
【變式訓(xùn)練3-1】已知線段a、b、c，且．若線段a、b、c滿足，求的值．
【答案】15
【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，設(shè)，則，求出k的值，進(jìn)而得出a、b、c的值，即可解答．
【詳解】解：設(shè)，
，，，
，
，
解得，
則，，，
則．
【變式訓(xùn)練3-2】（1）已知線段，，，，，若是，的比例中項，求的值．
（2）已知：，且，求的值．
【答案】（1） ；（2）9
【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，比例線段，熟記比例中項的概念是解決問題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)比例中項的概念，得，再利用比例的基本性質(zhì)計算求解．
（2）設(shè)，然后用表示出，，，代入中求出，即可得求解．
【詳解】（1）解： 是，的比例中項，
．
，
，
解得．
（2）解：設(shè)，
，，．
，
，
解得，
．
【變式訓(xùn)練3-3】已知 ，且，試求的值．
【答案】
【分析】本題主要考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．設(shè)，代入可求出的值，由此即可得．
【詳解】解：∵，
∴設(shè)，
∵，
∴，
解得，
∴．
【變式訓(xùn)練3-4】已知，求值．
【答案】1或
【分析】本題主要考查了比例的性質(zhì)，當(dāng)，則，進(jìn)而得到，據(jù)此可得答案；②當(dāng)時，則，進(jìn)而得到．
【詳解】解：①當(dāng)時，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②當(dāng)時，則．
∴；
綜上所述，值1或．
【變式訓(xùn)練3-5】已知線段a、b、c，且．
(1)求的值；
(2)若線段a、b、c滿足，求a、b、c的值．
【答案】(1)
(2)，，．
【分析】本題主要考查了比例的性質(zhì)．
（1）設(shè)，得到，，，代入計算即可；
（2）根據(jù)題意構(gòu)建方程求出的值，進(jìn)一步計算即可求解．
【詳解】（1）解：設(shè)，
則，，，
；
（2）解：，
，
，
，，．
題型四：線段成比例中三角形問題
【經(jīng)典例題4】設(shè)a，b，c是 ABC的三條邊長，且，判斷 ABC為何種三角形，并說明理由
【答案】 ABC為等邊三角形，理由見解析
【分析】根據(jù)等比性質(zhì)并結(jié)合進(jìn)行判斷即得結(jié)論.
【詳解】解： ABC為等邊三角形.理由如下：
因為，所以由比例的性質(zhì)可得，
，
因為a，b，c是 ABC的三條邊長，
所以a＞0，b＞0，c＞0，
所以，，，
所以，故 ABC為等邊三角形.
【點(diǎn)睛】本題考查了比例性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用等比性質(zhì)并結(jié)合進(jìn)行判斷.
【變式訓(xùn)練4-1】已知、、是 ABC的三邊長，且，求：
(1)的值．
(2)若 ABC的周長為18，求各邊的長．
【答案】(1)；
(2)，，．
【分析】本題考查比例的性質(zhì)，比例的應(yīng)用等知識，設(shè)，從而用表示出是解題的關(guān)鍵．
（1）設(shè)，從而用表示出，再代入化簡即可得解；
（2）根據(jù) ABC的周長為18，即，從而將（1）中的結(jié)論代入求出t即可得解．
【詳解】（1）解：設(shè)，
，，，
代入，得；
（2）由題意知，，
則，
解得，
，，．
【變式訓(xùn)練4-2】如圖，已知點(diǎn)D，E分別在邊，上，，交于點(diǎn)O，，，，，．求，的長．
【答案】，．
【分析】本題考查成比例線段；
先求得，再根據(jù)求得；由求得．
【詳解】∵，，，
∴，的長分別為；
【變式訓(xùn)練4-3】已知 是 ABC的三邊長，且， 求：
(1)的值．
(2)若 ABC的周長為24，求各邊的長并判斷該三角形的形狀．
【答案】(1)
(2), ABC是直角三角形
【分析】此題主要考查了比例的性質(zhì)，正確表示出各邊長是解題關(guān)鍵．
（1）直接設(shè)，，，進(jìn)而代入求出答案；
（2）直接設(shè)，，，利用周長建立等式求解，進(jìn)而代入求出答案．
【詳解】（1）解：，
設(shè)，，，
；
（2）解：設(shè)，，，
的周長為24，
可得，
解得，
，
，
是直角三角形．
【變式訓(xùn)練4-4】如圖，在中，D，E分別是邊，上的點(diǎn)，且.
(1)若，，，求的長；
(2)若，且周長為，求的周長.
【答案】（1）的長為；（2）的周長為.
【分析】（1）設(shè)AD為x，建立關(guān)于的方程，從而通過解方程組來得到的長.
（2）通過比例的性質(zhì)，可得，而的周長由組成，即可求解.
【詳解】解：（1)設(shè)，則.
∵，∴，
解得.
∴的長為.
(2)∵，
∴.
∴
.
∴的周長為.
【點(diǎn)睛】此題考查比例的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于設(shè)未知數(shù)x.
【變式訓(xùn)練4-5】如圖，在ABC中，若AB＝24，AE＝6，EC＝10，＝．
（1）求AD的長；
（2）試說明．

【答案】（1）9；（2）見解析
【分析】（1）設(shè)AD＝x，則BD＝24－x，根據(jù)題意，列出比例方程即可求出結(jié)論；
（2）根據(jù)題意，分別求出和，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：（1）設(shè)AD＝x，則BD＝24－x．
由＝，
得＝，解得x＝9．
經(jīng)檢驗，x＝9是原方程的解，且符合題意，
∴AD＝9．
（2）由AB＝24，AD＝9，得BD＝15．
∵＝＝，＝＝，
∴＝．
【點(diǎn)睛】此題考查的是比例線段，掌握比例線段的定義和比例的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練4-6】如圖，三角形內(nèi)的線段、相交于點(diǎn)．，，設(shè)、、和四邊形的面積分別為、、、．
（1）已知的值；
（2）如果，求的值．
【答案】（1）；（2）7.
【分析】(1)根據(jù)高相等的三角形的面積之比等于底邊之比即可求出答案;
(2)連接OA,由(1)可知、設(shè),則,觀察圖形中面積之間的關(guān)系，即可解答此題
【詳解】（1）根據(jù)高相等的三角形的面積之比等于底邊之比，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，．
連接，設(shè)，則，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形面積之間的相互轉(zhuǎn)換,解答此題的關(guān)鍵是熟悉“高相等的三角形的面積之比等于底邊之比”.此外,求給定幾何圖形面積,往往有三種考慮方式:
(1)各部分面積和等于該圖形面積;
(2)該圖形面積減去幾部分面積等于剩余部分面積;
(3)不規(guī)則圖形通過輔助線分割成已學(xué)過的特殊幾何圖形來求面積.
題型五：閱讀理解題型
【經(jīng)典例題5】已知a，b，c，d，e，f六個數(shù)，如果，那么．
理由如下：
∵
∴，，（第一步）
∴（第二步）
(1)解題過程中第一步應(yīng)用了______的基本性質(zhì)；在第二步解題過程中，應(yīng)用了______的基本性質(zhì)；
(2)應(yīng)用此解題過程中的思路和方法解決問題：
①如果，則______；
②已知，求的值．
【答案】(1)比例，比例
(2)①2，②
【分析】此題考查了比例的性質(zhì)，仿照例題方法用同一個字母表示所有未知數(shù)是解題的關(guān)鍵：
（1）根據(jù)比例的基本性質(zhì)解答；
（2）①根據(jù)比例的性質(zhì)得到，代入計算即可；
②設(shè)，則，代入化簡可得答案
【詳解】（1）解：解題過程中第一步應(yīng)用了比例的基本性質(zhì)；在第二步解題過程中，應(yīng)用了比例的基本性質(zhì)
（2）①∵，
∴，
∴
故答案為2；
②設(shè)，則，
∴
【變式訓(xùn)練5-1】閱讀理解，并解決問題：
小明同學(xué)在一次教學(xué)活動中發(fā)現(xiàn)，存在一組都不為0的數(shù)a，b，c，d，使得成立（即a，b，c，d成比例）．小明同學(xué)還有新的發(fā)現(xiàn)：若，則（分比性質(zhì)）．
已知①；②．
問題解決：
(1)仿照上例，從①②中選一組數(shù)據(jù)寫出分比性質(zhì)等式；
(2)證明（1）中的分比性質(zhì)等式成立．
【答案】(1)①若，則；②若，則
(2)見解析
【分析】本題考查了比例的基本性質(zhì)．
（1）根據(jù)題意寫出答案即可；
（2）運(yùn)用設(shè)參法，證明①時，設(shè)設(shè)，則，，求出，即可得出結(jié)論．同理可證明②．
【詳解】（1）解：①若，則；
②若，則．
（2）解：①若，則．
證明：設(shè)，則，，
∴，，
∴．
②若，則．
證明：設(shè)，則，，
∴，，
∴．
【變式訓(xùn)練5-2】閱讀下面的一段文字：
設(shè)，則有，當(dāng)時，．
從上面的推導(dǎo)過程可得，若，當(dāng)時，．把它稱為等比性質(zhì)．
利用等比性質(zhì)完成下題：
(1)在 ABC和中，，且厘米，求 ABC的周長．
(2)若且，求的值．
【答案】(1)15厘米
(2)
【分析】本題考查了比例的基本性質(zhì)．
（1）根據(jù)題意得到，由，代入計算即可求解；
（2）根據(jù)題意得到，進(jìn)而得到，結(jié)合，即可得出結(jié)果．
【詳解】（1）解：，且，
，
ABC的周長（厘米）．
故 ABC的周長為15厘米．
（2）解：，
，
，
．
【變式訓(xùn)練5-3】我們知道：選用同一長度單位量得兩條線段，的長度分別是，，那么就說兩條線段的比，如果把表示成比值，那么或．請完成以下問題：
(1)四條線段，，，中，如果 ，那么這四條線段，，，叫做成比例線段．
(2)已知，那么成立嗎？請說明理由．
(3)如果，求的值．
【答案】(1)
(2)如果，那么成立，詳見解析
(3)或
【分析】（1）根據(jù)成比例線段的定義即四條線段，，，中，如果，那么這四條線段，，，叫做成比例線段，解答即可．
（2）根據(jù)等式的性質(zhì)，或設(shè)比值k的方法求解即可．
（3）分和兩種情況求解．
【詳解】（1）根據(jù)題意，得四條線段，，，中，如果，那么這四條線段，，，叫做成比例線段．
故答案為：．
（2）解法1： 如果，那么成立．理由：
，
，
∴，
．
解法2： 如果，那么成立．理由：
，
，
即，
．
（3）①當(dāng)時，
，，，
為其中任何一個比值，即；
②時，
．
所以或．
【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，等比的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)并靈活運(yùn)用解題是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練5-4】閱讀理解：
已知：a，b，c，d都是不為0的數(shù)，且，求證：．
證明：∵，
∴．
∴．
根據(jù)以上方法，解答下列問題：
（1）若，求的值；
（2）若，且a≠b，c≠d，證明．
【答案】（1）；（2）證明過程見解析
【分析】（1）根據(jù)計算即可；
（2）先在等式兩邊同時減去1再結(jié)合計算即可；
【詳解】（1）∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例的性質(zhì)應(yīng)用，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．
題型六：黃金分割
【經(jīng)典例題6】校園里一片小小的樹葉，也蘊(yùn)含著“黃金分割”，如圖，為的黃金分割點(diǎn)，若，則表示的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義：將一條線段分成兩部分，較大部分與全長的比值等于較小部分與較大部分的比值叫做把線段黃金分割，這點(diǎn)叫做線段的黃金分割點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
利用黃金分割的定義求解即可．
【詳解】解：∵為的黃金分割點(diǎn)，
∴
故選：A．
【變式訓(xùn)練6-1】大自然巧奪天工，一片小樹葉也蘊(yùn)含著黃金分割（黃金比例為），如圖，P為的黃金分割點(diǎn)（），如果的長度為，那么的長度是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題考查黃金分割的應(yīng)用；由黃金分割知，由此可求得的長，進(jìn)而得出的長．
【詳解】解：∵P為的黃金分割點(diǎn)（），
∴，
∵，
∴，
∴，
故選：A．
【變式訓(xùn)練6-2】某品牌汽車為了打造更加精美的外觀，特將汽車后視鏡C設(shè)計為整個車身黃金分割點(diǎn)的位置（如圖），若該車車身總長約為4.14米，則車頭A與后視鏡C的水平距離約為（ ）
A．1.58米 B．2.56米 C．3.70米 D．3.82米
【答案】A
【分析】本題考查了黃金分割：把線段分成兩條線段和，且使是和的比例中項（即），叫做把線段黃金分割，點(diǎn)C叫做線段的黃金分割點(diǎn)．
利用黃金分割點(diǎn)的定義得到汽車倒車鏡C到車尾B的水平距離為，再由即可求解．
【詳解】解：∵汽車后視鏡C設(shè)計為整個車身黃金分割點(diǎn)的位置，
∴（米），
∴（米），
即車頭A與后視鏡C的水平距離約為1.58米．
故選：A
【變式訓(xùn)練6-3】數(shù)學(xué)中，把這個比例稱為黃金分割比例．鸚鵡螺曲線的每個半徑和后一個半徑的比都是黃金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如圖，P是的黃金分割點(diǎn)（），若線段的長為，則的長為 cm．
【答案】
【分析】本題考查了黃金分割．根據(jù)黃金分割的定義進(jìn)行計算即可解答．
【詳解】解：點(diǎn)是的黃金分割點(diǎn)，線段的長為，
，
，
故答案為：．
【變式訓(xùn)練6-4】黃金分割是漢字結(jié)構(gòu)最基本的規(guī)律．借助如圖的正方形習(xí)字格書寫的漢字“晉”端莊穩(wěn)重、舒展美觀．已知一條分割線的端點(diǎn)，分別在習(xí)字格的邊，上，且，“晉”字的筆畫“、”的位置在的黃金分割點(diǎn)處，且，若，求的長（結(jié)果保留根號）．
【答案】
【分析】本題考查了黃金分割，正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，理解黃金分割知識是解答關(guān)鍵．
根據(jù)正方形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到四邊形是矩形，再利用矩形的性質(zhì)和黃金分割來求解．
【詳解】解：四邊形是正方形，
．
又，
，
，
四邊形是矩形，
．
又，
．
【變式訓(xùn)練6-5】綜合與實踐．實踐主題：黃金分割數(shù)．
(1)材料探索：如圖1，我們知道，如果點(diǎn)P是線段上的一點(diǎn)，將線段分割成，兩條線段，且滿足，那么這種分割就叫做黃金分割．其中線段與的比值或線段與的比值叫做黃金分割數(shù)．
若設(shè)線段，的長為x，則可表示為，
∵， ∴，
…，根據(jù)此方法可計算出黃金分割數(shù)為_____________（結(jié)果保留根號）．
(2)實踐應(yīng)用：二胡是中國古老的民族拉弦樂器之一，演奏家發(fā)現(xiàn)，二胡的“千斤”鉤在琴弦長的黃金分割點(diǎn)處（“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短），奏出來的音調(diào)最和諧悅耳．如圖2，一把二胡的琴弦長為，求“千斤”下面一截琴弦長（結(jié)果保留根號）．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查黃金分割，根據(jù)黃金分割的定義即可解決問題．熟知黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)比例的性質(zhì)得出關(guān)于x的一元二次方程，求解即可得出答案．
（2）則令“千斤”下面一截琴弦長為，利用黃金分割數(shù)的定義，得出，解方程即可得出答案．
【詳解】（1）解：∵，
∴
∴，
整理得：
解得：，（舍去），
故黃金分割數(shù)為；
（2）解：因為二胡的“千斤”鉤在琴弦長的黃金分割點(diǎn)處，且“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短，
則令“千斤”下面一截琴弦長為，
所以，
解得，
所以“千斤”下面一截琴弦長為．
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專題27.1.1圖形的相似（一）六大題型（一課一講）
（內(nèi)容:成比例線段）
【人教版】
題型一：成比例線段
【經(jīng)典例題1】在比例尺為的銅仁交通游覽圖上，烏江特大橋長約，它的實際長度約為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練1-1】下列各組中的四條線段是成比例線段的是（ ）
A．4cm、2cm、1cm、3cm B．2cm、3cm、4cm、5cm
C．25cm、35cm、45cm、55cm D．1cm、2cm、20cm、40cm
【變式訓(xùn)練1-2】已知a，b，c，d是成比例線段，其中，，，則線段d的長為（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
【變式訓(xùn)練1-3】已知線段，線段，則線段a，b的比例中項是 ．
【變式訓(xùn)練1-4】已知四個數(shù)a，b，c，d成比例．
(1)若，，，求d；
(2)若， ，，求c．
題型二：比例的性質(zhì)
【經(jīng)典例題2】已知，則下列結(jié)論一定成立的是（ ）
A．， B． C． D．
【變式訓(xùn)練2-1】如果，那么下列各式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練2-2】如果線段a是線段b、c的比例中項，，那么下列結(jié)論中正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練2-3】如果線段，，，滿足，那么下列各式中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練2-4】如果，那么
【變式訓(xùn)練2-5】已知，則的值是 ．
題型三：利用設(shè)“k”法求參數(shù)的值
【經(jīng)典例題3】已知，且，求a、b、c的值．
【變式訓(xùn)練3-1】已知線段a、b、c，且．若線段a、b、c滿足，求的值．
【變式訓(xùn)練3-2】（1）已知線段，，，，，若是，的比例中項，求的值．
（2）已知：，且，求的值．
【變式訓(xùn)練3-3】已知 ，且，試求的值．
【變式訓(xùn)練3-4】已知，求值．
【變式訓(xùn)練3-5】已知線段a、b、c，且．
(1)求的值；
(2)若線段a、b、c滿足，求a、b、c的值．
題型四：線段成比例中三角形問題
【經(jīng)典例題4】設(shè)a，b，c是 ABC的三條邊長，且，判斷 ABC為何種三角形，并說明理由
【變式訓(xùn)練4-1】已知、、是 ABC的三邊長，且，求：
(1)的值．
(2)若 ABC的周長為18，求各邊的長．
【變式訓(xùn)練4-2】如圖，已知點(diǎn)D，E分別在邊，上，，交于點(diǎn)O，，，，，．求，的長．
【變式訓(xùn)練4-3】已知 是 ABC的三邊長，且， 求：
(1)的值．
(2)若 ABC的周長為24，求各邊的長并判斷該三角形的形狀．
【變式訓(xùn)練4-4】如圖，在中，D，E分別是邊，上的點(diǎn)，且.
(1)若，，，求的長；
(2)若，且周長為，求的周長.
【變式訓(xùn)練4-5】如圖，在ABC中，若AB＝24，AE＝6，EC＝10，＝．
（1）求AD的長；
（2）試說明．

【變式訓(xùn)練4-6】如圖，三角形內(nèi)的線段、相交于點(diǎn)．，，設(shè)、、和四邊形的面積分別為、、、．
（1）已知的值；
（2）如果，求的值．
題型五：閱讀理解題型
【經(jīng)典例題5】已知a，b，c，d，e，f六個數(shù)，如果，那么．
理由如下：
∵
∴，，（第一步）
∴（第二步）
(1)解題過程中第一步應(yīng)用了______的基本性質(zhì)；在第二步解題過程中，應(yīng)用了______的基本性質(zhì)；
(2)應(yīng)用此解題過程中的思路和方法解決問題：
①如果，則______；
②已知，求的值．
【變式訓(xùn)練5-1】閱讀理解，并解決問題：
小明同學(xué)在一次教學(xué)活動中發(fā)現(xiàn)，存在一組都不為0的數(shù)a，b，c，d，使得成立（即a，b，c，d成比例）．小明同學(xué)還有新的發(fā)現(xiàn)：若，則（分比性質(zhì)）．
已知①；②．
問題解決：
(1)仿照上例，從①②中選一組數(shù)據(jù)寫出分比性質(zhì)等式；
(2)證明（1）中的分比性質(zhì)等式成立．
【變式訓(xùn)練5-2】閱讀下面的一段文字：
設(shè)，則有，當(dāng)時，．
從上面的推導(dǎo)過程可得，若，當(dāng)時，．把它稱為等比性質(zhì)．
利用等比性質(zhì)完成下題：
(1)在 ABC和中，，且厘米，求 ABC的周長．
(2)若且，求的值．
【變式訓(xùn)練5-3】我們知道：選用同一長度單位量得兩條線段，的長度分別是，，那么就說兩條線段的比，如果把表示成比值，那么或．請完成以下問題：
(1)四條線段，，，中，如果 ，那么這四條線段，，，叫做成比例線段．
(2)已知，那么成立嗎？請說明理由．
(3)如果，求的值．
【變式訓(xùn)練5-4】閱讀理解：
已知：a，b，c，d都是不為0的數(shù)，且，求證：．
證明：∵，
∴．
∴．
根據(jù)以上方法，解答下列問題：
（1）若，求的值；
（2）若，且a≠b，c≠d，證明．
題型六：黃金分割
【經(jīng)典例題6】校園里一片小小的樹葉，也蘊(yùn)含著“黃金分割”，如圖，為的黃金分割點(diǎn)，若，則表示的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練6-1】大自然巧奪天工，一片小樹葉也蘊(yùn)含著黃金分割（黃金比例為），如圖，P為的黃金分割點(diǎn)（），如果的長度為，那么的長度是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓(xùn)練6-2】某品牌汽車為了打造更加精美的外觀，特將汽車后視鏡C設(shè)計為整個車身黃金分割點(diǎn)的位置（如圖），若該車車身總長約為4.14米，則車頭A與后視鏡C的水平距離約為（ ）
A．1.58米 B．2.56米 C．3.70米 D．3.82米
【變式訓(xùn)練6-3】數(shù)學(xué)中，把這個比例稱為黃金分割比例．鸚鵡螺曲線的每個半徑和后一個半徑的比都是黃金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如圖，P是的黃金分割點(diǎn)（），若線段的長為，則的長為 cm．
【變式訓(xùn)練6-4】黃金分割是漢字結(jié)構(gòu)最基本的規(guī)律．借助如圖的正方形習(xí)字格書寫的漢字“晉”端莊穩(wěn)重、舒展美觀．已知一條分割線的端點(diǎn)，分別在習(xí)字格的邊，上，且，“晉”字的筆畫“、”的位置在的黃金分割點(diǎn)處，且，若，求的長（結(jié)果保留根號）．
【變式訓(xùn)練6-5】綜合與實踐．實踐主題：黃金分割數(shù)．
(1)材料探索：如圖1，我們知道，如果點(diǎn)P是線段上的一點(diǎn)，將線段分割成，兩條線段，且滿足，那么這種分割就叫做黃金分割．其中線段與的比值或線段與的比值叫做黃金分割數(shù)．
若設(shè)線段，的長為x，則可表示為，
∵， ∴，
…，根據(jù)此方法可計算出黃金分割數(shù)為_____________（結(jié)果保留根號）．
(2)實踐應(yīng)用：二胡是中國古老的民族拉弦樂器之一，演奏家發(fā)現(xiàn)，二胡的“千斤”鉤在琴弦長的黃金分割點(diǎn)處（“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短），奏出來的音調(diào)最和諧悅耳．如圖2，一把二胡的琴弦長為，求“千斤”下面一截琴弦長（結(jié)果保留根號）．
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