資源簡介

有理數
【第一部分 知識清單】
知識體系
一、有理數的基本概念：
1、有理數的定義：有理數是_________和_________的統稱。
2、有理數的分類：
（1）按定義分類： （2）按性質分類：
3、數軸：
定義：規定了_______、_______和_______的直線叫做數軸（三要素）。
與有理數的關系：任何一個有理數都可以用數軸上的點來表示。在數軸上，右邊的數比左邊的數______。
4、相反數：
定義：只有_______不同的兩個數稱為互為相反數，_______的相反數是它本身。
性質：相反數的和為_______；多重符號的化簡：“-”為奇數個，結果為______，偶數個，結果為______。
5、絕對值：
定義：數軸上表示數的點與原點的_______叫做數的絕對值，記作_______。
性質：一個正數的絕對值是_______；0 的絕對值是_______；一個負數的絕對值是它的_______。
倒數：
定義：___________________的兩個數互為倒數（_______沒有倒數）。
7、有理數的大小比較：
正數、0、負數比較：正數永遠比0_______，負數永遠比0_______，正數_______一切負數。
兩個負數比較：兩個負數比較大小，_______大的反而小。
利用數軸比較：數軸上的兩個數，右邊的數總比左邊的數_______。
二、有理數的運算：
1、加法：
法則：同號兩數相加，取_______的符號，并把絕對值_______；絕對值不相等的異號兩數相加，取______________的加數的符號，并用較大的絕對值_______較小的絕對值；互為相反數的兩個數相加得_______；一個數同0相加，仍得_______。
運算律：加法交換律，即______________；加法結合律，即______________。
2、減法：減去一個數，等于加上這個數的_______。
3、乘法：
法則：兩數相乘，_______得正，_______得負，并把絕對值相乘；任何數同0相乘，都得_______。
運算律：乘法交換律，即_______；乘法結合律，即_______；乘法分配律，即_______。
4、除法：除以一個不等于0的數，等于乘這個數的_______。兩數相除，_______得正，_______得負，并把絕對值相除。
5、乘方：
定義：求相同因數的積叫做乘方。乘方運算的結果叫_______。
性質：正數的任何次冪都是_______；負數的奇數次冪是_______，負數的偶數次冪是_______；0的任何非零次冪都是_______。
混合運算順序：
①先______，再______，最后______；②同級運算，從左到右進行；③如有括號，先做括號內的運算，按______括號、______括號、______括號依次進行。
科學記數法與近似數
1、科學記數法：把一個_______的數記成的形式（其中_______≤|a|≤_______，是正整數），這種記數法叫科學記數法
2、近似數：一般來說，一個近似數，四舍五入到哪一位，就說這個近似數精確到那一位。從左邊第一個_______的數字起，到精確的位數止，所有數字都叫這個近似數的有效數字。
第二部分 常考題型
一、概念辨析題
【正負數的判斷】
1、在-(-2)，-|-7|，-|+1|，|-中，負數的個數是 ( )
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
2、下列說法中正確的有（ ）
① 0是最小的自然數；②0是最小的正數；③0是最小的非負數；④0既不是奇數，也不是偶數；⑤0表示沒有溫度。
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
【有理數的分類】
1、把下列各數填在相應的集合內：
－23, 0.25 ，－5.18， 18， -38， 10， ＋7， 0， +12
正數集合：{ ………} 整數集合：{ ………}
分數集合：{ ………}
2、把下列各數填在相應的大括號內：
整數集合：( )；
正數集合：( )；
負分數集合：( )；
非負整數集合：( )
【相反數的概念理解和相反意義】
1、如果零上記作，那么零下記作________。
2、下列各對數中，互為相反數的是（　　）
A．和 B．和 C．和 D．和
3、如圖，圖中數軸的單位長度為1．請回答下列問題：
(1)如果點A、B表示的數是互為相反數，那么點C表示的數是多少？
(2)如果點D、B表示的數是互為相反數，那么點C、D表示的數是多少？
【絕對值的概念理解和非負性】
1、若︱a︱=a,則a的取值范圍是 ；若 ︱a︱=-a,則a的取值范圍是 。
2、若|a-2|+|b+3|=0，則3a+2b= 。
3、已知x是整數,并且-3＜x＜4，|x|>0,那么在數軸上表示x的所有可能的數值有 。
4、如果，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
4、如果a ,b互為相反數，c, d 互為倒數，m 的絕對值為2，求式子+ m －cd 的值。
二、數軸相關題
【數軸上的點與數的對應】
1、如圖，點A、B都在數軸上，O為原點
（1）點B表示的數是　 　。
（2）若點B以每秒2個單位長度的速度沿數軸向右運動，則2秒后點B表示的數是　 　。
【利用數軸比較大小】
1、已知a、b在數軸上的位置如圖所示，將a、b、﹣a、﹣b從小到排列正確的一組是（　　）
A．﹣a＜﹣b＜a＜b B．﹣b＜﹣a＜a＜b C．﹣b＜a＜b＜﹣a D．a＜﹣b＜b＜﹣a
【數軸上的距離問題】
1、已知點A在數軸上表示的數是﹣3，則距離A點3個單位的點所表示的數是（　　）
A．0 B．1，0 C．0或﹣6 D．0，±1
2、數軸上點A表示的數是 3，點B與點A的距離是5，則點B表示的數可能是　 　。
三、有理數的運算題
【運用運算律簡化運算】
(1)(－4)×(－0.99)×(－25) (2)(－)×(－15)×(－)× (3)(－＋)×(－24)
【混合運算】
(－98)×(－0．125)＋98×＋(－98)×: ](2) －14－（1－0×4）÷×[（－2）2－6]
－14－×[2－(－3)2] (4) (－3)2－1×－6÷|－|2；
2×[5＋(－2)3]－(－|－4|÷) (6) －23－[－3＋(－3)2÷(－)]
四、科學記數法與近似數
【科學記數法的表示】
1、數字98990000用科學記數法表示為（　　）
A．0.9899×108 B．9.899×107 C．9.899×108 D．98.99×106
2、2020年1～10月份，全國規模以上工業企業實現營業收入83.78萬億元，其中83.78萬億用科學記數法可表示為（　　）
A．83.78×1012 B．8.378×1013 C．0.8378×1014 D．8.378×105
【近似數的取值】
1、近似數3.26×104精確到（　　）
A．百分位 B．千分位 C．十位 D．百位
2、圓周率π≈3.1415926……，用四舍五入法把π精確到萬分位，得到的近似值是　 　。
3、小華和小麗最近都測量了自己的身高，小華量得自己的身高約1.6米，小麗量得自己的身高約1.60米，下列關于她倆身高的說法正確的是（　　）
A．小華和小麗一樣高 B．小華比小麗高 C．小華比小麗矮 D．無法確定誰高
4、用四舍五入法按要求把2.0503分別取近似數，其中錯誤的是（　　）
A．2.1（精確到0.1） B．2.05（精確到0.001）
C．2.05（精確到百分位） D．2.050（精確到千分位）
五、實際應用問題
【溫度變化問題】
1、一位病人發高燒進醫院治療，醫生給他開了藥、掛了水，同時護士每隔1小時為病人測體溫，及時了解病人的好轉情況．下表記載的是護士對病人測體溫的變化數據：
時間 7：00 8：00 9：00 10：00 11：00 12：00 13：00 14：00 15：00
體溫（與前一次比較） 升0.2 降1.0 降0.8 降1.0 降0.6 升0.4 降0.2 降0.2 降0
+0.2 0
注：病人早晨進院時醫生測得病人體溫是40.2℃。
問：（1）把上升的體溫記為正數，下降的體溫記為負數，請填寫上表；
（2）病人什么時候體溫達到最高，最高體溫是多少？
（3）病人中午12點時體溫多高？
（4）病人幾點后體溫穩定正常（正常體溫是37℃）。
【行程問題】
2、出租車司機小劉某天上午營運全是在南北走向的某條大街上進行的，如果規定向北為正，向南為負，他這天上午的行程是（單位：千米）：+12，﹣8，+10，﹣13，+10，﹣12，+6，﹣15，+11，﹣14．
（1）將最后一名乘客送達目的地時，小張距上午出發點的距離是多少千米？在出發點的什么方向？
（2）若汽車耗油量為0.6升/千米，出車時，郵箱有油67.4升，若小張將最后一名乘客送達目的地，再返回出發地，問小張今天下午是否需要加油？若要加油至少需要加多少才能返回出發地？若不用加油，請說明理由．
【海拔問題】
3、登山隊員傅叔叔以二號營地為基準，向距二號營地500米的頂峰沖擊，由于天氣驟變，攀巖過程中不得不幾次下撤躲避強高空風．記傅叔叔向上爬升的海拔高度為正數，向下撤退時下降的海拔高度為負數，行進過程記錄如下：（單位：米）+260，﹣50，+90，﹣20，+80，﹣25，+105．
（1）傅叔叔最終有沒有登上頂峰？若沒有，距頂峰還有多少米？
（2）這次登山過程中，每上升或下降一米，平均消耗8千卡的能量．傅叔叔這天共消耗了多少能量？
（3）登山消耗的能量預估為：一千克身體重量（體重或負重），一天大約需要60～63千卡的能量，已知傅叔叔負重14千克，在（2）的條件下，請你計算傅叔叔的體重．
【盈利虧損問題】
4、某集團公司對所屬甲、乙兩分廠上半年經營情況記錄如下：（其中“+”表示盈利，“﹣”表示虧損，單位：億元）
月份 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份
甲廠 ﹣0.2 ﹣0.4 +0.5 0 +1.2 +1.3
乙廠 +1.0 ﹣0.7 ﹣1.5 +1.8 ﹣1.8 0
（1）計算二月份乙廠比甲廠多虧損多少億元？
（2）分別計算甲、乙兩個工廠上半年平均每月盈利或虧損多少億元？
【工程問題】
某玩具廠計劃一周生產某種玩具700件，平均每天生產100件，但由于種種原因，實際每天生產量與計劃量相比有出入．如表是某周的生產情況（超產記為正、減產記為負）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
增減 +5 ﹣2 ﹣4 +13 ﹣6 +6 ﹣3
（1）根據記錄的數據可知該廠星期四生產玩具 　 　件；
（2）產量最多的一天比產量最少的一天多生產玩具　 　件；
（3）根據記錄的數據可知該廠本周實際生產玩具 　 　件；
（4）該廠實行每周計件工資制，每生產一件玩具可得20元，若超額完成任務，則超過部分每件另獎5元；少生產一件扣4元，那么該廠工人這一周的工資總額是多少元？
新定義題
1、現定義一種新運算：a※b＝b2－ab，如：1※2＝22－1×2＝2，則(－1※2)※3等于( )
A．－9 B．－6 C．6 D．9
2、定義運算，則 ．
七、程序框圖計算
1、如圖，是一個簡單的數值運算程序，當輸入的值為時，則輸出的數值的值為.
2、在如圖所示的運算程序中，若開始輸入的x值為48，我們發現第一次輸出的結果為24，第二次輸出的結果為12，…，則第2 018次輸出的結果為( )
A．6 B．3 C. D.＋3×1 009
八、規律探究題
【數列規律】
1、觀察下列等式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32；26＝64，…根據這個規律，則21＋22＋23＋24＋25＋…＋22 018的末尾數字是 。
2、某種細胞開始分裂時有兩個，1小時后分裂成4個并死去一個，2小時后分裂成6個并死去一個，3小時后分裂成10個并死去一個，按此規律，8小時后細胞存活的個數是（　　）
A．253 B．255 C．257 D．259
3、(1)把左右兩邊計算結果相等的式子用線連接起來：
1﹣
1﹣
1﹣
1﹣
(2)觀察上面計算結果相等的各式之間的關系，可歸納得出：1﹣＝______
(3)利用上述規律計算下式的值：(1-)×(1-)×(1-)×…×(1-)×(1-)
【圖形規律】
1、如圖所示：下列各三角形中的三個數均有相同的規律，由此規律最后一個三角形中，的值是（ ）
A．380 B．382 C．384 D．386
2、如圖，將大小相同的小圓規律擺放：第1個圖形有5個小圓，第2個圖形有8個小圓，第3個圖形有11個小圓，…依此規律，第n個圖形的小圓個數是（ ）
A．個 B．個 C．個 D．個

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