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人教版九年級數學下名師點撥與訓練
第26章 反比例函數
26.1.2 反比例函數圖象的性質
學習目標
1. 能根據解析式畫出反比例函數的圖象，初步掌握反比例函數的圖象和性質．
2. 會用待定系數法確定反比例函數解析式，進一步理解反比例函數的圖象和性質．
3. 會解決一次函數和反比例函數有關的問題．
老師告訴你
反比例函數圖像的性質易錯點主要包括以下幾點：
1.忽視隱含條件 ：
錯誤地認為函數是反比例函數，而實際上它可能不滿足反比例函數的定義（即 y = k/x，其中 k ≠ 0）。
2.不區分象限 ：
錯誤地認為反比例函數圖像只位于一個象限，而實際上反比例函數的圖像是兩個分支，分別位于第一、第三象限（當 k > 0）或第二、第四象限（當 k < 0）。
3.函數值的增減性描述錯誤 ：
籠統地說，當 k > 0 時，y 隨 x 的增大而減小，忽略了在每一象限內 y 隨 x 的增大而減小這一性質。
一、知識點撥
知識點1 、反比例函數的圖象畫法：
1.反比例函數的圖象特征
反比例函數的圖象是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函數的圖象關于原點對稱，永遠不會與軸、軸相交，只是無限靠近兩坐標軸.
注意
若點()在反比例函數的圖象上，則點()也在此圖象上，所以反比例函數的圖象關于原點對稱；
在反比例函數(為常數，) 中，由于，所以兩個分支都無限接近但永遠不能達到軸和軸．
2.畫反比例函數的圖象
（1）列表：自變量的取值應以0為中心，在0的兩側取三對（或三對以上）互為相反數的值，填寫值時，只需計算右側的函數值，相應左側的函數值是與之對應的相反數；
（2）描點：描出一側的點后，另一側可根據中心對稱去描點；
（3）連線：按照從左到右的順序連接各點并延伸，連線時要用平滑的曲線按照自變量從小到大的順序連接，切忌畫成折線.注意雙曲線的兩個分支是斷開的，延伸部分有逐漸靠近坐標軸的趨勢，但永遠不與坐標軸相交；
【新知導學】
【例1-1】（1）畫出函數的圖象．
①列表：
x … …
y … …
②描點并連線．
（2）從圖象可以看出，曲線從左向右______（填“上升”或“下降”），當由小變大時隨之______．（填“變大”或“變小”）
【對應導練】
1．在同一平面直角坐標系中，分別畫出函數與的圖象．
(1)填寫表格：
__ __
__ __
(2)根據表格中的對應值為點坐標，在下圖中畫出函數圖象．
2．在同一坐標系中畫兩個函數的圖象，并回答相關問題：

(1)畫出函數的圖象；
①由分式有意義可知，函數中自變量x取除_______以外的全體實數，可列如下表，請你填剩余的空．
x 1 1.5 2 3 4 6
y 6 4 3 2 1.5 1
②在坐標系中描點、連線，畫函數的大致圖象（描上表中剩余的點并連線）．
(2)畫出函數的圖象；
(3)當取x何值時，對于其中x的每一個值，函數的值大于函數的值，直接寫出x的取值范圍．
知識點2、反比例函數的圖象的性質
1 .反比例函數圖象的分布是由的符號決定的：當時，兩支曲線分別位于第一、三象限內，當時，兩支曲線分別位于第二、四象限內．
2 .（1）當時，雙曲線的兩個分支分別位于第一、三象限，在每個象限內，值隨值的增大而減小；
（2當時，雙曲線的兩個分支分別位于第二、四象限，在每個象限內，值隨值的增大而增大；
注意：反比例函數的增減性不是連續的，它的增減性都是在各自的象限內的增減情況，反比例函數的增減性都是由反比例系數的符號決定的；反過來，由雙曲線所在的位置和函數的增減性，也可以推斷出的符號.
【新知導學】
【例2-1】．對于反比例函數，下列結論中錯誤的是（ ）
A．圖象必經過點 B．y隨x的增大而減小
C．圖象在第二、四象限 D．若，則
【例2-2】．關于反比例函數的圖象，下列說法不正確的是（ ）
A．圖象經過點 B．圖象關于直線對稱
C．當時，隨的增大而減小 D．當，則
【例2-3】．一次函數與反比例函數（a，b為常數且均不等于0）在同一坐標系內的圖象不可能是（ ）
A． B． C． D．
【例2-4】．如圖，同一平面直角坐標系中，拋物線與雙曲線的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【例2-5】．反比例函數的圖象經過、兩點，當時，，則k的取值范圍是 ．
【對應導練】
1．如圖是反比例函數的圖象，下列說法正確的是（ ）

A．常數
B．在每個象限內，隨的增大而增大
C．若，在圖象上，則
D．若在圖象上，則也在圖象上
2．對于反比例函數，下列說法正確的是( )
A．圖象經過點 B．圖象位于第一、三象限
C．y隨x的增大而增大 D．當時，
3．已知反比例函數，點和是反比例函數圖象上的兩點．若對于，，都有，則的取值范圍是（　　）
A．或 B．且，
C．或 D．且，
4．二次函數與反比例函數且在同一平面直角坐標系中的大致圖象是（ ）
A． B．
C． D．
5．如圖為反比例函數的圖象，請寫出滿足圖象的一個的值 ．

6．如圖，它是反比例函數（為常數，且）圖象的一支．
(1)的取值范圍為 ；畫出圖象另一支的示意圖；
(2)在這個函數圖象上任取點和．若，判斷和的大小關系，并說明．
二、題型訓練
1.判斷函數圖像位置
1．函數與在同一坐標系內的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．二次函數（是常數）的圖象如圖，則雙曲線和直線的位置可能為（ ）
A． B．
C． D．
2.比較函數值大小
3 .關于反比例函數，下列說法正確的是（ ）
A．圖象分布在第二、四象限
B．當時，隨的增大而減小
C．圖象經過點
D．若點，在圖象上，且，則
4．已知反比例函數的圖象經過點．
(1)求與之間的函數表達式；
(2)這個函數的圖象在哪個象限？在每個象限內，隨的增大怎樣變化？
(3)點、在這個函數的圖象上嗎？
5．在平面直角坐標系中，已知反比例函數的圖象經過點，當時，求的取值范圍．
3.由自變量（函數）取值范圍確定函數（自變量取值范圍）
6．已知點，是反比例函數圖象上兩點．請用“”“”或“”填空．
（1）若，，，則_____；
（2）若，，，則______；
（3）若，，，則______；
（4）若，，則______；
變式 反比例函數中，若，，請討論，的大小情況．
7．反比例函數中，若，，請討論，的大小情況．
8．已知是的反比例函數，當時，．
(1)求關于的函數解析式；
(2)若，，，是，，，分別是2，8，，時的函數值，請比較大小： ， （填“”“”或“”）；
(3)若，分別是，的函數值，當時，比較與的大小關系．
三、課堂達標
一、單選題（每小題4分，共32分）
1．關于反比例函數，下列說法中錯誤的是（ ）
A．時，y隨x的增大而減小 B．當時，
C．當時，y有最大值為 D．它的圖象位于第一、三象限
2．若反比例函數的圖象在第一、三象限，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3．已知點、都在反比例函數的圖像上，那么、的大小關系是（ ）
A． B． C． D．無法確定
4．已知三個點、、在反比例函數的圖象上，下列結論正確的是（　　）
A． B． C． D．
5．對于函數，下列說法錯誤的是（ ）
A．它的圖象分布在一、三象限
B．它的圖象與坐標軸沒有交點
C．它的圖像既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形
D．當時，的值隨的增大而增大
6．如圖，反比例函數（k是常數且）的圖象經過點，則下列說法錯誤的是（ ）
A． B．該函數圖象經過點
C．當時，y隨x的增大而減小 D．當，
7．如圖所示，一次函數與反比例函數的圖象在第二象限內有兩個交點，如圖所示，則二次函數的圖象可能是（ ）
A． B． C． D．
8．若反比例函數的圖象上有三點，則下列說法正確的是（ ）
A．當時， B．當且時，
C．當時， D．當且時，
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．請寫出一個y是x的反比例函數的表達式，使其圖象分布二、四象限，其表達式為 ．
10．若點在反比例函數的圖象上，則的大小關系是 ．（用“”號連接）
11．已知，是反比例函數圖象上的兩點．若，則 （填“”、“”或“”）
12．在平面直角坐標系中，直線與雙曲線的一個交點是．則k的值為 ．
13．在平面直角坐標系中，P是雙曲線上的一點，點P繞著原點O順時針旋轉的對應點落在直線上，則代數式的值是 ．
三、解答題（每小題8分，共48分）
14．已知反比例函數與一次函數的圖象交于點和點．
(1)求這兩個函數的表達式；
(2)在同一坐標系中畫出上述兩個函數圖象，觀察圖象：當時，直接寫出自變量x的取值范圍．
15．已知y與x成反比例，且其函數圖象經過點．
(1)求y與x的函數關系式；
(2)當時，求x的值．
16．已知反比例函數的圖象經過點，試判斷點，是否在此函數的圖象上．
17．小光根據學習函數的經驗，探究函數的圖象與性質．
(1)刻畫圖象
①列表：下表是，的幾組對應值，其中　　　，　　　；
… …
… …
②描點：如圖所示；
③連線：請用平滑的曲線順次連接．
(2)認識性質
觀察圖象，完成下列問題：
①當時，隨的增大而　　　；
②函數的圖象的對稱中心是　　　．（填寫點的坐標）
(3)類比探究
①小光發現，函數的圖象可以由反比例函數的圖象經過平移得到．請結合圖象說明平移過程；
②函數的圖象經平移可以得到函數的圖象，請說明平移過程．
18．反比例函數的圖像與直線相交于點A，A點的橫坐標為．
(1)求k的值．
(2)試判斷，是否在反比例函數的圖像上．
19．如圖，一次函數與反比例函數的圖象交于，兩點．
(1)求這兩個函數的解析式；
(2)根據圖象，直接寫出滿足時x的取值范圍．
人教版九年級數學下名師點撥與訓練
第26章 反比例函數
26.1.2 反比例函數圖象的性質
2024-2025人教版九年級數學下 點撥*訓練
第26章 第02講 反比例函數圖象性質（解析版）
學習目標
1. 能根據解析式畫出反比例函數的圖象，初步掌握反比例函數的圖象和性質．
2. 會用待定系數法確定反比例函數解析式，進一步理解反比例函數的圖象和性質．
3. 會解決一次函數和反比例函數有關的問題．
老師告訴你
反比例函數圖像的性質易錯點主要包括以下幾點：
1.忽視隱含條件 ：
錯誤地認為函數是反比例函數，而實際上它可能不滿足反比例函數的定義（即 y = k/x，其中 k ≠ 0）。
2.不區分象限 ：
錯誤地認為反比例函數圖像只位于一個象限，而實際上反比例函數的圖像是兩個分支，分別位于第一、第三象限（當 k > 0）或第二、第四象限（當 k < 0）。
3.函數值的增減性描述錯誤 ：
籠統地說，當 k > 0 時，y 隨 x 的增大而減小，忽略了在每一象限內 y 隨 x 的增大而減小這一性質。
一、知識點撥
1.知識導航
2.知識點梳理
知識點1 、反比例函數的圖象畫法：
1.反比例函數的圖象特征
反比例函數的圖象是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函數的圖象關于原點對稱，永遠不會與軸、軸相交，只是無限靠近兩坐標軸.
注意
若點()在反比例函數的圖象上，則點()也在此圖象上，所以反比例函數的圖象關于原點對稱；
在反比例函數(為常數，) 中，由于，所以兩個分支都無限接近但永遠不能達到軸和軸．
2.畫反比例函數的圖象
（1）列表：自變量的取值應以0為中心，在0的兩側取三對（或三對以上）互為相反數的值，填寫值時，只需計算右側的函數值，相應左側的函數值是與之對應的相反數；
（2）描點：描出一側的點后，另一側可根據中心對稱去描點；
（3）連線：按照從左到右的順序連接各點并延伸，連線時要用平滑的曲線按照自變量從小到大的順序連接，切忌畫成折線.注意雙曲線的兩個分支是斷開的，延伸部分有逐漸靠近坐標軸的趨勢，但永遠不與坐標軸相交；
【新知導學】
【例1-1】（1）畫出函數的圖象．
①列表：
x … …
y … …
②描點并連線．
（2）從圖象可以看出，曲線從左向右______（填“上升”或“下降”），當由小變大時隨之______．（填“變大”或“變小”）
【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）上升；變大
【分析】本題主要考查了反比例函數的性質，畫反比例函數圖象，解題的關鍵是熟練掌握反比例函數的性質．
（1）先列表，然后描點，最后連線即可得出反比例函數圖象；
（2）根據反比例函數的性質進行求解即可．
【詳解】解：（1）列表：
x … …
y … 1 2 3 6 …
函數圖象如答圖：
（2）從圖象可以看出，曲線從左向右上升，當x由小變大時隨之變大．
故答案為：上升；變大．
【對應導練】
1．在同一平面直角坐標系中，分別畫出函數與的圖象．
(1)填寫表格：
__ __
__ __
(2)根據表格中的對應值為點坐標，在下圖中畫出函數圖象．
【答案】(1)填表見解析
(2)畫圖見解析
【分析】（）根據函數解析式求出對應的函數值后填寫表格即可；
（）以表格中的對應值為點的坐標，描出點連線即可畫出函數圖象；
本題考查了畫反比例函數圖象，掌握畫反比例函數圖象的步驟是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：當時，；當時，；
當時，，當時，；
∴填寫表格如下：
（2）解：畫函數圖象如下：
2．在同一坐標系中畫兩個函數的圖象，并回答相關問題：

(1)畫出函數的圖象；
①由分式有意義可知，函數中自變量x取除_______以外的全體實數，可列如下表，請你填剩余的空．
x 1 1.5 2 3 4 6
y 6 4 3 2 1.5 1
②在坐標系中描點、連線，畫函數的大致圖象（描上表中剩余的點并連線）．
(2)畫出函數的圖象；
(3)當取x何值時，對于其中x的每一個值，函數的值大于函數的值，直接寫出x的取值范圍．
【答案】(1)見詳解
(2)見詳解
(3)或．
【分析】本題考查了畫反比例函數圖象以及一次函數與反比例函數交點問題，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．
（1）根據圖象性質以及列表數值，先描點再連線，即可作答．
（2）根據圖象性質以及列表數值，先描點再連線，即可作答．
（3）觀察（2）的圖象，易得兩個函數交于點，運用數形結合思想得x的取值范圍為或．
【詳解】（1）解：①由分式有意義可知，函數中自變量x取除0以外的全體實數，可列如下表，請你填剩余的空．
x 1 1.5 2 3 4 6
y 6 4 3 2 1.5 1
②在坐標系中描點、連線，畫函數的大致圖象，如圖所示：

（2）解：關于函數，先列表：
x 1 2 4
y 3 6
如圖所示：

（3）解：由（2）得出，兩個函數交于點，當函數的值大于函數的值，則x的取值范圍為或．
知識點2、反比例函數的圖象的性質
1 .反比例函數圖象的分布是由的符號決定的：當時，兩支曲線分別位于第一、三象限內，當時，兩支曲線分別位于第二、四象限內．
2 .（1）當時，雙曲線的兩個分支分別位于第一、三象限，在每個象限內，值隨值的增大而減小；
（2當時，雙曲線的兩個分支分別位于第二、四象限，在每個象限內，值隨值的增大而增大；
注意：反比例函數的增減性不是連續的，它的增減性都是在各自的象限內的增減情況，反比例函數的增減性都是由反比例系數的符號決定的；反過來，由雙曲線所在的位置和函數的增減性，也可以推斷出的符號.
【新知導學】
【例2-1】．對于反比例函數，下列結論中錯誤的是（ ）
A．圖象必經過點 B．y隨x的增大而減小
C．圖象在第二、四象限 D．若，則
【答案】B
【分析】此題主要考查了反比例函數的性質，以及反比例函數圖象上點的坐標特點，解題的關鍵是熟練掌握反比例函數的性質：反比例函數的圖象是雙曲線；當，雙曲線兩支分別位于第一、第三象限，在每一象限內y隨x的增大而減小；當，雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每一象限內y隨x的增大而增大．
【詳解】解：A、當 時， ，即圖象必經過，故本選項正確，不符合題意；
B、因為 ，所以在每一象限內，隨的增大而增大，故本選項錯誤，符合題意；
C、因為 ，圖象在第二、四象限，故本選項正確，不符合題意；
D、若，圖象位于第四象限內，隨的增大而增大，此時，故本選項正確，不符合題意．
故選：B．
【例2-2】．關于反比例函數的圖象，下列說法不正確的是（ ）
A．圖象經過點 B．圖象關于直線對稱
C．當時，隨的增大而減小 D．當，則
【答案】D
【分析】本題考查了反比例函數的性質．根據反比例函數圖象的性質對各選項分析判斷后利用排除法求解．
【詳解】解：A、，則圖象經過點，本選項不符合題意；
B、圖象關于直線對稱，本選項不符合題意；
C、當時，隨的增大而減小，本選項不符合題意；
D、當，，又當時，隨的增大而減小，所以當，則，本選項符合題意；
故選：D．
【例2-3】．一次函數與反比例函數（a，b為常數且均不等于0）在同一坐標系內的圖象不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了一次函數與反比例函數圖象和性質，熟練掌握相關性質與函數圖象的關系是解決本題的關鍵．先根據一次函數圖象確定a、b的符號，進而求出的符號，由此可以確定反比例函數圖象所在的象限，看是否一致即可．
【詳解】解：A、∵一次函數圖象經過第一、二、三象限，
∴，
∴，
∴反比例函數的圖象應該過第二、四象限，這與圖形符合，故A不符合題意；
B、∵一次函數圖象經過第一、二、四象限，
∴，
∴，
∴反比例函數的圖象應該過第一、三象限，這與圖形符合，故B不符合題意；
C、∵一次函數圖象經過第一、三、四象限，
∴，
∴，
∴反比例函數的圖象應該過第一、三象限，這與圖形符合，故C不符合題意；
D、∵一次函數圖象經過第一、二、四象限，
∴，
∴，
∴反比例函數的圖象應該過第一、三象限，這與圖形不符合，故D符合題意；
故選：D．
【例2-4】．如圖，同一平面直角坐標系中，拋物線與雙曲線的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了二次函數的圖象和雙曲線的圖象，先根據拋物線圖象確定a與0的大小，再判斷雙曲線圖象是否滿足條件即可．
【詳解】解：，
∴對稱軸為，
A、由拋物線圖象可知，對稱軸，所以雙曲線的圖象應該在第一、三象限，故選項A符合題意；
B、由拋物線圖象可知，所以雙曲線的圖象應該在第二、四象限，故選項B不符合題意；
C、由拋物線圖象可知，對稱軸，故選項C不符合題意；
D、由拋物線圖象可知，所以雙曲線的圖象應該在第一、三象限，故選項D不符合題意；
故選：A．
【例2-5】．反比例函數的圖象經過、兩點，當時，，則k的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】本題考查了反比例函數的圖象上的點的特征，熟知反比例函數的性質是解題的關鍵．
先根據已知條件判斷出函數圖象所在的象限，再根據系數k與函數圖象的關系解答即可．
【詳解】解：∵反比例函數的圖象經過、兩點，當時，，
∴此反比例函數的圖象在二、四象限，
∴．
故答案為：．
【對應導練】
1．如圖是反比例函數的圖象，下列說法正確的是（ ）

A．常數
B．在每個象限內，隨的增大而增大
C．若，在圖象上，則
D．若在圖象上，則也在圖象上
【答案】C
【分析】本題考查了反比例函數的性質，解題的關鍵是結合反比例函數的性質以及函數圖象逐一分析四個選項．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，熟悉掌握反比例函數圖象的有關知識是關鍵．結合函數圖象逐一分析四個選項的對錯，由此即可得出結論．
【詳解】解：A、∵反比例函數y=的圖象在第一三象限，
∴，
∴A錯誤，故本選項不符合題意；
B、根據函數圖象可得出：在每個象限內，y隨x的增大而減小，
∴B錯誤，故本選項不符合題意；
C、根據函數圖象可得出：在第三象限內，，在第一象限內，，
∵，，
∴，
∴C正確，故本選項符合題意；
D、由反比例函數的對稱性可知：
若在圖象上，則在圖象上，
∴D錯誤，故本選項不符合題意．
故選：C．
2．對于反比例函數，下列說法正確的是( )
A．圖象經過點 B．圖象位于第一、三象限
C．y隨x的增大而增大 D．當時，
【答案】D
【分析】本題考查的是反比例函數的性質，根據題目中的函數解析式和反比例函數的性質，可以判斷各個選項中的說法是否正確，從而可以解答本題．
【詳解】解：反比例函數，
A、當時，，圖象經過點，故選項A不符合題意；
B、∵，故該函數圖象位于第二、四象限，故選項B不符合題意；
C、在每個象限內，隨的增大而增大，故選項C不符合題意；
D、∵當時，，時，
∴當時，，故選項D符合題意；
故選：D．
3．已知反比例函數，點和是反比例函數圖象上的兩點．若對于，，都有，則的取值范圍是（　　）
A．或 B．且，
C．或 D．且，
【答案】D
【分析】本題考查了反比例函數的圖象和性質．由題意得，反比例函數的圖象在二、四象限或一、三象限，分兩種情況討論，即可求得的取值范圍．
【詳解】解：對于，未知，需分類討論，
當時，反比例函數的圖象在一、三象限，此時，
∴，
∵，
∴點和都在第一象限的圖象上，且和都大于0，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
解得，即；
當時，反比例函數的圖象在二、四象限，此時，
由圖象可知，時，，
∴點在第四象限的圖象上，
對于分類討論，
當時，，此時點在第四象限的圖象上，隨的增大而增大，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，即；
當時，，此時點在第二象限的圖象上，
則，，
∴，，
∵，，
取點關于原點的中心對稱點，則點，
∵，
∴，此時點和點都在第二象限的圖象上，隨的增大而增大，
∵，
∴，
∴，
解得，即；
當時，
∴，此時點不在反比例函數的圖象上，舍去，
綜上，且，，
故選：D．
4．二次函數與反比例函數且在同一平面直角坐標系中的大致圖象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了二次函數與反比例函數圖象的性質，熟練掌握相關性質與函數圖象的關系是解決本題的關鍵．
根據二次函數與反比例函數圖象的性質進行判斷即可得解．
【詳解】A.由二次函數圖象可知， ，時，
∴
∴反比例函數的圖象應該分別位于二 、四象限，故選項錯誤；
B. 由二次函數圖象可知， ，時，
∴
∴反比例函數的圖象應該分別位于一 、三象限，故選項錯誤；
C. 由二次函數圖象可知， ，時，
∴
∴反比例函數的圖象應該分別位于二 、四象限，故選項正確；
D. 由二次函數圖象可知， ，時，
∴
∴反比例函數的圖象應該分別位于一 、三象限，故選項錯誤；
故選：C．
5．如圖為反比例函數的圖象，請寫出滿足圖象的一個的值 ．

【答案】（答案不唯一）
【分析】本題考查了反比例函數的圖象和性質，根據圖象可得比例系數的坐標在和之間，即可得，據此即可求解，掌握反比例函數的圖象和性質是解題的關鍵．
【詳解】解：由圖象可得，比例系數的坐標在和之間，
∴，即，
∴滿足圖象的一個的值可以為，
故答案為：．
6．如圖，它是反比例函數（為常數，且）圖象的一支．
(1)的取值范圍為 ；畫出圖象另一支的示意圖；
(2)在這個函數圖象上任取點和．若，判斷和的大小關系，并說明．
【答案】(1)，圖見解析
(2)見解析
【分析】本題考查反比例函數的圖象和性質，熟練掌握反比例函數的圖象和性質，是解題的關鍵：
（1）根據反比例函數圖象所在的象限，判斷的取值范圍，利用對稱性畫出另一支的示意圖即可；
（2）分在同一象限內，和不在同一象限內兩種情況進行討論說明即可．
【詳解】（1）解：由圖象可知，反比例函數圖象過第二象限，則另一支在第四象限，
∴，
∴，
畫圖如下：
（2）由圖象可知：在每一個象限內，隨的增大而增大，
∵和在反比例函數圖象上，
∴當在同一象限內時，，
當不在同一象限內時，；
二、題型訓練
1.判斷函數圖像位置
1．函數與在同一坐標系內的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了一次函數的圖象與性質、反比例函數的圖象與性質，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．
【詳解】直線與y軸交于點，可否定A，D選項；
再根據k的取值符號是否一致（時，直線與雙曲線都經過第一、三象限；時，直線與雙曲線都經過第二、四象限）可以否定C，
故選：B．
2．二次函數（是常數）的圖象如圖，則雙曲線和直線的位置可能為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了二次函數、一次函數、反比例函數的圖象與性質，由二次函數的圖象可得，，，據此判斷一次函數和反比例函數的圖象即可．
【詳解】解：∵二次函數的圖象開口向上，與軸交點在負半軸，對稱軸在軸左邊，
∴，，，
∴，
∴直線過一、二、四象限，
當時，
∴雙曲線過二、四象限，
∴雙曲線和直線的位置都符合條件的只有D選項，
故選：D．
2.比較函數值大小
3 .關于反比例函數，下列說法正確的是（ ）
A．圖象分布在第二、四象限
B．當時，隨的增大而減小
C．圖象經過點
D．若點，在圖象上，且，則
【答案】B
【分析】本題考查的是反比例函數的性質，熟知反比例函數的增減性及反比例函數的圖象與系數的關系是解答此題的關鍵．
分別根據反比例函數的圖象及圖象上點的坐標特點、反比例函數的增減性對各選項進行逐一分析即可．
【詳解】解：A、∵，
∴圖象在第一、三象限，故本選項錯誤；
B、當時，y隨x的增大而減小，故本選項正確；
C、∵當時，，
∴圖象不經過點，故本選項錯誤；
D、∵圖象在第一、三象限，在每一支上，y隨x的增大而減小，
∴當時，，故本選項錯誤；
故選：B．
4．已知反比例函數的圖象經過點．
(1)求與之間的函數表達式；
(2)這個函數的圖象在哪個象限？在每個象限內，隨的增大怎樣變化？
(3)點、在這個函數的圖象上嗎？
【答案】(1)
(2)這個函數的圖象在第二、四象限；在每個象限內，隨的增大而增大
(3)點在這個函數的圖象上，點不在這個函數的圖象上
【分析】本題考查了待定系數法求反比例函數解析式，反比例函數的圖象和性質，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．
（1）用待定系數法即可求反比例函數解析式．
（2）利用反比例函數的圖象和性質即可解題．
（3）利用反比例函數的圖象和性質即可解題．
【詳解】（1）解：將點代入反比例函數中，
即，
解得：
∴與之間的函數表達式為．
（2）解：∵在反比例函數中，，
∴這個函數的圖象在第二、四象限；在每個象限內，隨的增大而增大．
（3）解：將點、分別代入中，
可得：，，
∴點在這個函數的圖象上，點不在這個函數的圖象上．
5．在平面直角坐標系中，已知反比例函數的圖象經過點，當時，求的取值范圍．
【答案】
【分析】本題考查求反比例函數的解析式，反比例函數的圖象和性質，把代入解析式求出解析式，根據增減性，求出的取值范圍即可．
【詳解】解：把，代入，得：，
∴，
∴反比例函數的圖象過二，四象限，在每一個象限內，隨著的增大而增大，
當時，，
∴當時，．
3.由自變量（函數）取值范圍確定函數（自變量取值范圍）
6．已知點，是反比例函數圖象上兩點．請用“”“”或“”填空．
（1）若，，，則_____；
（2）若，，，則______；
（3）若，，，則______；
（4）若，，則______；
變式 反比例函數中，若，，請討論，的大小情況．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；變式：①當時，；②當時，；③當時，
【分析】本題考查了反比例函數的圖象與性質，反比例函數(k是常數，)的圖象是雙曲線，當，反比例函數圖象的兩個分支在第一、三象限，在每一象限內，y隨x的增大而減小；當，反比例函數圖象的兩個分支在第二、四象限，在每一象限內，y隨x的增大而增大．
（1）（2）（3）（4）以及變式直接根據反比例函數的增減性求解即可．
【詳解】解：（1）∵，
∴反比例函數圖象的兩個分支在第一、三象限，在每一象限內，y隨x的增大而減小，
∵，，
∴，
∴．
故答案為：；
（2）∵，
∴反比例函數圖象的兩個分支在第二、四象限，在每一象限內，y隨x的增大而增大，
∵，，
∴，
∴．
故答案為：；
（3）∵，
∴反比例函數圖象的兩個分支在第一、三象限，在每一象限內，y隨x的增大而減小
∵，，
∴，
∴．
故答案為：；
（4）∵，
∴反比例函數圖象的兩個分支在第一、三象限，在每一象限內，y隨x的增大而減小
∵，
∴，
故答案為：；
變式：
∵，
∴反比例函數圖象的兩個分支在第二、四象限，在每一象限內，y隨x的增大而增大，
①當時，；②當時，；③當時，．
7．反比例函數中，若，，請討論，的大小情況．
【答案】見解析
【分析】本題考查了反比例函數的圖象與性質，反比例函數(k是常數，)的圖象是雙曲線，當，反比例函數圖象的兩個分支在第一、三象限，在每一象限內，y隨x的增大而減小；當，反比例函數圖象的兩個分支在第二、四象限，在每一象限內，y隨x的增大而增大．據此解答即可．
【詳解】解：當時，反比例函數的圖象位于第二、四象限，在每一象限內，y隨x的增大而增大．當時，分為以下三種情況：
①當時，，
②當時，，
③當時，
8．已知是的反比例函數，當時，．
(1)求關于的函數解析式；
(2)若，，，是，，，分別是2，8，，時的函數值，請比較大小： ， （填“”“”或“”）；
(3)若，分別是，的函數值，當時，比較與的大小關系．
【答案】(1)
(2) ，
(3)當時，；當時，；當時，
【分析】本題考查反比例函數綜合，涉及待定系數法確定函數解析式、已知自變量求函數值、利用反比例函數圖象與性質比較函數值大小等知識，熟記反比例函數圖象與性質是解決問題的關鍵．
（1）根據題意，設，當時，，則，即可得到答案；
（2）由（1）中，將，，，代入求出，，，，比較大小即可得到答案；
（3）由（1）中，利用反比例函數的圖象與性質分類討論即可得到答案．
【詳解】（1）解：是的反比例函數，
設，當時，，則，
關于的函數解析式是；
（2）解：由（1）知，
當時，；
當時，；
當時，；
當時，；
，，
故答案為： ，；
（3）解：由（1）知，
反比例函數圖象在第一、三象限，在每一個象限中，隨的增大而減小，
當時，；
當時，；
當時，．
三、課堂達標
一、單選題（每小題4分，共32分）
1．關于反比例函數，下列說法中錯誤的是（ ）
A．時，y隨x的增大而減小 B．當時，
C．當時，y有最大值為 D．它的圖象位于第一、三象限
【答案】C
【分析】本題考查了反比例函數的性質，熟練掌握反比例函數的增減性是解題的關鍵．
根據反比例函數的性質對各選項逐一分析即可．
【詳解】解：A．反比例函數，，該函數圖像的兩個分支位于一、三象限，且在每一象限內隨的增大而減小，故本選項正確；
B．當時，，當時，，當時，，故本選項正確；
C．反比例函數，，該函數圖像的兩個分支位于一、三象限，且在每一象限內隨的增大而減小，當時，，當時，，故本選項錯誤；
D．反比例函數，，該函數圖像的兩個分支位于一、三象限，故本選項正確；
故選：C．
2．若反比例函數的圖象在第一、三象限，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了反比例函數的圖象和性質，當，雙曲線的兩支分支分別位于第一、第三象限，在每一象限內y隨x的增大而減小；當，雙曲線的兩支分支分別位于第二、第四象限，在每一象限內y隨x的增大而增大．
【詳解】解：∵反比例函數的圖象在第一、三象限，
∴，
∴，
故選：A．
3．已知點、都在反比例函數的圖像上，那么、的大小關系是（ ）
A． B． C． D．無法確定
【答案】A
【分析】本題考查的是反比例函數圖象上點的坐標特點，熟知反比例函數的圖象上各點的坐標一定適合此函數的解析式是解答此題的關鍵．先把各點代入反比例函數的解析式，求出a、b的值，再比較大小即可．
【詳解】解：∵點、都在函數的圖象上，
∴，，
，
∴，
故選：A．
4．已知三個點、、在反比例函數的圖象上，下列結論正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了比較反比例函數值的大小，先判斷出反比例函數經過的象限以及增減性，再由即可得到答案．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴反比例函數的圖象經過第二、四象限，在每個象限內，y隨x增大而增大，
∵三個點、、在反比例函數的圖象上，且，
∴，
故選：C．
5．對于函數，下列說法錯誤的是（ ）
A．它的圖象分布在一、三象限
B．它的圖象與坐標軸沒有交點
C．它的圖像既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形
D．當時，的值隨的增大而增大
【答案】D
【分析】本題考查了反比例函數的圖象與性質，掌握反比例函數的圖象與性質是解題的關鍵；根據的圖象與性質判斷即可．
【詳解】解：函數的圖象分布在一、三象限，圖象與坐標軸無交點，它的圖像既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，在每個象限內，的值隨的增大而減小；
故選項A、B、C正確，選項D錯誤；
故選：D．
6．如圖，反比例函數（k是常數且）的圖象經過點，則下列說法錯誤的是（ ）
A． B．該函數圖象經過點
C．當時，y隨x的增大而減小 D．當，
【答案】D
【分析】本題主要考查了反比函數的圖象和性質．根據反比例函數的圖象和性質，逐項判斷即可求解．
【詳解】解：A、∵反比例函數的圖象經過點，
∴，故該選項不符合題意；
B、當時，，則該函數圖象經過點，故該選項不符合題意；
C、根據函數圖象可得，當時，隨的增大而減小，故該選項不符合題意；
D、根據函數圖象可得，當，，故該選項符合題意；
故選：D．
7．如圖所示，一次函數與反比例函數的圖象在第二象限內有兩個交點，如圖所示，則二次函數的圖象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了一次函數與反比例函數的圖象和性質，二次函數的圖象和性質，掌握函數圖象與系數的關系是解題關鍵．根據一次函數與反比例函數的圖象，得到，，，從而得到二次函數的開口方向、對稱軸以及與軸交點，再根據當時，一次函數圖象在反比例函數圖象上方，得出，即可確定圖象．
【詳解】解：由函數圖象可知，，，，
二次函數的圖象開口向上，對稱軸在軸左側，與軸交點在正半軸，
當時，一次函數圖象在反比例函數圖象上方，
當時，，即，
A選項圖象符合題意，
故選：A．
8．若反比例函數的圖象上有三點，則下列說法正確的是（ ）
A．當時， B．當且時，
C．當時， D．當且時，
【答案】A
【分析】本題主要考查了反比例函數圖像上的點的坐標特征，根據反比例函數的增減性，逐一進行判斷即可，解題的關鍵是掌握反比例函數的性質．
【詳解】∵，，
∴反比例函數的圖象過一，三象限，在每一個象限內，y隨x的增大而減小，
∵三點在雙曲線上，
∴當時，，則：，故A選項正確，符合題意；
當且時，，當且時，，故B選項錯誤，不符合題意；
當時，，則：，故C選項錯誤，不符合題意；
當且時，則： ；當且時，則：，故D選項錯誤，不符合題意；
故選：A．
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．請寫出一個y是x的反比例函數的表達式，使其圖象分布二、四象限，其表達式為 ．
【答案】（答案不唯一，只要即符合）；
【分析】本題考查反比例函數圖象性質，理解反比例函數圖象與比例系數之間的關系是解題關鍵．根據反比例函數圖象位于二、四象限，可確定，從而選擇恰當的值代入寫出即可．
【詳解】解∶ ∵函數圖象位于二、四象限，
∴，
∴可選取，那么反比例函數為，
故答案為：（答案不唯一）．
10．若點在反比例函數的圖象上，則的大小關系是 ．（用“”號連接）
【答案】
【分析】本題考查比例反比例函數的函數值的大小，根據反比例函數的增減性，進行判斷即可．
【詳解】解：∵，
∴雙曲線過一、三象限，在每一個象限內，隨的增大而減小，
∵點在反比例函數的圖象上，且：，
∴；
故答案為：．
11．已知，是反比例函數圖象上的兩點．若，則 （填“”、“”或“”）
【答案】
【分析】本題考查了反比例函數的性質，熟練掌握反比例函數的性質是解題的關鍵．
根據反比例函數的增減性解答即可．
【詳解】解：，
反比例函數的圖象在二、四象限，且在每個象限隨的增大而增大，
，
，
故答案為：．
12．在平面直角坐標系中，直線與雙曲線的一個交點是．則k的值為 ．
【答案】1
【分析】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，掌握交點坐標滿足兩個函數解析式是解答本題的關鍵．根據反比例函數圖象上點的坐標特征得到，再結合一次函數圖象上點的坐標特征求解，即可解題．
【詳解】解：直線與雙曲線的一個交點是．
，
解得，
即，
，
解得，
故答案為：1．
13．在平面直角坐標系中，P是雙曲線上的一點，點P繞著原點O順時針旋轉的對應點落在直線上，則代數式的值是 ．
【答案】
【分析】過點P作軸于點Q，過點作軸于點，由題意可得出，，．易證，即得出，，即可求出，進而得出，最后將所求式子通分變形為，再整體代入求值即可．
【詳解】解：如圖，過點P作軸于點Q，過點作軸于點，

∵，且在直線上，
∴，，，
∴．
由旋轉的性質可知，，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴，
∴，，
∴．
∵P是雙曲線上的一點，
∴，即．
∴．
故答案為：．
【點睛】本題為一次函數與反比例函數的綜合題，考查函數圖象上的點的坐標特征，三角形全等的判定和性質，旋轉的性質，坐標與圖形，代數式求值．畫出大致圖象并正確作出輔助線構造全等三角形是解題關鍵．
三、解答題（每小題8分，共48分）
14．已知反比例函數與一次函數的圖象交于點和點．
(1)求這兩個函數的表達式；
(2)在同一坐標系中畫出上述兩個函數圖象，觀察圖象：當時，直接寫出自變量x的取值范圍．
【答案】(1)反比例函數的表達式為 ，一次函數的表達式為
(2) 或
【分析】本題考查反比例函數與一次函數的交點問題及待定系數法求反比例函數與一次函數解析式，也考查了觀察圖象的能力．（1）把點代入反比例函數求出，即可求出反比例函數解析式，再求出點坐標，由待定系數法求出一次函數解析式；（2）由題意得出函數的圖象總在函數的圖象上方，即可得出結果．
【詳解】（1）解：反比例函數的圖象經過點，
，
反比例函數的表達式為 ，
點在反比例函數的圖象上，
，
點B的坐標為 ，
一次函數的圖象經過點A、B，將A、B兩個點的坐標代入，
得：，
解得：，
一次函數的表達式為；
（2）畫出圖象：
觀察函數圖象可知：符合條件的x取值范圍是： 或．
15．已知y與x成反比例，且其函數圖象經過點．
(1)求y與x的函數關系式；
(2)當時，求x的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查反比例函數的圖象和性質：
（1）設y與x的函數關系式為，將代入即可；
（2）將代入（1）中所求解析式，即可求出x的值．
【詳解】（1）解：設y與x的函數關系式為，
將代入，得：，
解得，
y與x的函數關系式為；
（2）解：由（1）得，
將代入，得：，
解得．
16．已知反比例函數的圖象經過點，試判斷點，是否在此函數的圖象上．
【答案】點在函數圖象上，不在函數圖象上
【分析】本題考查反比例函數圖象上的點的特征，根據反比例函數圖象上的點的橫縱坐標之積為，進行判斷即可．
【詳解】解：由題意，得：，
∵，，
∴點在函數圖象上，不在函數圖象上．
17．小光根據學習函數的經驗，探究函數的圖象與性質．
(1)刻畫圖象
①列表：下表是，的幾組對應值，其中　　　，　　　；
… …
… …
②描點：如圖所示；
③連線：請用平滑的曲線順次連接．
(2)認識性質
觀察圖象，完成下列問題：
①當時，隨的增大而　　　；
②函數的圖象的對稱中心是　　　．（填寫點的坐標）
(3)類比探究
①小光發現，函數的圖象可以由反比例函數的圖象經過平移得到．請結合圖象說明平移過程；
②函數的圖象經平移可以得到函數的圖象，請說明平移過程．
【答案】(1)①，③見詳解
(2)①增大，②
(3)①向右平移1個單位;②向右平移個單位
【分析】本題考查了反比例函數的性質以及畫反比例函數圖象，平移性質，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．
（1）①直接把和分別代入，進行計算，③用平滑的曲線順次連接即可作答．
（2）運用數形結合思想即可作答①②．
（3）運用類比法得出平移規律，即可作答．
【詳解】（1）解：①把代入，
得
把代入，
得；
故答案為：，
②描點：如圖所示；
③如圖所示：
（2）解：①當時，隨的增大而減小；
②函數的圖象的對稱中心是，
故答案為：增大，；
（3）解：①結合圖象，得出函數的圖象可以由反比例函數的圖象經過向右平移個單位得到的；
②由反比例函數的分母特征得出函數是由向右平移個單位長度得到的，
∵與的分母差值為，
∴函數的圖象經平移可以得到函數的圖象向右平移個單位得到的
18．反比例函數的圖像與直線相交于點A，A點的橫坐標為．
(1)求k的值．
(2)試判斷，是否在反比例函數的圖像上．
【答案】(1)
(2)不在函數圖像上，在函數圖像上
【分析】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，屬于基礎題，解答本題一定要注意待定系數法的運用．
（1）將點的橫坐標代入可得出縱坐標，然后代入雙曲線可求出反比例函數的解析式．
（2）把點，代入即可判斷；
【詳解】（1）解：當時，由知，故，
將代入中，可知，
（2）由（1）可得
當時故點不在反比例函數的圖像上，
當時故點在反比例函數的圖像上.
19．如圖，一次函數與反比例函數的圖象交于，兩點．
(1)求這兩個函數的解析式；
(2)根據圖象，直接寫出滿足時x的取值范圍．
【答案】(1)一次函數解析式為；反比例函數解析式為；
(2)
【分析】本題考查待定系數法求解析式，反比例函數和一次函數結合圖象及性質．
（1）根據題意先將點代入求出反比例函數解析式，再將代入求出的反比例函數解釋式中求出，再將和點代入即可；
（2）通過觀察圖象即可得到本題答案．
【詳解】（1）解：由題意知：
將代入得：，求得，
∴反比例函數解析式為：，
再將代入中得：，
∴，
再將，代入中得，
解得：，
∴一次函數解析式為；
（2）解：∵兩函數交于，，
∴由圖象可得，當，即時，．
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