資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
九上科學3.4第一課時簡單機械之杠桿
一.知識歸納
（一）杠桿
1. 杠桿：如果一根硬棒在力的作用下能夠繞著固定點轉動，這一根硬棒就叫做杠桿。
2. 杠桿五要素：支點（O）、動力（F1）、阻力（F2）、動力臂（L1）、阻力臂（L2）
①支點：硬棒繞著轉動的固定點。
②力的作用線：力所在的直線。
③力臂：支點到力的作用線的距離。
蹺蹺板 用硬棒撬動石頭
（二）杠桿平衡
杠桿平衡：若杠桿處于靜止或勻速轉動狀態，我們就稱杠桿處于平衡狀態；即杠桿平衡
杠桿平衡條件：動力×動力臂=阻力×阻力臂 F1L1=F2L2
（三）杠桿的分類
力臂關系 力的大小關系 杠桿類型 工作特點 實例
省力杠桿 省力費距離 老虎鉗、開瓶器、指甲刀
費力杠桿 費力省距離 筷子、鑷子、釣魚竿、劃槳
等臂杠桿 不省力也不費距離 托盤天平
（四）最小力
1. 最小力：通過對杠桿施加一個力，讓杠桿處于平衡狀態，當動力臂最大時力最小。
2. 最小力解題步驟：①正確的尋找支點（O）。
②在杠桿上找到距離支點最遠的點，記為A。
③連接OA，過A點作OA的垂線即為力的作用線，A為F１的作用點。
④通過判斷其他力使杠桿轉動方向來確認F１的方向。（保留作圖痕跡）
⑤如題目有要求，需利用杠桿平衡條件進行計算。
二.課堂練習
題型一.杠桿概念及分類
1.如圖甲是《天工開物》中的舂米工具圖，如圖是其結構示意圖，請在圖乙中畫出舂米工具腳踏板上的動力F1的力臂L1及A點所受阻力F2的示意圖。
2如圖所示輕質杠桿AOBC可繞O點轉動，OA之間掛一重物，請作出使杠桿平衡的最小力F1和阻力F2的示意圖。
3.在勞動實踐活動中，李雷同學用鋤頭除草，如圖甲所示，向上揮動鋤頭時鋤頭可簡化為圖乙所示的模型（O點為支點），請你在圖乙中畫出F2的力臂l2。
4.如圖，請畫出提起物體A的最小力F的示意圖及其力臂l。
5.如圖所示，在杠桿AOB的A端掛一重物G，要使杠桿在如圖所示的位置平衡，請畫出在杠桿上施加的最小動力F1與力臂L1及阻力F2的示意圖。
6.如圖所示，OAB為一可繞O點自由轉動的輕質杠桿，OA垂直于AB，在OA中點C處掛一質量為1kg的物塊，要求在端點B處施加一個最小的力F，使杠桿在圖示位置平衡，請畫出這個最小的力及它的力臂。
7.如圖，O是輕杠桿OA的支點，A為動力作用點。請在圖中畫出動力的力臂L1及阻力F2的示意圖。
8.2023年5月7日上午，臨沂市第十三屆全民健身運動會開幕式暨第七屆萬人健步行活動在五洲湖廣場正式開啟，人們打著旗子、喊著口號在整潔的城市道路上闊步向前，感受臨沂的蝶變。”下列生活用具，與旗桿屬于同一類杠桿的是（　　）
A．剪子 B．起子
C．鉗子 D．鑷子
題型二.杠桿計算
例1.如圖所示，某同學在做俯臥撐運動，可將他視為一個杠桿。他的中心在A點，重力為500N。
（1）該同學將身體撐起，雙手對地面的壓力至少為 N；
（2）若每個手掌與地面的接觸面積約為2.0×10﹣3m2，則雙手對地面的壓強為 Pa；
（3）若該同學在1min內做了30個俯臥撐，每次肩部上升的距離均為0.4m，則她的功率至少為 W。
例2.桿秤是運用不等臂杠桿的特點制作的，是測量物體質量的工具。如圖所示，若秤砣質量為0.75kg，OB是OA的4倍，該秤最多能稱量 g的物體（不計秤桿、秤鉤的質量），若桿秤的秤砣磨掉一些，則秤得物體的質量比物體真實質量 （選填“偏大”、“偏小”或“不變”）。若提紐向A端移動一小段距離，重新標出刻度，發現桿秤的稱量范圍 （選填“變大”、“變小”或“不變”）。
例3.如圖所示，杠桿AB放在鋼制圓柱體的正中央水平凹槽CD中，杠桿AB能以凹槽兩端的C點或D點為支點在豎直平面內轉動，長度AC＝CD＝DB，左端重物G＝12N。當作用在B點豎直向下的拉力F足夠大時，杠桿容易繞 （選填“C”或“D”）點翻轉，為使杠桿AB保持水平位置平衡，拉力的最小值F1＝ N，最大值F2＝ N。（杠桿、細繩的質量及摩擦均忽略不計）
例4.如圖所示，高0.8m、重1100N的均勻圓柱形木柱M，截面半徑為0.3m，將它豎直放在水平地面上時，木柱對地面的壓力與地面對它的支持力是一對 力；若要使木柱的a點離開地面，至少需要 N的力。
變式訓練1.如圖所示，想用最小的力將重為G＝500N，半徑為r＝0.5m的輪子滾上高為h＝20cm的臺階。這個最小力F＝ N，并且至少需要做 J的功，才能將輪子滾上臺階。
變式訓練2.研學實踐活動時，小明在農家樂看到一種農具（如圖甲），他查閱資料后知道，這種農具叫“舂”，農民搗谷用的，其工作原理圖如圖乙，AOB為碓桿，O為支點，A處連接著碓頭，腳踏碓桿的B處可使碓頭升高，抬起腳，碓頭會落下去擊打稻谷，若碓頭的重力為40N，每踩一次碓頭上升的高度為60cm，AO長1.6m，OB長0.4m。
（1）不計碓桿的重力和摩擦，腳至少用多大的力才可以將碓頭抬起？
（2）每踩一次對碓頭做的功是多少？
（3）若1min將B踩下30次，舂的機械效率為60%，則人做功的功率是多大？
變式訓練3.骨路、肌肉和關節構成了人體的運動系統，最基本的運動都是肌肉牽引骨胳繞關節轉動產生的，其模型就是杠桿。如圖所示是踮腳時的示意圖，人體的重力為阻力，小腿肌肉施加的拉力為動力。重600N的小明在1min內完成30個雙腳同時踮起動作，每次踮腳過程中腳跟離開地面的高度是8cm。求：
（1）小腿肌肉對每只腳的拉力；
（2）小明踮腳過程中踮腳一次所做的功至少多大，功率為多大。
變式訓練4.如圖所示是一款輕質懸掛式晾衣桿，OA為晾衣桿，AB為懸線，已知懸線能承受的最大拉力為20N，在懸線拉力F1作用下，晾衣桿保持水平平衡。已知OA＝1m，OC＝0.5m，在C點懸掛衣物的質量為2kg。求：
（1）懸掛衣物的掛鉤對杠桿的作用力FC。
（2）懸線拉力F1的大小。
變式訓練5.小華利用質量為7.9kg的正方體鐵塊，自制了如圖的健身器材來鍛煉身體。小華用細繩系在輕桿（輕桿重力不計）的O點，將輕桿水平懸掛起來。在輕桿A端懸掛鐵塊，然后在B端施加豎直向下的拉力。已知AO長1.5m，OB長0.5m，鐵的密度，g取10N/kg，不計連接處的摩擦。求：
（1）若把鐵塊從地面提起，小華至少要施加多大的拉力？
（2）若輕桿A端對鐵塊拉力為零，則此時鐵塊對地面的壓強多大？
變式訓練6.如圖所示為一拉桿旅行箱的示意圖將其視為杠桿，O為支點，B為重心，BC為豎直方向，A為拉桿端點已知箱重為250N，OA為120cm，OC為24cm。
（1）圖中在A點沿圖示方向施加動力F，箱子靜止則動力F的大小為多少N。
（2）使拉桿箱在圖示位置靜止的最小動力為多少N。
題型三.杠桿的動態分析
例1.如圖所示的杠桿，正處于水平平衡，若將杠桿左邊的鉤碼向右移動一段距離L，為使杠桿恢復平衡，應將右邊鉤碼（　　）
A．向右移動L B．向左移動L
C．向右移動大于L的距離 D．向左移動大于L的距離
例2.一均勻木板AB，B端固定在墻壁的轉軸上，木板可在豎直面內轉動，木板下墊有長方形木塊C，恰好使木塊水平放置，如圖所示。現有水平力F由A向B緩慢勻速推動，在推動過程中，推力F將（　　）
A．大小不變 B．逐漸增大
C．逐漸減小 D．先增加后減小
例3.如圖所示是古代護城河上的一座吊橋。設吊橋的重力對轉軸O的力臂為L1，繩子拉吊橋的力為F，拉力F對轉軸O的力臂為L2。如果繩重、摩擦及風的阻力不計。那么在守橋士兵將吊橋由水平位置緩慢拉至圖中虛線豎直位置的過程中，下列說法正確的是（　　）
A．L1不變，L2增大，F減小
B．L1減小，L2增大，F減小
C．L1減小，L2不變，F不變
D．L1增大、L2減小、F增大
例4.如圖所示，O為輕質硬直杠桿OA的支點，在杠桿的A點懸掛著一個重物G，在B點施加一個方向始終與杠桿成a角度的動力F，使杠桿從豎直位置勻速轉動到水平位置的過程中，下列表述正確的是（　　）
A．動力F始終在變大 B．動力F先變大再變小
C．杠桿始終為省力杠桿 D．杠桿始終為費力杠桿
例5.等臂杠桿兩端各懸掛一質量相等的實心銅球和鐵球，杠桿保持平衡，如圖所示，若將兩球同時浸入水中，杠桿將（　　）
A．銅球上升 B．鐵球上升 C．仍平衡 D．無法確定
變式訓練1.如圖所示，一根質地均勻的木桿可繞O點自由轉動，在木桿的右端施加一個始終垂直于桿的作用力F，使桿從OA位置勻速轉到OB位置的過程中，力F的大小將（　　）
A．一直是變大的 B．一直是變小的
C．先變大，后變小 D．先變小，后變大
變式訓練2.為解決停車難的問題，設計了圖甲所示的“路邊空中綠化存車亭”，其工作原理如圖乙，電動機通過鋼絲繩FG牽引OF桿繞O點轉動，F端懸掛存車架E。E從水平地面緩慢上升到乙圖所示位置（此時FG⊥OF）的過程中，鋼絲繩對F點的拉力（　　）
A．逐漸變小 B．逐漸變大
C．保持不變 D．先變大后變小
變式訓練3.如圖所示，輕質杠桿一端固定在墻上O點，另一端懸掛重為80N的物體，在水平拉力F1的作用下，杠桿在a位置保持靜止狀態，F1的力臂為L1；保持拉力風向不變，杠桿從a位置旋轉到b位置再次靜止，水平拉力為F2，F2的力臂為L2。下列分析正確的是（　　）
A．L1＜L2
B．F1＜F2
C．當θ＝45°時，拉力F大小為40N
D．在b位置靜止，將物體向左移，拉力F不變
變式訓練4.如圖輕桿（不計杠桿重力），O為支點，物重為30N，OA：AB＝1：2，在豎直向上的拉力作用下始終保持平衡狀態。下列說法，正確的是（　　）
A．圖甲位置，僅增加物重，則拉力變化量與物重變化量之比為3：1
B．圖甲位置時，拉力大小為15N
C．該杠桿與鑷子類型相同
D．如圖乙保持拉力方向不變，將輕桿勻速提到虛線位置，拉力不變
變式訓練5.如圖所示，甲、乙兩個物體的體積相等，甲的質量是乙質量的2倍，現杠桿處于水平平衡狀態。若將甲、乙二物體同時浸沒在水中，則杠桿將（　　）
A．左端下沉 B．右端下沉
C．仍然保持水平狀態 D．無法確定
變式訓練5.如圖，輕質杠桿兩端分別懸掛著同種材料制成的大小不同的兩個實心金屬球a、b，此時杠桿處于平衡狀態；為繼續保持杠桿平衡，下列措施中可行的是（　　）
A．同時將兩個金屬球浸沒在水中
B．左邊浸沒在水中，右邊浸沒在酒精中
C．左邊浸沒在酒精中，右邊浸沒在水中
D．將支點適當向右移動后，都浸沒在水中
題型四.杠桿綜合計算（難）
例1.如圖所示，一根輕質杠桿可以繞O點轉動，AO：BO＝3：2。A點處用細線掛著一個重50N的圓柱體甲，細線在B點懸掛一個重9N，邊長為10cm的正方體乙，此時杠桿在水平位置平衡。乙下方放置一個底面積為200cm2的圓柱形容器（足夠高），容器內裝有足夠多的水，乙的下表面剛好和水面接觸，下列說法正確的是（　　）
A．此時甲對地面的壓力為40N
B．若將乙的懸掛點右移，則甲對地面的壓強變大
C．若剪斷細線，乙物體靜止時水對容器底部的壓強增加500Pa
D．若剪斷細線，乙物體靜止時其下表面到容器底的距離減小4.5cm
例2.如圖所示，容器足夠高，輕質杠桿在水平位置平衡，杠桿的C點懸掛有重為20N、邊長為10cm正方體A，物體A剛好有露出水面，D點懸掛物體B，杠桿支點為O，OC：OD＝1：2下列說法正確的是（　　）
A．物體A所受浮力為6N
B．物體B所受的重力為10N
C．若切掉物體A浸入水中部分，向左移動D點，杠桿能保持平衡
D．若剪斷物體A上方的細線，待A靜止時，水對容器底的壓力將變大4N
變式訓練1.如圖所示，AOB為輕質杠桿，O為支點。正方體C的邊長為20cm，密度，正方體D的邊長為10cm，A、B兩點與正方體C、D均用輕質細桿連接。初始時刻杠桿在水平位置平衡，D靜止于水面上方某點，此時C對水平地面的壓強為p＝1×103Pa，若將正方體D浸沒在水中（未接觸到容器底），杠桿仍在水平位置平衡時，C對水平地面的壓強增大了1000Pa，則下列說法正確的是（　　）
A．AO：OB＝1：5
B．物體C的質量為200kg
C．物體D的重力為50N
D．D浸入水中前，要使C對地面的壓強為零，應對物體D施加一個10N豎直向下的力
變式訓練2.現有一根形變不計、長為L的鐵條AB和兩根橫截面積相同、長度分別為La、Lb的鋁條a、b，將鋁條a疊在鐵條AB上，并使它們的右端對齊，然后把它們放置在三角形支架O上，AB水平平衡，此時OB的距離恰好為La，如圖所示。取下鋁條a后，將鋁條b按上述操作方法使鐵條AB再次水平平衡，此時OB的距離為Lx．下列判斷正確的是（　　）
A．若La＜Lb＜L，則La＜Lx＜成立
B．若La＜Lb＜L，則Lx＞成立
C．若Lb＜La，＜Lx＜La成立
D．若Lb＜La，則Lx＜成立
變式訓練3.如圖所示是物理科技小組設計的鍛煉力量的簡易健身器材，重力不計的輕質杠桿AB可繞固定點O無摩擦轉動，OA長0.6m。現用不可伸長的輕繩將底面積為100cm2的長方體M掛在杠桿的B端，當在A點施加豎直向下的拉力F為360N時，杠桿B端所受繩子的拉力為180N，此時杠桿處于水平平衡狀態，且M對地面的壓強為7000Pa。求：
（1）OB長為多少m；
（2）物體M的質量為多少kg；
（3）物理科技小組的同學保持F的大小不變，將F的作用點從A點向O點移動30cm，同時將M沿豎直方向切去，則切之后M穩定時對地面的壓強為多少Pa？
變式訓練4.如圖所示，輕質杠桿AB可繞O點轉動，OA與OB的長度之比為OA：OB＝4：3，在A、B兩端分別掛有邊長為10cm，質量為2.5kg的完全相同的兩個不吸水正方體C、D，當物體C浸入水中且露出水面的高度為2cm時，杠桿恰好水平靜止，A、B兩端的繩子均不可伸長且均處于張緊狀態。（水的密度為1.0×103kg/m3，g取10N/kg）。求：
（1）物體C密度；
（2）杠桿A端受到繩子的拉力；
（3）如果加水使物體C浸沒后物體D對地面的壓強。
變式訓練5.如圖所示，將質量為50kg底面積為100cm2的勻質圓柱體甲放在水平地面上，輕繩的一端系于圓柱體甲上表面的中央，另一端拉著杠桿的A點。當把質量為27kg、底面積為100cm2的實心圓柱體乙懸掛在杠桿的B端并浸沒在盛水的圓柱形容器M中，杠桿恰好在水平位置平衡，甲物體對地面的壓力為0。已知圓柱形容器M的底面積為200cm2，容器中的水深h＝30cm，物體乙的上表面與水面相平，AO＝15cm，OB＝30cm，AC＝5cm；不計杠桿的質量，求：
（1）水對容器底部的壓強；
（2）物體乙受到的浮力；
（3）物體乙的高度；
（4）保持杠桿右邊細線的懸掛點B不動，將杠桿左邊細線懸掛點從A移動到C后，打開出水口的閥門，容器M中的水以100cm3/s 的速度勻速流出，則10s后甲對地面的壓強是多少？
變式訓練6.巴蜀中學初2020屆同學設計了一款如圖甲所示的力學裝置，杠桿OAB始終在水平位置保持平衡，O為杠桿的支點，OB＝3OA，豎直細桿a的上端通過力傳感器連在天花板上，下端連在杠桿的A點，豎直細桿b的兩端分別與杠桿和物體M固定，水箱的質量為0.8kg，不計杠桿、細桿及連接處的重力。當圖甲所示的水箱中裝滿水時，水的質量為3kg。力傳感器可以顯示出細桿a的上端受到作用力的大小，圖乙是力傳感器的示數大小隨水箱中水的質量變化的圖象：
（1）圖甲所示的水箱裝滿水時，水受到的重力為多少N；
（2）物體M的密度為kg/m3；
（3）當向水箱中加入質量為1kg的水時，力傳感器的示數大小為F；繼續向水箱中加水，則當力傳感器的示數大小變為4F時，水箱對桌面的壓力為多少N？
三.課后作業
1.有一質量分布不均勻的木條，質量為2.4kg，長度為AB，C為木條上的點，AC＝AB．現將兩臺完全相同的托盤天平甲、乙放在水平地面上，再將此木條支放在兩秤上，B端支放在乙秤上，C點支放在甲秤上，此時甲秤的示數是0.8kg，如圖所示。則欲使乙秤的示數變為0，應將甲秤向右移動的距離是（支放木條的支架重不計）（　　）
A．AB B．AB C．AB D．AB
2.如圖所示，輕質杠桿兩端懸掛同種材料制成的大小不同的金屬球時，杠桿平衡。若把它們同時浸入水中杠桿仍然平衡，則（　　）
A．兩球都是實心的
B．大球實心，小球空心
C．大球空心，小球實心
D．兩球都空心，且空心部分體積相同
3.如圖所示，小王站在水平地面上，將長為0.6米，質量可忽略不計的木棒擱在肩上，支點O距離后端A處為0.2米，A處掛一個重40N的物體，他用手豎直壓住前端B處使木棒保持水平平衡。若小王的質量為50kg，雙腳與地面的總接觸面積約為400cm2，下列說法正確的是（　　）
A．手對木棒的壓力大小為40N
B．肩對木棒的支持力大小為80N
C．地面對人的支持力大小為560N
D．人對地面的壓強大小約為1.35×104Pa
4.俯臥撐是一項常見的健身項目，如圖是運動員在水平地面上做俯臥撐保持靜止時的情景，她的身體與地面平行，地面對腳的力作用在O點，對手的力作用在B點，身體的重心在A點。已知運動員的體重為600N，地面對手的力F1與身體垂直，則F1的大小為（　　）
A．200N B．450N C．600N D．1800N
5.如圖，在學校科技節活動中，質量為M的小華騎著一輛質量為m的獨輪車，以速度v從A點勻速通過一重為G的水平獨木橋，獨木橋的兩端由兩根豎直支柱支撐著。圖中能表示B端支柱所受壓力F與時間t的關系是（　　）
A． B． C． D．
6.小紅和小華用一只彈簧測力計，一根長度為1m、質量為2kg，粗細均勻、質量均勻分布的圓柱形螺紋鋼AB，一只金屬筐，制成了如圖所示的機械裝置，制作時，她將金屬框系于螺紋鋼的B端，當懸掛螺紋鋼的鋼索在螺紋鋼上的懸吊點移到O點時，螺紋鋼在水平位置平衡，測得OB＝4cm，則金屬筐的質量為 kg，稱重時將重物放入金屬框，用測力計豎直向下拉住螺紋鋼的A端，使之再次在水平位置平衡。此時彈簧測力計示數為20N，則重物的質量是 kg。（g取10N/kg）
7.建設中的常泰大橋為斜拉索公路、鐵路兩用大橋，如圖為小華制作的斜拉索大橋模型，她用長30cm，重5N的質地均勻分布的木條OA做橋面，立柱GH做橋塔，OA可繞O點轉動，A端用細線與GH上的B點相連，橋面OA實質是一種 （填簡單機械名稱），保持橋面水平，細線對OA的拉力F＝ N；將細線一端的固定點由B點改至C點，拉力F將 ，（選填“變大、變小或不變”）由此小華初步了解到大橋建造很高橋塔的好處。
8.桿秤是我國古老且至今仍在使用的一種衡量工具，如圖的桿秤可視為杠桿，提紐處為支點O，若不計桿和秤盤自重，當在秤盤處放置被稱物體后處于平衡狀態，已知AO＝2cm，OB＝20cm，秤砣的重力為10N。求：
（1）秤砣的質量；
（2）被稱物體的重力；
（3）若這桿秤所稱量物體的最大重力為200N，求這桿秤OC至少多長。
9.停車場入口處常用橫桿來控制車輛的進出，如圖甲所示。我們可以把該裝置簡化成如圖乙所示的杠桿，若橫桿AB粗細相同，質量分布均勻，重60N，AB＝3.0m，A0＝0.3m。
（1）要使橫桿AB保持水平平衡，則在A端施加最小動力大小是多少？
（2）在實際使用時橫桿靠電機帶動，車輛出入時，可以在6秒內將橫桿豎起，若設備的效率為80%，則電機對橫桿做功的功率為多少？
10.如圖甲是《天工開物》里記載的一種搗谷的舂（讀作chōng），可將舂看作是一杠桿。若碓（讀作duì）頭質量為20kg，不計橫木的重力和轉動摩擦，搗谷人雙手與扶手之間的作用力為零（g取10N/kg）。求：
（1）碓頭的重力；
（2）碓頭豎直下落0.5m，重力對它做的功；
（3）質量為72kg的搗谷人，左腳與地面的接觸面積為200cm2，當他用右腳在B點用力F踩橫木使其剛好轉動，如圖乙所示，已知OA：OB＝3：2，求搗谷人左腳對地面的壓強。
11.如圖所示，杠桿可繞支點O在豎直平面內轉動，且物體A懸掛在C端，靜止在水平地面上的正方體B懸掛在D端，此時杠桿在水平位置平衡。已知：GA＝35N，GB＝100N，OC＝2OD，正方體B的邊長為0.1m。杠桿、懸線的質量不計。
求：（1）杠桿D端受到懸線的拉力。
（2）正方體B對地面的壓強。
12.汽車起重機在吊起重物時，必須要綜合考慮重物所受的重力、吊臂的長度及仰角等因素，以確定起吊設備和起吊方式，避免發生地面塌陷或吊臂斷裂等生產事故，確保吊重作業的安全和高效運行。如圖所示的起重機自重為3×105N，吊臂的長度可以在10m﹣30m之間變化，動力系統A允許提供的動力與動力臂的乘積（稱為起重機的力矩）最大值為1.2×106N m，可以吊起距吊臂支點O水平距離3m﹣20m范圍內的重物，其工作時與水平地面的總接觸面積為2m2。（不計吊臂重、滑輪重和繩重）
（1）汽車起重機將重達25t的貨物豎直提升10m，這個過程中起重機對貨物做功是多少。
（2）該起重機在最大力矩工作時，允許吊起重物所受重力的范圍。
（3）該起重機在最大力矩工作時，水平地面受到的最大壓強。
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九上科學3.4第一課時簡單機械之杠桿
一.知識歸納
（一）杠桿
1. 杠桿：如果一根硬棒在力的作用下能夠繞著固定點轉動，這一根硬棒就叫做杠桿。
2. 杠桿五要素：支點（O）、動力（F1）、阻力（F2）、動力臂（L1）、阻力臂（L2）
①支點：硬棒繞著轉動的固定點。
②力的作用線：力所在的直線。
③力臂：支點到力的作用線的距離。
蹺蹺板 用硬棒撬動石頭
（二）杠桿平衡
杠桿平衡：若杠桿處于靜止或勻速轉動狀態，我們就稱杠桿處于平衡狀態；即杠桿平衡
杠桿平衡條件：動力×動力臂=阻力×阻力臂 F1L1=F2L2
（三）杠桿的分類
力臂關系 力的大小關系 杠桿類型 工作特點 實例
省力杠桿 省力費距離 老虎鉗、開瓶器、指甲刀
費力杠桿 費力省距離 筷子、鑷子、釣魚竿、劃槳
等臂杠桿 不省力也不費距離 托盤天平
（四）最小力
1. 最小力：通過對杠桿施加一個力，讓杠桿處于平衡狀態，當動力臂最大時力最小。
2. 最小力解題步驟：①正確的尋找支點（O）。
②在杠桿上找到距離支點最遠的點，記為A。
③連接OA，過A點作OA的垂線即為力的作用線，A為F１的作用點。
④通過判斷其他力使杠桿轉動方向來確認F１的方向。（保留作圖痕跡）
⑤如題目有要求，需利用杠桿平衡條件進行計算。
二.課堂練習
題型一.杠桿概念及分類
1.如圖甲是《天工開物》中的舂米工具圖，如圖是其結構示意圖，請在圖乙中畫出舂米工具腳踏板上的動力F1的力臂L1及A點所受阻力F2的示意圖。
【分析】（1）力臂的畫法：①首先根據杠桿的示意圖，確定杠桿的支點；②確定力的作用點和力的方向，畫出力的作用線；③從支點向力的作用線作垂線，支點到垂足的距離就是力臂；
（2）先確定阻力作用點（即A點），然后過阻力作用點表示阻力的方向（即豎直向下）。
【解答】解：從支點O向動力F1的作用線作垂線段，垂線段的長即為其力臂L1；
動力F的作用是使杠桿沿逆時針方向轉動，而阻力F2的作用是阻礙其轉動，所以F2的方向與F1相反，即豎直向下，作用點在A點，如圖所示：
2如圖所示輕質杠桿AOBC可繞O點轉動，OA之間掛一重物，請作出使杠桿平衡的最小力F1和阻力F2的示意圖。
【分析】（1）根據杠桿平衡條件，在阻力和阻力臂一定時，動力臂越長越省力，當動力臂最長時動力最小。
（2）阻力F2是重物對杠桿的拉力，作用點在杠桿上，方向豎直向下。
【解答】解：根據杠桿平衡的條件可知，力臂越長越省力，由圖知OA作為動力臂最長，所以過A點作OA的垂線，方向垂直OA向上；
阻力F2是重物對杠桿的拉力，作用點在杠桿上，過阻力的作用點沿豎直向下的方向畫出阻力F2的示意圖。如圖所示：
3.在勞動實踐活動中，李雷同學用鋤頭除草，如圖甲所示，向上揮動鋤頭時鋤頭可簡化為圖乙所示的模型（O點為支點），請你在圖乙中畫出F2的力臂l2。
【分析】畫杠桿的力臂：①找支點O、力作用線；②從支點作到力作用線的垂線，畫上直角符號且用虛線表示垂線；③用大括號括住垂線段，標上力臂符號。
【解答】畫F2的力臂l2步驟：①支點O，用虛線反向延長力F2的作用線；②用虛線從支點O作到力F2作用線的垂線，畫上直角符號；③用大括號括住垂線段，標上力臂l2的符號；
畫出F2的力臂l2，如圖所示：
4.如圖，請畫出提起物體A的最小力F的示意圖及其力臂l。
【分析】根據杠桿平衡的條件，在杠桿中的阻力、阻力臂一定的情況下，要使所用的動力最小，必須使動力臂最長。
【解答】解：連接OA就是最長的動力臂，根據杠桿平衡的條件，要使杠桿平衡動力方向向上，據此可畫出最小的動力；如圖所示：
5.如圖所示，在杠桿AOB的A端掛一重物G，要使杠桿在如圖所示的位置平衡，請畫出在杠桿上施加的最小動力F1與力臂L1及阻力F2的示意圖。
【分析】（1）根據杠桿平衡的條件可知，在杠桿中的阻力、阻力臂一定的情況下，要使所用的動力最小，必須使動力臂最長。而在通常情況下，連接杠桿中支點和動力作用點這兩點所得到的線段最長；
（2）重物對杠桿的拉力即為阻力，方向豎直向下。
【解答】解：杠桿在圖示位置平衡，阻力G與阻力臂OA一定，由杠桿平衡條件可知，在阻力與阻力臂一定時，動力臂越大，動力越小，由圖示可知，OB為最大動力臂，此時動力最小，過B點作垂直于OB向下的動力F1即可；
重物對杠桿的拉力即為阻力，過A點作豎直向下的力即為阻力F2，如圖所示：
。
6.如圖所示，OAB為一可繞O點自由轉動的輕質杠桿，OA垂直于AB，在OA中點C處掛一質量為1kg的物塊，要求在端點B處施加一個最小的力F，使杠桿在圖示位置平衡，請畫出這個最小的力及它的力臂。
【分析】根據杠桿的平衡條件可知，在阻力、阻力臂一定時，動力臂越大，動力越小，根據杠桿的平衡條件求出最小的動力的大小。
【解答】解：在B點施加一個力最小的力，則力臂應最大，阻力和阻力臂大小不變，當OB作為力臂時，動力臂是最大的，動力最小，過B點作OB斜向上的最小動力，如下所示：
。
7.如圖，O是輕杠桿OA的支點，A為動力作用點。請在圖中畫出動力的力臂L1及阻力F2的示意圖。
【分析】過阻力作用點表示阻力的方向（即豎直向下），得出阻力示意圖；由支點向動力作用線作垂線，標出L1。
【解答】解：阻力F2作用點在點B，方向豎直向下；定滑輪改變力的方向，所以動力作用點為A點，動力臂為支點O到動力F作用線的距離，標出L1，如圖所示：
8.2023年5月7日上午，臨沂市第十三屆全民健身運動會開幕式暨第七屆萬人健步行活動在五洲湖廣場正式開啟，人們打著旗子、喊著口號在整潔的城市道路上闊步向前，感受臨沂的蝶變。”下列生活用具，與旗桿屬于同一類杠桿的是（　　）
A．剪子 B．起子
C．鉗子 D．鑷子
【分析】結合圖片和生活經驗，判斷各個工具在使用過程中，動力臂和阻力臂的大小關系，再判斷它是屬于哪種類型的杠桿
【解答】解：活動現場打的旗子是費力但是省距離的費力杠桿，剪子，起子，鉗子都是省力杠桿，鑷子是費力杠桿。故ABC不符合題意，D符合題意。
故選：D。
題型二.杠桿計算
例1.如圖所示，某同學在做俯臥撐運動，可將他視為一個杠桿。他的中心在A點，重力為500N。
（1）該同學將身體撐起，雙手對地面的壓力至少為 　300　N；
（2）若每個手掌與地面的接觸面積約為2.0×10﹣3m2，則雙手對地面的壓強為 　7.5×104　Pa；
（3）若該同學在1min內做了30個俯臥撐，每次肩部上升的距離均為0.4m，則她的功率至少為 　60　W。
【分析】（1）根據杠桿的平衡條件F1l1＝F2l2代入題目中的力和力臂可得Gl1＝F支l2；然后可求支持力，再根據相互作用力的知識可求壓力；
（2）根據壓強公式計算雙手對地面的壓強；
（3）根據W＝Fs計算支持力做功，再根據功率的公式可求功率。
【解答】解：（1）由杠桿的平衡條件F1l1＝F2l2得Gl1＝F支l2，代入數據可得500N×0.9m＝F支×（0.9m+0.6m），解方程可得F支＝300N；
由于力的作用是相互的，故雙手對地面的壓力等于支持力，即F壓＝F支＝300N；
（2）每個手掌與地面的接觸面積約為2.0×10﹣3m2，則雙手對地面的壓強為p＝＝＝7.5×104Pa；
（3）每次肩部上升的距離為0.4m，支持力做功為：W＝F支s＝300N×0.4m＝120J，
在1min內做的功為：W總＝30W＝30×120J＝3600J，
功率為：P＝＝＝60W；
故答案為：（1）300；（2）7.5×104；（3）60。
例2.桿秤是運用不等臂杠桿的特點制作的，是測量物體質量的工具。如圖所示，若秤砣質量為0.75kg，OB是OA的4倍，該秤最多能稱量 　3000　g的物體（不計秤桿、秤鉤的質量），若桿秤的秤砣磨掉一些，則秤得物體的質量比物體真實質量 　偏大　（選填“偏大”、“偏小”或“不變”）。若提紐向A端移動一小段距離，重新標出刻度，發現桿秤的稱量范圍 　變大　（選填“變大”、“變小”或“不變”）。
【分析】（1）桿秤利用的是杠桿的平衡條件，通過力臂的大小關系得出物體重和秤砣重之間的關系，進而得出物體的質量與秤砣的質量之間的關系，測量的是物體的質量；
（2）若秤砣有缺損時，左邊的力和力臂不變，右邊的力減小，根據杠桿的平衡條件知道右邊的力臂增大，即：桿秤所示的質量值要大于被測物的真實質量值。
（3）根據杠桿平衡條件結合力臂變化分析。
【解答】解：如圖，桿秤是杠桿，平衡時，G1LOA＝G2LOB，
即：m1gLOA＝m2gLOB，因為OB是OA的4倍，則m1＝4m2＝4×0.75kg＝3kg＝3000g；
若桿秤的秤砣磨掉一些，m2減小，而G1LOA不變，所以LOB要變大，
桿秤所示的質量值要偏大。左側力臂減小，右側力臂變大，秤砣重力不變時，物體的重力變大，則桿秤的稱量范圍變大。
故答案為：3000；偏大；變大。
例3.如圖所示，杠桿AB放在鋼制圓柱體的正中央水平凹槽CD中，杠桿AB能以凹槽兩端的C點或D點為支點在豎直平面內轉動，長度AC＝CD＝DB，左端重物G＝12N。當作用在B點豎直向下的拉力F足夠大時，杠桿容易繞 　D　（選填“C”或“D”）點翻轉，為使杠桿AB保持水平位置平衡，拉力的最小值F1＝　6　N，最大值F2＝　24　N。（杠桿、細繩的質量及摩擦均忽略不計）
【分析】（1）當作用在B點豎直向下的拉力F足夠大時，杠桿將以點D為支點轉動；
（2）當以C點為支點時拉力最小，以D點為支點時拉力最大，根據AC＝CD＝DB分別求出動力臂與阻力臂的比值，然后利用杠桿平衡條件計算拉力的最小值和最大值。
【解答】解：（1）由圖可知，D點更加靠近拉力一端，故當作用在B點豎直向下的拉力F足夠大時，杠桿容易繞D點翻轉；
（2）當以C點為支點時拉力最小，以D點為支點時拉力最大，
則根據杠桿平衡條件可得：
F1×BC＝G×AC，F2×BD＝G×AD，
因為AC＝CD＝DB，
所以BC：AC＝2：1，BD：AD＝1：2，
可得：F1×2＝12N×1，F2×1＝12N×2，
解得，F1＝6N，F2＝24N。
故答案為：D；6；24。
例4.如圖所示，高0.8m、重1100N的均勻圓柱形木柱M，截面半徑為0.3m，將它豎直放在水平地面上時，木柱對地面的壓力與地面對它的支持力是一對 　相互作用　力；若要使木柱的a點離開地面，至少需要 　330　N的力。
【分析】（1）一對相互作用力的條件是：大小相等、方向相反、作用在同一直線上、作用在兩個物體上；
（2）要做出杠桿中的最小動力，可以按照以下幾個步驟進行：
①確定杠桿中的支點和動力作用點的位置；
②連接支點與動力作用點，得到最長的線段；
③經過動力作用點做出與該線段垂直的直線；
④根據杠桿平衡原理，確定出使杠桿平衡的動力方向。
【解答】解：（1）豎直放在水平地面上的木柱，對地面的壓力與地面對它的支持力大小相等、方向相反、作用在同一直線上、作用在兩個物體上，是一對相互作用力；
（2）木柱a點離開地面，要使施加的力最小，應讓所施加力的力臂最大，如下圖所示：
此時動力為F，阻力為G＝1100N，
動力臂L1＝＝＝＝1m，
阻力臂L2＝r＝0.3m，
由杠桿的平衡條件可得：FL1＝GL2，
則最小力F＝＝＝330N。
故答案為：相互作用；330。
變式訓練1.如圖所示，想用最小的力將重為G＝500N，半徑為r＝0.5m的輪子滾上高為h＝20cm的臺階。這個最小力F＝　200　N，并且至少需要做 　100　J的功，才能將輪子滾上臺階。
【分析】（1）做出最長動力臂、最小力的示意圖、并做出阻力臂，然后利用杠桿的平衡條件：動力×動力臂＝阻力×阻力臂計算最小動力；
（2）功等于力和距離的乘積，使用機械做的功等于直接對物體做的功，本題中是克服輪子的重力做的功。
【解答】解：（1）如圖所示，做出最長動力臂、最小力的示意圖、并做出阻力臂，
動力臂用L′表示，其長度等于直徑，即L′＝0.5m×2＝1m；
阻力臂用L表示，即為OB長度，A為圓環圓心，線段AB長度等于圓半徑和臺階高度之差，
即AB＝0.5m﹣0.2m＝0.3m，
ΔOAB為直角三角形，根據勾股定理得：
L＝OB＝＝＝0.4m，
由杠桿平衡條件可得：FL′＝GL，
則最小力F＝＝＝200N。
（2）根據功的原理，將這個輪子滾上臺階做的功，等于克服輪子重力做的功，即W＝Gh＝500N×0.2m＝100J。
故答案為：200；100。
變式訓練2.研學實踐活動時，小明在農家樂看到一種農具（如圖甲），他查閱資料后知道，這種農具叫“舂”，農民搗谷用的，其工作原理圖如圖乙，AOB為碓桿，O為支點，A處連接著碓頭，腳踏碓桿的B處可使碓頭升高，抬起腳，碓頭會落下去擊打稻谷，若碓頭的重力為40N，每踩一次碓頭上升的高度為60cm，AO長1.6m，OB長0.4m。
（1）不計碓桿的重力和摩擦，腳至少用多大的力才可以將碓頭抬起？
（2）每踩一次對碓頭做的功是多少？
（3）若1min將B踩下30次，舂的機械效率為60%，則人做功的功率是多大？
【分析】（1）已知碓頭的重力和OA和OB的長度，根據杠桿平衡條件F1L1＝F2L2可求得腳上的壓力；
（2）根據公式W＝Fs求解做功；
（3）先求出30次對碓頭做的功，根據舂的機械效率，可以求出人做的功，再根據公式P＝求人做功的功率。
【解答】解：（1）不計碓桿的重力和摩擦，當腳用力方向垂直于OB向下時，動力臂最長，根據杠桿的平衡條件知，動力最小；由杠桿平衡條件可得：F1×OB＝G×LG；
；
（2）每踩一次對碓頭做的功W＝Gh＝40N×0.6m＝24J；
（3）每踩一次人做的總功
；
人做功的功率
。
答：（1）腳至少用160N的力才可以將碓頭抬起；
（2）每踩一次對碓頭做的功是24J；
（3）人做功的功率是20W。
變式訓練3.骨路、肌肉和關節構成了人體的運動系統，最基本的運動都是肌肉牽引骨胳繞關節轉動產生的，其模型就是杠桿。如圖所示是踮腳時的示意圖，人體的重力為阻力，小腿肌肉施加的拉力為動力。重600N的小明在1min內完成30個雙腳同時踮起動作，每次踮腳過程中腳跟離開地面的高度是8cm。求：
（1）小腿肌肉對每只腳的拉力；
（2）小明踮腳過程中踮腳一次所做的功至少多大，功率為多大。
【分析】（1）由杠桿的平衡條件動力乘以動力臂等于阻力乘以阻力臂，求出小腿對腳的拉力；
（2）踮腳一次所做的功等于小腿肌肉對腳的拉力成乙腳離開地面的高度，功率等于功除以做一次功所用的時間。
【解答】解：（1）每只腳受到的阻力為
由圖知，阻力臂為l2＝8cm＝0.08m
動臂為l1＝8cm+4cm＝12cm＝0.12m
根據杠桿的平衡條件可得
F1×l1＝F2×l2
小腿肌肉對每只腳的拉力為
（2）因每次都是雙腳同時踮起，則小明踮腳過程中踮腳一次所做的功為
W＝2F1h＝400N×0.08m＝32J
小明在1min內完成30個雙腳同時踮起動作，則完成一個雙腳同時踮起動作所用的時間為
踮腳做功的功率為
答：（1）小腿肌肉對腳的拉力為200N；
（2）小明踮腳過程中踮腳一次所做的功為32J，做功功率為16W。
變式訓練4.如圖所示是一款輕質懸掛式晾衣桿，OA為晾衣桿，AB為懸線，已知懸線能承受的最大拉力為20N，在懸線拉力F1作用下，晾衣桿保持水平平衡。已知OA＝1m，OC＝0.5m，在C點懸掛衣物的質量為2kg。求：
（1）懸掛衣物的掛鉤對杠桿的作用力FC。
（2）懸線拉力F1的大小。
【分析】（1）根據G＝mg求出衣物的重力；懸掛衣物的掛鉤對杠桿的作用力等于衣物重力的大小；
（2）力臂是指從支點到力的作用線的垂直距離。畫出F1的力臂，根據直角三角形的知識得出F1力臂的大小，根據杠桿的平衡條件求出懸線拉力F1的大小。
【解答】解：（1）衣物的重力：G＝mg＝2kg×10N/kg＝20N，
懸掛衣物的掛鉤對杠桿的作用力：FC＝G＝20N；
（2）力臂是指從支點到力的作用線的垂直距離。畫出F1的力臂，如下圖所示：
，
由直角三角形的知識可知，拉力F1的力臂：L1＝OA＝×1m＝0.5m，
杠桿水平平衡，則FC的方向與杠桿的垂直，其力臂等于OC的長（如上圖所示），
即LC＝OC＝0.5m，
根據杠桿的平衡條件可得：F1×L1＝FC×LC，即：F1×0.5m＝20N×0.5m，
則：F1＝20N。
答：（1）懸掛衣物的掛鉤對杠桿的作用力FC為20N；
（2）懸線拉力F1的大小為20N。
變式訓練5.小華利用質量為7.9kg的正方體鐵塊，自制了如圖的健身器材來鍛煉身體。小華用細繩系在輕桿（輕桿重力不計）的O點，將輕桿水平懸掛起來。在輕桿A端懸掛鐵塊，然后在B端施加豎直向下的拉力。已知AO長1.5m，OB長0.5m，鐵的密度，g取10N/kg，不計連接處的摩擦。求：
（1）若把鐵塊從地面提起，小華至少要施加多大的拉力？
（2）若輕桿A端對鐵塊拉力為零，則此時鐵塊對地面的壓強多大？
【分析】（1）根據G鐵＝mg求重力；根據杠桿處于平衡狀態，得G鐵×OA＝FB×OB，據此分析；
（2）根據物體對地面的壓強p＝求結果。
【解答】解：（1）鐵塊的重力
G＝mg＝7.9kg×10N/kg＝79N
已知AO長1.5m，OB長0.5m，根據杠桿平衡條件可得
G×OA＝F×OB
即
79N×1.5m＝F×0.5m
解得
F＝237N
（2）鐵塊的體積
則正方體鐵塊的邊長為：0.1m，底面積為S＝0.01m2，此時鐵塊對地面的壓強
答：（1）若把鐵塊從地面提起，小華至少要施加237N的拉力；
（2）若輕桿A端對鐵塊拉力為零，則此時鐵塊對地面的壓強為7900Pa。
變式訓練6.如圖所示為一拉桿旅行箱的示意圖將其視為杠桿，O為支點，B為重心，BC為豎直方向，A為拉桿端點已知箱重為250N，OA為120cm，OC為24cm。
（1）圖中在A點沿圖示方向施加動力F，箱子靜止則動力F的大小為多少N。
（2）使拉桿箱在圖示位置靜止的最小動力為多少N。
【分析】（1）畫出F 的力臂，在直角三角形中30°所對的直角邊是斜邊的一半求出力臂。然后根據杠桿平衡條件求出F大小；
（2）要求最小的力一定找到最大的力臂，最大的力臂是連接支點和作用點做力臂。根據杠桿平衡條件求出最小力。
【解答】解：（1）如圖，延長F畫出力的作用線AM，然后過支點作力的作用線的垂線段ON，則F的力臂就是ON，
在Rt△ANO中，∠NAO＝30°，
所以ON＝AO＝×120cm＝60cm；
B為重心，BC為豎直方向，則圖中OC為阻力臂，
由杠桿平衡條件可得：F×ON＝G×OC，
即F×60cm＝250N×24cm，
解得F＝100N；
（2）F如紅色方向時，動力臂最長為OA，動力最小，
。
由杠桿平衡條件可得：F'×OA＝G×OC，
即F'×120cm＝250N×24cm，
解得F'＝50N。
故答案為：（1）圖中在A點沿圖示方向施加動力F，箱子靜止則動力F的大小為100N；
（2）使拉桿箱在圖示位置靜止的最小動力為50N。
題型三.杠桿的動態分析
例1.如圖所示的杠桿，正處于水平平衡，若將杠桿左邊的鉤碼向右移動一段距離L，為使杠桿恢復平衡，應將右邊鉤碼（　　）
A．向右移動L
B．向左移動L
C．向右移動大于L的距離
D．向左移動大于L的距離
【分析】根據杠桿平衡條件，使杠桿兩邊的力和力臂的乘積相等，比較出移動距離的大小。
【解答】解：設一個鉤碼的重為G，左邊鉤碼到支點的距離為2l，
因為杠桿正處于水平平衡，
所以由杠桿平衡條件可得3G×2l＝2G×l右，
解得l右＝3l，即右邊鉤碼到支點的距離為3l；
若將杠桿左邊的鉤碼向右移動一段距離L，則杠桿的左邊＝3G×（2l﹣L）；
因為左邊鉤碼向右移動，所以右邊的鉤碼應該向左移動才能平衡，
設右邊移動的距離為L′，則杠桿的右邊＝2G×（3l﹣L′）；
為使杠桿恢復平衡，即3G×（2l﹣L）＝2G×（3l﹣L′），
解得L′＝L，即向左移動大于L的距離，故D正確。
故選：D。
例2.一均勻木板AB，B端固定在墻壁的轉軸上，木板可在豎直面內轉動，木板下墊有長方形木塊C，恰好使木塊水平放置，如圖所示。現有水平力F由A向B緩慢勻速推動，在推動過程中，推力F將（　　）
A．大小不變 B．逐漸增大
C．逐漸減小 D．先增加后減小
【分析】以桿為研究對象，桿受重力G和C對它的支持力F支，由杠桿平衡條件知F支 L支＝G LG．在C逐漸向右推移的過程中，根據支持力對軸B的力臂l逐漸減小，可知F支的變化。由此可知，C和木板間、C和地面間的摩擦力逐漸增大，然后再由平衡條件知，水平推力F的變化。
【解答】解：
以桿為研究對象，桿受重力G和C對它的支持力F支，兩力臂如圖所示：
根據杠桿平衡條件可得：F支 L支＝G LG，
水平力F由A向B緩慢勻速推動木塊，F支的力臂在減小，重力G及其力臂LG均不變，
所以根據杠桿平衡條件可知，在整個過程中支持力在逐漸增大；
由于支持力逐漸變大，且力的作用是相互的，所以可知桿對物體C的壓力也逐漸變大，
根據影響摩擦力大小的因素可知，C和木板間、C和地面間的摩擦力逐漸增大，由力的平衡條件知，水平推力F也逐漸增大，故B正確。
故選：B。
例3.如圖所示是古代護城河上的一座吊橋。設吊橋的重力對轉軸O的力臂為L1，繩子拉吊橋的力為F，拉力F對轉軸O的力臂為L2。如果繩重、摩擦及風的阻力不計。那么在守橋士兵將吊橋由水平位置緩慢拉至圖中虛線豎直位置的過程中，下列說法正確的是（　　）
A．L1不變，L2增大，F減小
B．L1減小，L2增大，F減小
C．L1減小，L2不變，F不變
D．L1增大、L2減小、F增大
【分析】解答本題需根據杠桿平衡條件，重點是要分析吊橋在被緩慢拉起的過程中，動力臂和阻力臂的變化情況，根據動力臂和阻力臂變化情況就可以判斷出拉力的變化情況了。
【解答】解：如圖所示：繩子對吊橋的拉力F是杠桿的動力，吊橋的重力G是杠桿的阻力；
支點到拉力作用線的距離（垂直線段）是動力臂L2，支點到重力作用線的距離是阻力臂L1。
吊橋在緩慢拉起的過程中，動力臂L2是在逐漸增大（在拉到繩子與吊橋垂直之前），阻力臂L1是在逐漸減小。
根據杠桿平衡條件得FL2＝GL1，因為重力G不變，L2增大，L1減小，所以F減小。
故選：B。
例4.如圖所示，O為輕質硬直杠桿OA的支點，在杠桿的A點懸掛著一個重物G，在B點施加一個方向始終與杠桿成a角度的動力F，使杠桿從豎直位置勻速轉動到水平位置的過程中，下列表述正確的是（　　）
A．動力F始終在變大 B．動力F先變大再變小
C．杠桿始終為省力杠桿 D．杠桿始終為費力杠桿
【分析】作出動力的力臂OC，根據杠桿的平衡條件分析。
【解答】解：杠桿的支點為O，作出動力的力臂OC，如下圖1所示：輕質硬直杠桿不計其重力，故阻力為G；在B點施加一個方向始終與杠桿成a角度的動力F，故動力臂OC＝cosα×OB，保持不變，在桿從豎直位置勻速轉動到水平位置的過程中，阻力臂l2變化為范圍為0﹣OA，如圖2、3所示：
根據杠桿的平衡條件Fl1＝Gl2，即F×OC＝Gl2，
動力F＝，
因動力臂OC不變，阻力臂在逐漸變大，動力F始終在變大，A正確，B錯誤；
因阻力臂l2變化為范圍為0﹣OA，當動力臂OC大于阻力臂時，為省力杠桿；
當動力臂OC小于阻力臂時，為費力杠桿；故CD錯誤。
故選：A。
例5.等臂杠桿兩端各懸掛一質量相等的實心銅球和鐵球，杠桿保持平衡，如圖所示，若將兩球同時浸入水中，杠桿將（　　）
A．銅球上升 B．鐵球上升 C．仍平衡 D．無法確定
【分析】原來杠桿處于平衡狀態，兩端的力相等、力臂相等，兩邊的力和力臂的乘積相等；
把兩端的銅球和鐵球同時浸沒水中，先由密度公式比較二者的體積大小，得出二者受到水的浮力關系，進而得出杠桿兩端受到拉力的大小關系，判斷杠桿的變化。
【解答】解：原來質量相等的實心銅球和鐵球分別掛在等臂杠桿的兩端，杠桿平衡；
因為銅的密度大于鐵的密度，所以銅球的體積小于鐵球的體積，根據阿基米德原理可知在水中銅球受浮力小于鐵球受浮力，則銅球端對杠桿的拉力要大于鐵球的拉力，又因為是等臂杠桿，所以杠桿鐵球那端上升。
故選：B。
變式訓練1.如圖所示，一根質地均勻的木桿可繞O點自由轉動，在木桿的右端施加一個始終垂直于桿的作用力F，使桿從OA位置勻速轉到OB位置的過程中，力F的大小將（　　）
A．一直是變大的 B．一直是變小的
C．先變大，后變小 D．先變小，后變大
【分析】從支點向力的作用線作垂線，垂線段的長度即力臂。根據杠桿平衡條件F1L1＝F2L2分析，力F作用在杠桿一端且始終與杠桿垂直，即動力臂不變，然后分析阻力與阻力臂的關系，并得出正確結果。
【解答】解：根據杠桿平衡條件F1L1＝F2L2分析，將杠桿緩慢地由最初位置拉到水平位置時，動力臂不變，阻力為杠桿的重力，也不變，阻力力臂變大，所以動力變大。
當杠桿從水平位置拉到最終位置時，動力臂不變，阻力不變，阻力臂變小，所以動力變小。
故F先變大，后變小。
故選：C。
變式訓練2.為解決停車難的問題，設計了圖甲所示的“路邊空中綠化存車亭”，其工作原理如圖乙，電動機通過鋼絲繩FG牽引OF桿繞O點轉動，F端懸掛存車架E。E從水平地面緩慢上升到乙圖所示位置（此時FG⊥OF）的過程中，鋼絲繩對F點的拉力（　　）
A．逐漸變小 B．逐漸變大
C．保持不變 D．先變大后變小
【分析】OF桿在提升過程，車對桿子的拉力力臂越來越小，而GF拉力的力臂逐漸增大，當拉力垂直于桿子時，拉力的力臂最大，據此分析。
【解答】解：E從水平地面緩慢上升到乙圖所示位置，箱子向下的拉力大小不變，但支點到阻力的作用線的距離，即阻力臂減小，通時GF越來越靠近垂直的位置，而拉力垂直于桿子時，拉力的力臂最大，說明動力臂變大，根據杠桿平衡條件F1L1＝F2L2 知，動力逐漸減小。
故選：A。
變式訓練3.如圖所示，輕質杠桿一端固定在墻上O點，另一端懸掛重為80N的物體，在水平拉力F1的作用下，杠桿在a位置保持靜止狀態，F1的力臂為L1；保持拉力風向不變，杠桿從a位置旋轉到b位置再次靜止，水平拉力為F2，F2的力臂為L2。下列分析正確的是（　　）
A．L1＜L2
B．F1＜F2
C．當θ＝45°時，拉力F大小為40N
D．在b位置靜止，將物體向左移，拉力F不變
【分析】（1）根據圖中比較兩次動力臂的大小；
（2）根據杠桿平衡條件分析；
（3）當θ＝45°時，動力臂等于阻力臂，據此解答；
（4）在b位置靜止，將物體向左移，分析阻力臂變化，得出動力的變化。
【解答】解：A、根據力臂是從支點到動力作用線的距離知，動力臂是從O豎直向上的線段，故第一次動力臂大，L1＞L2，故A錯誤；
B、下移過程中，動力臂減小，阻力保持不變，而阻力臂變大，故動力變大，則第二次的動力大，故B正確；
C、當θ＝45°時，動力臂等于阻力臂，根據杠桿平衡條件知，動力等于阻力為80N，故C錯誤；
D、在b位置靜止，將物體向左移，動力臂不變，阻力臂變小，阻力不變，故動力減小，拉力F減小，故D錯誤。
故選：B。
變式訓練4.如圖輕桿（不計杠桿重力），O為支點，物重為30N，OA：AB＝1：2，在豎直向上的拉力作用下始終保持平衡狀態。下列說法，正確的是（　　）
A．圖甲位置，僅增加物重，則拉力變化量與物重變化量之比為3：1
B．圖甲位置時，拉力大小為15N
C．該杠桿與鑷子類型相同
D．如圖乙保持拉力方向不變，將輕桿勻速提到虛線位置，拉力不變
【分析】（1）利用杠桿平衡的條件表示出拉力變化量與物重變化量的關系，從而進行判斷；
（2）根據杠桿平衡條件可求出拉力的大小；
（3）先判斷圖中杠桿在使用過程中，動力臂和阻力臂的大小關系，再判斷它是屬于哪種類型的杠桿；而鑷子使用時，動力臂小于阻力臂，是費力杠桿；
（4）如圖乙保持拉力方向不變，將輕桿勻速提到虛線位置，畫出動力和阻力的作用線，找出動力臂的阻力臂，利用三角形的相似關系，確定動力臂和阻力臂的關系，再利用杠桿平衡條件分析拉力F的大小變化情況。
【解答】解：
A、圖甲位置時，原來杠桿平衡，則有F×OB＝G×OA﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①，
若僅增加物重，杠桿再次平衡時，有（F+ΔF）×OB＝（G+ΔG）×OA﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②，
②﹣①可得：ΔF×OB＝ΔG×OA，
所以，＝＝，即拉力的變化量與物重的變化量之比為1：3，故A錯誤；
B、已知物重為30N，圖甲位置時，OA：AB＝1：2，且動力臂為OB，阻力臂為OA；
由杠桿平衡條件可得：F×OB＝G×OA，
則拉力：F＝＝＝10N，故B錯誤；
C、根據圖甲可知，動力臂大于阻力臂，因此該杠桿為省力杠桿；而鑷子使用時，動力臂小于阻力臂，是費力杠桿，因此它們的類型不同，故C錯誤；
D、如圖乙，保持拉力方向不變，將輕桿勻速提到虛線位置，其力臂如圖所示：
OB′為動力臂，OA′為阻力臂，阻力不變為G，
因為ΔOA′A∽ΔOB′B，所以OA′：OB′＝OA：OB＝1：3，
由杠桿平衡條件可得F′×OB′＝G×OA′，
則F′＝＝＝10N；
由此可知保持拉力方向不變，將輕桿勻速提到虛線位置，拉力大小不變，故D正確。
故選：D。
變式訓練5.如圖所示，甲、乙兩個物體的體積相等，甲的質量是乙質量的2倍，現杠桿處于水平平衡狀態。若將甲、乙二物體同時浸沒在水中，則杠桿將（　　）
A．左端下沉 B．右端下沉
C．仍然保持水平狀態 D．無法確定
【分析】（1）知道甲、乙兩物體質量關系可得重力關系，根據杠桿的平衡條件，可得兩邊力臂大小關系；
（2）甲、乙兩個物體體積相同，都浸沒水中后，受到的浮力相同，力與力臂的乘積都減小，減小值小的那端杠桿將下降。
【解答】解：
（1）∵G＝mg，m甲＝2m乙，
∴G甲＝2G乙，
由杠桿平衡條件可知，G甲L甲＝G乙L乙，
∴L甲＝L乙，
（2）∵甲、乙兩個物體體積相同，
∴排開水的體積相同，
∴兩物體受到水的浮力相同，
可知甲減小的浮力與力臂的乘積小，所以杠桿不再平衡，甲所在一側將下降，即左端下降。
故選：A。
變式訓練5.如圖，輕質杠桿兩端分別懸掛著同種材料制成的大小不同的兩個實心金屬球a、b，此時杠桿處于平衡狀態；為繼續保持杠桿平衡，下列措施中可行的是（　　）
A．同時將兩個金屬球浸沒在水中
B．左邊浸沒在水中，右邊浸沒在酒精中
C．左邊浸沒在酒精中，右邊浸沒在水中
D．將支點適當向右移動后，都浸沒在水中
【分析】關鍵是根據杠桿的平衡條件F1L1＝F2L2，以及浮力公式F浮＝ρ液gV排，分別計算出兩金屬球沒在液體中后杠桿兩端力和力臂的乘積。
【解答】解：如圖所示：
杠桿兩端分別掛上體積不同的兩個球時，杠桿在水平位置平衡。
因為杠桿的平衡，所以ρV左g×OA＝ρV右g×OB，
化簡后可得：V左×OA＝V右×OB，
若將兩球同時浸沒在酒精或水中，則：
左端＝（ρV左g﹣ρ液V左g）×OA＝ρV左g×OA﹣ρ液V左g×OA
右端＝（ρV右g﹣ρ液V右g）×OB＝ρV右g×OB﹣ρ液V右g×OB
又因為V左×OA＝V右×OB，所以ρ液V左g×OA＝ρ液V右g×OB，
則ρV左g×OA﹣ρ液V左g×OA＝ρV右g×OB﹣ρ液V右g×OB，
因此杠桿仍然平衡，故A正確，D錯誤；
若將兩球同時浸沒在不同液體中，則：
左端＝（ρV左g﹣ρ液V左g）×OA＝ρV左g×OA﹣ρ液1V左g×OA
右端＝（ρV右g﹣ρ液V右g）×OB＝ρV右g×OB﹣ρ液2V右g×OB
又因為V左×OA＝V右×OB，所以ρ液1V左g×OA≠ρ液2V右g×OB，
則ρV左g×OA﹣ρ液1V左g×OA≠ρV右g×OB﹣ρ液2V右g×OB，
因此杠桿不能平衡，故BC錯誤。
故選：A。
題型四.杠桿綜合計算（難）
例1.如圖所示，一根輕質杠桿可以繞O點轉動，AO：BO＝3：2。A點處用細線掛著一個重50N的圓柱體甲，細線在B點懸掛一個重9N，邊長為10cm的正方體乙，此時杠桿在水平位置平衡。乙下方放置一個底面積為200cm2的圓柱形容器（足夠高），容器內裝有足夠多的水，乙的下表面剛好和水面接觸，下列說法正確的是（　　）
A．此時甲對地面的壓力為40N
B．若將乙的懸掛點右移，則甲對地面的壓強變大
C．若剪斷細線，乙物體靜止時水對容器底部的壓強增加500Pa
D．若剪斷細線，乙物體靜止時其下表面到容器底的距離減小4.5cm
【分析】（1）對甲、乙兩物體進行受力分析。
（2）結合杠桿平衡條件，判斷甲、乙兩物體所受各個力的大小。
（3）根據阿基米德原來判剪斷細線后，乙物體靜止時在容器中的浮沉情況，并由此判斷此時水對容器底的壓強等相關物理量的變化。
【解答】解：
A、對杠桿在水平位置平衡時甲、乙兩物體受力分析，受力示意圖如下圖所示：
根據二力平衡條件知：F2＝G乙＝9N；
根據杠桿平衡條件知：3F1＝2F2，所以
根據平衡條件知：G甲＝F1+F支，所以F支＝G甲﹣F1＝50N﹣6N＝44N
甲對地面的壓力與F支是一對相互作用力，大小相等，所以甲對地面的壓力為44N，故A錯誤；
B、若將乙的懸掛點右移，則BO增大，又因：F1×AO＝F2×BO；F2、AO不變；所以F1增大；
又因：F支＝G甲﹣F1，所以F支減小，即甲對地面的壓力減小；
另甲對地面的受力面積不變，根據壓強公式知：甲對地面的壓強變小，故B錯誤；
C、剪短細線后，乙物體會落入圓柱形容器中，假設靜止后乙物體浸沒，則此時它所受的浮力為：
F浮＝ρ液gV排＝1.0×103kg/m3×10N/kg×（0.1m）3＝10N，
F浮＞G物，所以假設不成立，即剪斷細線后，乙物體靜止時應漂浮在水面上，此時它所受到的浮力等于它的重力9N。
根據阿基米德原理知：此時
容器中水面升高的深度為：
則乙物體靜止時水對容器底部的增加壓強為：
p＝ρ液gh＝1×103kg/m3×10N/kg×4.5×10 2m＝450Pa，故C錯誤；
D、乙物體漂浮在容器中時，浸沒深度為：，
又知：剪斷前，乙的下表面剛好和水面接觸；剪斷后，水面升高深度為4.5cm。
所以剪斷細線后，乙物體靜止時其下表面到容器底的距離減小為：9cm﹣4.5cm＝4.5cm，故D正確。
故選：D。
例2.如圖所示，容器足夠高，輕質杠桿在水平位置平衡，杠桿的C點懸掛有重為20N、邊長為10cm正方體A，物體A剛好有露出水面，D點懸掛物體B，杠桿支點為O，OC：OD＝1：2下列說法正確的是（　　）
A．物體A所受浮力為6N
B．物體B所受的重力為10N
C．若切掉物體A浸入水中部分，向左移動D點，杠桿能保持平衡
D．若剪斷物體A上方的細線，待A靜止時，水對容器底的壓力將變大4N
【分析】（1）利用阿基米德原理求得物體A所受浮力；
（2）結合受力情況求得杠桿的C點受到的拉力，根據杠桿平衡條件求得B的重力；
（3）拉力變小，力臂OC不變，根據杠桿平衡條件分析；
（4）若剪斷物體A上方的細線，待A靜止時，利用阿基米德原理求得A浸沒在水中受到的浮力，水對容器底的壓力變化量等于浮力的變化量。
【解答】解：A．物體A的體積
物體A剛好有露出水面，則物體A排開水的體積
利用阿基米德原理可知物體A所受浮力
故A錯誤；
B．杠桿的C點受到的拉力
FC＝GA﹣F浮＝20N﹣4N＝16N
根據杠桿平衡條件有
FC×OC＝GB×OD
B的重力
故B錯誤；
C．若切掉物體A浸入水中部分，杠桿的C點受到的拉力為
拉力變小，力臂OC不變，根據杠桿平衡條件，向左移動D點，使右側力臂減小，杠桿能保持平衡，故C正確；
D．若剪斷物體A上方的細線，待A靜止時，利用阿基米德原理可知A浸沒在水中受到的浮力
水對容器底的壓力變化量等于浮力的變化量
ΔF壓＝F浮'﹣F浮＝10N﹣4N＝6N
水對容器底的壓力將變大6N，故D錯誤。
故選：C。
變式訓練1.如圖所示，AOB為輕質杠桿，O為支點。正方體C的邊長為20cm，密度，正方體D的邊長為10cm，A、B兩點與正方體C、D均用輕質細桿連接。初始時刻杠桿在水平位置平衡，D靜止于水面上方某點，此時C對水平地面的壓強為p＝1×103Pa，若將正方體D浸沒在水中（未接觸到容器底），杠桿仍在水平位置平衡時，C對水平地面的壓強增大了1000Pa，則下列說法正確的是（　　）
A．AO：OB＝1：5
B．物體C的質量為200kg
C．物體D的重力為50N
D．D浸入水中前，要使C對地面的壓強為零，應對物體D施加一個10N豎直向下的力
【分析】利用題中正方體C的條件得到正方體C的重力，進而由杠桿平衡條件列出式子，再利用正方體D的體積得到排開水的重力，進而由杠桿平衡條件列出式子，聯立可得正方體D的重力。若物體D不浸入液體，要使物體C對地面的壓強為零，由杠桿平衡的條件可得相應式子。
【解答】解：B、正方體C的質量為mc＝ρ1Vc＝2.5kg/dm3×2×2×2dm3＝20kg，故B錯誤；
AC、正方體C的重力Gc＝mcg＝20kg×10N/kg＝200N，
C對地面的壓力FC＝p1Sc＝1000Pa×2×2×10﹣2m2＝40N，
由杠桿平衡條件可得（GC﹣FC）×AO＝GD×OB，①
由題知，物體C對地面的壓強增加值Δp＝1000Pa，
則地面增加的壓力：ΔFC＝ΔpSc＝1000Pa×2×2×10﹣2m2＝40N，
杠桿A端減小的拉力：ΔFA＝ΔFC＝40N，
物體D浸沒在該液體中時A點所受豎直向下的拉力為FA＝GC﹣FC﹣ΔFA＝200N﹣40N﹣40N＝120N；
正方體D的邊長為10cm，體積為V＝1dm3，故排開水的重力為F水＝ρ水gV＝10N，
則FA×AO＝（GD﹣F水）×OB②
聯立①②，可得G＝40N，AO：OB＝1：4，故A，C錯誤；
D、若物體D不浸入液體，要使物體C對地面的壓強為零，由杠桿平衡的條件可得：GC×AO＝（GD+F）×OB，
代入數據可得200N×AO＝（40N+F）×OB，
解方程可得F＝10N，故D正確。
故選：D。
變式訓練2.現有一根形變不計、長為L的鐵條AB和兩根橫截面積相同、長度分別為La、Lb的鋁條a、b，將鋁條a疊在鐵條AB上，并使它們的右端對齊，然后把它們放置在三角形支架O上，AB水平平衡，此時OB的距離恰好為La，如圖所示。取下鋁條a后，將鋁條b按上述操作方法使鐵條AB再次水平平衡，此時OB的距離為Lx．下列判斷正確的是（　　）
A．若La＜Lb＜L，則La＜Lx＜成立
B．若La＜Lb＜L，則Lx＞成立
C．若Lb＜La，＜Lx＜La成立
D．若Lb＜La，則Lx＜成立
【分析】首先把原鐵條和鋁條a看做整體，原來水平平衡時整體的重心位于原支點處。
（1）當鋁塊變長時，將變長部分看成一個增加的物體，然后確定新支點，根據杠桿的平衡條件得出支點移動的方向，從而得出答案；
（2）當鋁塊變短時，將變短部分看做一個減少的物體，然后確定新支點，根據杠桿的平衡條件得出支點移動的方向，從而得出答案。
【解答】解：由題意可知，將鋁條a疊在鐵條AB上，并使它們的右端對齊，然后把它們放置在三角形支架O上，AB水平平衡，此時OB的距離恰好為La，
（1）如下圖所示，若La＜Lb＜L，用鋁條b替換鋁條a就相當于在鋁條a左側放了一段長為Lb﹣La、重為Gb﹣Ga的鋁條，
這一段鋁條的重心距B端的長度為La+＝，
而鐵條AB和鋁條a組成的整體的重心在支架原來的位置，距B端的長度為La，
要使鐵條AB水平平衡，由杠桿的平衡條件F1L1＝F2L2可知，支架O應移到上述兩個重心之間，
即La＜Lx＜，故A正確、B錯誤；
（2）如下圖所示，若Lb＜La，用鋁條b替換鋁條a就相當于從鋁條a左側截掉一段長為La﹣Lb、重為Ga﹣Gb的鋁條，
也相當于距B端Lb+＝處施加一個豎直向上的力，其大小等于Ga﹣Gb，
由杠桿的平衡條件F1L1＝F2L2可知，要使鐵條AB水平平衡，支架O應向A端移動，則Lx＞La，故C錯誤；
由Lb＜La可知，Lx＞La＝＞，故D錯誤。
故選：A。
變式訓練3.如圖所示是物理科技小組設計的鍛煉力量的簡易健身器材，重力不計的輕質杠桿AB可繞固定點O無摩擦轉動，OA長0.6m。現用不可伸長的輕繩將底面積為100cm2的長方體M掛在杠桿的B端，當在A點施加豎直向下的拉力F為360N時，杠桿B端所受繩子的拉力為180N，此時杠桿處于水平平衡狀態，且M對地面的壓強為7000Pa。求：
（1）OB長為多少m；
（2）物體M的質量為多少kg；
（3）物理科技小組的同學保持F的大小不變，將F的作用點從A點向O點移動30cm，同時將M沿豎直方向切去，則切之后M穩定時對地面的壓強為多少Pa？
【分析】（1）杠桿水平平衡時，由杠桿平衡條件動力×動力臂＝阻力×阻力臂可得：FA×0A＝FB×OB，由此可得OB的長度；（2）M靜止時的受力關系為：G＝F支+F，由力的相互作用可知，M受到的支持力大小等于M對地面的壓力大小，由公式p＝求得壓力的大小，最終求得M的重力；
（3）將F的作用點從A點向O點移動30cm，根據杠桿的平衡條件求出此時B端的拉力的大小，對M受力分析，得出地面受到的壓力，根據由公式p＝求得壓強的大小。
【解答】解：（1）由杠桿平衡條件得，F×OA＝FB×OB，則OB＝；
（2）M對地面的壓力F′＝pS＝7000Pa×100×10﹣4m2＝70N，地面對M的支持力為F支＝F′＝70N，杠桿對M的拉力F拉＝FB＝180N，M的重力G＝F拉+F支＝180N+70N＝250N，物體M的質量m＝；
（3）由杠桿平衡條件得，F×（OA﹣0.3m）＝F′B×OB，M對B端的拉力F′B＝，M對B端的拉力FM＝F′B＝90N，將M沿豎直方向切去，其重力G′＝，切之后M穩定時對地面的壓力F壓＝G′﹣FM＝200N﹣90N＝110N，M穩定時對地面的壓強p′＝
答：（1）OB長為1.2m；
（2）物體M的質量為25kg；
（3）物理科技小組的同學保持F的大小不變，將F的作用點從A點向O點移動30cm，同時將M沿豎直方向切去，則切之后M穩定時對地面的壓強為1.375×104Pa。
變式訓練4.如圖所示，輕質杠桿AB可繞O點轉動，OA與OB的長度之比為OA：OB＝4：3，在A、B兩端分別掛有邊長為10cm，質量為2.5kg的完全相同的兩個不吸水正方體C、D，當物體C浸入水中且露出水面的高度為2cm時，杠桿恰好水平靜止，A、B兩端的繩子均不可伸長且均處于張緊狀態。（水的密度為1.0×103kg/m3，g取10N/kg）。求：
（1）物體C密度；
（2）杠桿A端受到繩子的拉力；
（3）如果加水使物體C浸沒后物體D對地面的壓強。
【分析】（1）知道物體的質量，求出正方體的體積，利用密度公式求物體密度；
（2）求出C物體排開水的體積，利用阿基米德原理求受到的浮力，杠桿A端受到繩子的拉力等于重力減去浮力；
（3）根據阿基米德原理計算物體C浸沒后受到的浮力，利用杠桿平衡條件求拉力FB，D物體對地面的壓力等于D的重力減去拉力，再利用壓強公式求出物體D對地面的壓強。
【解答】解：（1）物體C的密度：ρ＝＝＝2.5×103kg/m3；
（2）物體C排開水的體積：V排＝（0.1 m）2×（0.1m﹣0.02m）＝8×10﹣4m3，
其受到的浮力：F浮＝ρ水gV排＝1.0×103kg/m3×10N/kg×8×10﹣4m3＝8N；
杠桿A端受到的拉力：FA＝G﹣F浮＝mg﹣F浮＝2.5kg×10N/kg﹣8N＝17N；
（3）物體C浸沒后受到的浮力：F浮1＝ρ水gV排1＝1.0×103kg/m3×10N/kg×（0.1m）3＝10N，
根據杠桿平衡條件可得FB＝×FA1＝×（G﹣F浮1）＝×（2.5kg×10N/kg﹣10N）＝20N，
物體D對地面的壓力：F壓＝G﹣FB＝2.5kg×10N/kg﹣20N＝5N；
物體D對地面的壓強：p＝＝＝500Pa。
答：（1）物體C密度為2.5×103kg/m3；
（2）杠桿A端受到繩子的拉力為17N；
（3）如果加水使物體C浸沒后物體D對地面的壓強為500Pa。
變式訓練5.如圖所示，將質量為50kg底面積為100cm2的勻質圓柱體甲放在水平地面上，輕繩的一端系于圓柱體甲上表面的中央，另一端拉著杠桿的A點。當把質量為27kg、底面積為100cm2的實心圓柱體乙懸掛在杠桿的B端并浸沒在盛水的圓柱形容器M中，杠桿恰好在水平位置平衡，甲物體對地面的壓力為0。已知圓柱形容器M的底面積為200cm2，容器中的水深h＝30cm，物體乙的上表面與水面相平，AO＝15cm，OB＝30cm，AC＝5cm；不計杠桿的質量，求：
（1）水對容器底部的壓強；
（2）物體乙受到的浮力；
（3）物體乙的高度；
（4）保持杠桿右邊細線的懸掛點B不動，將杠桿左邊細線懸掛點從A移動到C后，打開出水口的閥門，容器M中的水以100cm3/s 的速度勻速流出，則10s后甲對地面的壓強是多少？
【分析】（1）根據液體壓強公式求出水對容器底部的壓強；
（2）根據G＝mg求出甲的重力，根據力的作用是相互的和力的平衡條件求出甲物體對地面的壓力為0時，杠桿A端受到的拉力，根據杠桿平衡條件求出杠桿B端受到的拉力，再根據G＝mg求出乙的重力，對物體乙進行受力分析，根據力的作用是相互的和力的平衡條件可知，物體乙受到的浮力；
（3）根據阿基米德原理求出乙浸沒時排開水的體積，根據體積公式求出乙的高度；
（4）根據題意求出10s內流出的水的體積，根據體積公式求出液面下降的高度，進而求出乙浸在水中的深度，根據體積公式求出此時乙排開水的體積，根據阿基米德原理求出乙受到的浮力，根據力的作用是相互的和力的平衡條件求出杠桿B端受到的拉力，根據杠桿平衡條件求出此時杠桿C端受到的拉力，進而求出甲對地面的壓力，根據壓強定義式求出10s后甲對地面的壓強。
【解答】解：（1）由題意可知水的深度為：h＝30cm＝0.3m，
則由液體壓強公式可得，水對容器底部的壓強為：
p水＝ρ水gh＝1.0×103kg/m3×10N/kg×0.3m＝3×103Pa；
（2）杠桿恰好在水平位置平衡，甲物體對地面的壓力為0，由力的作用是相互的和力的平衡條件可知，此時杠桿A端受到的拉力為：
FA＝G甲＝m甲g＝50kg×10N/kg＝500N，
由題意可知，杠桿恰好在水平位置平衡，設B點處的拉力是FB，由杠桿平衡條件可知：FA OA＝FB OB，則可得：
FB＝＝＝250N，
由重力公式可得，物體乙的重力為：
G乙＝m乙g＝27kg×10N/kg＝270N，
由圖及題意可知，物體乙受到向上的拉力和浮力與豎直向下的重力，根據力的平衡條件可知，物體乙受到的浮力為：
F浮＝G乙﹣FB＝270N﹣250N＝20N；
（3）因為物體乙浸沒在水中，所以，乙物體的體積等于乙排開水的體積，由F浮＝ρ液V排g可知，乙物體的體積為：
V乙＝V排＝＝＝2×10﹣3m3＝2×103cm3，
由V＝Sh可知，物體乙的高度為：
h乙＝＝＝20cm；
（4）由于物體乙的高度是20cm，實心圓柱體乙懸掛在杠桿的B端并浸沒在盛水的圓柱形容器M中，則杠桿恰好在水平位置平衡時，乙的下底面距離容器底的高度是：
h3＝h﹣h乙＝30cm﹣20cm＝10cm，
10s內流出水的體積為：
V流出＝v流t＝100cm3/s×10s＝1×103cm3，
由于圓柱形容器M的底面積為200cm2，所以，流出的水，使容器內水下降的高度為：
Δh＝＝＝10cm＜h乙，
即此時乙浸在容器中的深度是：
h浸＝h乙﹣Δh＝20cm﹣10cm＝10cm，
乙排開水的體積為：
V排'＝S乙h浸＝100cm2×10cm＝1000cm3，
此時乙受到的浮力為：
F浮'＝ρ水gV排'＝1.0×103kg/m3×10N/kg×1000×10﹣6m3＝10N，
由力的作用是相互的和力的平衡條件可知，此時杠桿B端受到的拉力為：
FB'＝G乙﹣F浮'＝270N﹣10N＝260N，
由杠桿的平衡條件可知：FC OC＝FB' OB，
解得：FC＝＝＝390N，
對甲進行受力分析，甲受到向上的拉力及向下的重力，甲靜止時，甲對地面的壓力與地面對它的支持力是相互作用力，所以甲對地面的壓力為：
F壓＝F支＝G甲﹣FC＝500N﹣390N＝110N，
則甲對地面的壓強是：
p′＝＝＝1.1×104Pa。
答：（1）水對容器底部的壓強為3000Pa；
（2）物體乙受到的浮力為20N；
（3）物體乙的高度為20cm；
（4）10s后甲對地面的壓強是1.1×104Pa。
變式訓練6.巴蜀中學初2020屆同學設計了一款如圖甲所示的力學裝置，杠桿OAB始終在水平位置保持平衡，O為杠桿的支點，OB＝3OA，豎直細桿a的上端通過力傳感器連在天花板上，下端連在杠桿的A點，豎直細桿b的兩端分別與杠桿和物體M固定，水箱的質量為0.8kg，不計杠桿、細桿及連接處的重力。當圖甲所示的水箱中裝滿水時，水的質量為3kg。力傳感器可以顯示出細桿a的上端受到作用力的大小，圖乙是力傳感器的示數大小隨水箱中水的質量變化的圖象：
（1）圖甲所示的水箱裝滿水時，水受到的重力為多少N；
（2）物體M的密度為kg/m3；
（3）當向水箱中加入質量為1kg的水時，力傳感器的示數大小為F；繼續向水箱中加水，則當力傳感器的示數大小變為4F時，水箱對桌面的壓力為多少N？
【分析】（1）當圖甲所示的水箱中裝滿水時，水的質量為3kg，根據G＝mg求出水受到的重力；
（2）由圖乙可知，水箱中沒有水時，壓力傳感器受到的拉力，根據杠桿的平衡條件F1L1＝F2L2求出物體M的重力，根據G＝mg求出其質量；水箱中水質量為0～1kg時，壓力傳感器受到的拉力為6N不變，此時M沒有受到浮力作用，即水箱中水質量為1kg時，液面恰在M下表面處；水箱中水質量為1～2kg時，壓力傳感器受到的拉力先變小后變大，變小時，M受到向上浮力作用逐漸變大，M對杠桿OAB的B端有向下的拉力逐漸變小；壓力傳感器受到的拉力為零時，M受到向上浮力等于M重力作用，M對杠桿OAB的作用力為零；繼續加水時，M受到向上浮力逐漸變大，M重力不變，M對杠桿OAB的B端向上的支持力逐漸大，水箱中水質量為2～3kg時，壓力傳感器受到的拉力為24N不變，即B端受到M對杠桿OAB力不再變化，則此時M完全浸入，根據杠桿的平衡條件求出B端的拉力，對M受力分析可知，受到豎直向上的浮力、豎直向下的重力和桿的作用力，據此求出此時M受到的浮力，根據F浮＝ρ液gV排求出M的體積，利用ρ＝求出物體M的密度；
（3）由圖乙可知，加入質量為1kg的水時，力傳感器的示數大小為6N，當加入質量為2kg的水時，力傳感器的示數大小為24N，即為加入質量為1kg的水時力傳感器的示數的4倍；由第二問可知，此時B端受到M對杠桿OAB向上的8N的力，將水箱、加入水箱的水、浮塊整體作為研究對象，杠桿OAB對整體由向下的8N的壓力，據此求出水箱此時對桌面的壓力。
【解答】解：（1）由題意可知，當圖甲所示的水箱中裝滿水時，水的質量為3kg，
則水受到的重力：
G水＝m水g＝3kg×10N/kg＝30N；
（2）由圖乙可知，水箱中沒有水時（m＝0），壓力傳感器受到的拉力F0＝6N，
由杠桿的平衡條件F1L1＝F2L2可得，F0 OA＝GM OB，
則GM＝F0＝×6N＝2N，
物體M的質量：
mM＝＝＝0.2kg，
水箱中水質量為0～1kg時，壓力傳感器受到的拉力為6N不變，此時M沒有受到浮力作用，即水箱中水質量為1kg時，液面恰在M下表面處；
水箱中水質量為1～2kg時，壓力傳感器受到的拉力先變小后變大，變小時，M受到向上浮力作用逐漸變大，M對杠桿OAB的B端有向下的拉力逐漸變小；
壓力傳感器受到的拉力為零時，M受到向上浮力等于M重力作用，M對杠桿OAB的作用力為零；
繼續加水時，M受到向上浮力逐漸變大，M重力不變，M對杠桿OAB的B端向上的支持力逐漸大，
水箱中水質量為2～3kg時，壓力傳感器受到的拉力為24N不變，即B端受到M對杠桿OAB力不再變化，則此時M完全浸入，
由杠桿的平衡條件可得，FA OA＝FB OB，
則FB＝FA＝×24N＝8N，
對M受力分析可知，受到豎直向上的浮力、豎直向下的重力和桿的作用力，
則此時M受到的浮力F浮＝GM+FB＝2N+8N＝10N，
由F浮＝ρ液gV排可得，所以M的體積：
VM＝V排＝＝＝1×10﹣3m3，
物體M的密度：
ρM＝＝＝0.2×103kg/m3；
（3）由圖乙可知，加入質量為1kg的水時，力傳感器的示數大小為6N，
當加入質量為2kg的水時，力傳感器的示數大小為24N，即為加入質量為1kg的水時力傳感器的示數的4倍；
由第二問可知，此時B端受到M對杠桿OAB向上的8N的力，
將水箱、加入水箱的水、浮塊整體作為研究對象，杠桿OAB對整體由向下的8N的壓力，
則水箱此時對桌面的壓力：
F壓＝（m水箱+m水+mM）g+FB″＝（0.8kg+2kg+0.2kg）×10N/kg+8N＝38N。
答：（1）水箱裝滿水時，水受到的重力為30N；
（2）物體M的密度為0.2×103kg/m3；
（3）當向水箱中加入質量為1kg的水時，力傳感器的示數大小為F；則當力傳感器的示數大小變為4F時，水箱對桌面的壓力為38N。
三.課后作業
1.有一質量分布不均勻的木條，質量為2.4kg，長度為AB，C為木條上的點，AC＝AB．現將兩臺完全相同的托盤天平甲、乙放在水平地面上，再將此木條支放在兩秤上，B端支放在乙秤上，C點支放在甲秤上，此時甲秤的示數是0.8kg，如圖所示。則欲使乙秤的示數變為0，應將甲秤向右移動的距離是（支放木條的支架重不計）（　　）
A．AB B．AB C．AB D．AB
【分析】先根據G＝mg求出木條的重力和甲托盤受到的壓力，根據相互作用力可知木條C點受到的支持力；以B點為支點，D為重心，畫出動力和阻力；根據杠桿平衡條件表示出BC和BD的關系，進一步求出重心距離C點的距離。
【解答】解：木條的重力：G＝mg＝2.4kg×10N/kg＝24N；
設木條重心在D點，當C點放在托盤秤甲上，B端放在托盤秤乙上時，以B端為支點，
托盤秤甲的示數是0.8kg，則托盤受到的壓力：F壓＝mCg＝0.8kg×10N/kg＝8N，
根據力的作用是相互的，所以托盤秤對木條C點的支持力為8N，如圖所示：
由杠桿平衡條件有：FC×CB＝G×BD，即：8N×CB＝24N×BD，
所以：CB＝3BD，
因AC＝AB，所以CB＝AB
則BD＝×AB＝AB，
CD＝AB﹣AC﹣BD＝AB﹣AB﹣AB＝AB，
欲使乙秤的示數變為0，需將甲秤移到D點，故向右移動的距離為AB。
故選：B。
2.如圖所示，輕質杠桿兩端懸掛同種材料制成的大小不同的金屬球時，杠桿平衡。若把它們同時浸入水中杠桿仍然平衡，則（　　）
A．兩球都是實心的
B．大球實心，小球空心
C．大球空心，小球實心
D．兩球都空心，且空心部分體積相同
【分析】判斷兩球是空心還是實心，其實就是判斷兩球的密度關系。那么要判斷兩球密度關系，我們需要根據題中條件，利用杠桿平衡條件和阿基米德原理列出兩個等量關系式，然后再結合密度計算公式、重力計算公式進行推導。
【解答】解：設大球的力臂為L大，小球的力臂為L小，大球的密度為ρ大，小球的密度為ρ小。
則兩球在放入水中之前，根據杠桿的平衡條件可知：G大L大＝G小L小，
所以ρ大gV大L大＝ρ小gV小L小，則＝；
當兩球都浸沒在水中時，根據杠桿的平衡條件可知：
（G大﹣F浮大）L大＝（G小﹣F浮小）L小，
由阿基米德原理原理可得：
（ρ大gV大﹣ρ水gV大）L大＝（ρ小gV小﹣ρ水gV小）L小，
則：＝；
綜合前面兩式得出：＝；
由此可得：＝，
所以（ρ大﹣ρ水）ρ小＝（ρ小﹣ρ水）ρ大，
則ρ大ρ小﹣ρ水ρ小＝ρ小ρ大﹣ρ水ρ大，那么ρ水ρ小＝ρ水ρ大，所以ρ小＝ρ大；
A、當兩球都是實心時，兩球的密度才是相等的，故A正確。
B、若大球實心，小球空心，則ρ大＞ρ小，故B錯誤。
C、若大球空心，小球實心，則ρ大＜ρ小，故C錯誤。
D、兩球是實心時，ρ大＝ρ小，即＝；
若兩球都是空心，且空心部分體積相同，則兩球減小的質量都相同，設減小的質量都是m0，而體積還是和原來相同，
所以現在兩個球的密度分別是ρ大′＝＝﹣，ρ小′＝＝﹣，
由于＝，所以＝﹣＞﹣，即ρ大′＞ρ小′，故D錯誤。
故選：A。
3.如圖所示，小王站在水平地面上，將長為0.6米，質量可忽略不計的木棒擱在肩上，支點O距離后端A處為0.2米，A處掛一個重40N的物體，他用手豎直壓住前端B處使木棒保持水平平衡。若小王的質量為50kg，雙腳與地面的總接觸面積約為400cm2，下列說法正確的是（　　）
A．手對木棒的壓力大小為40N
B．肩對木棒的支持力大小為80N
C．地面對人的支持力大小為560N
D．人對地面的壓強大小約為1.35×104Pa
【分析】（1）利用杠桿平衡條件求手壓木棒的壓力；
（2）木棒對肩膀的壓力等于木棒B端受到的拉力與物體重力之和，由于力的作用是相互的，肩對木棒的支持力大小等于木棒對肩膀的壓力；
（3）把人和物體看做一個整體，人對地面的壓力大小等于人的重力加上物體重力；
（4）根據壓強公式得出人對地面的壓強。
【解答】解：A、由杠桿平衡條件可得：F×OB＝G×OA，即：F×0.4m＝40N×0.2m，解得手壓木棒的壓力：F＝20N，故A錯誤；
B、木棒對肩膀的壓力：F壓＝F+G＝20N+40N＝60N，由于力的作用是相互的，所以肩對木棒的支持力大小等于木棒對肩膀的壓力，大小為60N，故B錯誤；
C、人的重力G＝mg＝50kg×10N/kg＝500N，人對地面的壓力大小等于人的重力加上物體的重力，大小為：500N+40N＝540N，故C錯誤；
D、人對地面的壓力大小F＝540N，由公式，故D正確。故選：D
4.俯臥撐是一項常見的健身項目，如圖是運動員在水平地面上做俯臥撐保持靜止時的情景，她的身體與地面平行，地面對腳的力作用在O點，對手的力作用在B點，身體的重心在A點。已知運動員的體重為600N，地面對手的力F1與身體垂直，則F1的大小為（　　）
A．200N B．450N C．600N D．1800N
【分析】根據杠桿平衡可得：F1×OB＝G×OA，據此得出答案。
【解答】解：根據杠桿平衡可得：F1×OB＝G×OA，即＝＝450N，故B正確。
故選B。
5.如圖，在學校科技節活動中，質量為M的小華騎著一輛質量為m的獨輪車，以速度v從A點勻速通過一重為G的水平獨木橋，獨木橋的兩端由兩根豎直支柱支撐著。圖中能表示B端支柱所受壓力F與時間t的關系是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】對獨木橋進行受力分析：支柱對水平獨木橋的支持力為FA、FB，水平獨木橋受到重力為G，獨輪車對獨木橋的壓力（大小等于獨輪車重加上人重），若以A為支點，FB的力臂為L、G的力臂為L、壓力的力臂為vt，根據杠桿平衡條件可得FB與t的關系式，而壓力與支持力是一對相互作用力，大小相等，也就得出B端支柱所受壓力F與時間t的關系式，由此判斷選擇。
【解答】解：重為G、長為L的水平獨木橋的兩端由兩根豎直支柱A、B支撐著，分別對水平獨木橋的支持力為FA、FB，水平獨木橋受到重力為G，
獨輪車對獨木橋的壓力為F＝（m+m人）g，
以A為支點，獨輪車對獨木橋的壓力的力臂為vt，根據杠桿平衡條件：FBL＝G×L+（m+m人）gvt，
則FB＝G+（m+m人）gvt，
壓力與支持力是一對相互作用力，所以B端支柱所受壓力F＝FB＝G+（m+m人）gvt，
由此可知B端支柱所受壓力F與時間t是一條一次函數的圖象（不經過原點）。
故選：C。
6.小紅和小華用一只彈簧測力計，一根長度為1m、質量為2kg，粗細均勻、質量均勻分布的圓柱形螺紋鋼AB，一只金屬筐，制成了如圖所示的機械裝置，制作時，她將金屬框系于螺紋鋼的B端，當懸掛螺紋鋼的鋼索在螺紋鋼上的懸吊點移到O點時，螺紋鋼在水平位置平衡，測得OB＝4cm，則金屬筐的質量為 　23　kg，稱重時將重物放入金屬框，用測力計豎直向下拉住螺紋鋼的A端，使之再次在水平位置平衡。此時彈簧測力計示數為20N，則重物的質量是 　48　kg。（g取10N/kg）
【分析】懸掛螺紋鋼的鋼索在螺紋鋼上的懸吊點移至O點時，螺紋鋼在水平位置平衡，根據杠桿的平衡條件求出金屬筐的質量；
根據彈簧測力計的示數，利用杠桿的平衡條件求出金屬筐和重物的總質量，從而求出重物的質量；
【解答】解：將金屬筐系于螺紋鋼上的B端，當懸掛螺紋鋼的鋼索在螺紋鋼上的懸吊點移至O點時，螺紋鋼在水平位置平衡，測得OB＝4cm；
圓柱形螺紋鋼AB質量分布均勻，則其重心的位置到O點的距離為：L＝﹣4cm＝46cm；
則OA＝100cm﹣4cm＝96cm；
根據杠桿的平衡條件可知：m螺gL＝m筐g×OB，2kg×g×46cm＝m筐×g×4cm，解得：m筐＝23kg；
稱重時，將重物放入金屬筐中，用彈簧測力計豎直向下拉住螺紋鋼的A端，使之再次在水平位置平衡，此時彈簧測力計示數為20N；
根據杠桿的平衡條件可知：F×OA＝m重g×OB，20N×（100cm﹣4cm）＝m重×10N/kg×4cm，解得：m重＝48kg。
故答案為：23；48。
7.建設中的常泰大橋為斜拉索公路、鐵路兩用大橋，如圖為小華制作的斜拉索大橋模型，她用長30cm，重5N的質地均勻分布的木條OA做橋面，立柱GH做橋塔，OA可繞O點轉動，A端用細線與GH上的B點相連，橋面OA實質是一種 　杠桿　（填簡單機械名稱），保持橋面水平，細線對OA的拉力F＝　5　N；將細線一端的固定點由B點改至C點，拉力F將 　變小　，（選填“變大、變小或不變”）由此小華初步了解到大橋建造很高橋塔的好處。
【分析】（1）可以繞固定點轉動的硬棒是杠桿；
（2）力臂是從支點到力的作用線的距離，過支點向力的作用線作垂線，支點到垂足的距離就是力臂；
根據杠桿平衡條件結合數學知識求解；將細線一端的固定點由B點改至C點，動力臂增大，阻力臂和阻力不變，根據杠桿平衡條件進行判斷。
【解答】解：在力的作用下如果能繞著一固定點轉動的硬棒就叫杠桿。OA可繞O點轉動，所以橋面OA實質是杠桿。
OA保持與橋面水平時，此時拉力F為杠桿OA的動力，由于拉力方向與OA成30度角，所以動力臂為OA長的二分之一，阻力為杠桿OA的重力，阻力臂為OA長的二分之一，為等臂杠桿，根據杠桿平衡原理可知，細線對OA的拉力F為5N。
將細線一端的固定點由B點改至C點，動力臂將變大，阻力和阻力臂不變，根據杠桿平衡條件可知，拉力F的大小將變小。
故答案為：杠桿；5；變小。
8.桿秤是我國古老且至今仍在使用的一種衡量工具，如圖的桿秤可視為杠桿，提紐處為支點O，若不計桿和秤盤自重，當在秤盤處放置被稱物體后處于平衡狀態，已知AO＝2cm，OB＝20cm，秤砣的重力為10N。求：
（1）秤砣的質量；
（2）被稱物體的重力；
（3）若這桿秤所稱量物體的最大重力為200N，求這桿秤OC至少多長。
【分析】（1）根據G＝mg求秤砣的質量；
（2）不計桿和秤盤自重，F1的大小等于秤砣的重力，根據杠桿的平衡條件求F2的大小，被稱物體的重力等于F2的大小；
（3）根據杠桿的平衡條件求物重最大時，F1的最大力臂，即OC的長。
【解答】解：（1）秤砣的質量：m砣＝＝＝1kg；
（2）不計桿和秤盤自重，F1＝G砣＝10N，根據杠桿的平衡條件可得，
F1×OB＝F2×OA，即：10N×20cm＝F2×2cm，
解得，F2＝100N，
即被稱物體的重力：G物＝F2＝100N；
（3）根據杠桿的平衡條件可知，物重最大時，F1的力臂最大，此時有：
F1×OC＝F2′×OA，即：10N×OC＝200N×2cm，
解得，桿秤OC的長：OC＝40cm。
答：（1）秤砣的質量為1kg；
（2）被稱物體的重力為100N；
（3）若這桿秤所稱量物體的最大重力為200N，則桿秤OC的長至少為40cm。
9.停車場入口處常用橫桿來控制車輛的進出，如圖甲所示。我們可以把該裝置簡化成如圖乙所示的杠桿，若橫桿AB粗細相同，質量分布均勻，重60N，AB＝3.0m，A0＝0.3m。
（1）要使橫桿AB保持水平平衡，則在A端施加最小動力大小是多少？
（2）在實際使用時橫桿靠電機帶動，車輛出入時，可以在6秒內將橫桿豎起，若設備的效率為80%，則電機對橫桿做功的功率為多少？
【分析】（1）橫桿AB粗細相同、質量分布均勻，所以其重心C在幾何中心上，支點為O，則OA就是動力臂，OC就是阻力臂，再根據杠桿的平衡條件就可以求出動力的大小；
（2）車輛出入時，可以在6秒內將橫桿豎起，根據W有用＝G×OC算出做的有用功，若設備的效率為80%，根據W總＝算出總功，由功率公式算出電機對橫桿做功的功率。
【解答】解：（1）要使橫桿AB保持水平平衡，則在A端施加最小力的方向應該豎直向下的；
橫桿AB粗細相同、質量分布均勻，所以其重心C在幾何中心上，支點為O，則OA就是動力臂，OC就是阻力臂，如下圖所示：
已知AB＝3.0m，AO＝0.3m，則阻力臂OC＝AB﹣OA＝×3.0m﹣0.3m＝1.2m，
由杠桿的平衡條件可得：F×OA＝G×OC，
則F＝＝＝240N；
（2）車輛出入時，可以在6秒內將橫桿豎起，做的有用功為：
W有用＝G×OC＝60N×1.2m＝72J，
若設備的效率為80%，則總功為：
W總＝＝＝90J，
電機對橫桿做功的功率為：
P＝＝＝15W。
答：（1）要使橫桿AB保持水平平衡，則在A端施加最小動力大小是240N；
（2）在實際使用時橫桿靠電機帶動，車輛出入時，可以在6秒內將橫桿豎起，若設備的效率為80%，則電機對橫桿做功的功率為15W。
10.如圖甲是《天工開物》里記載的一種搗谷的舂（讀作chōng），可將舂看作是一杠桿。若碓（讀作duì）頭質量為20kg，不計橫木的重力和轉動摩擦，搗谷人雙手與扶手之間的作用力為零（g取10N/kg）。求：
（1）碓頭的重力；
（2）碓頭豎直下落0.5m，重力對它做的功；
（3）質量為72kg的搗谷人，左腳與地面的接觸面積為200cm2，當他用右腳在B點用力F踩橫木使其剛好轉動，如圖乙所示，已知OA：OB＝3：2，求搗谷人左腳對地面的壓強。
【分析】（1）根據G＝mg計算碓頭的重力；
（2）先根據W＝Gh求出重力做的功；
（3）根據杠桿平衡條件計算搗谷人右腳對橫木的壓力，由力作用的相互性可知右腳受到的支持力；先求出人受到的重力，對人進行受力分析，根據力的平衡條件和力作用的相互性可求出左腳對地面的壓力，根據壓強公式計算左腳對地面的壓強。
【解答】解：（1）碓頭的重力為：G＝mg＝20kg×10N/kg＝200N；
（2）碓頭豎直下落0.5m，重力做的功為：W＝Gh＝200N×0.5m＝100J；
（3）根據杠桿的平衡條件可得F1×OB＝G×OA，
則搗谷人右腳對橫木的壓力為：；
因為力的作用是相互的，則橫木對右腳的支持力F右支＝F1＝300N，
搗谷人的重力為：G人＝m人g＝72kg×10N/kg＝720N，
以搗谷人為研究對象，根據力的平衡條件可得：G人＝F右支+F左支，
則左腳受到地面的支持力：F左支＝G人﹣F右支＝720N﹣300N＝420N，
左腳對地面的壓力和左腳受到地面的支持力是一對相互作用力，大小相等，則：F壓＝F左支＝420N，
左腳對地面的壓強為：。
答：（1）碓頭的重力為200N；
（2）重力對它做的功為100J；
（3）搗谷人左腳對地面的壓強為2.1×104Pa。
11.如圖所示，杠桿可繞支點O在豎直平面內轉動，且物體A懸掛在C端，靜止在水平地面上的正方體B懸掛在D端，此時杠桿在水平位置平衡。已知：GA＝35N，GB＝100N，OC＝2OD，正方體B的邊長為0.1m。杠桿、懸線的質量不計。
求：（1）杠桿D端受到懸線的拉力。
（2）正方體B對地面的壓強。
【分析】（1）杠桿C端所受拉力等于物體A的重力，再利用杠桿平衡條件求出杠桿D端受到的拉力；
（2）正方體B對地面壓力等于B的重力減去繩子對B的拉力，利用p＝求出正方體B對地面的壓強。
【解答】解：（1）由杠桿的平衡條件可得，
GA×OC＝FD×OD，
則杠桿D端受到的拉力：
FD＝＝×35N＝70N；
（2）正方體B對地面壓力：
F＝GB﹣FD＝100N﹣70N＝30N，
受力面積：S＝（0.1m）2＝0.01m2，
正方體B對地面的壓強：
p＝＝＝3000Pa。
答：（1）杠桿D端所受的拉力為70N；
（2）正方體B對地面的壓強為3000Pa。
12.汽車起重機在吊起重物時，必須要綜合考慮重物所受的重力、吊臂的長度及仰角等因素，以確定起吊設備和起吊方式，避免發生地面塌陷或吊臂斷裂等生產事故，確保吊重作業的安全和高效運行。如圖所示的起重機自重為3×105N，吊臂的長度可以在10m﹣30m之間變化，動力系統A允許提供的動力與動力臂的乘積（稱為起重機的力矩）最大值為1.2×106N m，可以吊起距吊臂支點O水平距離3m﹣20m范圍內的重物，其工作時與水平地面的總接觸面積為2m2。（不計吊臂重、滑輪重和繩重）
（1）汽車起重機將重達25t的貨物豎直提升10m，這個過程中起重機對貨物做功是多少。
（2）該起重機在最大力矩工作時，允許吊起重物所受重力的范圍。
（3）該起重機在最大力矩工作時，水平地面受到的最大壓強。
【分析】（1）W＝G貨h，據此得出做功大小；
（2）允許吊起重物的最小重力為G小，根據杠桿平衡可得：F1L1＝G小L2；允許吊起重物的最大重力為G大，根據杠桿平衡可得：F1L1＝G大L2；據此得出范圍；
（3）根據計算最大壓強。
【解答】解：（1）起重機對貨物做功是：W＝G貨h＝25×103kg×10N/kg×10m＝2.5×106J；
（2）允許吊起重物的最小重力為G小，
F1L1＝G小L2；即1.2×106N m＝G小×20m，解得：G小＝6×104N；
允許吊起重物的最大重力為G大，
F1L1＝G大L2；即1.2×106N m＝G大×3m，解得：G大＝4×105N；
故允許吊起重物所受重力的范圍為6×104N～4×105N；
（3）＝＝3.5×105Pa。
答：（1）起重機對貨物做功是2.5×106J；
（2）允許吊起重物所受重力的范圍為6×104N～4×105N；
（3）水平地面受到的最大壓強為3.5×105Pa。
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）

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