資源簡介

1.4.2 用空間向量研究距離、夾角問題
選擇性必修第一冊
一、新知自學
1.異面直線所成的角：一般地，兩條異面直線所成的角，可以轉(zhuǎn)化為兩條異面直線的 的夾角來求得. 若異面直線，所成的角為，其方向向量分別是u，v，則 .
2.直線與平面所成的角：直線與平面所成的角，可以轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面的 的夾角.直線AB與平面相交于點B，設(shè)直線AB與平面所成的角為，直線AB的方向向量為u，平面的法向量為n，則
.
3.二面角：平面與平面相交，形成四個二面角，這四個二面角中不大于
的二面角稱為平面與平面的夾角.若平面，的法向量分別是和，則平面與平面的夾角即為向量和的夾角或其 .設(shè)平面與平面的夾角為，則 .
二、問題思考
1.解決立體幾何中的問題有哪些方法？
2.求解點到平面距離的步驟方法？
三、練習檢測
1.已知正四棱柱的底面邊長為2，側(cè)棱長為4，E為的中點，則點到平面BDE的距離為( )
A. B.2 C. D.
2.已知在空間直角坐標系(O為原點)中，點關(guān)于x軸的對稱點為點B，則z軸與平面OAB所成的線面角為( )
A. B. C. D.
3.（多選）如圖1，在菱形ABCD中，，，沿對角線BD將折起，使點A，C之間的距離為，如圖2，若P，Q分別為直線BD，CA上的動點，則下列說法正確的是( )
A.平面平面BCD
B.當，時，點D到直線PQ的距離為
C.線段PQ的最小值為
D.當P，Q分別為線段BD，CA的中點時，PQ與AD所成角的余弦值為
4.已知菱形ABCD中，，沿對角線AC折疊之后，使得平面平面DAC，則二面角的余弦值為___________.
5.在空間直角坐標系中，定義：平面的一般方程為(，)，點到平面的距離，則在底面邊長與高都為2的正四棱錐中，底面中心O到側(cè)面的距離等于__________.
【答案及解析】
一、新知自學
1.方向向量
2.法向量
3. 補角
二、問題思考
1.（1）綜合法：以邏輯推理作為工具解決問題；
（2）向量法：利用向量的概念及其運算解決問題；
（3）坐標法：利用數(shù)及其運算來解決問題.
2.法一：（1）求出該平面的一個法向量；
（2）找出從該點出發(fā)的平面的任一條斜線段對應(yīng)的向量；
（3）求出法向量與斜線段對應(yīng)向量的數(shù)量積的絕對值，再除以法向量的模，即可求出點到平面的距離
法二：（1）求出該平面的單位法向量；
（2）找出從該點出發(fā)的平面的任一條斜線段對應(yīng)的向量；
（3）求出單位法向量與斜線段對應(yīng)向量的數(shù)量積的絕對值
三、練習檢測
1.答案：D
解析：如圖，以D為原點，，，所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，
則，，，，
所以，，.
設(shè)平面BDE的法向量為，則
令，則，，即.
所以點到平面BDE的距離.故選D.
2.答案：B
解析：因為點關(guān)于x軸的對稱點為，所以，.設(shè)平面OAB的法向量為，則即取，得，，所以是平面OAB的一個法向量.又z軸的一個方向向量.設(shè)z軸與平面OAB所成的線面角為，則，所以.故選B.
3.答案：ACD
解析：取BD的中點O，連接OA，OC，由題意可知，，因為，所以，又，，所以平面BCD，因為平面ABD，所以平面平面BCD，故A正確；
以O(shè)為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，當，時，，，，，所以點D到直線PQ的距離為，故B錯誤；
設(shè)，由，得，則，故，當，時，，故C正確；當P，Q分別為線段BD，CA的中點時，，，，，設(shè)PQ與AD所成的角為，則，即PQ與AD所成角的余弦值為，故D正確.
4.答案：
解析：設(shè)菱形ABCD的邊長為1，取AC的中點O，連接BO，DO，所以，又平面平面DAC，平面平面，所以平面DAC，如圖，建立空間直角坐標系，
則，，，所以，.設(shè)平面BCD的一個法向量為，則令，則，又平面CDA的一個法向量為，所以，由圖可知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.
5.答案：
解析：如圖，以底面中心O為原點建立空間直角坐標系Oxyz，則，，，.設(shè)平面PAB的方程為(，)，分別將A，B，P的坐標代入，得解得，，，所以，即，所以.

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