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專題2.2 切線長定理六大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：利用切線長定理求圓半徑
【經典例題1】如圖，在中，，其內切圓分別與、、相切于點D、E、F，若，，則圓的半徑為（ ）
A．2 B．4 C．5 D．3
【答案】D
【分析】本題考查切線長定理、正方形的判定與性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會利用參數，構建方程解決問題，屬于中考常考題型．根據切線長定理得：，，，先證明四邊形是正方形，再利用勾股定理列方程可得的長，即可求解．
【詳解】解：如圖，設在內切圓圓心為點，連接，
的內切圓分別與、、相切于點、、，
，，，，
，
四邊形是矩形，
，
四邊形是正方形，
，
在中，，
，
解得：（負值舍去，
，
圓的半徑為3，
故選：D．
【變式訓練1-1】如圖，分別與相切于A，B兩點，，則的半徑為 ．
【答案】
【分析】本題考查了切線長定理，切線的性質，三角形全等的判定和性質，特殊角的三角函數，連接，證明，得到，利用三角函數即可求解，由三角形全等得到是解題的關鍵．
【詳解】解：連接，

∵，分別與相切于兩點，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【變式訓練1-2】如圖，四邊形是的外切四邊形，且，，若四邊形的面積等于，則的半徑等于 ．
【答案】
【分析】本題考查了切線的性質，切線長定理，設點為四邊形與的切點，連接，由切線長定理可得，，，，由，可得，進而可得，設，最后根據面積可得，據此即可求解，掌握切線的性質和切線長定理是解題的關鍵．
【詳解】解：設點為四邊形與的切點，連接，則，，，，
由切線長定理得，，，，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
即，
設，
∵四邊形的面積等于，
∴，
即，
∴，
∴，
故答案為：．
【變式訓練1-3】如圖，是的兩條切線，是切點，若，，則的半徑等于 ．
【答案】
【分析】本題考查了切線長定理，切線的性質和直角三角形的性質，根據切線的性質求得，平分，再由直角三角形的性質得，解題的關鍵是熟練掌握知識點的應用．
【詳解】解：∵是的兩條切線，
∴，平分，
∴，，
∴，即的半徑等于，
故答案為：．
【變式訓練1-4】如圖，在中，分別與相切于點，交于點．若，則的半徑為 ．
【答案】
【分析】連接，過點O作于點F．由切線長定理可知，證明四邊形為矩形得，由垂徑定理得，設，則，在和中，由勾股定理可求出，在中，，進而可求出的半徑．
【詳解】解：連接，過點O作于點F．
與相切于點，
，
，
∴四邊形為矩形，
，
∵
．
，
設，則，
在和中，
，
，
．
在中，，
∴，
．
【點睛】本題考查了切線的性質，切線長定理，矩形的判定與性質，勾股定理等知識，正確作出輔助線是解答本題的關鍵．
題型二：利用切線長定理求周長
【經典例題2】如圖，在一張紙片中，，O是它的內切圓．小明用剪刀沿著的切線剪下一塊三角形，則 ADE的周長為（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】本題考查了三角形的內切圓，勾股定理，切線的性質、切線長定理等知識，解決本題的關鍵是掌握切線的性質和切線長定理．
設與相切于點M，切設 ABC的內切圓切三邊于點、、，連接、、，則，設的半徑為r，證得四邊形是正方形，則，根據是的切線，可得，，求出再求出內切圓的半徑，進而可得 ADE的周長．
【詳解】解：如圖，設與相切于點M，切設的內切圓切三邊于點、、，連接、、，則，設的半徑為r，

∴，
∴四邊形是正方形，
∴，
∵是的切線，
∴，
∵，，，
∴
由切線長定理可知，,
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的周長．
故選：B．
【變式訓練2-1】如圖，為⊙O的兩條切線，C，D切⊙O于點E，分別交于點C，D．F為⊙O上的點，連若，則的周長和的度數分別為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了切線長定理、圓周角定理、圓的切線性質等知識點，連接，可得，，；據此即可求解．
【詳解】解：連接，如圖所示：
由切線的性質以及切線長定理得：，，，
∵，
∴
∴；
的周長
故選：D
【變式訓練2-2】如圖，是的切線，D、E為切點，與相切于點F，分別交于點B、C．若 ABC的周長為16，則切線長為（ ）
A．6 B．7 C．8 D．無法確定
【答案】C
【分析】本題主要考查了切線長定理，對于定理的認識，在圖形中找到切線長定理的基本圖形是解決本題的關鍵．利用切線長定理，可以得到：，再根據的周長為16，即可求解．
【詳解】解：∵是的切線，．
∴，
同理，，
三角形的周長．
，
故選：C．
【變式訓練2-3】如圖，，分別是的切線，，為切點，切于，交，于點，，若，則 ABC的周長是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了切線長定理，對于定理的認識，在圖形中找到切線長定理的基本圖形是解決本題的關鍵．
利用切線長定理，可以得到：，據此即可求解．
【詳解】∵，分別是的切線，
∴
同理，．
∴三角形的周長．
故答案為：．
【變式訓練2-4】如圖，分別切⊙于兩點，點為上一點，過點作⊙的切線分別交于兩點，若的周長為10，則切線長等于 ．
【答案】5
【分析】本題考查切線長定理，根據切線長定理可得，，結合的周長，即可求解．
【詳解】解：∵分別切⊙于兩點，
∴
又∵過點作⊙的切線分別交于兩點，
∴
∵的周長為10，
∴
∴，
故答案為：．
【變式訓練2-5】如圖，為外一點，分別切于點，切于點，分別交于點，若，則的周長為 ．
【答案】
【分析】本題考查了切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，關鍵是把的周長轉化為已知切線相關的線段計算．
根據切線長定理得到，，，再根據三角形的周長公式計算即可．
【詳解】解：∵分別切于點，切于點，，
∴，，，
∴的周長，
，
，
，
．
故答案為：．
【變式訓練2-6】如圖，以正方形的邊為直徑作半圓O，過點C作直線切半圓于點F，交邊于點E，若的周長為12，則四邊形周長為 ．
【答案】14
【分析】根據正方形的性質，得到，，推出均為圓O的切線，根據切線長定理，推出，推出正方形的邊長為4，設設，則，，勾股定理求出的值，再根據周長公式進行求解即可．
【詳解】解：∵以正方形的邊為直徑作半圓O，
∴，，，
∴均為圓O的切線，
∵過點C作直線切半圓于點F，交邊于點E，
∴，
∵的周長為12，
∴，
∴，
∴，
設，則，，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，，
∴四邊形周長，
故答案為：14．
【點睛】本題考查了正方形的性質、圓的切線判定、切線長定理、勾股定理等知識點，利用正方形的性質和圓的切線的判定得出均為圓O的切線是解題關鍵．
題型三：利用切線長定理求角度
【經典例題3】如圖，、、是的切線，點、、是切點，分別交、于、兩點，若，則的度數（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查切線的性質、切線長定理和全等三角形的性質，根據切線性質，，可知，再根據為切線可知．
【詳解】解：由題意得，連接、、，
由切線性質得，，，，，，
∴
又，
，，
，，
，
，
，
．
故選：A．
【變式訓練3-1】如圖，AB是的直徑，AC與相切，A為切點，連接BC交于點D．已知，則的度數為 ．
【答案】/50度
【分析】此題考查了切線的性質以及圓周角定理推論．熟練掌握圓的切線垂直于經過切點的半徑，直徑對的圓周角是直角，是解決問題的關鍵．
根據圓切線性質得到，得到，根據直徑性質得到，得到．
【詳解】解：∵與相切，
∴．
又∵，
∴．
∵是的直徑，
∴．
∴．
故答案為：．
【變式訓練3-2】如圖，已知、分別切圓于點、，滿足，且，．則 ．
【答案】/度
【分析】根據已知等式得出，證明垂直平分，進而設，則，根據三角形內角和定理得出，進而得出在以為圓心為半徑的圓上，根據圓周角定理，即可求解．
【詳解】解：∵
∴即
∴
∴
又∵、分別切圓于點、，則
∴
又∵
∴垂直平分
∴
∴
設，則
∵．
∴，
在中，
∴
∴
∵
∴在以為圓心為半徑的圓上，
∴
故答案為：．
【變式訓練3-3】如圖，，是的切線，A，B是切點，若，則 ．
【答案】
【分析】本題考查了切線的性質，切線長定理，根據切線長定理得到平分，根據切線的性質得到，則利用角平分線的定義得到，然后利用互余計算出的度數．
【詳解】解：，是的切線，，為切點，
平分，，
，，
∵，
∴，
∴．
故答案為：．
【變式訓練3-4】如圖，，是的切線，切點為，點在上，若，則 ．
【答案】
【分析】本題考查了圓的內接四邊形的性質，切線長定理，等腰三角形的性質，三角形內角和定理，連接，由圓的內接四邊形的性質可得，進而可得，再根據切線長定理可得，即得，最后根據三角形內角和定理即可求解，正確作出輔助線是解題的關鍵．
【詳解】解：連接，
∵四邊形是的內接四邊形，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，是的切線，切點為，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【變式訓練3-5】已知點是外一點，分別與相切于點．
（1）如圖①，若，則 ；
（2）如圖②，連接，若，則 ；
（3）如圖③，點是優弧上一點，連接，若，則 °．
【答案】 1 56 60
【分析】本題考查了圓的切線的性質，等腰三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，圓周角定理等知識，掌握切線長定理是解題關鍵．
（1）根據切線長定理求解即可；
（2）由切線可知，，，進而得到，再根據三角形內角和定理求解即可；
（3）連接，由切線可知，，得出為等邊三角形，從而得到，再利用圓周角定理求解即可．
【詳解】解：（1）分別與相切于點，，
，
故答案為：1；
（2）分別與相切，
，，
，
，
，
故答案為：56；
（3）如圖，連接，
分別與相切，
，
，
為等邊三角形，
，
，
，
．
故答案為60
題型四：求圓的切線長
【經典例題4】如圖，、分別切⊙O于A、B，，⊙O半徑為2，則的長為 ．
【答案】
【分析】本題考查了切線長定理和勾股定理，解題關鍵是熟記切線長定理，得出，再利用勾股定理求解；
連接，，根據切線長定理得出，再利用勾股定理求出的長即可．
【詳解】解：連接，，
∵、分別切⊙O于A、B，，
∴，，
∵⊙O半徑為2，
∴，
，
故答案為：．
【變式訓練4-1】如圖，、分別為相切于點、，的切線分別交、于點、，切點在上，若的周長為18，則長是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查切線的性質，熟練掌握切線長定理是解題的關鍵．根據切線長定理得到，再根據三角形的周長進行計算即可．
【詳解】解：切相切于點，
，
切相切于點，
，
切相切于點，
，
的周長為18，
，
，
故答案為：．
【變式訓練4-2】如圖，分別切⊙于兩點，點為上一點，過點作⊙的切線分別交于兩點，若的周長為10，則切線長等于 ．
【答案】
【分析】本題考查切線長定理，根據切線長定理可得，，結合的周長，即可求解．
【詳解】解：∵分別切⊙于兩點，
∴
又∵過點作⊙的切線分別交于兩點，
∴
∵的周長為10，
∴
∴，
故答案為：．
【變式訓練4-3】如圖，為的直徑，，分別與⊙O相切于點B，C，過點C作的垂線，垂足為E，交于點D．若，則線段的長為 ．
【答案】
【分析】如圖，作于H，證明，，四邊形為矩形，可得，證明，再進一步可得答案．
【詳解】解：如圖，作于H，
∵直徑于H，，為的切線，
∴，，
∴四邊形為矩形，
∴，
∵，分別切于C，B，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案為：
【點睛】本題考查切線的性質，切線長定理，矩形的判定與性質，含30度角的直角三角形的性質，關鍵是通過輔助線構造直角三角形，求出的長．
【變式訓練4-4】如圖，是的切線，切點分別為A、B．點C在上，過點C的切線分別交于點D、E，已知的周長20，求的長．
【答案】10
【分析】本題考查了切線長定理，關鍵是把的周長轉化為；根據切線長定理得，由此得的周長為，從而可求得結果．
【詳解】解：∵是的切線，
∴；
∵過點C的切線分別交于點D、E，
∴；
∵的周長20，
∴，
∴，
即，
∴．
題型五：利用切線長定理求證
【經典例題5】如圖，點A 在外， 分別與相切于點B，D， 的延長線相交于點C，交于點 E，連接并延長，交于點F，連接．
(1)求證：；
(2)若，求的半徑及的長．
【答案】(1)見解析
(2)的半徑為6，
【分析】（1）切線的性質結合切線長定理，得到，，根據，得到，圓周角定理得到，即可得證；
（2）切線長定理，得到，求出的長，勾股定理求出的長，根據，求出的長，連接，圓周角定理，得到，利用，列出比例式進行求解即可．
【詳解】（1）證明：∵ 分別與相切于點B，D，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵ 分別與相切于點B，D，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即的半徑為6，
連接，
∵連接并延長，交于點F，
∴為直徑，
∴，，
由（1）知，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題考查切線的性質，切線長定理，勾股定理，解直角三角形，圓周角定理等知識點，熟練掌握相關知識點，并靈活運用，是解題的關鍵．
【變式訓練5-1】如圖，已知是的直徑，過點A作射線，點P為l上一個動點，點C為上異于點A的一點，且，過點B作的垂線交的延長線于點D，連接．
(1)求證：為的切線；
(2)若，求的值．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）連接，證明，求得，據此即可證明為的切線；
（2）過點作，設，求得，，利用勾股定理求得，再求得，據此求解即可．
【詳解】（1）證明：連接，
∵是的直徑，過點A作射線，
∴，
∵，，，
∴，
∴，即，
∵是的半徑，
∴為的切線；
（2）解：過點作，垂足為點，
設，
∴，
∵，
∴為的切線，
∵、、為的切線，
∴，，
∴，
∵射線，，，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴．
【點睛】本題考查了切線長定理，切線的判定和性質，全等三角形的判定和性質，矩形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理，解直角三角形，正確引出輔助線解決問題是解題的關鍵．
【變式訓練5-2】在 ABC中，，經過點的與斜邊相切于點．
(1)如圖①，當點在上時，試說明；
(2)如圖②，，當點O在 ABC外部時，求長的取值范圍．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】此題考查了切線的性質，勾股定理；
（1）利用切線長定理得到，進而得到，再由，等量代換即可得證；
（2）當點在上時，求出長，再根據當點與點重合時，最長，即可確定出的范圍．
【詳解】（1）當點在上時，為的半徑，
，且點在上，
與相切．
與邊相切于點，
，
，
，
．
即；
（2）在中，，，，
如圖，連接、，當點在上時，為的半徑，
，且點在上，
與相切，
與邊相切于點，
，
∴，
設，則，，
在中，，
根據勾股定理得：，即，
解得：，
在中，，，
．
，，
垂直平分，
根據面積法得：，則符合條件的長大于．
由題意可知，當點與點重合時，最長，
綜上，當點在外時，．
【變式訓練5-3】如圖，分別與相切于兩點，是的直徑．
(1)求證：；
(2)連接交于點，若，，求的長．
【答案】(1)證明見解析；
(2)．
【分析】（）連接，由切線的性質和切線長定理可得，，，進而由可得平分，得到，，再由即可求證；
（）由（）可得，即得，，，可得，由可得，得到，，進而即可求解．
【詳解】（1）證明：連接，
∵分別與相切于兩點，
∴，，，
∵，
∴平分，
∴，，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
設，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴．
【點睛】本題考查了切線的性質，切線長定理，角平分線的判定和性質，余角性質，三角函數，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關鍵．
【變式訓練5-4】如圖，已知是的直徑，于B，E是上的一點，交于D，，連接交于
(1)求證：是的切線．
(2)若，，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)，
【分析】本題考查的是切線的判定和性質、相似三角形的判定和性質、勾股定理的應用，掌握經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線是解題的關鍵．
（1）連接，證明，根據全等三角形的性質得到，根據切線的判定定理得到是的切線；
（2）過點D作于H，根據勾股定理求出，根據矩形的性質、勾股定理求出，再根據相似三角形的性質求出．
【詳解】（1）證明：連接，
∵
∴
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵為的半徑，
∴是的切線；
（2）解：過點D作于H，
∵，
，
∴四邊形為矩形，
∴，，
∵，，
∴，
，
∵是的切線
∴，
設，則，
在中，，
即，
解得：，
即，
∵，
∴，
，即，
解得：
【變式訓練5-5】如國，在 ABC中，，點是邊的中點，點在邊上，經過點，且與邊相切于點，與相切于點．
(1)求證：；
(2)若，，求的直徑．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據直角三角形的性質得到，得到，根據切線的性質得到，得到，根據平行線的判定定理好可得證；
（2）連接，設，，根據勾股定理得到，求得，，設的半徑為，則，，證明，根據相似三角形的性質即可得結論．
【詳解】（1）證明：∵，點是邊的中點，
∴，
∴，
∵，是的切線，
∴，
∴，
∴；
（2）解：連接，
∵，，與相切于點，
∴，，
設，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
設的半徑為，則，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的直徑為．
【點睛】本題考查圓的切線的性質，直角三角形的性質，等腰三角形的判定和性質，勾股定理，三角函數，相似三角形的判定和性質，熟練掌握圓的切線的性質是解題關鍵．
題型六：切線長定綜合問題
【經典例題6】綜合探究
已知的兩邊分別與相切于點，，的半徑為．
(1)如圖1，點在點，之間的優弧上，，求的度數；
(2)如圖2，點在上運動，當線段經過圓心時，的大小滿足什么條件時，四邊形為菱形？請說明理由；
(3)如圖3，在（2）的條件下，若線段與的另一個交點為點，的半徑．
①求圖中陰影部分的周長；
②連接，為邊上的一點，且，延長交于點，求的長．
【答案】(1)
(2)當時，四邊形是菱形，見解析
(3)①；②
【分析】（1）連接，，利用圓的切線的性質定理和四邊形的內角和定理解答即可；
（2）連接，，如圖，利用（1）的方法得到，利用全等三角形的判定與性質得到，利用兩組對角相等的四邊形為平行四邊形的性質得到四邊形為平行四邊形，再利用菱形的判定定理解答即可；
（3）①利用（2）的結論，圓周角定理和扇形的弧長公式和直角三角形的性質解答即可；
②過點作，交的延長線于點，利用相似三角形的判定與性質求得，，進而得到，再利用菱形的性質和（2）的結論解答即可．
【詳解】（1）解：連接，，如圖，
的兩邊分別與相切于點，，
，，
，
，
，
，
，
；
（2）解：當線段經過圓心時，時，四邊形為菱形，說明理由：
連接，，如圖，
由（1）知：，
，
，
，
．
的兩邊分別與相切于點，，
，
∵
∴
∴
在和中，
，
，
，
∴
∴
∴，
四邊形為平行四邊形，
，
四邊形為菱形；
（3）解：①的半徑，
，
由（2）知：四邊形為菱形，
，
，
的長．
，，
，
，
，
圖中陰影部分的周長為．
②過點作，交的延長線于點，如圖，
，，
，．
∵，
，，
，，
，
，
，
，
．
．
四邊形為菱形，
，
．
【點睛】本題主要考查了圓的有關性質，圓周角定理，圓的切線的性質定理，四邊形的內角和定理，菱形的判定與性質，直角三角形的性質，勾股定理，直角三角形的邊角關系定理，圓的有關計算，相似三角形的判定與性質，連接經過切點的半徑是解決此類問題常添加的輔助線．
【變式訓練6-1】已知：如圖，中，，是上一點，以點為圓心，為半徑的圓切于點．
（1）求證：；
（2）若，，求⊙O的半徑；
（3）若點關于的對稱點為，試探究當點滿足什么條件時，四邊形為菱形．
【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）當點為中點時，四邊形為菱形
【分析】（1）首先證得是圓的切線，根據切線長定理，即可判斷；
（2）勾股定理得的長，然后證明，根據相似三角形的對應邊的比相等即可求解；
（3）易證四邊形是平行四邊形，再加上條件：點為中點，則四邊形為菱形．
【詳解】解：（1）證明：，且為的半徑，
切于點，
切于點，
；
（2）連接，
由（1）得：．
在中，，
由勾股定理得：．
切于點，
于點．
．
，
，
，
即，
，
的半徑為．
（3）結論：當點為中點時，四邊形為菱形．
經過圓心，點關于的對稱點為，
過點作，，交于點，交于點
，．
．
，
，
，
四邊形是平行四邊形．
由（1）知，
四邊形為菱形．
【點睛】本題主要考查了菱形的判定，相似三角形的判定與性質，切線的性質，作出合適的輔助線是解題的關鍵．
【變式訓練6-2】已知的兩邊分別與相切于點A，B，的半徑為r．
(1)如圖1，點C在點A，B之間的優弧上，，求的度數；
(2)如圖2，點C在圓上運動，當最大時，要使四邊形為菱形，的度數應為多少？請說明理由；
(3)若交于點D，求第（2）問中對應的陰影部分的周長（用含r的式子表示）．
【答案】(1)
(2)當時，四邊形是菱形
(3)陰影部分的周長
【分析】（1）連接，由切線的性質可求，由四邊形內角和可求解；
（2）當時，四邊形是菱形，連接，由切線長定理可得，由“”可證，可得，可證，可得四邊形是菱形；
（3）分別求出的長，由弧長公式可求，即可求解．
【詳解】（1）解：如圖1，連接，
∵為的切線，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如圖2，當時，四邊形是菱形，
連接，
由（1）可知，，
∵，
∴，
∴，
∵點C運動到距離最大，
∴經過圓心，
∵為的切線，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是菱形；
（3）解：∵的半徑為r，，
∴，
∴，，
∵，
∴的長度，
∴陰影部分的周長．
【點睛】本題考查圓的綜合應用，掌握圓的有關知識，全等三角形的判定和性質，圓周角定理，切線長定理，弧長公式，菱形的判定等知識，靈活運用這些性質是解決本題的關鍵．
【變式訓練6-3】【綜合運用】在正方形中， E是邊上一動點 （不與點 C， D 重合）． 邊 關于對稱的線段為， 連接．
(1)如圖①， 若 求證： 為等邊三角形；
(2)如圖②， 以為直徑作半圓O， 當與半圓O相切時， 求 的度數；（參考數據： ）
(3)如圖③， 延長， 交射線于點 G， 連接， 交于點H． 若 當 為等腰三角形，求其底邊長．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)
【分析】本題考查正方形的性質，由三角函數求角度，切線的性質；
（1）由可得，即可得到，再結合即可得到為等邊三角形；
（2）先說明、與半圓O相切，由切線長定理可得，設，，在中利用勾股定理求出的關系即可；
（3）設，則，，，即可得到，，，再根據為等腰三角形，分類討論求出的度數，根據度數求其底邊長即可．
【詳解】（1）證明：∵正方形中，
∴，，
∵邊 關于對稱的線段為，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴為等邊三角形；
（2）解：如圖，與半圓O切點為，
∵，
∴、與半圓O相切，
∵與半圓O相切，
∴，，
設，，
∴，，
∴，
在中，
∴，
整理得
∴，
∴，
∴，
∴
（3）解：設，則，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵為等腰三角形，
∴當時，，即，解得，此時、、、是同一個點，不合題意；
當時，，即，解得，此時、、、是同一個點，不合題意；
當時，，即，解得，
此時，
在上取一點，使，則
∴,
∴，
設，
∴，
∴
∴，
∵
∴，
∴，
即底邊長為：．
【變式訓練6-4】如圖1，以正方形的頂點A為圓心，作圓弧，P是上一動點，過點P作的切線交于點E，交于點F，連接．

(1)求的大小；
(2)如圖2，連接，
①求證為定值；
②當，時，求的面積．
(3)如果的周長為20，設，的面積為y，求y關于x的函數關系式．
【答案】(1)
(2)①證明見解析；②15
(3)
【分析】（1）連接，根據切線長定理可得，即可求解；
（2）①設正方形的邊長為a，根據切線長定理得出，則的周長，即可解答；
②根據，則，根據勾股定理求出a的值，最后根據三角形的面積公式即可求解；
（3）根據的周長為20，得出，設，則，根據勾股定理求出，進而得出，根據三角形的面積公式得出．
【詳解】（1）解：如圖，連接，

∵四邊形是正方形，
∴，
∴均為圓弧的切線．
∵為圓弧的切線，
∴，
∴，
∴；
（2）設正方形的邊長為a．
①證明：∵均為圓弧的切線，
∴，
∴的周長，
∵，
∴，
∴為定值；
②解：∵，
∴，
∴．
在中，
∵，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴；
（3）解：∵的周長為20，
∴，
∴．
設，則
∵，
∴，

化簡整理得，，
∴，
∴，
∴y關于x的函數關系式為．
【點睛】此題主要考查了圓的切線長定理，勾股定理，二次函數的性質，掌握從圓外一點可以畫兩條圓的切線，這條切線長相等，圓心到這點的連線平分兩條切線的夾角，以及求二次函數最值的方法和步驟是解題的關鍵．
【變式訓練6-5】如圖，在半徑為1的中，直徑與直徑的夾角，點P是劣弧上一點，連接分別交、于點M、N．
(1)若，求證：．
(2)猜想線段與之和是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由．
(3)過點C作的切線，過點P作的切線，當直線和的夾角為時，求弧的長．
(4)求證：．
【答案】(1)見解析
(2)線段與之和為定值，即
(3)或
(4)見解析
【分析】（1）先根據垂徑定理和線段垂直平分線的性質得到，再根據圓周角定理求得，進而得到，根據等邊三角形的判定與性質證明是等邊三角形即可證得結論；
（2）連接，先證明是等邊三角形得到，，再證明得到，進而可得結論；
（3）設的切線和切線相交于點Q，分和兩種情況，利用切線長定理和弧長公式分別求解即可；
（4）連接、，先證明和都是等邊三角形，得到，然后利用圓周角定理和相似三角形的判定與性質證明，得到，兩式相加即可求解．
【詳解】（1）證明：當時，如圖，則垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等邊三角形，
∴；
（2）解：線段與之和為定值．
連接，如圖，
∵，，
∴是等邊三角形，
∴，，
則，又，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：設的切線和切線相交于點Q，
當直線和的夾角為時，如圖，連接，
則，
∴，
∴，
∴弧的長為；
同理當時，則，
∴，
∴，
∴弧的長為；
綜上，滿足條件的弧的長為或；
（4）解：連接、，如圖，
∵，，
∴和都是等邊三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴；
同理，∵，，
∴，
∴，
由（2）知，
∴,
∴得，
∴，
∵，
∴．
【點睛】本題考查垂徑定理、圓周角定理、等邊三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、切線長定理、弧長公式、相似三角形的判定與性質等知識，涉及知識點較多，綜合性強，熟練掌握相關知識的聯系與運用是解答的關鍵．
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專題2.2 切線長定理六大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：利用切線長定理求圓半徑
【經典例題1】如圖，在中，，其內切圓分別與、、相切于點D、E、F，若，，則圓的半徑為（ ）
A．2 B．4 C．5 D．3
【變式訓練1-1】如圖，分別與相切于A，B兩點，，則的半徑為 ．
【變式訓練1-2】如圖，四邊形是的外切四邊形，且，，若四邊形的面積等于，則的半徑等于 ．
【變式訓練1-3】如圖，是的兩條切線，是切點，若，，則的半徑等于 ．
【變式訓練1-4】如圖，在中，分別與相切于點，交于點．若，則的半徑為 ．
題型二：利用切線長定理求周長
【經典例題2】如圖，在一張紙片中，，O是它的內切圓．小明用剪刀沿著的切線剪下一塊三角形，則 ADE的周長為（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8
【變式訓練2-1】如圖，為⊙O的兩條切線，C，D切⊙O于點E，分別交于點C，D．F為⊙O上的點，連若，則的周長和的度數分別為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練2-2】如圖，是的切線，D、E為切點，與相切于點F，分別交于點B、C．若 ABC的周長為16，則切線長為（ ）
A．6 B．7 C．8 D．無法確定
【變式訓練2-3】如圖，，分別是的切線，，為切點，切于，交，于點，，若，則 ABC的周長是 ．
【變式訓練2-4】如圖，分別切⊙于兩點，點為上一點，過點作⊙的切線分別交于兩點，若的周長為10，則切線長等于 ．
【變式訓練2-5】如圖，為外一點，分別切于點，切于點，分別交于點，若，則的周長為 ．
【變式訓練2-6】如圖，以正方形的邊為直徑作半圓O，過點C作直線切半圓于點F，交邊于點E，若的周長為12，則四邊形周長為 ．
題型三：利用切線長定理求角度
【經典例題3】如圖，、、是的切線，點、、是切點，分別交、于、兩點，若，則的度數（　　）
A． B． C． D．
【變式訓練3-1】如圖，AB是的直徑，AC與相切，A為切點，連接BC交于點D．已知，則的度數為 ．
【變式訓練3-2】如圖，已知、分別切圓于點、，滿足，且，．則 ．
【變式訓練3-3】如圖，，是的切線，A，B是切點，若，則 ．
【變式訓練3-4】如圖，，是的切線，切點為，點在上，若，則 ．
【變式訓練3-5】已知點是外一點，分別與相切于點．
（1）如圖①，若，則 ；
（2）如圖②，連接，若，則 ；
（3）如圖③，點是優弧上一點，連接，若，則 °．
題型四：求圓的切線長
【經典例題4】如圖，、分別切⊙O于A、B，，⊙O半徑為2，則的長為 ．
【變式訓練4-1】如圖，、分別為相切于點、，的切線分別交、于點、，切點在上，若的周長為18，則長是 ．
【變式訓練4-2】如圖，分別切⊙于兩點，點為上一點，過點作⊙的切線分別交于兩點，若的周長為10，則切線長等于 ．
【變式訓練4-3】如圖，為的直徑，，分別與⊙O相切于點B，C，過點C作的垂線，垂足為E，交于點D．若，則線段的長為 ．
【變式訓練4-4】如圖，是的切線，切點分別為A、B．點C在上，過點C的切線分別交于點D、E，已知的周長20，求的長．
題型五：利用切線長定理求證
【經典例題5】如圖，點A 在外， 分別與相切于點B，D， 的延長線相交于點C，交于點 E，連接并延長，交于點F，連接．
(1)求證：；
(2)若，求的半徑及的長．
【變式訓練5-1】如圖，已知是的直徑，過點A作射線，點P為l上一個動點，點C為上異于點A的一點，且，過點B作的垂線交的延長線于點D，連接．
(1)求證：為的切線；
(2)若，求的值．
【變式訓練5-2】在 ABC中，，經過點的與斜邊相切于點．
(1)如圖①，當點在上時，試說明；
(2)如圖②，，當點O在 ABC外部時，求長的取值范圍．
【變式訓練5-3】如圖，分別與相切于兩點，是的直徑．
(1)求證：；
(2)連接交于點，若，，求的長．
【變式訓練5-4】如圖，已知是的直徑，于B，E是上的一點，交于D，，連接交于
(1)求證：是的切線．
(2)若，，求的長．
【變式訓練5-5】如國，在 ABC中，，點是邊的中點，點在邊上，經過點，且與邊相切于點，與相切于點．
(1)求證：；
(2)若，，求的直徑．
題型六：切線長定綜合問題
【經典例題6】綜合探究
已知的兩邊分別與相切于點，，的半徑為．
(1)如圖1，點在點，之間的優弧上，，求的度數；
(2)如圖2，點在上運動，當線段經過圓心時，的大小滿足什么條件時，四邊形為菱形？請說明理由；
(3)如圖3，在（2）的條件下，若線段與的另一個交點為點，的半徑．
①求圖中陰影部分的周長；
②連接，為邊上的一點，且，延長交于點，求的長．
【變式訓練6-1】已知：如圖，中，，是上一點，以點為圓心，為半徑的圓切于點．
（1）求證：；
（2）若，，求⊙O的半徑；
（3）若點關于的對稱點為，試探究當點滿足什么條件時，四邊形為菱形．
【變式訓練6-2】已知的兩邊分別與相切于點A，B，的半徑為r．
(1)如圖1，點C在點A，B之間的優弧上，，求的度數；
(2)如圖2，點C在圓上運動，當最大時，要使四邊形為菱形，的度數應為多少？請說明理由；
(3)若交于點D，求第（2）問中對應的陰影部分的周長（用含r的式子表示）．
【變式訓練6-3】【綜合運用】在正方形中， E是邊上一動點 （不與點 C， D 重合）． 邊 關于對稱的線段為， 連接．
(1)如圖①， 若 求證： 為等邊三角形；
(2)如圖②， 以為直徑作半圓O， 當與半圓O相切時， 求 的度數；（參考數據： ）
(3)如圖③， 延長， 交射線于點 G， 連接， 交于點H． 若 當 為等腰三角形，求其底邊長．
【變式訓練6-4】如圖1，以正方形的頂點A為圓心，作圓弧，P是上一動點，過點P作的切線交于點E，交于點F，連接．

(1)求的大小；
(2)如圖2，連接，
①求證為定值；
②當，時，求的面積．
(3)如果的周長為20，設，的面積為y，求y關于x的函數關系式．
【變式訓練6-5】如圖，在半徑為1的中，直徑與直徑的夾角，點P是劣弧上一點，連接分別交、于點M、N．
(1)若，求證：．
(2)猜想線段與之和是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由．
(3)過點C作的切線，過點P作的切線，當直線和的夾角為時，求弧的長．
(4)求證：．
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