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專題2.1.2 直線與圓的位置關系（二）九大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：有關切線概念辨析
【經典例題1】下列命題：①等弧所對的弦相等；②垂直于弦的直線平分弦；③相等的圓心角所對的弧相等；④直徑所對的圓周角是直角；⑤垂直于半徑的直線是圓的切線．其中正確的命題有（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【答案】C
【分析】本題主要考查了圓周角、垂徑定理、切線等知識，熟練掌握圓的相關知識和定理是解題關鍵．根據“在等圓或同圓中，相等的圓周角所對的弧相等，相等的弧所對的圓心角相等”、垂徑定理、直徑所對的圓周角是直角、切線的定義，逐一分析判斷即可．
【詳解】解：等弧所對的弦相等，說法①正確；
垂直于弦的直徑平分弦，故說法②錯誤；
同圓或等圓中相等的圓心角所對的弧相等，故說法③錯誤；
直徑所對的圓周角是直角，說法④正確；
垂直于半徑且垂足在圓上的直線是圓的切線，故說法⑤錯誤．
綜上所述，正確的命題有①④，共計2個．
故選：C．
【變式訓練1-1】下列說法中，正確的是（ ）
A．三點確定一個圓 B．相等的弦所對的圓周角相等
C．垂直于弦的直徑平分弦 D．圓的切線垂直于半徑
【答案】C
【分析】本題考查了確定圓的條件、切線的判定、圓周角定理及垂徑定理，根據確定圓的條件對A進行判斷；根據圓周角定理對B進行判斷；根據垂徑定理的推論對C進行判斷；根據切線的判定定理對D進行判斷．
【詳解】解：A、不共線的三點確定一個圓，原說法錯誤，A選項不符合題意；
B、同圓或等圓中，相等的弦所對的圓周角相等，原說法錯誤，B選項不符合題意；
C、垂直于弦的直徑平分弦，原說法正確，C選項符合題意；
D、圓的切線垂直于過切點的半徑，原說法錯誤，D選項不符合題意；
故選：C．
【變式訓練1-2】下列命題正確的是（ ）
A．若，則 B．垂直于半徑的直線是圓的切線
C．兩直線平行，同旁內角相等 D．有一個角是直角的平行四邊形是矩形
【答案】D
【分析】本題主要考查了真假命題的判斷，根據切線的定義、平行線的性質、矩形的判定逐一判斷即可得出答案．熟練掌握相關概念是解題關鍵．
【詳解】解：A、若，則或，故A選項錯誤；
B、過半徑的外端且垂直于圓的半徑的直線是切線，故B選項錯誤；
C、兩直線平行，同旁內角互補，故C選項錯誤；
D、有一個角是直角的平行四邊形是矩形，故D正確；
故選：D．
【變式訓練1-3】下列說法中，正確的是（ ）
A．正多邊形都是中心對稱圖形；
B．圓的直徑是這個圓的對稱軸；
C．90°的圓周角所對的弦是直徑；
D．垂直于半徑的直線是圓的切線.
【答案】C
【分析】本題考查了圓的相關概念以及中心對稱圖形，熟記相關結論即可．
【詳解】解：正五多邊形不是中心對稱圖形，故A錯誤；
圓的直徑是線段，而圓的對稱軸是直線，故B錯誤；
的圓周角所對的弦是直徑，故C正確
經過圓的外端，垂直于半徑的直線是圓的切線，故D錯誤
故選：C ．
【變式訓練1-4】下列命題是真命題的是（ ）
A．頂點在圓上的角叫圓周角 B．三點確定一個圓
C．圓的切線垂直于半徑 D．半徑相等的半圓是等弧
【答案】D
【分析】本題考查了判斷真假命題，圓周角的定義，不共線三點確定圓，切線的定義，等弧的定義，根據圓周角的定義，不共線三點確定圓，切線的定義，等弧的定義逐項分析即可，掌握以上知識是解題的關鍵．
【詳解】、圓周角是指頂點在圓上，且兩邊和圓相交的角，原選項不正確，不符合題意；
、不共線的三點確定一個圓，原選項不正確，不符合題意；
、圓的切線垂直于過切點的半徑，原選項不正確，不符合題意；
、半徑相等的半圓是等弧，原選項正確，符合題意；
故選：．
【變式訓練1-5】下列說法正確的是（ ）
A．圓內接四邊形的對角互補； B．相等的圓周角所對的弧相等；
C．平分弦的直徑垂直于這條弦； D．垂直于半徑的直線是圓的切線．
【答案】A
【分析】本題主要考查圓內接四邊形的性質、圓周角定理、垂徑定理、切線的定義等知識點，理解相關定義和性質是解題的關鍵．
根據圓內接四邊形的性質，切線的定義，圓周角定理，垂徑定理逐項進行判斷即可．
【詳解】解：A、圓內接四邊形的對角互補，選項說法正確，符合題意；
B、同圓或等圓中相等的圓周角所對的弧相等，選項說法錯誤，不符合題意；
C、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于這條弦，選項說法錯誤，不符合題意；
D、圓的切線垂直于過切點的半徑，選項說法錯誤，不符合題意．
故選A．
題型二：判斷或補全使直線為切線的條件
【經典例題2】如圖，和直線，直線在同一平面內，是的直徑，直線是的切線，直線經過點，下列條件不能判定直線與相切的是 （ ）
A． B．
C．與只有一個公共點 D．點到上某點的距離等于半徑
【答案】D
【分析】本題考查了切線的判定與性質，平行線的性質，熟練掌握切線的判定方法是解題的關鍵．根據切線的判定定理“經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線”或“圓心到直線的距離等于半徑”逐項進行判斷即可．
【詳解】解：是的直徑，且是的切線
又
直線與相切
故選項A、B可以判定，不符合題意；
C、根據圓的切線的定義，可知與圓僅有一個公共點的直線是切線，選項C可以判定，不符合題意；
D、根據與圓心的距離等于半徑的直線為圓的切線，選項D不可判定，符合題意；
故選：D．
【變式訓練2-1】如圖，是的直徑，是上一點，是外一點，過點作，垂足為，連接．若使切于點，添加的下列條件中，不正確的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查切線的證明，涉及圓的切線的判定、平行線的判定與性質、圓的性質等知識，根據選項，逐項判定即可得到答案，熟記圓的切線的判定是解決問題的關鍵．
【詳解】解：A、，
，
當時，則，即，根據切線的判定，切于點，該選項正確，不符合題意；
B、，
，則，
，
，
當時，則，即，根據切線的判定，切于點，該選項正確，不符合題意；
C、當時，，
，
，
，即，根據切線的判定，切于點，該選項正確，不符合題意；
D、當時，由得到，則是等腰三角形，無法確定，不能得到切于點，該選項不正確，符合題意；
故選：D．
【變式訓練2-2】如圖，是⊙O的直徑，交⊙O于點，于點，下列說法不正確的是（ ）
A．若，則是⊙O的切線 B．若，則是⊙O的切線
C．若，則是⊙O的切線 D．若是⊙O的切線，則
【答案】A
【分析】根據AB=AC，連接AD，利用圓周角定理以及等腰三角形的性質可以得到點D是BC的中點，OD是△ABC的中位線，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE=90°，可以證明DE是⊙O的切線，可判斷B選項正確；
若DE是⊙O的切線，同上法倒推可證明AB=AC，可判斷D選項正確；
根據CD=BD，AO=BO，得到OD是△ABC的中位線，同上可以證明DE是⊙O的切線，可判斷C選項正確；
若，沒有理由可證明DE是⊙O的切線．
【詳解】解：當AB=AC時，如圖：連接AD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴AD⊥BC，
∴CD=BD，
∵AO=BO，
∴OD是△ABC的中位線，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切線，所以B選項正確；
當DE是⊙O的切線時，如圖：連接AD，
∵DE是⊙O的切線，
∴DE⊥OD，
∵DE⊥AC，
∴OD∥AC，
∴OD是△ABC的中位線，
∴CD∥BD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴AD⊥BC，
∴AD是線段BC的垂直平分線，
∴AB=AC，所以D選項正確；
當CD=BD時，又AO=BO，
∴OD是△ABC的中位線，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切線，所以C選項正確．
若，沒有理由證明DE是⊙O的切線，所以A選項錯誤．
故選：A．
【點睛】本題考查了切線的判定和性質，正確的識別圖形是解題的關鍵．
【變式訓練2-3】在下圖中，是的直徑，要使得直線是的切線，需要添加的一個條件是 ．（寫一個條件即可）
【答案】∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）
【分析】根據切線的判定條件，只需要得到∠BAT=90°即可求解，因此只需要添加條件：∠ABT=∠ATB=45°即可．
【詳解】解：添加條件：∠ABT=∠ATB=45°，
∵∠ABT=∠ATB=45°，
∴∠BAT=90°，
又∵AB是圓O的直徑，
∴AT是圓O的切線，
故答案為：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）．
【點睛】本題主要考查了圓切線的判定，三角形內角和定理，熟知圓切線的判定條件是解題的關鍵．
題型三：證明某直線是圓的切線
【經典例題3】如圖，已知為的直徑，點為的中點，過點作，交的延長線于點，連接，交于點．
(1)求證：是的切線；
(2)若，，，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）證明，由為的直徑得到，則，得到，由得到，由切線的判定定理即可得到結論；
（2）證明，在中，，，得到，則，由勾股定理求出，得到，求出，在中，，，則，即可求出答案．
【詳解】（1）證明：如圖，連接，，
點為的中點，
，
，
，
，
，
，
為的直徑，
，
，
，
，
，
是的半徑，
是的切線；
（2）解：，
，，
，
，
在中，，，
，
，，
，
，
，
在中，，
，
在中，，，
，
．
【點睛】此題考查了切線的判定、圓周角定理、解直角三角形、勾股定理等知識，熟練掌握切線的判定和解直角三角形是解題的關鍵．
【變式訓練3-1】如圖，是的弦，是外一點，，交于點，交于點，且．
(1)判斷直線與的位置關系，并說明理由；
(2)若，，求圖中陰影部分的面積．
【答案】(1)與相切，理由見解析
(2)
【分析】（1）根據等邊對等角得，根據垂直的定義得，即，則與相切；
（2）根據三角形的內角和定理得到，推出是等邊三角形，得到，求得，根據勾股定理得到，根據三角形和扇形的面積公式即可得到結論．
【詳解】（1）解：與相切，
理由：連接，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
即：，
，
又是半徑，
與相切；
（2）解：，，
，
，
，
是等邊三角形，
，
，
，
，
，
圖中陰影部分的面積．
【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系，切線的判定，等邊三角形的判定和性質，解直角三角形，扇形面積的計算，正確的作出輔助線是解題的關鍵．
【變式訓練3-2】如圖，直線經過點，且，，交直線于點．
(1)求證：直線是的切線；
(2)若的半徑為2，，求陰影部分的面積（結果保留根號和）．
【答案】(1)詳見解析
(2)
【分析】本題考查了切線的判定和性質、直角三角形的性質和勾股定理、扇形面積的計算等知識，解題的關鍵是掌握切線的判定與性質．
（1）利用等腰三角形的性質證得，利用切線的判定定理即可得到答案；
（2）在中，利用直角三角形的性質和勾股定理求得，，再根據，計算即可求解．
【詳解】（1）證明：連接，
∵在中，，，
∴，
又∵是的半徑，
∴直線是的切線；
（2）解：由（1）知，
∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
．
【變式訓練3-3】如圖，四邊形內接于，是的直徑，過點作，垂足為點，且．
(1)求證：是的切線；
(2)若，的半徑為，求出圖中陰影部分的面積．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）連接，根據等邊對等角可得，由直徑所對的圓周角是直角可得，由直角三角形的兩個銳角互余可得，進而可證得，再根據切線的判定定理即可得證；
（2）先證得是等邊三角形，于是可得，，進而可求得，于是有，在中根據勾股定理可得，根據同旁內角互補兩直線平行可證得，則四邊形為直角梯形，根據即可求出陰影部分的面積．
【詳解】（1）證明：如圖，連接，
，
，
是的直徑，
，
，
又，
，
，即，
又是的半徑，
是的切線；
（2）解：，
又，
是等邊三角形，
，，
由（1）可知：，
，
于點，
，
，
在中，根據勾股定理可得：
，
，
，
四邊形為直角梯形，
．
【點睛】本題主要考查了等邊對等角，直徑所對的圓周角是直角，直角三角形的兩個銳角互余，垂線的定義，切線的判定，等邊三角形的判定與性質，含度角的直角三角形，勾股定理，同旁內角互補兩直線平行，求扇形面積等知識點，熟練掌握上述知識點并能加以綜合運用是解題的關鍵．
【變式訓練3-4】已知是的直徑，是的切線，是切點，與交于點，為上的一點，連接．
(1)若，連，求的度數；
(2)若為的中點，求證：直線是的切線．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（）由切線的性質可得，進而可得，再根據三角形內角和定理即可求解；
（）連接，由圓周角定理可得，再根據直角三角形的性質可得，即得，又由得，進而可得，據此即可求證．
【詳解】（1）解：∵是的直徑，是的切線，是切點，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）證明：如圖，連接，
∵是的直徑，
∴，
∵為的中點，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∵是半徑，
∴直線是的切線．
【點睛】本題考查了切線的性質和判定，圓周角定理，等腰三角形的性質，直角三角形的性質，三角形內角和定理，正確作出輔助線是解題的關鍵．
【變式訓練3-5】綜合探究：如圖，是四邊形的外接圓，直徑為10，過點作，交的延長線于點，平分．
(1)若為的直徑，求證；與相切；
(2)若為的直徑，，求的度數；
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】本題主要考查了切線的判定，同弧所對的圓周角相等，等邊對等角，平行線的性質與判定等等：
（1）連接，由得，根據平分，即得，而，即可得，故與相切；
（2）先判斷出，得出，進而求出，即可求出答案．
【詳解】（1）證明：如圖，連接
∵，
∴．
∴．
∵平分，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴，即．
∴．
∵為的半徑，
∴與相切．
（2）解：∵為的直徑，
∴．
∵，
∴．
∴．
由（1）知，
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
題型四：利用切線的性質定理求角度
【經典例題4】如圖，A、B是⊙O上的兩點，AC是過A點的一條直線，如果∠AOB=120°，那么當∠CAB的度數等于 度時，AC才能成為⊙O的切線．
【答案】60
【分析】由已知可求得∠OAB的度數，因為OA⊥AC，AC才能成為⊙O的切線，從而可求得∠CAB的度數．
【詳解】解：∵△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°，
∴，
∵當OA⊥AC即∠OAC=90°時，AC才能成為⊙O的切線，
∴當∠CAB的度數等于60°，即OA⊥AC時，AC才能成為⊙O的切線．
故答案為：60．
【點睛】本題考查了切線的判定，三角形內角和定理，等腰三角形的性質，掌握切線的判定定理是解答此題的關鍵．
【變式訓練4-1】如圖，是的直徑，點在的延長線上，與相切于點，若，則 ．
【答案】
【分析】本題利用了切線的性質，三角形的外角與內角的關系，等邊對等角求解．連接，構造直角三角形，利用，從而得出的度數．
【詳解】解：連接，
與相切于點，
，
，
；
，
，
故答案為：32
【變式訓練4-2】如圖，是的直徑，點D在的延長線上，切于點C，若，則的度數為 ．
【答案】/26度
【分析】本題主要考查了切線的性質，圓周角定理，三角形內角和定理，熟知切線的性質與圓周角定理是解題的關鍵．連接，利用切線的性質得到，根據三角形內角和定理得到，即可利用圓周角定理求出的度數．
【詳解】解：如圖所示，連接，
∵是的切線，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
【變式訓練4-3】如圖，AB是的直徑，AC與相切，A為切點，連接BC交于點D．已知，則的度數為 ．
【答案】/50度
【分析】此題考查了切線的性質以及圓周角定理推論．熟練掌握圓的切線垂直于經過切點的半徑，直徑對的圓周角是直角，是解決問題的關鍵．
根據圓切線性質得到，得到，根據直徑性質得到，得到．
【詳解】解：∵與相切，
∴．
又∵，
∴．
∵是的直徑，
∴．
∴．
故答案為：．
【變式訓練4-4】如圖，，是的切線，A，B為切點，是的直徑，，則的度數為 °．
【答案】80
【分析】本題主要考查切線的性質，熟練掌握切線的性質是解題的關鍵；由題意易得，然后問題可求解．
【詳解】解：∵，是的切線，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案為80．
【變式訓練4-5】如圖， ABC內接于是上一點，若，連接，過點D作的切線，與的延長線交于點E，求的度數．
【答案】
【分析】本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．也考查了圓周角定理．連接，利用平行線的性質得到，利用圓內接四邊形的性質計算出，再根據三角形內角和計算出，接著利用圓周角定理得到，然后根據切線的性質得到，最后利用互余計算出的度數．
【詳解】解：連接．
．
，
．
∵四邊形為的內接四邊形，
，
，
，
，
為切線，
，
．
題型五：利用切線的性質定理求線段長度
【經典例題5】如圖，與相切于點A．交于點B，點C在上，且．若，，則的長為（ ）
A．3 B． C． D．4
【答案】B
【分析】本題主要考查了切線的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理等知識點，正確添加輔助線是解題的關鍵．
如圖：連接，根據切線的性質可得，然后利用證明，從而可得，再在中，利用勾股定理求出，最后根據，據此計算即可．
【詳解】解：如圖：連接，
∵與相切于點A，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
在中，，，
，
∵，
∴，
，
，解得：．
故選：B．
【變式訓練5-1】如圖，點C在以為直徑的半圓上，，點D在線段上運動，點E與點D關于對稱，于點D，并交的延長線于點F，當長度為 時，與半圓相切．
【答案】/1.5
【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質、切線的判定、軸對稱的性質等知識，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．
連接，，先證明是等邊三角形，從而可得，然后利用等腰三角形的三線合一性質可得，進而可得，然后再證，即可判斷．
【詳解】解：當時，與半圓相切．
連接，，
∵為直徑，
∴，
∵，
∴
∵，
∴是等邊三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵點E與點D關于對稱，
∴，
∴，
∴，
∵是半的半徑，
∴與半相切，
∴當時，與半圓相切．
故答案為：．
【變式訓練5-2】如圖，為的直徑，，當 時，直線與相切．
【答案】1
【分析】直線與相切時，，根據勾股定理即可求出．
【詳解】解：當時，直線與相切，
∴（cm），
故答案為：1．
【點睛】本題考查了切線的判定，掌握切線的判定和性質是解題關鍵．
【變式訓練5-3】如圖，菱形的頂點、、在上，過點作的切線交的延長線于點．若的半徑為5，則的長為 ．
【答案】
【分析】題考查了菱形及圓的基本性質，等邊三角形的判定與性質，切線的性質及30°角的直角三角形的性質，連接，根據菱形及圓的基本性質證得是等邊三角形，再利用等邊三角形及切線的性質求得，從而利用角的直角三角形的性質求出即可得到結果．
【詳解】解：連接，
則，
∵四邊形是菱形，
∴，
∴，即是等邊三角形，
∴，
又∵是切線，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
【變式訓練5-4】如圖，在中，直徑，切于，交于，若，則的長是 ；陰影部分的面積為 ．
【答案】 1
【分析】如圖，連接，由題意可知，則，由為直徑，可得，則，，，弓形的面積等于弓形的面積，由勾股定理得，，可求，根據，計算求解即可．
【詳解】解：如圖，連接，
∵是的切線，
∴，
∵，
∴，
∵為直徑，
∴，
∴，
∴，，弓形的面積等于弓形的面積，
由勾股定理得，，
解得，，
∴，
故答案為：，1．
【點睛】本題考查了切線的性質，直徑所對的圓周角為直角，勾股定理，等腰三角形的判定與性質等知識．熟練掌握切線的性質，直徑所對的圓周角為直角，勾股定理，等腰三角形的判定與性質是解題的關鍵．
【變式訓練5-5】如圖，四邊形是的內接四邊形，為直徑，是切線，且的延長線于點E．
(1)求證：平分；
(2)若，求的半徑和的長．
【答案】(1)見解析
(2)的半徑為5，的長為2
【分析】（1）連接，根據已知條件證明即可解決問題；
（2）取中點，連接，根據垂徑定理可得，所以四邊形是矩形，利用勾股定理即可求出結果．
【詳解】（1）證明：如圖，連接，
，
，
是的切線，
，
，
，
又，
，
，
平分；
（2）解：如圖，取中點，連接，
，
又∵，
∴四邊形是矩形，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
∴的長是．
【點睛】本題考查了切線的性質，垂徑定理，圓周角定理，勾股定理等知識點，解決本題的關鍵是掌握切線的性質．
題型六：切線性質定理中最值問題
【經典例題6】如圖，在平面直角坐標系中，的半徑為，點在經過點，的直線上，與相切于點，則切線長的最小值為（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【分析】本題考查了切線的判定與性質、坐標與圖形性質以及矩形的性質等知識點．連接．根據勾股定理知，因為是定值，所以當時，線段最短，即線段最短．
【詳解】連接、．
是的切線，
；
根據勾股定理知，
當時，線段最短；
又，，
，
，
的最小值．
故選B．
【變式訓練6-1】如圖，在矩形中，，，以點為圓心作與直線相切，點是上一個動點，連接交于點，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】過點作于，過點作于，設與相切于點，連接，并延長交于，則，根據勾股定理求出，再根據等面積法求出，，進而得到，證明，得到，由于是定值，所以若要最小，則最大，當與重合時，，此時有最大值，即，即可求解．
【詳解】解：過點作于，過點作于，
設與相切于點，連接，并延長交于，
則，
在矩形中，，，
，
，即，
，
同理可得：，
，
，，
，
又，
，
，
是定值，
若要最小，則最大，
當與重合時，，此時有最大值，即，
的最小值是，
故選：D．
【點睛】本題考查了切線的性質，矩形的性質，勾股定理，相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是正確作出輔助線．
【變式訓練6-2】如圖，等邊三角形的邊長為，的半徑為，為邊上一動點，過點作的切線，切點為，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】連接、，過點作于，由三線合一可求出的長，再利用勾股定理可求出的長，根據切線的性質得到，利用勾股定理可求出的長，然后根據垂線段最短即可得解．
【詳解】解：如圖，連接、，過點作于，
，
是等邊三角形，且，
，
，
是的切線，
，
，
，
當取得最小值時，取得最小值，
根據垂線段最短可知，當時，最小，取得最小值，此時，
的最小值為：，
故選：．
【點睛】本題主要考查了垂線的性質，三線合一，勾股定理，切線的性質，垂線段最短等知識點，熟練掌握切線的性質及垂線段最短是解題的關鍵．
【變式訓練6-3】如圖，在等腰中，，點O是邊中點，的半徑為1，點P是邊上一動點，則由點P到的切線長的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查動態幾何和勾股定理，轉化線段的最小值，找到位置是解題的關鍵．先確定最小值時的位置為最短時，線段最小，再利用勾股定理解題．
【詳解】解：如圖，連接，
與相切于點Q，
，
當最短時，線段最小，
當時，線段最小，
點O是邊的中點，
，
，
，
，
，即P到的切線長的最小值為．
故選：B．
【變式訓練6-4】如圖，在中，，線段繞點C在平面內旋轉，過點B作的垂線，交射線于點E．若，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】根據題意識別出點是在以為直徑的圓上運動，點是在以為圓心，以1為半徑的圓上運動，所以當與圓相切于點，且在外部時，最大，最小，再根據已知長度計算就可以．
【詳解】解：，
，
點是在以為直徑的圓上運動，
，且是繞點旋轉，
點是在以為圓心，以1為半徑的圓上運動，
如圖，當與圓相切于點，且在外部時，最大，最小，
，
，
，
，
，
此時，即的最小值為，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了旋轉的性質、等腰三角形的性質、圓周角定理、切線的性質、勾股定理等，解題的關鍵是識別出隱圓模型，作出合適的輔助線．
【變式訓練6-5】如圖，在 ABC中，，，，經過點且與邊相切的動圓與，分別相交于點，，則線段長度的最小值為 ．
【答案】/
【分析】如圖所示，設的外接圓圓心為O，過點O作于E，連接，利用垂徑定理，圓周角定理，含30度角的直角三角形的性質證明，可以得到要使最小，則的直徑要最小，過點C作于點，以為直徑作圓與分別相交于點，連接，此時，線段的長度最小，據此求解即可．
【詳解】解：如圖所示，設的外接圓圓心為O，過點O作于E，連接，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴要使最小，則的直徑要最小，
過點C作于點，以為直徑作圓與分別相交于點，連接，此時，線段的長度最小，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，含30度角的直角三角形的性質，勾股定理等等，正確確定最小值時的情形是解題的關鍵．
題型七：切線的性質與判定綜合應用
【經典例題7】如圖，為的直徑，點F 在上，，點P 在的延長線上，與相切于點C，與的延長線相交于點D，與相交于點E．
(1)求證：；
(2)若，，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)8
【分析】（1）由切線的性質得，再證證，，進而可得，即可證明結論；
（2）設，則可求，，，，在中，利用勾股定理得出，求出x的值，證明，得，可求出，即可求解．
【詳解】（1）證明：如圖，連接，
與半圓相切于點，
，
，
，
，
∵，
，
，
，
∴；
（2）解：設，則，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得，（舍去）
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，切線的性質，勾股定理，相似三角形的判定及性質等知識，靈活運用以上知識是解題的關鍵．
【變式訓練7-1】如圖，為的切線，為切點，過點作，垂足為點，交于點，延長與的延長線交于點．
(1)求證：為的切線；
(2)若，求線段的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）連接，證明，由全等三角形的性質得出．由切線的性質得出，則，可得出結論；
（2）由勾股定理求出的長，設，則，得出方程，解方程可得x，即可得出答案．
【詳解】（1）證明：如圖，連接，
∵，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∴是的垂直平分線，
∴，
在和中

∴，
∴，
∵為的切線，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的半徑，
∴為的切線；
（2）解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
設，則，
∵，
∴，
∴，
∴．
【點睛】此題考查了切線的判定與性質、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的判定和性質、勾股定理等知識，證明是解題的關鍵．
【變式訓練7-2】如圖，為的一條弦，切于點，直線交于點E，交于點C．
(1)求證：是的切線；
(2)若交直線于點D，交于另一點F．
①求證：；
②若，求的半徑．
【答案】(1)見解析
(2)①見解析；②5
【分析】（1）連接，．證明，推出即可解決問題．
（2）①連接，想辦法證明即可解決問題．
②利用勾股定理求出，設，在中，利用勾股定理構建方程即可解決問題．
【詳解】（1）證明：連接，．
是的切線，
，
，
，，，
，
，
，
是的切線；
（2）①證明：連接．
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
即，
．
②解：，，
，
，
，，，
，設，
在中，，
，
，
的半徑為5．
【點睛】本題屬于圓綜合題，考查了切線的判定和性質，全等三角形的判定和性質，平行線的性質，等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．
【變式訓練7-3】如圖①，在矩形中，對角線相交于點O，點A關于的對稱點為，連接交于點E，連接 ．
(1)求證：．
(2)如圖②，以點O為圓心，長為半徑作圓，與相切．求證：．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）根據軸對稱的性質可得，，根據四邊形是矩形，得出，從而，從而得出；
（2）設與切于點F，連接，并延長交于點G，可證得，從而得出，進而得出，從而．
【詳解】（1）證明：∵點A關于的對稱點為，
∴，，
∵四邊形是矩形
∴
∴
∴；
（2）證明：如圖2，設與切于點F，連接，并延長交于點G，
∴
∵四邊形是矩形，
∴，，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
由（1）知：
∴
∵
∴
∴
∴
由（1）知：
∴，即，
∴
【點睛】本題考查了圓的切線性質，矩形的性質，全等三角形的判定和性質，解直角三角形等知識，解決問題的關鍵是熟練掌握有關基礎知識．
【變式訓練7-4】如圖，過上的動點作的切線，在上取點（異于點），使得，弦，連接交于點，連接并延長，交于點，連接．
(1)求證：是的切線；
(2)記，；的面積分別為，，，當時，求的值；
(3)設的半徑為，當時，求四邊形的面積．（用含的式子表示）
【答案】(1)見解析
(2)
(3)．
【分析】（1）如圖，連接、，，由切線的性質得，由，，得，，從而得，進而根據切線的性質定理即可證明結論成立；
（2）證明，得，進而得，又，得，求解一元二次方程得，或（舍去），從而得，于是即可得解；
（3）連接并延長交于，交于，連接，，，，證明，得，進而得，再證，得，，得，，得，從而，得，進而證明，，，在和中，利用勾股定理求解得，，，從而即可得解．
【詳解】（1）解：如圖，連接、，，
∵是的切線，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵是的半徑，
∴是的切線；
（2）解：∵，
∴，，
∴，
∴，即，
∵和等高，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，或（舍去）
∴，
∴，
∴（負值舍去）；
（3）解：連接并延長交于，交于，連接，，，，
∵，，
∴點在線段的垂直平分線上，點在線段的垂直平分線上，
∴垂直平分，
∴，
由得，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴四邊形是平行四邊形，，
∴，，
∴，，
∵，
∴即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
∴，
由（）得，
∴，
∴，
∵即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
∵在中，，
∴，
解得，
∴，，
∴平行四邊形的面積．
【點睛】本題主要考查了勾股定理，平行四邊形的判定及性質，切線的判定及性質，相似三角形的判定及性質，等腰三角形的判定，弧、弦、圓心角的關系，圓周角定理，線段垂直平分線的判定，熟練掌握切線的判定及性質，相似三角形的判定及性質是解題的關鍵．
【變式訓練7-5】如圖，已知是 ABC邊上的一點，以為圓心、為半徑的與邊相切于點，且，連接，交于點，連接并延長，交于點．
(1)求證：是切線；
(2)求證：；
(3)若是中點，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)
【分析】（1）連接，由切線的性質可知．證明得出，即，說明是圓O的切線；
（2）證明得出，整理得；
（3）設，則．由勾股定理求出x的值，得出．由，可設，則，，即可求出，從而得出，解出y的值，即可求出，即半徑為．由直角三角形斜邊中線的性質得出，結合等邊對等角，得出，進而可證，得出，代入數據，即可求出，最后由求解即可．
【詳解】（1）證明：如圖，連接，
與圓相切于點，
，即，
，
，
，即，
是圓的切線；
（2）證明：，
．
，
．
又，
，
，
；
（3）解：，
，
設，則．
，
，
解得：舍去負值，
．
，
，
設，
則，
，
，
解得：，
，即半徑為．
是中點，
，
．
，
，
，
，
，即，
解得：，
．
【點睛】本題考查切線的性質與判定，三角形全等的判定與性質，三角形相似的判定和性質，等腰三角形的性質，直角三角形斜邊中線的性質，勾股定理，解直角三角形等知識．在解圓的相關題型中，連接常用的輔助線是解題關鍵．
題型八：切線的性質與判定中動點問題
【經典例題8】如圖，在中，，，．
(1)求、的長；
(2)點從點出發，沿著方向以個單位長度秒的速度勻速運動，同時動點從點出發，沿著方向也以個單位長度秒的速度勻速運動，設運動時間為秒以為圓心，長為半徑的與、的另一個交點分別為、，連結，．
①當為何值時，點與點重合？
②若與線段只有一個公共點，求的取值范圍．
【答案】(1)6，10
(2)①；②或
【分析】本題為圓的綜合題，涉及到圓與直線的關系、三角形相似等知識點．
（1）在中，，，即可求解；
（2）①利用、，即可求解；
②分與圓相切、兩種情況，求解即可．
【詳解】（1）在中，，，
，
，
∴；
（2）①，，
是圓直徑，
，
，
∴，
，即：，
，
當與重合時，，
，
解得；
②當與圓相切時，，
，
，，
，，
∴，
，即：，
；
當時，圓與只有一個交點，
當時，、重合，由（1）知：，
時，圓與線段只有一個交點，
故：當圓與線段只有一個交點，的取值范圍為：或．
【變式訓練8-1】如圖1，是正方形對角線上一點，以為圓心，長為半徑的與相切于點，與相交于點．
(1)求證：與相切．
(2)若正方形的邊長為，求的半徑．
(3)如圖2，在（2）的條件下，若點是半徑上的一個動點，過點作交于點．當時，求的長．
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)
【分析】（1）方法一：連接，過點作于點，四邊形是正方形，是正方形的對角線，得出，進而可得為的半徑，又，即可得證；
方法二：連接，過點作于點，根據正方形的性質證明得出，同方法一即可得證；
方法三：過點作于點，連接．得出四邊形為正方形，則，同方法一即可得證；
（2）根據與相切于點，得出，由（1）可知，設，在中，勾股定理得出，在中，勾股定理求得，進而根據建立方程，解方程，即可求解．
（3）方法一：連接，設，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，結合題意得出，即可得出；
方法二：連接，證明得出，進而可得，同理可得
方法三：連接，證明得出，設，則，進而可得，進而同方法一，即可求解．
【詳解】（1）方法一：證明：連接，過點作于點，
與相切于點，
．
四邊形是正方形，是正方形的對角線，
，
，
為的半徑，
為的半徑，
，
與相切．
方法二：
證明：連接，過點作于點，
與相切于點，，
，
四邊形是正方形，
，
又，
，
，
為的半徑，
為的半徑，
，
與相切．
方法三：
證明：過點作于點，連接．
與相切，為半徑，
，
，
，
，
又四邊形為正方形，
，
四邊形為矩形，
又為正方形的對角線，
，
，
矩形為正方形，
．
又為的半徑，
為的半徑，
又，
與相切．
（2）解：為正方形的對角線，
，
與相切于點，
，
由（1）可知，設，
在中，
，
，
，，
又正方形的邊長為．
在中，
，
，
，
．
∴的半徑為．
（3）方法一：
解：連接，設，
，
，
，
．
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
又，
．
．
方法二：
解：連接，
為的直徑，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
方法三：
解：連接，
為的直徑，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
設，則，
，
．
又，
，
．
【點睛】本題考查了切線的性質與判定，正方形的性質，全等三角形的性質與判定，勾股定理，垂徑定理，相似三角形的性質與判定，正確的添加輔助線是解題的關鍵．
【變式訓練8-2】如圖1，已知的直徑，點E是射線上的一個動點，以為邊構造，滿足，．
(1)如圖2，當______時，點C恰好在上．
(2)如圖3，當動點E與點O重合時，連接，求證：是的切線．
(3)在點E的運動過程中，是否存在的邊所在的直線與相切？若存在，直接寫出的長；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)1
(2)證明見解析
(3)或
【分析】本題主要考查了切線的性質，解直角三角形，平行四邊形的性質，等邊三角形的性質與判定等等：
（1）連接，證明是等邊三角形，得到，則；
（2）設與交于F，連接，先得到，再證明是等邊三角形，得到，，證明，推出，得到，即可證明是的切線；
（3）分當與圓相切時，當與圓相切時，兩種情況畫出對應的圖形求解即可．
【詳解】（1）解：如圖所示，連接，
∵，，
∴是等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∴當時，點C恰好在上，
故答案為：1；
（2）證明；如圖所示，設與交于F，連接，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
又∵，
∴是等邊三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵為的半徑，
∴是的切線；
（3）解：如圖所示，當與圓相切時，過點D作于H，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
由平行線間間距相等可得，
∴，
∴；
如圖所示，當與圓相切時，設切點為F，連接，
∵∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
由切線的性質可得，
∴，
∴；
綜上所述，存在的邊所在的直線與相切，此時的長為或．
【變式訓練8-3】如圖，在中，∠B=90°，，，動點從點出發，以的速度沿向點運動，同時動點從點出發，以的速度沿向點運動，當一點停止運動時，另一點也隨即停止運動．以為直徑作，連接，設運動時間為．

(1)試用含的代數式表示出及的長度，并直接寫出的取值范圍；
(2)當為何值時，與相切？
(3)若線段與有兩個交點．求的取值范圍．
【答案】(1)，，
(2)
(3)
【分析】（1）由勾股定理求出，由題意求出點和點的最長運動時間，則可得出答案；
（2）由切線的性質得出，證明，由相似三角形的性質得出，得出，則可得出答案；
（3）由（2）得，當時，直線與有兩個交點，證明，由相似三角形的性質得出，求出的值可得出答案．
【詳解】（1）解：由題意得，，，
在中，，
，
，動點的速度為，
動點的最長運動時間為，
，動點的速度為，
動點的最長運動時間為，
的取值范圍為；
（2）解：若與相切，則，即，
，
，
，
，即，解得，
當時，與相切；
（3）解：由（2）得，當時，直線與有兩個交點，
當點恰好在上時，線段與的兩個交點恰好為，，如圖所示：
為的直徑，
，
，
，
，即，解得，
若線段與有兩個交點，則的取值范圍為．
【點睛】本題是圓的綜合題，考查了切線的判定與性質，直線與圓的位置關系，勾股定理，相似三角形的判定與性質，熟練掌握切線的性質及相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．
【變式訓練8-4】如圖，在矩形ABCD中，AB＝4.5，BC＝6，點P是線段AD上的一個動點，以點P為圓心，PD為半徑作⊙P，連接CP．
(1)當⊙P經過PC的中點時，PC的長為 _______　；
(2)當CP平分∠ACD時，判斷AC與⊙P的位置關系，說明理由，并求出PD的長．
【答案】(1)；
(2)AC相切⊙P，見解析；PD的長為
【分析】（1）先判斷出PC＝2PD，再利用勾股定理建立方程求解，即可得出結論；
（2）先判斷出PH＝PD，再求出AC，進而求出CH，得出AH，最后用勾股定理建立方程求解，即可得出結論．
【詳解】（1）解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝4.5，∠ADC＝90°，
∵⊙P經過PC的中點，
∴PC＝2PD，
在Rt△CDP中，根據勾股定理得，PC2﹣PD2＝CD2，
∴（2PD）2﹣PD2＝CD2，
∴3PD2＝4.52，
∴，
∴PC＝2PD＝，
故答案為：；
（2）AC是⊙P的切線，理由如下：
如圖，在Rt△ADC中，根據勾股定理得，，
過點P作PH⊥AC于H，
∵CP平分∠ACD，
∴PH＝PD，
∴AC切⊙P于H．
∵PH=PD，PC=PC，
∴Rt △PHC≌Rt△PDC（HL），
∴CH＝CD＝4.5，
∴AH＝AC﹣CH＝3，
設PD＝x，則PH＝x，AP＝AD﹣PD＝6﹣x，
在Rt△APH中，根據勾股定理得，AP2﹣PH2＝AH2，
∴（6﹣x）2﹣x2＝32，
∴x＝，
即PD的長為．
【點睛】此題主要考查了直線與圓的位置關系，矩形的性質，勾股定理，全等三角形的判定和性質，利用方程的思想解決問題是解本題的關鍵．
題型九：過圓外一點作圓的切線（尺規作圖）
【經典例題9】如圖，經過格點的圓與網格線交于點．
(1)在圖1中，先畫的中點，再將弦平移，得到弦；
(2)在圖2中，是格點，先畫圓的切線和為切點，再畫弦．
【答案】(1)作圖見解析
(2)作圖見解析
【分析】（1）連接，作線段垂直平分線，連接，作交圓于點即可得到答案；
（2）取圓心，連接，作線段的垂直平分線交圓于，連接，再連接交于，連接并延長交圓于，連接即可得到答案．
【詳解】（1）解：如圖所示：
點、弦即為所求；
（2）解：如圖所示：
切線和、弦即為所求．
【點睛】本題考查復雜作圖，涉及垂直平分線的尺規作圖、相等角的尺規作圖、圓的性質、平行線的判定與性質等知識，熟記垂直平分線的尺規作圖、相等角的尺規作圖及圓的基本性質是解決問題的關鍵．
【變式訓練9-1】（1）如圖1，點在圓上，在方格紙中，僅用無刻度直尺過點畫出圓的切線；
（2）如圖2，點在圓O外，用圓規直尺作出過點的圓的一條切線．
【答案】（1）見解析；（2）見解析
【分析】本題考查了圓周角定理，切線的判定，基本作圖；
（1）先確定直徑，進而根據網格的特點作，即可求解；
（2）連接，以為直徑作圓，交于點，連接，則即為所求的切線．
【詳解】（1）如圖1所示， 即為圓的切線，
（2）如圖所示，即為所求的切線
【變式訓練9-2】如圖，已知是的直徑，C是半圓上一點（不與點A，B重合）．
(1)用尺規過點C作的切線，交的延長線于點D；（保留作圖痕跡，不寫作法）
(2)在（1）的條件下，若，，求的直徑．
【答案】(1)作圖見解析
(2)12
【分析】本題考查作圖-復雜作圖，切線的判定，等邊三角形的判定和性質，解直角三角形等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題不，屬于中考常考題型．
（1）過點C作交的延長線于點D即可；
（2）證明是等邊三角形，即可解決問題．
【詳解】（1）解：如圖，直線即為所求；
（2）解：是切線，的半徑，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是直徑，
，
，
故的直徑為12．
【變式訓練9-3】如圖，在的方格中，點A，B，C為格點．
(1)利用無刻度的直尺在圖1中畫出 ABC的中線．
(2)在圖2中標出 ABC的外心Q并畫出 ABC外接圓的切線．
【答案】(1)圖見詳解；
(2)圖見詳解；
【分析】本題考查作垂直平分線，作垂線：
（1）根據格點作垂直平分線找到中點，連接即可得到答案；
（2）根據邊的垂直平分線結合（1）得到圓心，根據切線垂直即可得到答案；
【詳解】（1）解：如圖所示，根據正方形對角線互相垂直平分得到與交點，連接即為所求，
；
（2）解：如圖所示，點是，邊垂直平分線的交點，連接根據格點垂直即為所求，
．
【變式訓練9-4】(1)尺規作圖：已知及圓外一點P，過點P作圓的兩條切線，切點分別是點A、點B；（不寫作法，保留作圖痕跡）
(2)連接并延長，交于點D，連接，求的度數．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題考查作圖—復雜作圖、圓周角定理、切線的判定與性質，熟練掌握圓周角定理、切線的判定與性質是解答本題的關鍵．
（1）連接，作線段的垂直平分線，交于點M，再以點M為圓心，的長為半徑畫圓，分別交于點，連接即可．
（2）連接，由切線的性質可得即，由圓周角定理得到，根據四邊形內角和為即可得的答案．
【詳解】（1）解：如圖，連接，作線段的垂直平分線，交于點M，再以點M為圓心，的長為半徑畫圓，分別交于點，連接
由圓周角定理可得，，
∵為的半徑，
∴為的切線．
則即為所求；
（2）解：連接，
∵為的兩條切線，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【變式訓練9-5】如圖，在邊長為1的正方形網格紙上，以O為圓心，為半徑作圓，點O、A、B均在格點上，僅用無刻度的直尺，完成下列作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）
(1)在圖1中，①作的中點M：
②作，使得；
③取格點C，使為的一條切線．（做出符合題意的一點即可）
(2)在圖2中，作直徑，E為外任一點，過E作的垂線垂足為F．
【答案】(1)①見解析；②見解析；③見解析；
(2)見解析
【分析】本題考查了無刻度直尺作圖，涉及垂徑定理、全等三角形的判定與性質、網格的特點，解本題的關鍵在正確畫出符合題意的圖形．
（1）①連接，過點、格點作直線交于點，點即為所求點；
②在網格上找到點，連接，并延長交于點，則，即為所求，設點下方的格點為，點上方的格點為，連接、、，與交于點，與交于點，再根據“邊角邊”，得出，進而得出，再根據直角三角形兩銳角互余，得出，，再根據對頂角相等，得出，進而得出，再根據垂線的定義，得出，再根據垂徑定理，即可得出；
③根據題意作出點C，由網格的特點得，進而求解即可；
（2）連接交于點F即為所求．
【詳解】（1）①如圖，點即為所求點；
②如圖，在網格上找到點，連接，并延長交于點，則，即為所求．
設點下方的格點為G，點上方的格點為，連接、、，與交于點，與交于點，
∵，
又∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
③如圖所示，點C即為所求；
由網格的特點可得，
又∵是的半徑
∴為的一條切線；
（2）如圖所示，連接交于點F即為所求；
由網格的特點可得，．
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專題2.1.2 直線與圓的位置關系（二）九大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：有關切線概念辨析
【經典例題1】下列命題：①等弧所對的弦相等；②垂直于弦的直線平分弦；③相等的圓心角所對的弧相等；④直徑所對的圓周角是直角；⑤垂直于半徑的直線是圓的切線．其中正確的命題有（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【變式訓練1-1】下列說法中，正確的是（ ）
A．三點確定一個圓 B．相等的弦所對的圓周角相等
C．垂直于弦的直徑平分弦 D．圓的切線垂直于半徑
【變式訓練1-2】下列命題正確的是（ ）
A．若，則 B．垂直于半徑的直線是圓的切線
C．兩直線平行，同旁內角相等 D．有一個角是直角的平行四邊形是矩形
【變式訓練1-3】下列說法中，正確的是（ ）
A．正多邊形都是中心對稱圖形；
B．圓的直徑是這個圓的對稱軸；
C．90°的圓周角所對的弦是直徑；
D．垂直于半徑的直線是圓的切線.
【變式訓練1-4】下列命題是真命題的是（ ）
A．頂點在圓上的角叫圓周角 B．三點確定一個圓
C．圓的切線垂直于半徑 D．半徑相等的半圓是等弧
【變式訓練1-5】下列說法正確的是（ ）
A．圓內接四邊形的對角互補； B．相等的圓周角所對的弧相等；
C．平分弦的直徑垂直于這條弦； D．垂直于半徑的直線是圓的切線．
題型二：判斷或補全使直線為切線的條件
【經典例題2】如圖，和直線，直線在同一平面內，是的直徑，直線是的切線，直線經過點，下列條件不能判定直線與相切的是 （ ）
A． B．
C．與只有一個公共點 D．點到上某點的距離等于半徑
【變式訓練2-1】如圖，是的直徑，是上一點，是外一點，過點作，垂足為，連接．若使切于點，添加的下列條件中，不正確的是（ ）

A． B． C． D．
【變式訓練2-2】如圖，是⊙O的直徑，交⊙O于點，于點，下列說法不正確的是（ ）
A．若，則是⊙O的切線 B．若，則是⊙O的切線
C．若，則是⊙O的切線 D．若是⊙O的切線，則
【變式訓練2-3】在下圖中，是的直徑，要使得直線是的切線，需要添加的一個條件是 ．（寫一個條件即可）
題型三：證明某直線是圓的切線
【經典例題3】如圖，已知為的直徑，點為的中點，過點作，交的延長線于點，連接，交于點．
(1)求證：是的切線；
(2)若，，，求的長．
【變式訓練3-1】如圖，是的弦，是外一點，，交于點，交于點，且．
(1)判斷直線與的位置關系，并說明理由；
(2)若，，求圖中陰影部分的面積．
【變式訓練3-2】如圖，直線經過點，且，，交直線于點．
(1)求證：直線是的切線；
(2)若的半徑為2，，求陰影部分的面積（結果保留根號和）．
【變式訓練3-3】如圖，四邊形內接于，是的直徑，過點作，垂足為點，且．
(1)求證：是的切線；
(2)若，的半徑為，求出圖中陰影部分的面積．
【變式訓練3-4】已知是的直徑，是的切線，是切點，與交于點，為上的一點，連接．
(1)若，連，求的度數；
(2)若為的中點，求證：直線是的切線．
【變式訓練3-5】綜合探究：如圖，是四邊形的外接圓，直徑為10，過點作，交的延長線于點，平分．
(1)若為的直徑，求證；與相切；
(2)若為的直徑，，求的度數；
題型四：利用切線的性質定理求角度
【經典例題4】如圖，A、B是⊙O上的兩點，AC是過A點的一條直線，如果∠AOB=120°，那么當∠CAB的度數等于 度時，AC才能成為⊙O的切線．
【變式訓練4-1】如圖，是的直徑，點在的延長線上，與相切于點，若，則 ．
【變式訓練4-2】如圖，是的直徑，點D在的延長線上，切于點C，若，則的度數為 ．
【變式訓練4-3】如圖，AB是的直徑，AC與相切，A為切點，連接BC交于點D．已知，則的度數為 ．
【變式訓練4-4】如圖，，是的切線，A，B為切點，是的直徑，，則的度數為 °．
【變式訓練4-5】如圖， ABC內接于是上一點，若，連接，過點D作的切線，與的延長線交于點E，求的度數．
題型五：利用切線的性質定理求線段長度
【經典例題5】如圖，與相切于點A．交于點B，點C在上，且．若，，則的長為（ ）
A．3 B． C． D．4
【變式訓練5-1】如圖，點C在以為直徑的半圓上，，點D在線段上運動，點E與點D關于對稱，于點D，并交的延長線于點F，當長度為 時，與半圓相切．
【變式訓練5-2】如圖，為的直徑，，當 時，直線與相切．
【變式訓練5-3】如圖，菱形的頂點、、在上，過點作的切線交的延長線于點．若的半徑為5，則的長為 ．
【變式訓練5-4】如圖，在中，直徑，切于，交于，若，則的長是 ；陰影部分的面積為 ．
【變式訓練5-5】如圖，四邊形是的內接四邊形，為直徑，是切線，且的延長線于點E．
(1)求證：平分；
(2)若，求的半徑和的長．
題型六：切線性質定理中最值問題
【經典例題6】如圖，在平面直角坐標系中，的半徑為，點在經過點，的直線上，與相切于點，則切線長的最小值為（ ）
A． B． C．3 D．
【變式訓練6-1】如圖，在矩形中，，，以點為圓心作與直線相切，點是上一個動點，連接交于點，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練6-2】如圖，等邊三角形的邊長為，的半徑為，為邊上一動點，過點作的切線，切點為，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練6-3】如圖，在等腰中，，點O是邊中點，的半徑為1，點P是邊上一動點，則由點P到的切線長的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練6-4】如圖，在中，，線段繞點C在平面內旋轉，過點B作的垂線，交射線于點E．若，則的最小值為 ．
【變式訓練6-5】如圖，在 ABC中，，，，經過點且與邊相切的動圓與，分別相交于點，，則線段長度的最小值為 ．
題型七：切線的性質與判定綜合應用
【經典例題7】如圖，為的直徑，點F 在上，，點P 在的延長線上，與相切于點C，與的延長線相交于點D，與相交于點E．
(1)求證：；
(2)若，，求的長．
【變式訓練7-1】如圖，為的切線，為切點，過點作，垂足為點，交于點，延長與的延長線交于點．
(1)求證：為的切線；
(2)若，求線段的長．
【變式訓練7-2】如圖，為的一條弦，切于點，直線交于點E，交于點C．
(1)求證：是的切線；
(2)若交直線于點D，交于另一點F．
①求證：；
②若，求的半徑．
【變式訓練7-3】如圖①，在矩形中，對角線相交于點O，點A關于的對稱點為，連接交于點E，連接 ．
(1)求證：．
(2)如圖②，以點O為圓心，長為半徑作圓，與相切．求證：．
【變式訓練7-4】如圖，過上的動點作的切線，在上取點（異于點），使得，弦，連接交于點，連接并延長，交于點，連接．
(1)求證：是的切線；
(2)記，；的面積分別為，，，當時，求的值；
(3)設的半徑為，當時，求四邊形的面積．（用含的式子表示）
【變式訓練7-5】如圖，已知是 ABC邊上的一點，以為圓心、為半徑的與邊相切于點，且，連接，交于點，連接并延長，交于點．
(1)求證：是切線；
(2)求證：；
(3)若是中點，求的長．
題型八：切線的性質與判定中動點問題
【經典例題8】如圖，在中，，，．
(1)求、的長；
(2)點從點出發，沿著方向以個單位長度秒的速度勻速運動，同時動點從點出發，沿著方向也以個單位長度秒的速度勻速運動，設運動時間為秒以為圓心，長為半徑的與、的另一個交點分別為、，連結，．
①當為何值時，點與點重合？
②若與線段只有一個公共點，求的取值范圍．
【變式訓練8-1】如圖1，是正方形對角線上一點，以為圓心，長為半徑的與相切于點，與相交于點．
(1)求證：與相切．
(2)若正方形的邊長為，求的半徑．
(3)如圖2，在（2）的條件下，若點是半徑上的一個動點，過點作交于點．當時，求的長．
【變式訓練8-2】如圖1，已知的直徑，點E是射線上的一個動點，以為邊構造，滿足，．
(1)如圖2，當______時，點C恰好在上．
(2)如圖3，當動點E與點O重合時，連接，求證：是的切線．
(3)在點E的運動過程中，是否存在的邊所在的直線與相切？若存在，直接寫出的長；若不存在，請說明理由．
【變式訓練8-3】如圖，在中，∠B=90°，，，動點從點出發，以的速度沿向點運動，同時動點從點出發，以的速度沿向點運動，當一點停止運動時，另一點也隨即停止運動．以為直徑作，連接，設運動時間為．

(1)試用含的代數式表示出及的長度，并直接寫出的取值范圍；
(2)當為何值時，與相切？
(3)若線段與有兩個交點．求的取值范圍．
【變式訓練8-4】如圖，在矩形ABCD中，AB＝4.5，BC＝6，點P是線段AD上的一個動點，以點P為圓心，PD為半徑作⊙P，連接CP．
(1)當⊙P經過PC的中點時，PC的長為 _______　；
(2)當CP平分∠ACD時，判斷AC與⊙P的位置關系，說明理由，并求出PD的長．
題型九：過圓外一點作圓的切線（尺規作圖）
【經典例題9】如圖，經過格點的圓與網格線交于點．
(1)在圖1中，先畫的中點，再將弦平移，得到弦；
(2)在圖2中，是格點，先畫圓的切線和為切點，再畫弦．
【變式訓練9-1】（1）如圖1，點在圓上，在方格紙中，僅用無刻度直尺過點畫出圓的切線；
（2）如圖2，點在圓O外，用圓規直尺作出過點的圓的一條切線．
【變式訓練9-2】如圖，已知是的直徑，C是半圓上一點（不與點A，B重合）．
(1)用尺規過點C作的切線，交的延長線于點D；（保留作圖痕跡，不寫作法）
(2)在（1）的條件下，若，，求的直徑．
【變式訓練9-3】如圖，在的方格中，點A，B，C為格點．
(1)利用無刻度的直尺在圖1中畫出 ABC的中線．
(2)在圖2中標出 ABC的外心Q并畫出 ABC外接圓的切線．
【變式訓練9-4】(1)尺規作圖：已知及圓外一點P，過點P作圓的兩條切線，切點分別是點A、點B；（不寫作法，保留作圖痕跡）
(2)連接并延長，交于點D，連接，求的度數．
【變式訓練9-5】如圖，在邊長為1的正方形網格紙上，以O為圓心，為半徑作圓，點O、A、B均在格點上，僅用無刻度的直尺，完成下列作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）
(1)在圖1中，①作的中點M：
②作，使得；
③取格點C，使為的一條切線．（做出符合題意的一點即可）
(2)在圖2中，作直徑，E為外任一點，過E作的垂線垂足為F．
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