資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題2.1.1 直線與圓的位置關系（一）十大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：判斷直線與圓的位置關系
【經典例題1】已知的半徑為2，直線上有一點．若，則直線與的位置關系是（ ）
A．相交 B．相離或相交 C．相離或相切 D．相交或相切
【變式訓練1-1】已知的半徑是一元二次方程的一個根，圓心到直線的距離，則直線與的位置關系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相離 D．平行
【變式訓練1-2】在 ABC中，，平分，交于點O．以點C為圓心，長為半徑作，則與的位置關系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定
【變式訓練1-3】已知的半徑為，若直線與圓心的距離為，則直線l與的位置關系是（ ）
A．相離 B．相切 C．相交或相離 D．相交
【變式訓練1-4】如圖， 在矩形中，，， 是以為直徑的圓，則直線 與的位置關系是 ．
【變式訓練1-5】已知圓的直徑為，如果圓心與直線的距離是，那么直線和圓的位置關系為 （填“相交”、“相切”或“相離”）．
題型二：直線與圓的交點個數
【經典例題2】已知的半徑為，圓心O到直線l的距離為，則l與的交點個數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【變式訓練2-1】在平面直角坐標系中有兩點A，B若在y軸上有一點P，連接，當時，則稱點P為線段關于y軸的“半直點”；例：如圖點，；則點就是線段關于y軸的一個“半直點”；若點，點，則線段關于y軸的“半直點”個數有（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【變式訓練2-2】已知的半徑r為，圓心O到直線l的距離d為，直線l與的公共點個數為（　?。?br/>A．0個 B．1個
C．2個 D．以上都不對
【變式訓練2-3】已知的半徑等于，圓心到直線上某點的距離為，則直線與的公共點的個數為（ ）
A．0 B．1 C．1或2 D．0或1
【變式訓練2-4】已知的半徑是一元二次方程的一個根，圓心O到直線l的距離為4，則直線l與有 個交點．
【變式訓練2-5】已知⊙O的半徑是4，圓心O到直線l的距離是3，則直線l與⊙O的公共點有 個．
【變式訓練2-6】已知的半徑為7，直線l與相交，點O到直線l的距離為4，則上到直線l的距離為3的點的個數為 個．
題型三：已知直線與圓的位置關系求半徑的取值范圍
【經典例題3】如圖， ABC中，，，，如果以點C為圓心，半徑為R的與線段有兩個交點，那么的半徑R的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練3-1】已知在中，，若以C為圓心，r長為半徑的圓C與邊有交點，那么r的取值范圍是（ ）
A．或 B．
C． D．
【變式訓練3-2】在中，，，，若以點為圓心，為半徑所作的圓與斜邊有兩個公共點，則的取值范圍是 ．
【變式訓練3-3】如圖，，，若與射線只有一個交點，則半徑r的取值范圍是 ．
【變式訓練3-4】如圖，，點M是射線上一點，，以點M為圓心，r為半徑作，若與射線有兩個公共點，則半徑r的取值范圍是 ．
【變式訓練3-5】在中，，，，若以點為圓心，為半徑所作的圓與斜邊只有一個公共點，則的范圍是 ．
【變式訓練3-6】已知的斜邊，直角邊，以點為圓心作．
(1)當半徑為________時，直線與相切；
(2)當與線段只有一個公共點時，半徑的取值范圍為________；
(3)當與線段沒有公共點時，半徑的取值范圍為__________．
題型四：已知直線與圓的位置關系求線段的取值范圍
【經典例題4】如圖，已知 的半徑為6，點 到矩形某條邊的距離為8，則這條邊可以是 （ ）
13．已知的半徑為，直線l與圓有公共點，且直線l和圓心O的距離為 ，則（　　）
A． B． C． D．
【變式訓練4-1】如圖，已知是以數軸原點為圓心，半徑為1的圓，，點在數軸上運動，若過點且與平行的直線與有公共點，設，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練4-2】如圖，在梯形中，，，，，如果以為直徑的圓與梯形各邊共有3個公共點（C，D兩點除外），那么長的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練4-3】如果直徑為的圓與一條直線有兩個公共點，則圓心到該直線的距離滿足（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練4-4】如圖，在直角梯形中，，E是上一定點，．點P是BC上一個動點，以P為圓心，PC為半徑作⊙P．若⊙P與以E為圓心，1為半徑的⊙E有公共點，且⊙P與線段AD只有一個交點，則PC長度的取值范圍是 ．
【變式訓練4-4】已知的半徑為，直線與相交，則圓心到直線距離的取值范圍是 ．
【變式訓練4-5】如圖，已知Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，P是邊AB上的動點，Q是邊BC上的動點，且∠CPQ=90°，則線段CQ的取值范圍是 ．
【變式訓練4-6】如圖，中，，，．點在邊上，點是邊上一點（不與點、重合），且，則的取值范圍是 ．
題型五：已知直線與圓的位置關系求坐標的取值范圍
【經典例題5】如圖，點P是函數的圖象上的一點，的半徑為，當與直線有公共點時，點P的橫坐標x的取值范圍是（ ）

A． B．
C． D．
【變式訓練5-1】如圖，在平面直角坐標系中，⊙O的直徑2，直線AB的函數解析式為y＝x﹣1，交坐標軸于點A和點B，將線段AB作平移變換，使所得的線段的兩端都落在⊙O上，則平移后A點所對應的點的坐標是（　　）
A．（，）或（，）B．（，）或（，）
C．（，）或（，）D．（，）或（，）
【變式訓練5-2】如圖，直線與軸、軸分別相交于A、B兩點，點，點，圓心的坐標為，圓與軸相切于點．若將圓沿軸向左移動，當圓與線段有公共點時，令圓心的橫坐標為，則的取值范圍是 ．

【變式訓練5-3】若點在二次函數的圖像上，以為圓心，為半徑的圓與軸相交，則的取值范圍是 ．
【變式訓練5-4】如圖，為正比例函數圖象上的一個動點，的半徑為，設點的坐標為．

(1)求與直線相切時點的坐標．
(2)請直接寫出與直線相交、相離時的取值范圍．
題型六：已知直線與圓的位置關系求面積最值問題
【經典例題6】如圖，在矩形中，，，點E、F分別是邊上的動點，且，點G是的中點，連結，則四邊形面積的最小值為（ ）
A．142 B．96 C．192 D．124
【變式訓練6-1】如圖，矩形中，，，點是矩形內一動點，且，連接，，則面積的最小值為（ ）

A． B． C． D．
【變式訓練6-2】如圖，已知直線y＝x－3，與x軸、y軸分別交于A、B兩點，P是以C（0，1）為圓心，1為半徑的圓上一動點，連接PA、PB，則△PAB面積的最小值是（　 ?。?br/>A．6 B． C．5 D．
【變式訓練6-3】如圖，在中，，，．E為邊的中點，F為邊上的一動點，將沿翻折得，連接，，則面積的最小值為 ．
【變式訓練6-4】如圖，在 AOB中，，點到線段的距離為 ．以點為圓心，以2為半徑作優弧，交于點，交于點，點在優弧上從點開始移動，到達點時停止，連接，則面積的取值范圍是 ．
【變式訓練6-5】如圖，在平面直角坐標系xOy中，半徑為4的⊙O與x軸的正半軸交于點A，點B是⊙O上一動點，點C為弦AB的中點，直線與x軸、y軸分別交于點D、E，則面積的最小值為 ．
【變式訓練6-6】如圖，已知直線與x軸、y軸分別交于B、C兩點，點A是以為圓心，2為半徑的上的一個動點，連接、，則 ABC面積的最小值是 ．
題型七：求圓平移到與直線相切時圓心經過的距離
【經典例題7】如圖，在平面直角坐標系中，點P的坐標為，以點P為圓心，2為半徑的以每秒2個單位的速度沿x軸正方向移動，移動時間為t，當與y軸相切時，t的值為（ ）
A． B．1 C．或 D．1或3
【變式訓練7-1】如圖，在平面直角坐標系中，半徑為2的的圓心P的坐標為，將沿x軸正方向平移，使與y軸相交，則平移的距離d的取值范圍是 ．

【變式訓練7-2】如圖，在平面直角坐標系中，半徑為2的的圓心P的坐標為，將沿x軸正方向以個單位/秒的速度平移，使與y軸相切，則平移的時間為 秒．

【變式訓練7-3】如圖，直線l與x軸、y軸分別相交于點A、B，已知B（0，），，點P的坐標為，與y軸相切于點O，若將沿x軸向左移動，當與該直線相交時，橫坐標為整數的點P的坐標 ．
【變式訓練7-4】如圖，在平面直角坐標系中，半徑為2的⊙P的圓心P的坐標為（﹣3，0），將⊙P沿x軸正方向平移，使⊙P與y軸相切，則平移的距離為（　?。?br/>A．1或5 B．1或3 C．3或5 D．1
【變式訓練7-5】如圖，在平面直角坐標系xOy中，的半徑為2，點P的坐標為，若將沿y軸向下平移，使得與x軸相切，則向下平移的距離為（ ）
A．1 B．5 C．3 D．1或5
題型八：求直線平移到與圓相切時運動的距離
【經典例題8】如圖，在平面直角坐標系中，與x軸分別交于A、B兩點，點的坐標為，．將沿著與y軸平行的方向平移，使得與x軸相切，則平移的距離為（　　）
A．1 B．1或2 C．3 D．1或3
【變式訓練8-1】如圖，半徑，直線，垂足為H，且l交于A，B兩點，，將直線l沿所在直線向下平移，若l恰好與相切時，則平移的距離為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練8-2】如圖，在平面直角坐標系中，半徑為2的圓的圓心的坐標為（-3，0），將圓沿軸的正方向平移，使得圓與軸相切，則平移的距離為（ ）
A．1 B．3或6 C．3 D．1或5
【變式訓練8-3】已知的半徑為，點到直線的距離為．把直線向上平移 ，才能使與相切
【變式訓練8-4】如圖，⊙O的半徑OC=10cm，直線l⊥OC，垂足為H，且l交⊙O于A，B兩點，AB=16cm，則l沿OC所在直線向下平移 cm時與⊙O相切．
【變式訓練8-5】如圖，在中，，，，點為邊上動點，過點作垂線交于點當點由點運動至點時，點運動路徑長 ．
【變式訓練8-6】如圖，直線、相交于點，，半徑為的的圓心在直線上，且與點的距離為．如果以的速度，沿由A向B的方向移動，那么 秒種后與直線相切．
題型九：切線的實際應用
【經典例題9】如圖，當太陽光線與地面成的角時，測得空中熱氣球在地面上的影長是10m，則熱氣球的直徑是（ ）
A．20m B． C． D．10m
【變式訓練9-1】小明對《數書九章》中的“遙度圓城”問題進行了改編：如圖，一座圓形城堡有正東、正南、正西和正北四個門，出南門向東走一段路程后剛好看到北門外的一顆大樹，向樹的方向走6里到達城堡邊，再往前走4里到達樹下．則該城堡的外圍直徑為（ ）里
A．3 B．6 C．8 D．10
【變式訓練9-2】小明對出自秦九韶《數書九章》中的“遙度圓城”問題進行了改編：如圖，一座圓形城堡有正東、正南、正西和正北四個門，出南門向東走一段路程后剛好看到北門外的一棵大樹，向樹的方向走到達城堡邊，再往前走到達樹下，則該城堡的外圍周長為 ．
【變式訓練9-3】某博物館出土了一件文物，文物長度為，擺放在高度為的展示架上，一老師打算帶舞蹈團去參觀，舞蹈團的平均身高為，為了保證觀看視角最大（視角：人眼與被觀看物兩邊構成的角），柵欄應擺放在距多遠的位置？

【變式訓練9-4】綜合與實踐：
任務一：確定弦的長度．如圖2，求所對弦的長度．
任務二：設計甲組扇面．如圖3，已知甲組的圓形卡紙直徑為．請運用所給工具在中設計與圖2相同的扇面，并標出相應數據．
任務三：確定卡紙大?。鐖D4，乙組利用矩形卡紙，恰好設計出與圖2相同的扇面，求矩形卡紙的最小規格（即矩形的邊長）．
活動主題 扇面制作
活動情景 如圖1，扇面字畫是一種傳統的中國藝術形式，它將字和繪畫結合在扇面上，形成一種獨特的藝術風格．為了迎接我市傳統民俗文化活動的到來，某班組織同學們開展扇面制作展示活動．如圖2，扇面形狀為扇環，且，，．
活動小組 甲組 乙組
制作工具 直尺、三角板、量角器、圓規、剪刀
制作材料
【變式訓練9-5】已知太陽光線與水平線的夾角為（如圖），如果一個圓形物體在水平線上形成的影長為米．
(1)請在圖所示的直線上畫出表示這個圓形物體影長的線段；
(2)求這個圓形物體的半徑長．
【變式訓練9-6】某海域有一小島P，在以P為圓心，半徑r為海里的圓形海域內有暗礁，一海監船自西向東航行，它在A處測得小島P位于北偏東的方向上，當海監船行駛海里后到達B處，此時觀測小島P位于B處北偏東方向上．
(1)若過點P作于點C，則 ；
(2)求A，P兩點之間的距離；
(3)若海監船由B處繼續向東航行是否有觸礁危險？請說明理由．如果有觸礁危險，那么海監船由B處開始沿南偏東至多多少度的方向航行能安全通過這一海域？請直接寫出海監船由B處開始沿南偏東至多 的方向航行能安全通過這一海域．
題型十：切線的應用之最值問題
【經典例題10】如圖，在中，，，，D是上一動點，于E，交于點F，則的最大值是（ ）

A． B． C． D．
【變式訓練10-1】如圖，中，，，D在邊上，且，P為形內一點，滿足，直線交于點E，當最大時，的長是（ ）
A． B． C． D．6
【變式訓練10-2】如圖，在 ABC中，，，為中點，則當最大時，的長為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練10-3】如圖，在矩形中，，，P是矩形內部的一個動點，且，連接并延長交于E，則的最大值為 ．

【變式訓練10-4】如圖，點在數軸上對應的數是，以原點為圓心，的長為半徑作優弧，使點在原點的左上方，且，點為的中點，點在數軸上對應的數為4．
(1)求扇形的面積；
(2)點是優弧上任意一點，則求的最大值；
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專題2.1.1 直線與圓的位置關系（一）十大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：判斷直線與圓的位置關系
【經典例題1】已知的半徑為2，直線上有一點．若，則直線與的位置關系是（ ）
A．相交 B．相離或相交 C．相離或相切 D．相交或相切
【答案】D
【分析】本題考查了直線和圓的位置關系，熟練掌握直線和圓的位置關系與數量之間的聯系是解題的關鍵．
直線和圓的位置關系與數量之間的聯系：若，則直線與圓相交；若，則直線于圓相切；若，則直線與圓相離．
【詳解】解：因為垂線段最短，所以圓心到直線的距離小于等于2．
此時和半徑2的大小不確定，則直線和圓相交、相切都有可能．
故選：D．
【變式訓練1-1】已知的半徑是一元二次方程的一個根，圓心到直線的距離，則直線與的位置關系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相離 D．平行
【答案】B
【分析】本題主要考查解一元二次方程以及直線和圓的關系，熟練掌握直線和圓的關系是解題的關鍵．先解一元二次方程，得到圓的半徑，比較半徑與圓心到直線的距離的大小，即可得到答案．
【詳解】解：，
，
解得，
的半徑是，
，
直線與的位置關系是相交．
故選B．
【變式訓練1-2】在 ABC中，，平分，交于點O．以點C為圓心，長為半徑作，則與的位置關系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定
【答案】B
【分析】本題考查了三線合一，切線的判定，直線與圓的位置關系，掌握切線判定定理是解題的關鍵．
根據等腰三角形的性質，三線合一即可得，根據三角形切線的判定即可判斷是的切線，進而可得與的位置關系．
【詳解】如圖：
，平分，
，
為的半徑，
是的切線，
與的位置關系是相切．
故選：B．
【變式訓練1-3】已知的半徑為，若直線與圓心的距離為，則直線l與的位置關系是（ ）
A．相離 B．相切 C．相交或相離 D．相交
【答案】D
【分析】本題考查的是直線與圓的位置關系，若，則直線與圓相交；若，則直線于圓相切；若，則直線與圓相離．
【詳解】解：根據題意，得
的半徑為，若直線與圓心的距離為，
直線和圓相交；
故選：D．
【變式訓練1-4】如圖， 在矩形中，，， 是以為直徑的圓，則直線 與的位置關系是 ．
【答案】相交
【分析】本題主要考查了圓與直線的位置關系，熟悉三種位置關系對應的公共點的個數是解本題的關鍵．圓的半徑為r ，圓心到直線的距離為d，當時，圓與直線相離，直線與圓沒有交點，當時，圓與直線相切，直線與圓有一個交點，當時，圓與直線相交，直線與圓有兩個交點，根據原理可得答案．
【詳解】解：根據題意為的直徑，，
∴的半徑為3．
又∵，，
∴則直線 與的位置關系是相交，
故答案為：相交．
【變式訓練1-5】已知圓的直徑為，如果圓心與直線的距離是，那么直線和圓的位置關系為 （填“相交”、“相切”或“相離”）．
【答案】相切
【分析】本題主要考查了直線和圓的位置關系，求出半徑為6cm，再根據圓心到直線的距離可得答案．
【詳解】根據題意可知半徑，圓心到直線的距離，
∴，
∴直線和圓的位置關系是相切．
故答案為：相切．
題型二：直線與圓的交點個數
【經典例題2】已知的半徑為，圓心O到直線l的距離為，則l與的交點個數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】本題主要考查了圓與直線的位置關系，圓與直線的位置關系有相離，相交，相切，熟悉三種位置關系對應的公共點的個數是解本題的關鍵．圓的半徑為r 圓心到直線的距離為d，當時，圓與直線相離，直線與圓沒有交點，當時，圓與直線相切，直線與圓有一個交點，當時，圓與直線相交，直線與圓有兩個交點，根據原理可得答案．
【詳解】解：∵的半徑為，圓心O到直線l的距離d，為，
∴，
∴圓與直線l相交，直線l與圓有兩個交點，
故選：C．
【變式訓練2-1】在平面直角坐標系中有兩點A，B若在y軸上有一點P，連接，當時，則稱點P為線段關于y軸的“半直點”；例：如圖點，；則點就是線段關于y軸的一個“半直點”；若點，點，則線段關于y軸的“半直點”個數有（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【答案】C
【分析】本題考查全等三角形判定與性質，圓與直線的位置關系，以為斜邊，在左側作等腰直角三角形，過E作軸，過C作于G，過D作于F，設，由，可得E坐標，以E為圓心，的長為半徑作，判斷與y軸交點個數即可求解．
【詳解】以為斜邊，在左側作等腰直角三角形，過E作軸，過C作于G，過D作于F，如圖：
設，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵點，點，
∴，
解得，
∴，
∴，
以E為圓心，的長為半徑作，過E作軸于H，如圖：
∵，，
∴與y軸有兩個交點M、N
此時，
∴線段關于y軸的“半直點”個數有2個，為M、N，
故選：C．
【變式訓練2-2】已知的半徑r為，圓心O到直線l的距離d為，直線l與的公共點個數為（　?。?br/>A．0個 B．1個
C．2個 D．以上都不對
【答案】A
【分析】本題考查的是圓與直線的位置關系，圓與直線的位置關系有相離，相交，相切，熟悉三種位置關系對應的公共點的個數是解本題的關鍵．圓的半徑為r 圓心到直線的距離為d，當時，圓與直線相離，直線與圓沒有交點，當時，圓與直線相切，直線與圓有一個交點，當時，圓與直線相交，直線與圓有兩個交點，根據原理可得答案．
【詳解】解：∵的半徑r為，圓心O到直線l的距離d為，
即圓心O到直線l的距離大于圓的半徑，
∴直線l和相離，
∴直線l與沒有公共點．
故選：A．
【變式訓練2-3】已知的半徑等于，圓心到直線上某點的距離為，則直線與的公共點的個數為（ ）
A．0 B．1 C．1或2 D．0或1
【答案】C
【分析】本題考查了直線與圓的位置關系，利用直線與圓的位置關系的判斷方法得到直線l和相交或相切，然后根據相切與相交的定義對各選項進行判斷．
【詳解】的半徑為，圓心到直線上某點的距離為，
圓心到直線的距離
即圓心到直線的距離圓的半徑，
直線和相切或相交，
直線與有個或個公共點．
故選：C．
【變式訓練2-4】已知的半徑是一元二次方程的一個根，圓心O到直線l的距離為4，則直線l與有 個交點．
【答案】0
【分析】本題考查了解一元二次方程，直線與圓的位置關系，解出方程根據圓的半徑大于0舍去方程得負數根，根據“圓心到直線的距離大于半徑，則直線與圓無交點；圓心到直線的距離等于半徑，則直線與圓相切，有一個交點；圓心到直線的距離小于半徑，則直線與圓有兩個交點”得到結果，是解題的關鍵．
【詳解】解：解，可得，
的半徑是一元二次方程的一個根，
圓的半徑為3，
圓心O到直線l的距離為4，
直線l與有0個交點，
故答案為：0．
【變式訓練2-5】已知⊙O的半徑是4，圓心O到直線l的距離是3，則直線l與⊙O的公共點有 個．
【答案】2
【分析】本題考查了直線與圓的位置關系，若圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d，時，圓和直線相離；時，圓和直線相切；時，圓和直線相交．
【詳解】解：∵圓心到直線的距離是圓的半徑4，
∴直線和圓相交，即有2個公共點．
故答案為：2．
【變式訓練2-6】已知的半徑為7，直線l與相交，點O到直線l的距離為4，則上到直線l的距離為3的點的個數為 個．
【答案】3
【分析】根據平行線間的距離處處相等，先過點D作，即可求得上到直線l的距離為3的點的個數．
【詳解】解：如圖，∵的半徑為7，點O到直線l的距離為4，即，
∴，
在上截取，過點D作，交于A、B兩點，
∴上到直線l的距離為3的點為A、B、C，
故答案為：3．

【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系、平行線間的距離處處相等的性質，正確畫出符合題意的圖形、數形結合是解題的關鍵．
題型三：已知直線與圓的位置關系求半徑的取值范圍
【經典例題3】如圖， ABC中，，，，如果以點C為圓心，半徑為R的與線段有兩個交點，那么的半徑R的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】此題主要考查了直線與圓的位置關系．根據直線與圓的位置關系得出相切時只有一交點，經過點時有兩個交點，再結合圖形即可得出答案．
【詳解】解：∵，
∴，
設，則，
由勾股定理得，即，
解得，
∴，，
過點作于點，
∴，
∴，
∴如果以點C為圓心，半徑為R的與線段有兩個交點，那么的半徑R的取值范圍是，
故選：A．
【變式訓練3-1】已知在中，，若以C為圓心，r長為半徑的圓C與邊有交點，那么r的取值范圍是（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】D
【分析】此題注意兩種情況：（1）圓與相切時；（2）點在圓內部，點在圓上或圓外時．根據勾股定理以及直角三角形的面積計算出其斜邊上的高，再根據位置關系與數量之間的聯系進行求解．本題考查了直線與圓的位置關系和三角形的面積等知識點，解此題的關鍵是畫出符合條件的所有情況．
【詳解】解：依題意，，
根據勾股定理求得．
當圓與相切時，此時半徑最小，即；
當點在圓上，此時半徑最大，即，
綜上：即．
故選：D．
【變式訓練3-2】在中，，，，若以點為圓心，為半徑所作的圓與斜邊有兩個公共點，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】本題考查了直線和圓的位置關系，勾股定理，先利用勾股定理求出，再根據三角形的面積求出斜邊上的高，可知當時，所作的圓與斜邊相切，進而即可求解，掌握直線和圓的位置關系是解題的關鍵．
【詳解】解：∵，，，
∴，
過點作，則，
即，
解得，
當時，所作的圓與斜邊相切，
∴當時，所作的圓與斜邊有兩個公共點，
故答案為：．
【變式訓練3-3】如圖，，，若與射線只有一個交點，則半徑r的取值范圍是 ．
【答案】或
【分析】本題考查了圓與直線的位置關系，含的直角三角形．熟練掌握圓與直線的位置關系，含的直角三角形是解題的關鍵．
如圖，作于，則，當時，與射線相切，此時只有一個交點；當時，與射線只有一個交點；然后作答即可．
【詳解】解：如圖，作于，
∵，
∴，
∴當時，與射線相切，此時只有一個交點；
當時，與射線有兩個交點；
∴當時，與射線只有一個交點；
綜上，當與射線只有一個交點時，半徑r的取值范圍是或，
故答案為：或．
【變式訓練3-4】如圖，，點M是射線上一點，，以點M為圓心，r為半徑作，若與射線有兩個公共點，則半徑r的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】本題考查了直線與圓的位置關系，勾股定理，解答本題的關鍵要畫出圖形，利用數形結合可輕松解答．
根據直線與圓的位置關系及直角三角形的性質解答.若，則直線與圓相交；若則直線與圓相切；若，則直線與圓相離．
【詳解】解：作由圖可知，的取值范圍在和之間．
在直角三角形中，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
則的取值范圍是，
故答案為：．
【變式訓練3-5】在中，，，，若以點為圓心，為半徑所作的圓與斜邊只有一個公共點，則的范圍是 ．
【答案】或
【分析】本題需要分兩種情況進行討論：圓與斜邊相切時， 點在圓內部、點在圓上或圓外時．首先根據勾股定理求出斜邊的長，再根據圓與斜邊的位置關系與公共點數量之間的聯系進行分類討論．其中，圓與斜邊相切時的半徑的長可利用三角形的面積公式求出．
【詳解】解：如圖，在中，
根據勾股定理，，
分兩種情況：
圓與斜邊相切時，
連接圓心與切點，
根據切線的性質可知：，
，
，
即；
點在圓內部、點在圓上或圓外時，
此時，
即，
，
此時以點為圓心，為半徑所作的圓與斜邊只有一個公共點；
故答案為：或．
【點睛】本題主要考查了勾股定理，切線的性質，三角形的面積公式，直線與圓的位置關系等知識點，運用分類討論思想解決問題是解題的關鍵．
【變式訓練3-6】已知的斜邊，直角邊，以點為圓心作．
(1)當半徑為________時，直線與相切；
(2)當與線段只有一個公共點時，半徑的取值范圍為________；
(3)當與線段沒有公共點時，半徑的取值范圍為__________．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)或．
【分析】（）如圖作于，求出的值即可判斷；
（）當與線段只有一個公共點時，半徑的取值范圍為或 ；
（）當與線段沒有公共點時，半徑的取值范圍為或，
本題考查直線與圓的位置關系，勾股定理，等面積法，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．
【詳解】（1）如圖作于，

在中，，，，
∴由勾股定理得，
∵，
∴，
∴當半徑時，直線與相切，
故答案為：；
（2）觀察圖形可知，
當與線段只有一個公共點時，半徑的取值范圍為或 ，
故答案為：或；
（3）觀察圖形可知，
當與線段沒有公共點時，半徑的取值范圍為或，
故答案為：或．
題型四：已知直線與圓的位置關系求線段的取值范圍
【經典例題4】如圖，已知 的半徑為6，點 到矩形某條邊的距離為8，則這條邊可以是 （ ）
13．已知的半徑為，直線l與圓有公共點，且直線l和圓心O的距離為 ，則（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了直線與圓的位置關系，一般地，直線到圓心的距離為d，圓的半徑為r，則當時，直線與圓沒有交點；當時，直線與圓有一個交點；當時，直線與圓有兩個交點，據此求解即可．
【詳解】解：∵直線l與圓有公共點，
∴直線l與圓的圓心的距離小于等于半徑，
∵的半徑為，
∴，
故選：B．
【變式訓練4-1】如圖，已知是以數軸原點為圓心，半徑為1的圓，，點在數軸上運動，若過點且與平行的直線與有公共點，設，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據題意，知直線和圓有公共點，則相切或相交，相切時，設切點為C，連接，根據等腰直角三角形的直角邊是圓的半徑1，求得斜邊是，所以x的取值范圍是．
【詳解】解：設切點為，連接，則
圓的半徑，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
同理，原點左側的距離也是，且線段是正數
所以x的取值范圍是
故選：B．
【點睛】本題主要考查了直線與圓的位置關系，以及直徑所對的圓周角是直角等知識，解題關鍵是求出相切的時候的x值，即可分析出x的取值范圍．
【變式訓練4-2】如圖，在梯形中，，，，，如果以為直徑的圓與梯形各邊共有3個公共點（C，D兩點除外），那么長的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】考查了直線和圓的位置關系與數量之間的聯系．此題首先能夠根據公共點的個數得到直線和圓的位置關系；再進一步計算出相切時圓心到直線的距離，從而根據直線和圓的位置關系與數量之間的聯系，得到答案．
【詳解】解：根據題意，得圓必須和直線相交，設直線和圓相切于點E，
連接，則，，
又∵，
∴此時．
根據梯形的中位線定理，得 ，
∴，
∴，
∴直線要和圓相交，則．
故選D．
【變式訓練4-3】如果直徑為的圓與一條直線有兩個公共點，則圓心到該直線的距離滿足（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了直線與圓的位置關系．解決本題的關鍵是確定圓的半徑，進而可知直線與圓心的距離d的取值范圍．先求出圓的半徑為，再根據直線與圓相交時，d的取值范圍．
【詳解】解：∵圓的半徑為
∴當直線與圓相交時，直線與圓心的距離，
故選：C．
【變式訓練4-4】如圖，在直角梯形中，，E是上一定點，．點P是BC上一個動點，以P為圓心，PC為半徑作⊙P．若⊙P與以E為圓心，1為半徑的⊙E有公共點，且⊙P與線段AD只有一個交點，則PC長度的取值范圍是 ．
【答案】或
【分析】根據題意可得的最小值為圓P與相切，切點為M；最大值為圓與圓E內切，切點為Q，由直線與圓的位置關系，圓與圓的位置關系即可解決問題．
【詳解】解：根據題意可知：的最小值為圓P與相切，切點為M，如圖所示：
∴，
在直角梯形中，
∵，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，
最大值為圓與圓E內切，切點為Q，
∴，
當時，此時圓P與線段開始有2個交點，不符合題意，
設，則，
∴，
∴，
則長度的取值范圍是或．
故答案為：或．
【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系，圓與圓的位置關系，直角梯形，解決本題的關鍵是掌握直線與圓的位置關系，圓與圓的位置關系．
【變式訓練4-4】已知的半徑為，直線與相交，則圓心到直線距離的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】根據直線AB和圓相交，則圓心到直線的距離小于圓的半徑即可得問題答案．
【詳解】∵⊙O的半徑為5，直線AB與⊙O相交，
∴圓心到直線AB的距離小于圓的半徑，
即0≤d＜5；
故答案為：0≤d＜5．
【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系；熟記直線和圓的位置關系與數量之間的聯系是解決問題的關鍵．同時注意圓心到直線的距離應是非負數．
【變式訓練4-5】如圖，已知Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，P是邊AB上的動點，Q是邊BC上的動點，且∠CPQ=90°，則線段CQ的取值范圍是 ．
【答案】≤CQ≤12．
【分析】根據直徑所對的圓周角是直角，分析以CQ為直徑的圓和斜邊AB的公共點的情況：一是半圓和AB相切，二是半圓和AB相交，首先求得相切時CQ的值，即可進一步求解相交時CQ的范圍．
【詳解】∵Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，
∴AB=13，
①當半圓O與AB相切時，如圖，連接OP，
則OP⊥AB，且AC=AP=5，
∴PB=AB﹣AP=13﹣5=8；
設CO=x，則OP=x，OB=12﹣x；
在Rt△OPB中，OB2=OP2+OB2，
即(12﹣x)2=x2+82，
解之得x=，
∴CQ=2x=；
即當CQ=且點P運動到切點的位置時，△CPQ為直角三角形．
②當＜CQ≤12時，半圓O與直線AB有兩個交點，當點P運動到這兩個交點的位置時，△CPQ為直角三角形；
③當0＜CQ＜時，半圓O與直線AB相離，即點P在AB邊上運動時，均在半圓O外，∠CPQ＜90°，此時△CPQ不可能為直角三角形；
∴當≤CQ≤12時，△CPQ可能為直角三角形．
故答案為：≤CQ≤12．
【點睛】本題考查了直角三角形的性質，圓周角定理的推論，以及切線的性質等，熟練掌握基本性質進行綜合分析是解題關鍵．
【變式訓練4-6】如圖，中，，，．點在邊上，點是邊上一點（不與點、重合），且，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】利用以為圓心，的長為半徑畫圓，當圓與相切時，即可求出的最小值，當圓與相交時，即可求出的最大值，綜合起來即可．
【詳解】以為圓心，的長為半徑畫圓，當圓與相切，如圖①，時，
，
∴，
∵
∴
，
∵到的最短距離為2
∴
當圓與相交時，如圖②，若交點為和，則，
∴
的取值范圍是．
【點睛】本題主要考查了直線與圓的位置關系，含角的直角三角形的性質，以D為圓心的長為半徑畫圓分類討論是解題的關鍵．
題型五：已知直線與圓的位置關系求坐標的取值范圍
【經典例題5】如圖，點P是函數的圖象上的一點，的半徑為，當與直線有公共點時，點P的橫坐標x的取值范圍是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】如圖所示，即為與直線有一個公共點的情況，點P只有在線段上，即符合題意，根據圖象的對稱性可知，是等腰直角三角形，求得，設，則，則的中點M在直線上，得到，解方程得到（不合題意，舍去），于是得到結論．
【詳解】解：如圖所示，即為與直線有一個公共點的情況， 點P只有在線段上，即符合題意，

根據圖象的對稱性可知，是等腰直角三角形，
∵的半徑為，
∴，
∴，
，則，
則的中點M在直線上，
∴，
∴，
解得：（不合題意，舍去），
∴的橫坐標是，的橫坐標是，
∴，
故選：D．
【點睛】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，直線與圓的位置關系，等腰直角三角形的性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．
【變式訓練5-1】如圖，在平面直角坐標系中，⊙O的直徑2，直線AB的函數解析式為y＝x﹣1，交坐標軸于點A和點B，將線段AB作平移變換，使所得的線段的兩端都落在⊙O上，則平移后A點所對應的點的坐標是（　?。?br/>A．（，）或（，）B．（，）或（，）
C．（，）或（，）D．（，）或（，）
【答案】A
【分析】根據條件先計算圖1中的直角△AOB的三邊長，得∠BOA＝30°；根據兩直線平行的性質，同位角相等，可以得不管直線AB向上或向下平移與x軸夾角都是30°，分兩種情況進行討論：①當直線AB向下平移時，如圖2，作輔助線，構建直角三角形及平移后的點A′與兩坐標軸的垂線，由30°角的性質和三角函數求出A′Q和OQ的長，寫出點A′的坐標即可；②同理在圖3中求出A′的坐標．
【詳解】解：如圖﹣1，在函數，令x＝0，得到y＝﹣1，
∴ B（0，﹣1）． 同理可以得到，
∴在Rt△AOB中，．
∴AB＝2，∠OAB＝30°．
∴直線與x軸的夾角總是30° （銳角）．
∵直線AB在平移過程中，不會改變k值，
∴平移后的直線與x軸的夾角仍然是30°．
以下分兩種情況：
當直線向下平移到如圖﹣2位置．
則有∠OCA1＝30°，A1B1＝2．
過O點作OD⊥A1B1于點D，過點A1作 A1E⊥OC，連接 OA1．
在等腰三角形OA1B1中，根據“三線合一”，得到，
∵半徑，在Rt△ODA1中，根據勾股定理可以求得．
∴在Rt△OCD中，∠OCA1＝30°，．
∴，．
∴．
∴在Rt△ECA1中， ，
∴．
∴ ．
∵點A1在第四象限，所以點；
當直線向上平移到如圖﹣3位置．
∴．
故選：A．
【點睛】本題考查了坐標與圖形變換--平移，明確平移前后的兩線段相等且平行，本題根據已知直線的解析式求出線段的長，得出30°角是關鍵，采用了分類討論的思想，分別向上平移和向下平移；構建對應的直角三角形，與特殊的三角函數、勾股定理相結合得出結論．
【變式訓練5-2】如圖，直線與軸、軸分別相交于A、B兩點，點，點，圓心的坐標為，圓與軸相切于點．若將圓沿軸向左移動，當圓與線段有公共點時，令圓心的橫坐標為，則的取值范圍是 ．

【答案】
【分析】根據題意可得，進行分類討論：①當點P在點A右邊，且與線段只有一個交點時，；②當點P在點A左邊，且與線段只有一個交點時，與線段相交于點A．
【詳解】解：∵點，點，
∴，
∴，
∴，
當點P在點A右邊，且與線段只有一個交點時，如圖中：
∵與線段只有一個交點，
∴，
∴，
則；
當點P在點A左邊，且與線段只有一個交點時，如圖中：
∵與線段只有一個交點，
∴與線段相交于點A，
∴，，
則；
綜上：的取值范圍是，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了切線的定義，解直角三角形，解題的關鍵是掌握解直角三角形的方法和步驟，圓與直線的位置關系．
【變式訓練5-3】若點在二次函數的圖像上，以為圓心，為半徑的圓與軸相交，則的取值范圍是 ．
【答案】
【詳解】先分析點為圓心、為半徑的圓與軸相交，得出橫坐標的范圍，根據函數對稱軸位置確定當取何值時取到最值，得到的最大值、最小值，再根據相交位置關系判斷最值是否可取，確定符號即可得出結論．
【解答】解：，
∴二次函數的圖像開口向上，頂點，對稱軸是直線，
在二次函數的圖像上，以為圓心，為半徑的圓與軸相交，
∴，
∵拋物線開口向上，，
∴當，時，，
當，時，，且此時圓與軸相切，故不可取到．
．
【點睛】本題考查了二次函數的的增減性和直線與圓的位置關系，解答關鍵是根據數形結合思想討論的取值范圍．
【變式訓練5-4】如圖，為正比例函數圖象上的一個動點，的半徑為，設點的坐標為．

(1)求與直線相切時點的坐標．
(2)請直接寫出與直線相交、相離時的取值范圍．
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）根據直線和圓相切應滿足圓心到直線的距離等于半徑，首先求得點的橫坐標，再根據直線的解析式求得點的縱坐標．
（2）根據（1）的結論，即可分析出相離和相交時的取值范圍．
【詳解】（1）解：過作直線的垂線，垂足為；
當點在直線右側時，，解得；
∴；
當點在直線左側時，，得，
∴，

∴當與直線相切時，點的坐標為或．
（2）解：由（1）可知當時，與直線相交
當或時，與直線相離．
【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系，掌握直線和圓的不同位置關系應滿足的數量關系，根據數量關系正確求解是解題的關鍵．
題型六：已知直線與圓的位置關系求面積最值問題
【經典例題6】如圖，在矩形中，，，點E、F分別是邊上的動點，且，點G是的中點，連結，則四邊形面積的最小值為（ ）
A．142 B．96 C．192 D．124
【答案】A
【分析】本題考查矩形中的動點問題，連接，過B作于H，以B為圓心，為半徑作圓，交于，由四邊形是矩形，得，又，點G是的中點，即得，故G在以B為圓心，5為半徑的弧上，當G運動到時，最小，此時四邊形面積最小，最小值即為四邊形的面積，根據，，可得，，，可得，從而，得四邊形面積的最小值是142．
【詳解】解：連接，過B作于H，以B為圓心，為半徑作圓，交于，如圖：
∵四邊形是矩形，
∴，
∵，點G是的中點，
∴，
∴G在以B為圓心，5為半徑的弧上，當G運動到時，最小，此時四邊形面積最小，最小值即為四邊形的面積，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即四邊形面積的最小值是142．
故選：A．
【變式訓練6-1】如圖，矩形中，，，點是矩形內一動點，且，連接，，則面積的最小值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據題意得出點在為直徑的圓，在矩形內的半圓上運動，則點到的最短距離為，進而根據三角形的面積公式，即可求解．
【詳解】解：∵，點是矩形內一動點，
∴點在為直徑的圓，在矩形內的半圓上運動，
∵矩形中，，，
∴，
如圖所示，取的中點，則

∴點到的最短距離為，
∴面積的最小值為，
故選：C．
【變式訓練6-2】如圖，已知直線y＝x－3，與x軸、y軸分別交于A、B兩點，P是以C（0，1）為圓心，1為半徑的圓上一動點，連接PA、PB，則△PAB面積的最小值是（　 ?。?br/>A．6 B． C．5 D．
【答案】B
【分析】過C作CM⊥AB于M，連接AC，MC的延長線交⊙C于N，則由三角形面積公式得，×AB×CM=×OA×BC，可知圓C上點到直線y=x-3的最短距離是，由此求得答案．
【詳解】解：∵直線y＝x－3與x軸、y軸分別交于A、B兩點，
∴當x=0時，y=-3；y=0時，x=4
∴OB=3；OA=4
由勾股定理得，
∵C（0，1）
∴
∴BC=OB+OC=3+1=4
過C作CM⊥AB于M，連接AC，如圖，
則由三角形面積公式得，×AB×CM=×OA×BC，
∴5×CM=16，
∴CM=，
∴圓C上點到直線y=x-3的最小距離是 ，
∴△PAB面積的最小值是 ×5×=，
故選：B．
【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系，三角形的面積，點到直線的距離公式的應用，解此題的關鍵是求出圓上的點到直線AB的最小距離．
【變式訓練6-3】如圖，在中，，，．E為邊的中點，F為邊上的一動點，將沿翻折得，連接，，則面積的最小值為 ．
【答案】/
【分析】根據平行四邊形的性質得到，，，由折疊性質得到，進而得到點在以E為圓心，4為半徑的圓上運動，如圖，過E作交延長線于M，交圓E于，此時到邊的距離最短，最小值為的長，即此時面積的最小，過C作于N，根據平行線間的距離處處相等得到，故只需利用銳角三角函數求得即可求解．
【詳解】解：∵在中，，，
∴，，則，
∵E為邊的中點，
∴，
∵沿翻折得，
∴，
∴點在以E為圓心，4為半徑的圓上運動，如圖，過E作交延長線于M，交圓E于，此時到邊的距離最短，最小值為的長，即面積的最小，
過C作于N，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴面積的最小值為，
故答案為：．
【點睛】本題考查平行四邊形的性質、折疊性質、圓的有關性質以及直線與圓的位置關系、銳角三角函數等知識，綜合性強的填空壓軸題，得到點的運動路線是解答的關鍵．
【變式訓練6-4】如圖，在 AOB中，，點到線段的距離為 ．以點為圓心，以2為半徑作優弧，交于點，交于點，點在優弧上從點開始移動，到達點時停止，連接，則面積的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】本題考查了勾股定理以及直線與圓的位置關系，由勾股定理可求出，再根據面積法可求出點到線段的距離；由圖易知的邊最小高為M在D時，最大高為M在過O垂直于的直線上，求出最小高和最大高，進而求出的面積為S的取值范圍．
【詳解】解：在中，，
∴，，
∴，
設點到線段的距離為，
又
∴，
∴點到線段的距離為；
如圖：
Ⅰ．由圖可知，的邊最小高為M在D時，
∵，
∴，
∴，
∴的面積為S的最小值．
Ⅱ．在過點O且垂直于的直線上時，的邊的高最大，
∴的邊的高最大值為，
∴的面積為S的最大值為．
∴取值范圍為：．
故答案為：；．
【變式訓練6-5】如圖，在平面直角坐標系xOy中，半徑為4的⊙O與x軸的正半軸交于點A，點B是⊙O上一動點，點C為弦AB的中點，直線與x軸、y軸分別交于點D、E，則面積的最小值為 ．
【答案】8
【分析】連接OB，取OA的中點M，連接CM，過點M作于點N，發現點C的運動軌跡是以M為圓心，2為半徑的圓，利用相似三角形的性質求出MN的長，當點C與重合時，的面積最小，求出最小面積即可．
【詳解】解：如圖，連接OB，取OA的中點M，連接CM，過點M作于點N，
∵，，
∴，
∴點C的運動軌跡是以M為圓心，2為半徑的圓，
設交MN于，
∵直線與x軸、y軸分別交于點D、E，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，解得，
當點C與重合時，的面積最小，
．
故答案是：8．
【點睛】本題考查動點問題，解題的關鍵是找出動點C的軌跡是圓，利用相似三角形的性質求出圓上一點到定直線的距離．
【變式訓練6-6】如圖，已知直線與x軸、y軸分別交于B、C兩點，點A是以為圓心，2為半徑的上的一個動點，連接、，則 ABC面積的最小值是 ．
【答案】29
【分析】過點D作于點M，連接BD，根據三角形面積公式求出DM的長，可知上的點到直線的最小距離是DM長減半徑，就可以算出面積最小值．
【詳解】解：如圖，過點D作于點M，連接BD，
令，則，令，則，
∴，，
∴，，，
根據三角形面積公式，，
∴，
∴上的點到直線的最小距離是，
∴面積的最小值是．
故答案是：29．
【點睛】本題考查一次函數，圓上一點到定直線的最短距離，解題的關鍵是求出圓上的點到直線BC的最小距離．
題型七：求圓平移到與直線相切時圓心經過的距離
【經典例題7】如圖，在平面直角坐標系中，點P的坐標為，以點P為圓心，2為半徑的以每秒2個單位的速度沿x軸正方向移動，移動時間為t，當與y軸相切時，t的值為（ ）
A． B．1 C．或 D．1或3
【答案】C
【分析】當圓的圓心到直線的距離等于圓半徑時，直線與圓相切，即可求解．
【詳解】解：（1）當的圓心P在y軸左側時，
P到y軸距離時，⊙P與y軸相切，
∴移動時間（秒）；
（2）當 的圓心P在y軸右側時，
P到y軸距離時，與y軸相切，
∴移動時間（秒）．
故選C．
【點睛】本題考查直線和圓位置關系的判定，關鍵是掌握判定方法：圓心到直線的距離等于圓的半徑．
【變式訓練7-1】如圖，在平面直角坐標系中，半徑為2的的圓心P的坐標為，將沿x軸正方向平移，使與y軸相交，則平移的距離d的取值范圍是 ．

【答案】/
【分析】分兩種情況討論：位于軸左側和位于軸右側，根據平移的性質和圓的切線的性質分別求解，即可得到答案．
【詳解】解：的圓心P的坐標為，
，
的半徑為2，
，
，，
當位于軸左側且與軸相切時，平移的距離為1，
當位于軸右側且與軸相切時，平移的距離為5，
平移的距離d的取值范圍是，
故答案為：．

【點睛】本題考查了平移的性質，直線與圓的位置關系，解題關鍵是掌握當圓與直線相切時，點到圓心的距離等于圓的半徑．
【變式訓練7-2】如圖，在平面直角坐標系中，半徑為2的的圓心P的坐標為，將沿x軸正方向以個單位/秒的速度平移，使與y軸相切，則平移的時間為 秒．

【答案】2或10
【分析】平移分在y軸的左側和y軸的右側兩種情況寫出答案即可．
【詳解】解：當位于y軸的左側且與y軸相切時，平移的距離為1；
∴(秒)；
當位于y軸的右側且與y軸相切時，平移的距離為5．
∴(秒)；
故答案為：2或10
【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系，解題的關鍵是了解當圓與直線相切時，點到圓心的距離等于圓的半徑．
【變式訓練7-3】如圖，直線l與x軸、y軸分別相交于點A、B，已知B（0，），，點P的坐標為，與y軸相切于點O，若將沿x軸向左移動，當與該直線相交時，橫坐標為整數的點P的坐標 ．
【答案】（-2,0）（-3,0）（-4,0）
【分析】先分別求得與直線l相切時點P的坐標，然后再判斷與直線l相交時點P的橫坐標x的取值范圍，即可求得坐標為整數的點P的坐標．
【詳解】如圖，與分別切AB于D、E．
由，，易得，則A點坐標為．
連接、，則、，則在中，，
同理可得，，則的橫坐標為，的橫坐標為，
當與直線l相交時，點P的橫坐標x的取值范圍為，
橫坐標為整數的點P的坐標為、、．
故答案為：(-2，0)、(-3，0)、(-4，0)．
【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系，分別求得與直線l相切時點P的坐標是解題的關鍵．
【變式訓練7-4】如圖，在平面直角坐標系中，半徑為2的⊙P的圓心P的坐標為（﹣3，0），將⊙P沿x軸正方向平移，使⊙P與y軸相切，則平移的距離為（　?。?br/>A．1或5 B．1或3 C．3或5 D．1
【答案】A
【分析】分圓心在y軸的左側和y軸的右側兩種情況，根據半徑等于圓心到直線的距離寫出答案即可．
【詳解】解：當⊙P位于y軸的左側且與y軸相切時，此時圓心P到y軸的距離是2，P的坐標為（﹣2，0），所以平移的距離為-2-（-3）=1；
當⊙P位于y軸的右側且與y軸相切時，此時圓心P到y軸的距離是2，P的坐標為（2，0），所以平移的距離為2-（-3）=5．
故選：A．
【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系，解題的關鍵是了解當圓與直線相切時，點到圓心的距離等于圓的半徑，注意分類討論．
【變式訓練7-5】如圖，在平面直角坐標系xOy中，的半徑為2，點P的坐標為，若將沿y軸向下平移，使得與x軸相切，則向下平移的距離為（ ）
A．1 B．5 C．3 D．1或5
【答案】D
【分析】分圓P在軸的上方與軸相切和圓P在軸的下方與軸相切兩種情況分別求解即可．
【詳解】解：當圓P在軸的上方與軸相切時，平移的距離為，
當圓P在軸的下方與軸相切時，平移的距離為，
綜上所述，向下平移的距離為1或5．
故選：D．
【點睛】本題考查了相切的定義、平移變換等知識點，注意分類討論是解答本題的關鍵．
題型八：求直線平移到與圓相切時運動的距離
【經典例題8】如圖，在平面直角坐標系中，與x軸分別交于A、B兩點，點的坐標為，．將沿著與y軸平行的方向平移，使得與x軸相切，則平移的距離為（　?。?br/>A．1 B．1或2 C．3 D．1或3
【答案】D
【分析】本題考查的是直線與圓的位置關系，通過垂徑定理把求線段的長的問題轉化為解直角三角形的問題是關鍵．作于點，由垂徑定理即可求得的長，根據勾股定理即可求得的長，再分點向上平移與向下平移兩種情況進行討論即可．
【詳解】解：連接，作于點，由垂徑定理得：
，
在直角中，由勾股定理得：，
即，
，
的半徑是2．
將向上平移，當與軸相切時，平移的距離；
將向下平移，當與軸相切時，平移的距離．
故選：D
【變式訓練8-1】如圖，半徑，直線，垂足為H，且l交于A，B兩點，，將直線l沿所在直線向下平移，若l恰好與相切時，則平移的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】連接，由垂徑定理和勾股定理得，當點H平移到點C時，直線與圓相切，求得．
【詳解】解：連接，
∵，
∴，
∴，
∵將直線l沿所在直線向下平移，若l恰好與相切時，
∴，
即直線在原有位置向下移動后與圓相切．
故選：B．
【點睛】本題利用了垂徑定理，勾股定理，及切線的概念求解，正確掌握各定理并應用是解題的關鍵．
【變式訓練8-2】如圖，在平面直角坐標系中，半徑為2的圓的圓心的坐標為（-3，0），將圓沿軸的正方向平移，使得圓與軸相切，則平移的距離為（ ）
A．1 B．3或6 C．3 D．1或5
【答案】D
【分析】分圓P在y軸的左側與y軸相切、圓P在y軸的右側與y軸相切兩種情況，根據切線的判定定理解答即可求得．
【詳解】解：根據題意可得：OP=3，圓P的半徑為2，
當圓P在y軸的左側與y軸相切時，平移的距離為3-2=1，
當圓P在y軸的右側與y軸相切時，平移的距離為3+2=5，
故圓與軸相切，則平移的距離為1或5，
故選：D．
【點睛】本題考查了圓的切線的判定，圖形的平移，分類討論是解決本題的關鍵．
【變式訓練8-3】已知的半徑為，點到直線的距離為．把直線向上平移 ，才能使與相切
【答案】或/或
【分析】本題考查的是直線與圓的位置關系，根據直線與圓的位置關系即可求解．
【詳解】解：觀察圖形：∵的半徑為，點到直線的距離為．
∴把直線向上平移或才能使與相切，
故答案為：或．
【變式訓練8-4】如圖，⊙O的半徑OC=10cm，直線l⊥OC，垂足為H，且l交⊙O于A，B兩點，AB=16cm，則l沿OC所在直線向下平移 cm時與⊙O相切．
【答案】4
【分析】根據垂徑定理可求出，再利用勾股定理可得，從而，再由l與⊙O相切，則點 到直線l的距離等于OC=10cm，從而得到l沿OC所在直線向下平移的距離等于，即可求解．
【詳解】解：∵直線l⊥OC，AB=16cm，
∴ ， ，
∵ ，
在 中，由勾股定理得
，
∴ ，
若l與⊙O相切，
則點 到直線l的距離等于OC=10cm，
∴l沿OC所在直線向下平移的距離等于
即l沿OC所在直線向下平移時與⊙O相切．
故答案為： ．
【點睛】本題主要考查了垂徑定理，直線與圓的位置關系，勾股定理，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．
【變式訓練8-5】如圖，在中，，，，點為邊上動點，過點作垂線交于點當點由點運動至點時，點運動路徑長 ．
【答案】
【分析】本題考查了隱圓、直線與圓的位置關系、解直角三角形，關鍵是搞清什么時候最大．
點從出發進行的往復運動，只要求出的最大值即可，，所以想到作以為直徑的圓，當圓與相切時，最大．
【詳解】解：以為直徑的圓與交于兩點，說明點進行的往復運動，當圓與相切時，最大，此時，連接，則，
，，，
，設圓的半徑為，
在中，，
，
，
點進行的往復運動，
路徑長為，
故答案為：．
【變式訓練8-6】如圖，直線、相交于點，，半徑為的的圓心在直線上，且與點的距離為．如果以的速度，沿由A向B的方向移動，那么 秒種后與直線相切．
【答案】4或8
【分析】本題考查了直線與圓的位置關系：直線與有三種位置關系（相切、相交、相離）．也考查了切線的性質和直角三角形的性質．
分類討論：當點在當點在射線時與相切，過作與，根據切線的性質得到，再利用含的直角三角形三邊的關系得到，則的圓心在直線上向右移動了后與相切，即可得到移動所用的時間；當點在射線時與相切，過作與，同前面一樣易得到此時移動所用的時間．
【詳解】解：當點在射線時與相切，如圖，
過作于，
，
，
，
的圓心在直線上向右移動了后與相切，
移動所用的時間（秒；
當點在射線時與相切，如圖，
過作與，
，
，
，
的圓心在直線上向右移動了后與相切，
移動所用的時間（秒．
故答案為4或8．
題型九：切線的實際應用
【經典例題9】如圖，當太陽光線與地面成的角時，測得空中熱氣球在地面上的影長是10m，則熱氣球的直徑是（ ）
A．20m B． C． D．10m
【答案】C
【分析】本題主要考查了解直角三角形的實際應用，圓的切線性質，理解題意是解題的關鍵．根據題意畫出圖形，解即可．
【詳解】解：如圖，記直徑為，過點作于點，
由題意得，，，，與圓相切于點N，
∴，
∴，
，
，
故選：C．
【變式訓練9-1】小明對《數書九章》中的“遙度圓城”問題進行了改編：如圖，一座圓形城堡有正東、正南、正西和正北四個門，出南門向東走一段路程后剛好看到北門外的一顆大樹，向樹的方向走6里到達城堡邊，再往前走4里到達樹下．則該城堡的外圍直徑為（ ）里
A．3 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【分析】本題考查勾股定理，解直角三角形，切線的性質，切線長定理，由切圓于D，切圓于C，連接，得到，里，由勾股定理求出，由，求出（里），即可得到答案．
【詳解】解：如圖，表示圓形城堡，

由題意知：切圓于D，切圓于C，連接，
∴，里，
∵里，
∴里，
∴，
∵，
∴，
∴（里）．
∴城堡的外圍直徑為（里）．
故選：B．
【變式訓練9-2】小明對出自秦九韶《數書九章》中的“遙度圓城”問題進行了改編：如圖，一座圓形城堡有正東、正南、正西和正北四個門，出南門向東走一段路程后剛好看到北門外的一棵大樹，向樹的方向走到達城堡邊，再往前走到達樹下，則該城堡的外圍周長為 ．
【答案】
【分析】本題考查勾股定理、銳角三角函數的定義、切線的性質、切線長定理等知識，設圓形城堡的圓心為，則切于點，切于點，連接，得出，， ，再求出，然后由勾股定理求出，由銳角三角函數的定義得出，求出，最后由圓周長公式即可得出結果，關鍵是理解題意，由銳角的正切求出的長．
【詳解】解：如圖，表示圓形城堡，連接，
由題意可知，切于點D，切于點C，則，，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得，即，
∴，
在中，，
在中，，
∴，即，
∴，∴城堡的外圍周長．
故答案為：．
【變式訓練9-3】某博物館出土了一件文物，文物長度為，擺放在高度為的展示架上，一老師打算帶舞蹈團去參觀，舞蹈團的平均身高為，為了保證觀看視角最大（視角：人眼與被觀看物兩邊構成的角），柵欄應擺放在距多遠的位置？

【答案】
【分析】本題綜合考查了與圓相切的位置關系和勾股定理，找出最大視角即與圓相切的位置關系是解決問題的關鍵．
根據題意畫出圖形找到最大視角，運用與圓有關的位置相切和勾股定理求解即可．
【詳解】解：如圖，在上截取，則在過，且與地面平行的直線上，

當過，，的與相切時，最大，
過作，則，
，
，
柵欄應擺放在距的位置．
【變式訓練9-4】綜合與實踐：
任務一：確定弦的長度．如圖2，求所對弦的長度．
任務二：設計甲組扇面．如圖3，已知甲組的圓形卡紙直徑為．請運用所給工具在中設計與圖2相同的扇面，并標出相應數據．
任務三：確定卡紙大小．如圖4，乙組利用矩形卡紙，恰好設計出與圖2相同的扇面，求矩形卡紙的最小規格（即矩形的邊長）．
活動主題 扇面制作
活動情景 如圖1，扇面字畫是一種傳統的中國藝術形式，它將字和繪畫結合在扇面上，形成一種獨特的藝術風格．為了迎接我市傳統民俗文化活動的到來，某班組織同學們開展扇面制作展示活動．如圖2，扇面形狀為扇環，且，，．
活動小組 甲組 乙組
制作工具 直尺、三角板、量角器、圓規、剪刀
制作材料
【答案】任務一：， 任務二：見解析；任務三：矩形的邊長為、．
【分析】本題考查了垂徑定理，含角的直角三角形，解題的關鍵是：熟練掌握相關性質定理．
任務一：由弧所對的圓心角為，可得，求得，應用勾股定理求出，即可求解，
任務二：以直徑為底邊，構造底角為30度的等腰三角形，則得到的三角形和任務一三角形全等，再按要求取點，再以為圓心，分別以、為半徑畫弧，得到的扇面圖形與圖2相同；
任務三：在上取一點使，以為圓心，為半徑的圓與相切，此時點與點重合，在圓上取一點A，使，即可得到扇面．過點作，則矩形為最小規格矩形，
【詳解】任務一：解：過點O作，交于點，
，，
，
，
，，
，
任務二：如圖，是以直徑為底邊，底角為度，由任務一可知，，取，以O為圓心，分別以、為半徑畫弧，即可得到扇面．

任務三：如圖所示：當與矩形兩邊相切時，過點作，則矩形為最小規格矩形，

∵，，，
∴，，，
∵當與矩形兩邊相切，
∴最小規格矩形的邊長為、，
【變式訓練9-5】已知太陽光線與水平線的夾角為（如圖），如果一個圓形物體在水平線上形成的影長為米．
(1)請在圖所示的直線上畫出表示這個圓形物體影長的線段；
(2)求這個圓形物體的半徑長．
【答案】(1)見解析
(2)該圓形物體的半徑長為米
【分析】本題主要考查了解直角三角形，全等三角形的性質與判定，切線的性質：
（1）如圖所示，找到圓心，畫出過點的切線，為表示影長的線段；
（2）先由切線的性質得到，，再證明，，得到，，設， 解中得到，解得到，進而得到，解方程即可得到答案．
【詳解】（1）解：如圖所示，找到圓心，畫出過點的切線，為表示影長的線段；
（2）解：設、、上的切點分別為 、、，如圖所示．
∴，，
又∵
∴，．
∴，
∵，
∴，
∴，
設，
在中，；
在中，；
依據題意，得：
解得 ．
答：該圓形物體的半徑長為米．
【變式訓練9-6】某海域有一小島P，在以P為圓心，半徑r為海里的圓形海域內有暗礁，一海監船自西向東航行，它在A處測得小島P位于北偏東的方向上，當海監船行駛海里后到達B處，此時觀測小島P位于B處北偏東方向上．
(1)若過點P作于點C，則 ；
(2)求A，P兩點之間的距離；
(3)若海監船由B處繼續向東航行是否有觸礁危險？請說明理由．如果有觸礁危險，那么海監船由B處開始沿南偏東至多多少度的方向航行能安全通過這一海域？請直接寫出海監船由B處開始沿南偏東至多 的方向航行能安全通過這一海域．
【答案】(1)
(2)海里
(3)75
【分析】（1）直接解即可得到答案；
（2）：設海里，則海里，解得到海里，由此建立方程，求出海里，再解求出即可；
（3）比較與的半徑大小可知有觸礁風險；如圖所示，設新航向為射線的方向，過點P作于E，解中，求出海里，當射線恰好與相切時，即此時海里，解，求出，則，即可得到海監船由B處開始沿南偏東至多75度的方向航行能安全通過這一海域．
【詳解】（1）解：由題意得，，
在中，，
故答案為：；
（2）解：設海里，則海里，
由題意得，，海里，
在中，，
∴海里，
∴，
解得，
∴海里，
在中，海里；
（3）解：∵，
∴海監船由B處繼續向東航行有觸礁危險；
如圖所示，設新航向為射線的方向，過點P作于E，
在中，海里，
當射線恰好與相切時，即此時海里，
在中，，
∴，
∴，
∴海監船由B處開始沿南偏東至多75度的方向航行能安全通過這一海域，
故答案為：75．
【點睛】本題主要考查了解直角三角形的實際應用，切線的性質，正確理解題意是解題的關鍵．
題型十：切線的應用之最值問題
【經典例題10】如圖，在中，，，，D是上一動點，于E，交于點F，則的最大值是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】取的中點O，連接，，延長交于T．證明，推出點E在以O為圓心，為半徑的圓上運動，推出當與相切時，的值最大，根據切線的性質、平行線的性質及含30度角的直角三角形的性質即可得出答案．
【詳解】解：如圖，取的中點O，連接，，延長交于T．

∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴E在上，
∵，
∴，
∴點E在以O為圓心，為半徑的圓上運動，
∵，
∴當與相切時，的值最大，
∵直線，直線都是的切線，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最大值為．
故選：B．
【點睛】本題考查直角三角形角的性質、直線與圓的位置關系、線段的垂直平分線的性質等知識，解題的關鍵是發現點E在以O為圓心，為半徑的圓上運動，并推出與相切時，的值最大．
【變式訓練10-1】如圖，中，，，D在邊上，且，P為形內一點，滿足，直線交于點E，當最大時，的長是（ ）
A． B． C． D．6
【答案】C
【分析】本題主要考查軌跡和最值問題，涉及勾股定理、切線定理以及相似三角形的判定和性質，根據題意得點P在以為直徑的圓上，當最大時，線段與相切，取的中點，連接和，可證明，得，在中可求得答案．
【詳解】解：∵，
∴點P在以為直徑的圓上，
取的中點，連接和，如圖，
當最大時，線段與相切，則，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴
∴，
在中，，
則，解得，
那么，．
故選：C．
【變式訓練10-2】如圖，在 ABC中，，，為中點，則當最大時，的長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了圓的切線的性質，勾股定理，三角形中位線性質；取的中點，點在以點為圓心，為半徑的圓上，點在以點為圓心，為半徑的圓上，當與相切時，最大，即，然后運用勾股定理求解即可；解題的關鍵是掌握點、的運動軌跡．
【詳解】解：如圖，取的中點，
，，為中點，
，
點在以點為圓心，為半徑的圓上，
點在以點為圓心，為半徑的圓上，
∵當與相切時，最大，
，
，
故選：D．
【變式訓練10-3】如圖，在矩形中，，，P是矩形內部的一個動點，且，連接并延長交于E，則的最大值為 ．

【答案】/
【分析】以為直徑作，連接，，設，當直線與相切時，最大，證明，得，再同理可證：，得，再在中，根據勾股定理即可．
【詳解】解：在矩形中，，
以為直徑作，連接，，設，
，
點在上，，
當直線與相切時，最大，
，
，
在和中
，
，
，
同理可證：，
，
在中，，
，
解得：，
故的最大值為．
故答案為：．
【點睛】本題主要四邊形綜合應用，動點問題，三角形全等的性質和判定，勾股定理，圓的定義等知識，解題的關鍵是正確的作出輔助線．
【變式訓練10-4】如圖，點在數軸上對應的數是，以原點為圓心，的長為半徑作優弧，使點在原點的左上方，且，點為的中點，點在數軸上對應的數為4．
(1)求扇形的面積；
(2)點是優弧上任意一點，則求的最大值；
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查特殊角三角函數值，扇形面積公式，圓的切線：
（1）根據得出，進而得出優弧所對的圓心角，再利用扇形面積公式求解；
（2）當與優弧相切時，最大，根據的正弦值確定度數．
【詳解】（1）解：點在數軸上對應的數是，原點為圓心，
，
，
優弧所對的圓心角為：，
．
（2）解：如圖，當與優弧相切時，最大，
，
．
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