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專題2.3 三角形的內(nèi)切圓六大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：直角三角形的周長、面積與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系
【經(jīng)典例題1】如圖， ABC的內(nèi)切圓與，，分別相切于點，，，連接，，，，，則陰影部分的面積為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了勾股定理、三角形內(nèi)切圓、面積法求內(nèi)切圓半徑、扇形面積等知識點，求出內(nèi)切圓半徑是解題的關(guān)鍵．
連結(jié)、、，，設(shè)半徑為，利用面積公式求出內(nèi)切圓半徑，，再說明四邊形是正方形，再根據(jù)求解即可．
【詳解】解：如圖：連接、、，，設(shè)半徑為，
，，，
，
的內(nèi)切圓與，，分別相切于點，，，
，，，且，
，
四邊形是正方形，
，
，
，．
故選：C．
【變式訓(xùn)練1-1】如圖， ABC的內(nèi)切圓與，，分別相切于點，，，且，，，則陰影部分（即四邊形）的面積為（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了三角形的內(nèi)切圓，根據(jù)切線的性質(zhì)，判斷出四邊形為正方形，利用直角三角形的內(nèi)切圓的半徑的計算公式，求出的長，進一步求出陰影部分的面積即可，掌握直角三角形的內(nèi)切圓的半徑的計算方法是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵，，，
，
∵與，，分別相切于點，，，
∴，，，，，
∴，，
∴四邊形是正方形，，
∴，
∴，
故選：．
【變式訓(xùn)練1-2】在 ABC中，，，則 ABC的內(nèi)切圓的半徑為 ．
【答案】1
【分析】本題考查求直角三角形的內(nèi)切圓的半徑，勾股定理求出的長，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，根據(jù)切線長定理，得到，進行求解即可．
【詳解】解：∵，，
∴，
設(shè)的內(nèi)切圓與三邊的切點分別為，內(nèi)切圓的半徑為，如圖，
則：四邊形為正方形，，，
∴，
∴，
∴；
故答案為：1．
【變式訓(xùn)練1-3】如圖，在 ABC中，，是 ABC的內(nèi)切圓，切點分別為D、E、F，若，，則的半徑為 ．
【答案】1
【分析】連接、．由已知條件可得出，，結(jié)合已知條件證明四邊形是正方形，由正方形的性質(zhì)可得出，
根據(jù)切線長定理可得，，進而可得出，，，最后利用勾股定理列出方程求解即可．
【詳解】解：連接、．
∵內(nèi)切于 ABC，
∴，，
又∵，
∴四邊形是矩形，
又∵，
∴四邊形是正方形，
∴．．
∵內(nèi)切于 ABC，
∴，，
∵，，
∴，，
在中，
即．
解得：，（舍去），
故的半徑為1．
故答案為：1．
【點睛】本題考查了三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，正方形的判定以及性質(zhì)，切線長定理，勾股定理，掌握三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，正方形的判定以及性質(zhì)，切線長定理是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練1-4】如圖，在中，， ABC的內(nèi)切圓與分別相切于點D、E、F，若的半徑為2，，則的長 ．
【答案】10
【分析】本題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，切線長定理、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用參數(shù)，構(gòu)建方程解決問題．連接．則由題意可知四邊形是正方形，邊長為2．設(shè)，，則，由，由此即可解決問題；
【詳解】解：如圖連接．則由題意可知四邊形是正方形，邊長為2．
∵的內(nèi)切圓與分別相切于點D、E、F，
∴可以假設(shè)，，
則，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案為：10．
【變式訓(xùn)練1-5】如圖， ABC中，，， ABC，，的內(nèi)切圓半徑分別記為，，，若，，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)已知條件證明，，利用三角形面積比解答即可．本題主要考查了三角形的內(nèi)切圓，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
【詳解】解：令，，，
在中，，
可得：，
，
，
又，
，
，
即：，
，
同理可得：，
，
，
即：，
∵，，的內(nèi)切圓半徑分別記為，，，
，，，
；
，
，，
．
故答案為：．
題型二：圓外切四邊形模型
【經(jīng)典例題2】如圖，是四邊形的內(nèi)切圓．若，則（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)內(nèi)切圓得到四條角平分線，結(jié)合四邊形內(nèi)角和定理求解即可得到答案；
【詳解】解：∵是四邊形的內(nèi)切圓，
∴，，， ，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
故選：A；
【點睛】本題考查圓內(nèi)切四邊形及四邊形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是得到．
【變式訓(xùn)練2-1】如圖，O是正方形ABCD的對角線BD上一點，⊙O與邊AB，BC都相切，點E，F(xiàn)分別在AD，DC上，現(xiàn)將△DEF沿著EF對折，折痕EF與⊙O相切，此時點D恰好落在圓心O處．若DE=2，則正方形ABCD的邊長是（　　）
A．3 B．4
C． D．
【答案】C
【分析】延長FO交AB于點G，根據(jù)折疊對稱可以知道OF⊥CD，所以O(shè)G⊥AB，即點G是切點，OD交EF于點H，點H是切點．結(jié)合圖形可知OG=OH=HD=EH，等于⊙O的半徑，先求出半徑，然后求出正方形的邊長．
【詳解】解：如圖：延長FO交AB于點G，則點G是切點，OD交EF于點H，則點H是切點，
∵ABCD是正方形，點O在對角線BD上，
∴DF=DE，OF⊥DC，
∴GF⊥DC，
∴OG⊥AB，
∴OG=OH=HD=HE=AE，且都等于圓的半徑．
在等腰直角三角形DEH中，DE=2，
∴EH=DH==AE．
∴AD=AE+DE=+2．
故選C．
【點睛】本題考查的是切線的性質(zhì)，利用切線的性質(zhì)，結(jié)合正方形的特點求出正方形的邊長．
【變式訓(xùn)練2-2】如圖，圓O是四邊形ABCD的內(nèi)切圓，若∠BOC＝118°，則∠AOD＝ ．
【答案】62°
【分析】先根據(jù)切線長定理得到∠1＝∠ABC，∠2＝∠BCD，∠3＝∠ADC，∠4＝∠BAD，再利用三角形內(nèi)角和計算出∠1+∠2＝62°，則∠ABC+∠BCD＝124°，然后利用四邊形內(nèi)角和得出∠BAD+∠ADC＝236°，再求∠3+∠4＝118°即可．
【詳解】解：∵圓O是四邊形ABCD的內(nèi)切圓，
∴OA平分ABC，OC平分∠BCD，OD平分∠ADC，OA平分∠BAD，
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠BCD，∠3＝∠ADC，∠4＝∠BAD，
∵∠1+∠2＝180°﹣∠BOC＝180°﹣118°＝62°，
∴∠ABC+∠BCD＝2（∠1+∠2）＝2×62°＝124°，
∵∠BAD+∠ADC＝360°﹣（∠ABC+∠BCD）＝360°﹣124°＝236°，
∴∠3+∠4＝（∠BAD+∠ADC）＝×236°＝118°，
∴∠AOD＝180°﹣（∠3+∠4）＝180°﹣118°＝62°．
故答案為：62°．
【點睛】本題考查了四邊形的內(nèi)切圓．切線的性質(zhì)和切線長定理，三角形內(nèi)角和，掌握四邊形的內(nèi)切圓性質(zhì)．切線的性質(zhì)和切線長定理，三角形內(nèi)角和是解題關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練2-3】將正方形ABCD繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于點E，AB＝，則四邊形AB1ED的內(nèi)切圓半徑為
【答案】
【分析】首先作∠DAF與∠AB1C1的角平分線，交于點O，則O為該圓的圓心，過O作OF⊥AB1交AB1于點F，則OF即為所求，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠OAF=30°，∠AB1O=45°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及含30°角的直角三角形性質(zhì)可得B1F=x，AF=-x，接下來在Rt△OFA，利用勾股定理即可得到關(guān)于x的方程，解方程即可求解.
【詳解】作∠DAF與∠AB1C1的角平分線，交于點O，過O作OF⊥AB1交AB1于點F，
AB=AB1=，∠BAB1=30°，
∵四邊形AB1C1D1是正方形，∠DAF與∠AB1C1的角平分線交于點O，∠BAB1=30°
∴∠OAF=30°，∠AB1O=45°
∵OF⊥AB1
∴B1F=OF=OA
設(shè)B1F=x，則AF=-x
∴（-x）2+x2=（2x）2
解得x=或x=（舍去）
即四邊AB1ED的內(nèi)切圓的半徑為.
故答案為.
【點睛】此題主要考查了正方形中的旋轉(zhuǎn)問題，添加合適的輔助線是解題關(guān)鍵.
【變式訓(xùn)練2-4】如圖，正方形，正方形和正方形都在正方形內(nèi)，且．分別與，，，相切，點恰好落在 上，若，則的直徑為 ．

【答案】
【分析】連接，由題意可知過點，，且，列出方程求解即可．
【詳解】解：如圖所示，連接，過點作于，過點作于，

∵正方形，正方形和正方形都在正方形內(nèi)，
∴，
∵分別與，，，相切，
∴四邊形是正方形，
∴過點，，
四邊形為正方形，
，，．
．
．
設(shè)的直徑為，則
．
，
．，
，
（）
解得：．
即的直徑為．
故答案為：．
【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)及正方形的內(nèi)切圓，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
題型三：三角形內(nèi)心有關(guān)的應(yīng)用
【經(jīng)典例題3】如圖，點O是 ABC的內(nèi)心，，則的度數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查三角形內(nèi)角和、三角形的內(nèi)心及角平分線的定義，熟練掌握三角形的內(nèi)心及三角形內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵；由題意易得分別是的角平分線，然后可得，進而根據(jù)三角形內(nèi)角和可進行求解．
【詳解】解：∵點O是的內(nèi)心，
∴分別是的角平分線，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故選B．
【變式訓(xùn)練3-1】如圖，點I為 ABC的內(nèi)心，連接AI并延長，交 ABC的外接圓于點D，點E為弦的中點，連接，，，當，，時，的長為（ ）
A．5 B．4.5 C．4 D．3.5
【答案】C
【分析】本題考查三角形的內(nèi)心、三角形的外接圓、三角形的中位線定理、直角三角形的判定、勾股定理等知識，延長到，使，連接．通過內(nèi)心和圓周角可得，進而得到，根據(jù)勾股定理求出，證明是的中位線即可解決問題．
【詳解】解：延長到，使，連接，
是的內(nèi)心，
，，
，，，
，
，
，
∴，
∵，
，
∵，，
，
，
，即點為的中點，
，
是的中位線，
，
故選：C．
【變式訓(xùn)練3-2】如圖，點為 ABC外接圓的圓心，點為 ABC的內(nèi)心，連接，，若，則的度數(shù)為

【答案】
【分析】本題主要考查了三角形的內(nèi)心和外心的概念，圓周角定理，等腰三角形的定義，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握以上知識點，添加適當?shù)妮o助線，是解此題的關(guān)鍵．
連接，根據(jù)點是內(nèi)心得到，根據(jù)圓周角定理可得，根據(jù)等腰三角形的定義以及三角形內(nèi)角和定理進行計算，即可求解．
【詳解】解：如圖，連接，

∵點是的內(nèi)心，
∴平分，
∵，
∴，
∵點是的外接圓的圓心，
∴，
∵，
故答案為： ．
【變式訓(xùn)練3-3】如圖，是的直徑， ABC內(nèi)接于，點I為 ABC的內(nèi)心，連接并延長交于點D，E是上任意一點，連接，，，．
(1)若，求的度數(shù)：
(2)求證：；
(3)若，，求的長．
【答案】(1)
(2)見解析
(3)
【分析】（1）利用圓周角定理得到，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求，然后利用圓內(nèi)接四邊形的對角互補求解即可；
（2）連接，由三角形的內(nèi)心性質(zhì)得到內(nèi)心，，，然后利用圓周角定理得到，，利用三角形的外角性質(zhì)證得，然后利用等角對等邊可得結(jié)論；
（3）由（2）可知，然后由勾股定理依次求出，即可．
【詳解】（1）解：∵是的直徑，
∴，又，
∴，
∵四邊形是內(nèi)接四邊形，
∴，
∴；
（2）證明：連接，
∵點I為的內(nèi)心，
∴，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【點睛】本題考查圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)心性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運用是解答的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練3-4】如圖，點E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長線和△ABC的外接圓相交于點D，連接BE，
(1)若∠CBD=34°,求∠BEC的度數(shù)；
(2)求證：DE=DB．
【答案】(1)124°
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)圓周角定理求出，根據(jù)三角形的內(nèi)心的概念，三角形內(nèi)角和定理求出∠EBC；
（2）根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)，三角形的外角定理證明．
【詳解】（1）解：∵∠CBD=34°
∴∠CAD=34°
∵點E是△ABC的的內(nèi)心
∴∠BAC=2∠CAD=68°
∴∠EBC+∠ECB=（180°-68°）÷2=56°
∴∠BEC=180°-56°=124°
（2）∵E是△ABC的內(nèi)心
∴∠BAD=∠CAD，∠EBA=∠EBC
∵ ∠DEB=∠BAD+∠EBA,∠DBE=∠EBC+∠CBD，∠CBD=∠CAD
∴∠DEB=∠DBE
∴DE=DB ．
【點睛】本題考查的是三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，三角形的外接圓與外心，掌握圓周角定理，三角形的內(nèi)心的概念，三角形的外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練3-5】如圖，I是 ABC的內(nèi)心，AI的延長線交 ABC的外接圓于點D．
(1)求證：；
(2)求證：；
(3)連接、，求證：點D是的外心．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析
【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)心的定義得，再由圓周角與弧之間的關(guān)系即可得證；
（2）連接，證出即可得證；
（3）連接，，，證出即可得證．
【詳解】（1）證明：點I是 ABC的內(nèi)心，
平分，
，
，
，
．
（2）證明：如圖，連接，
點I是 ABC的內(nèi)心，
平分，平分，
，
又，
，
，，
，
．
（3）證明：如圖，連接，，，
，
．
，
∴點D是的外心．
【點睛】本題考查了三角形內(nèi)心和外心的定義，圓的基本性質(zhì)中圓周角與弧之間的關(guān)系等，理解定義，掌握圓的基本性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線是解題的關(guān)鍵.
題型四：一般三角形的周長、面積與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系
【經(jīng)典例題4】如圖，的內(nèi)切圓與分別相切于點D，E，F(xiàn)，且，求的長．
【答案】
【分析】本題主要考查的是三角形內(nèi)切圓的有關(guān)問題以及切線長定理的應(yīng)用，根據(jù)切線長定理列出關(guān)于的方程是解題的關(guān)鍵．
由切線長定理可知：，設(shè)，則，然后根據(jù)，列方程求解即可．
【詳解】解：∵ ABC的內(nèi)切圓與分別相切于點、、，
，
設(shè)，則．
根據(jù)題意得．
解得；．
∴，
∴．
【變式訓(xùn)練4-1】如圖， ABC中，，，與 ABC的三邊分別相切于點D，E，F(xiàn)，若的半徑為2，求 ABC的周長．
【答案】30
【分析】本題考查的是三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，根據(jù)題意作出輔助線，利用勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵．
設(shè)，由切線長定理得，根據(jù)題意可得四邊形為正方形，則，，在直角三角形中，利用勾股定理求出x，然后求其周長．
【詳解】解：連接，，設(shè)．
由切線長定理，得．
與的三邊分別切于點D，E，F(xiàn)，
，，
∵
∴四邊形為正方形．
的半徑為2，，
，．
在中，，
即，
解得，
，，
的周長為．
【變式訓(xùn)練4-2】在 ABC中，其內(nèi)切圓與邊切于D，若，則 ABC的面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理，熟練應(yīng)用切線長定理和連接合適的輔助線是解題的關(guān)鍵，設(shè)，根據(jù)三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)得出，再作，運用銳角三角函數(shù)的定義表示出，再由勾股定理列方程求解即可．
【詳解】解：如圖， ABC中，內(nèi)切圓圓心為，
，
，
設(shè)，
，
，，
作垂足為，
，
，
在中，，
即，
整理得，
，
，
．
故選：D．
【變式訓(xùn)練4-3】如圖， ABC的內(nèi)切圓與，，分別相切于點D，E，F(xiàn)，且，，則 ABC的周長為（　　）
A．18 B．16 C．14 D．12
【答案】A
【分析】本題考查了三角形的內(nèi)切圓，切線長定理，熟練掌握切線長定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)切線長定理得到，，，根據(jù)，于是得到 ABC的周長．
【詳解】解：∵ ABC的內(nèi)切圓與，，分別相切于點D，E，F(xiàn)，
∴，，，
∵，
∴，
∴ ABC的周長，
故選：A．
【變式訓(xùn)練4-4】如圖，是 ABC的內(nèi)切圓，與，，分別相切于點D，E，F(xiàn)．若的半徑為2，，，，則 ABC的面積為（ ）
A． B．24 C．26 D．52
【答案】C
【分析】本題考查了三角形內(nèi)切圓與三角形三邊的關(guān)系，熟練掌握三角形三邊與內(nèi)切圓的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵；
根據(jù)三角形面積=三角形邊長之和乘以內(nèi)切圓半徑之積的一半． 計算即可．
【詳解】 是 ABC的內(nèi)切圓且半徑為2，，，
，
，
則的面積為26，
故選：C
【變式訓(xùn)練4-5】如圖，在 ABC中，，于， 為 ABC的內(nèi)切圓，設(shè) 的半徑為，的長為，則的值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)切圓的特點作出圓心和三條半徑，分別表示出 ABC的面積，利用面積相等即可解決問題．
【詳解】解：如圖所示：為 ABC中、、的角平分線交點，過點分別作垂線交、、于點、、，
，
，
，
的長為，
，
，
，
，
故選：A．
【點睛】本題考查了三角形內(nèi)切圓的相關(guān)性質(zhì)，本題掌握三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，根據(jù)已知條件利用三角形面積相等推出關(guān)系式是解題關(guān)鍵．
題型五：三角形內(nèi)切圓與外接圓綜合
【經(jīng)典例題5】如圖，在 ABC中，．

(1)在圖①中作 ABC的外接圓；在圖②中作 ABC的內(nèi)切圓．（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）
(2)在（1）的條件下，若O、I兩點在同一 ABC中，當，時，______，______．（如需畫草圖，請使用圖③）
【答案】(1)見解析
(2)，
【分析】（1）作的垂直平分線交于點，再以點為圓心，為半徑作圓得到的外接圓；作和的平分線，它們相交于點，作過點作于點，然后以點為圓心，為半徑作圓得到 的內(nèi)切圓；
（2）如圖③，設(shè)與各邊的切點為、、，連接、、，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，，，過點作于點，設(shè)的半徑為，則，先根據(jù)圓周角定理可判斷為的直徑，利用勾股定理可計算出得到，接著證明四邊形為正方形得到，根據(jù)切線長定理得到，，從而得到，解得，然后利用勾股定理可計算出，再利用面積法求出，接著利用勾股定理求出，最后利用余弦的定義求出的余弦值．
【詳解】（1）解：如圖①，為所作；

如圖②，為所作；

（2）如圖③，設(shè)與各邊的切點為、、，連接、、，則，，，過點作于點，
設(shè)的半徑為，則，

，
為的直徑，
，，，
，
，
，
四邊形為矩形，
，
四邊形為正方形，
，
，，
，
，
解得，
，
，
在中，，
在中，，，
，
，
，
，
．
故答案為：，．
【點睛】本題考查了作圖復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．主要考查了三角形外接圓和三角形的內(nèi)切圓．
【變式訓(xùn)練5-1】如圖，E是 ABC的內(nèi)心，的延長線與 ABC的外接圓相交于點D．
(1)求證：；
(2)若，求的半徑．
【答案】(1)見解析
(2)的半徑為
【分析】本題主要考查圓與三角形的綜合運用，理解三角形內(nèi)心的含義，掌握垂徑定理的運用是解題的關(guān)鍵，
（1）連接，根據(jù)三角形中點是內(nèi)心可得，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，等角對等邊的性質(zhì)可得，由此即可求解；
（2）連接交于點F，連接，由角平分線的性質(zhì)可得，垂直平分，在中，，設(shè)的半徑為r，則，由勾股定理即可求解．
【詳解】（1）證明：連接，
∵平分平分，
，
又，
，
，
，，
，
；
（2）解：連接交于點F，連接，
，
，
垂直平分，
，
，在中，，
設(shè)的半徑為r，則，
，
解得，
的半徑為．
【變式訓(xùn)練5-2】如圖，為 ABC的內(nèi)切圓，切點分別為，點分別為上的點，且為的切線．

(1)若，求的度數(shù)；
(2)若，求的周長．
【答案】(1)
(2)11
【分析】本題考查了切線長定理，內(nèi)切圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：
（1）利用三角形內(nèi)角和求出，再根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)和切線長定理得出，，再求出，最后利用三角形內(nèi)角和求出結(jié)果；
（2）設(shè)的切點為，根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)得到，，推出的周長為，再結(jié)合切線長定理可得，再計算即可
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∵為的內(nèi)切圓，
∴，，
∴；
（2）∵為的內(nèi)切圓，為的切線，設(shè)切點為，
∴，，
∴的周長為：
∵，，，
∴
．

【變式訓(xùn)練5-3】如圖，是圓O直徑，弦，垂足為D，圓O周長為，
(1)，求內(nèi)切圓的面積；
(2)，求證：．
【答案】(1)
(2)見解析
【分析】此題考查了垂徑定理、內(nèi)切圓、圓周角定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，證明是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．
（1）連接，證明，則是等邊三角形，得到，點O是的內(nèi)心，求出，即可得到內(nèi)切圓的面積；
（2）連接，根據(jù)（1）中的結(jié)論求出，即可證明．
【詳解】（1）解：連接，
∵是圓O直徑，圓O周長為，
∴，，
∴，
∵
∴，
∵是圓O直徑，弦，
∴，垂直平分，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，點O是的內(nèi)心，
∴，
∴
∴內(nèi)切圓的面積為；
（2）如圖，連接，
∵是等邊三角形， ，
∴，，
∴，
∵點O是的內(nèi)心，
∴，
∴
∴．
【變式訓(xùn)練5-4】如圖， ABC外接圓的圓心在邊上，為 ABC的內(nèi)心，交于，交于，連接交于，交于．
(1)求的度數(shù)；
(2)求證：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）先證明，再證明，，再結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理可得答案；
（2）如圖，連接，，，過作于，證明，，可得，再證明，可得，同理可得：，結(jié)合，可得四邊形為正方形，證明，，可得，從而可得結(jié)論．
【詳解】（1）解：∵外接圓的圓心在邊上，
∴，
∴，
∵為的內(nèi)心，
∴，，
∴．
（2）如圖，連接，，，過作于，
∵為的直徑，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∵為的內(nèi)心，
∴，
∴四邊形為正方形，
∵，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴．
【點睛】本題考查的是三角形的外接圓與內(nèi)心的性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，三角形的平分線的含義，內(nèi)角和定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．
題型六：圓綜合問題
【經(jīng)典例題6】如下圖，已知 ABC中，，，點是 ABC內(nèi)一點，若且平分．
(1)求證：點是的內(nèi)心；
(2)如圖：直接寫出答案：
ABC外接圓的半徑______； ABC的內(nèi)心與外心的距離______．
【答案】(1)證明見解析
(2)，
【分析】（）利用三角形內(nèi)角和定理及等腰三角形的 性質(zhì)求出，證明平分即可求證；
（）利用等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理求出，進而求出，再利用面積法求出即可求解．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即平分，
∴點是的內(nèi)心；
（2）解：連接，則，，
∵，
∴點共線，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
設(shè)，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
故答案為：，．
【點睛】本題考查了圓的內(nèi)切和外接圓，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形內(nèi)角和定理，掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練6-1】如圖，在 ABC中，點D在邊上，平分，經(jīng)過點B、C的交于點E，連接交于點F，．
(1)求證：是的切線；
(2)若，，，求的半徑．
【答案】(1)見解析
(2)的半徑為5
【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，然后利用外角性質(zhì)及切線的判定方法可得結(jié)論
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)解直角三角形及勾股定理可得的長，進而得到答案．
【詳解】（1）連接，如圖，
∵
∴
∵平分，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∵是半徑
∴是的切線；
（2）∵，平分，
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴ ，即
∴
∴的半徑為5
【點睛】此題考查的是外角的性質(zhì)，切線的定義，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形和勾股定理等知識，正確作出輔助線是解決此題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練6-2】如圖，在中，，的角平分線交于點，過點作交于點，以為直徑作．
(1)求證：是的切線；
(2)若，，求的長；
(3)在（2）的條件下求陰影部分的面積．
【答案】(1)見解析
(2)2
(3)
【分析】（1）連接，利用圓周角定理得到點在上，利用角平分線的定義，同圓的半徑相等的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和平行線的判定與性質(zhì)得到，再利用圓的切線的判定定理解答即可；
（2）勾股定理，直角三角形的邊角關(guān)系定理，含角的直角三角形的性質(zhì)解答即可；
（3）利用（2）的結(jié)論得到為等邊三角形，則，利用勾股定理求得，再利用陰影部分的面積解答即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）證明：連接，如圖，
，
，
以為直徑作，
點在上，
，
，
為的平分線，
，
，
，
，
，
，
，
為的半徑，
是的切線；
（2）解：，，
，
，
，
．
，
．
，
，
，
．
（3）解：由（2）知：，，，
，
為等邊三角形，
，
，，
，
陰影部分的面積
．
【點睛】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，圓的切線的判定定理，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的邊角關(guān)系定理，含角的直角三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，平行線的判定與性質(zhì)，連接經(jīng)過切點的半徑，直徑所對的圓周角是解決此類問題常添加的輔助線．
【變式訓(xùn)練6-3】在 ABC中，于點D，P是邊上（與點A，C不重合）的動點，連接PB交于點M，過C，P，M三點作交的延長線于點N，連接．
(1)求證：；
(2)如圖2，連接，若與相切，求此時的半徑r；
(3)在點P的運動過程中，設(shè)線段長為y，圓半徑為r，求y關(guān)于r的函數(shù)解析式及其定義域
【答案】(1)見解析
(2)
(3)
【分析】（1）連接，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)和同弧所對圓周角相等推出，再結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)推出，即可求證；
（2）連接并延長交于點H，連接，根據(jù)，推出，從而得到，證明，得到，再利用同一個三角形面積不變性求解出，在中，利用勾股定理求出，在中，利用勾股定理即可求出半徑；
（3）連接，，，作，根據(jù)條件推出，利用垂徑定理和圓周角定理推出，再利用三角函數(shù)即可求得線段MN和半徑r之間的數(shù)量關(guān)系．
【詳解】（1）證明：如圖1，連接，
∵
∴
∵圓內(nèi)接四邊形
∴
又∵
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
∴
（2）如圖2，連接并延長交于點H，連接．
∵，，
∴，，
∵，
∴為的垂直平分線，即
又∵與相切，即
∴
∴
又∵
∴
∴
∵
∴
又∵
∴
在中，
在中，，
即：，解得．
當與相切時，的半徑r為．
（3）如答圖3，連接，，，作，
∵
∴
∵，，
∴
∵
∴，，
又∵
∴
又∵
∴
∴，
即．
【點睛】本題考查了圓的綜合題型，涉及到了等腰三角形的性質(zhì)、垂直平分線的判定、圓周角定理、平行線的性質(zhì)與判定、全等三角形的性質(zhì)與判定、同一個三角形的面積不變性、三角函數(shù)等知識點，解題的關(guān)鍵是能夠正確作出輔助線，熟練運用各知識點．
【變式訓(xùn)練6-4】如圖，是直角三角形，，以為直徑作，與相交于點B，連接．
(1)尺規(guī)作圖：在劣弧上取點C，使得弧弧，連接，交于點E；
(2)在（1）的條件下，求證：；
(3)在（2）的條件下，連接，若E為的中點，求的值．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)
【分析】（1）根據(jù)題意畫圖即可；
（2）根據(jù)圓周角定理得出，即可得證；
（3）設(shè)，則，根據(jù)線段比例關(guān)系得出，根據(jù)勾股定理得出，證明，根據(jù)線段比例關(guān)系得出，，，即可得出的值．
【詳解】（1）解：如圖，
（2）證明：，
，
又，
；
（3）設(shè)，則，
，
，
即，
故，
在中，，
，
，
，
即，
故，，
；
是的直徑，
，
在中，
．
【點睛】本題是圓的綜合題，考查了圓周角定理，圓的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形的相關(guān)計算等知識，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練6-5】如圖，以 ABC的邊為直徑作交于點D，且D為的中點，過點D作于點E，交的延長線于點P，過點D作于點F，已知，．
(1)求證：是的切線；
(2)當動點M（不與點A，B重合）在上運動時，的值是否發(fā)生變化？若不變，求出此值；若變化，請說明變化規(guī)律．
【答案】(1)見解析
(2)不會發(fā)生變化，
【分析】（1）連接，利用三角形的中位線定理，平行線的性質(zhì)和圓的切線的判定定理解答即可得出結(jié)論；
（2）連接，設(shè)的半徑為r，則，利用勾股定理求得r值，利用相似三角形的判定與性質(zhì)得到，則，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）證明：連接，則為的中位線，
，
，
，
為的半徑，
是的切線．
（2）(2)解：的值不會發(fā)生變化，．
理由：連接，設(shè)的半徑為r，則
，
在中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的值不會發(fā)生變化，．
【點睛】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓的切線的判定與性質(zhì)，三角形的中位線，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，連接經(jīng)過切點的半徑是解決此類問題常添加的輔助線．
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專題2.3 三角形的內(nèi)切圓六大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：直角三角形的周長、面積與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系
【經(jīng)典例題1】如圖， ABC的內(nèi)切圓與，，分別相切于點，，，連接，，，，，則陰影部分的面積為（ ）

A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練1-1】如圖， ABC的內(nèi)切圓與，，分別相切于點，，，且，，，則陰影部分（即四邊形）的面積為（　　）

A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練1-2】在 ABC中，，，則 ABC的內(nèi)切圓的半徑為 ．
【變式訓(xùn)練1-3】如圖，在 ABC中，，是 ABC的內(nèi)切圓，切點分別為D、E、F，若，，則的半徑為 ．
【變式訓(xùn)練1-4】如圖，在中，， ABC的內(nèi)切圓與分別相切于點D、E、F，若的半徑為2，，則的長 ．
【變式訓(xùn)練1-5】如圖， ABC中，，， ABC，，的內(nèi)切圓半徑分別記為，，，若，，則 ．
題型二：圓外切四邊形模型
【經(jīng)典例題2】如圖，是四邊形的內(nèi)切圓．若，則（ ）

A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練2-1】如圖，O是正方形ABCD的對角線BD上一點，⊙O與邊AB，BC都相切，點E，F(xiàn)分別在AD，DC上，現(xiàn)將△DEF沿著EF對折，折痕EF與⊙O相切，此時點D恰好落在圓心O處．若DE=2，則正方形ABCD的邊長是（　　）
A．3 B．4
C． D．
【變式訓(xùn)練2-2】如圖，圓O是四邊形ABCD的內(nèi)切圓，若∠BOC＝118°，則∠AOD＝ ．
【變式訓(xùn)練2-3】將正方形ABCD繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于點E，AB＝，則四邊形AB1ED的內(nèi)切圓半徑為
【變式訓(xùn)練2-4】如圖，正方形，正方形和正方形都在正方形內(nèi)，且．分別與，，，相切，點恰好落在 上，若，則的直徑為 ．

題型三：三角形內(nèi)心有關(guān)的應(yīng)用
【經(jīng)典例題3】如圖，點O是 ABC的內(nèi)心，，則的度數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練3-1】如圖，點I為 ABC的內(nèi)心，連接AI并延長，交 ABC的外接圓于點D，點E為弦的中點，連接，，，當，，時，的長為（ ）
A．5 B．4.5 C．4 D．3.5
【變式訓(xùn)練3-2】如圖，點為 ABC外接圓的圓心，點為 ABC的內(nèi)心，連接，，若，則的度數(shù)為

【變式訓(xùn)練3-3】如圖，是的直徑， ABC內(nèi)接于，點I為 ABC的內(nèi)心，連接并延長交于點D，E是上任意一點，連接，，，．
(1)若，求的度數(shù)：
(2)求證：；
(3)若，，求的長．
【變式訓(xùn)練3-4】如圖，點E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長線和△ABC的外接圓相交于點D，連接BE，
(1)若∠CBD=34°,求∠BEC的度數(shù)；
(2)求證：DE=DB．
【變式訓(xùn)練3-5】如圖，I是 ABC的內(nèi)心，AI的延長線交 ABC的外接圓于點D．
(1)求證：；
(2)求證：；
(3)連接、，求證：點D是的外心．
題型四：一般三角形的周長、面積與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系
【經(jīng)典例題4】如圖，的內(nèi)切圓與分別相切于點D，E，F(xiàn)，且，求的長．
【變式訓(xùn)練4-1】如圖， ABC中，，，與 ABC的三邊分別相切于點D，E，F(xiàn)，若的半徑為2，求 ABC的周長．
【變式訓(xùn)練4-2】在 ABC中，其內(nèi)切圓與邊切于D，若，則 ABC的面積是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練4-3】如圖， ABC的內(nèi)切圓與，，分別相切于點D，E，F(xiàn)，且，，則 ABC的周長為（　　）
A．18 B．16 C．14 D．12
【變式訓(xùn)練4-4】如圖，是 ABC的內(nèi)切圓，與，，分別相切于點D，E，F(xiàn)．若的半徑為2，，，，則 ABC的面積為（ ）
A． B．24 C．26 D．52
【變式訓(xùn)練4-5】如圖，在 ABC中，，于， 為 ABC的內(nèi)切圓，設(shè) 的半徑為，的長為，則的值為（ ）

A． B． C． D．
題型五：三角形內(nèi)切圓與外接圓綜合
【經(jīng)典例題5】如圖，在 ABC中，．

(1)在圖①中作 ABC的外接圓；在圖②中作 ABC的內(nèi)切圓．（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）
(2)在（1）的條件下，若O、I兩點在同一 ABC中，當，時，______，______．（如需畫草圖，請使用圖③）
【變式訓(xùn)練5-1】如圖，E是 ABC的內(nèi)心，的延長線與 ABC的外接圓相交于點D．
(1)求證：；
(2)若，求的半徑．
【變式訓(xùn)練5-2】如圖，為 ABC的內(nèi)切圓，切點分別為，點分別為上的點，且為的切線．

(1)若，求的度數(shù)；
(2)若，求的周長．
【變式訓(xùn)練5-3】如圖，是圓O直徑，弦，垂足為D，圓O周長為，
(1)，求內(nèi)切圓的面積；
(2)，求證：．
【變式訓(xùn)練5-4】如圖， ABC外接圓的圓心在邊上，為 ABC的內(nèi)心，交于，交于，連接交于，交于．
(1)求的度數(shù)；
(2)求證：．
題型六：圓綜合問題
【經(jīng)典例題6】如下圖，已知 ABC中，，，點是 ABC內(nèi)一點，若且平分．
(1)求證：點是的內(nèi)心；
(2)如圖：直接寫出答案：
ABC外接圓的半徑______； ABC的內(nèi)心與外心的距離______．
【變式訓(xùn)練6-1】如圖，在 ABC中，點D在邊上，平分，經(jīng)過點B、C的交于點E，連接交于點F，．
(1)求證：是的切線；
(2)若，，，求的半徑．
【變式訓(xùn)練6-2】如圖，在中，，的角平分線交于點，過點作交于點，以為直徑作．
(1)求證：是的切線；
(2)若，，求的長；
(3)在（2）的條件下求陰影部分的面積．
【變式訓(xùn)練6-3】在 ABC中，于點D，P是邊上（與點A，C不重合）的動點，連接PB交于點M，過C，P，M三點作交的延長線于點N，連接．
(1)求證：；
(2)如圖2，連接，若與相切，求此時的半徑r；
(3)在點P的運動過程中，設(shè)線段長為y，圓半徑為r，求y關(guān)于r的函數(shù)解析式及其定義域
【變式訓(xùn)練6-4】如圖，是直角三角形，，以為直徑作，與相交于點B，連接．
(1)尺規(guī)作圖：在劣弧上取點C，使得弧弧，連接，交于點E；
(2)在（1）的條件下，求證：；
(3)在（2）的條件下，連接，若E為的中點，求的值．
【變式訓(xùn)練6-5】如圖，以 ABC的邊為直徑作交于點D，且D為的中點，過點D作于點E，交的延長線于點P，過點D作于點F，已知，．
(1)求證：是的切線；
(2)當動點M（不與點A，B重合）在上運動時，的值是否發(fā)生變化？若不變，求出此值；若變化，請說明變化規(guī)律．
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