資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
23.2 中心對稱
23.3 課題學習 圖案設計
■重點01 中心對稱圖形
把一個圖形繞著某一點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是對稱中心． 如線段和平行四邊形是最常見的中心對稱圖形．線段的對稱中心是它的中點，平行四邊形的對稱中心是它兩條對角線的交點．
【典例1】　（2024秋 長樂區期中）我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．如圖為部分“卦”的符號，其中不是中心對稱圖形的是　　
A． B． C． D．
【典例2】　（2024秋 周至縣期中）下列圖形中，是中心對稱圖形的是　　
A． B．
C． D．
【典例3】　（2024秋 長壽區校級期中）如圖所示標志中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是　　
A． B．
C． D．
【典例4】　（2024 雨花區一模）下列圖形中，是中心對稱圖形的是　　
A． B．
C． D．
1．中心對稱與中心對稱圖形的區別與聯系 區別聯系中心對稱（1）針對兩個圖形而言； （2）是指兩個圖形的位置關系； （3）對稱點在兩個圖形上； （4）對稱中心可能在圖形的外部，也可能在圖形的內部或圖形上（1）都是把圖形旋轉180°后能重合． （2）兩者可以相互轉化，如果把成中心對稱的兩個圖形看成一個整體，那么這“一個”圖形就是中心對稱圖形；反過來，如果把一個中心對稱圖形相互對稱的兩部分看成“兩個”圖形，那么這“兩個”圖形成中心對稱中心對稱圖形（1）針對一個圖形而言； （2）是指具有某種性質的一個圖形； （3）對稱點在一個圖形上； （4）對稱中心可能在圖形的內部
2．旋轉圖形中的角和“棱”都是偶數． 3．判斷一個圖形是不是中心對稱圖形的依據： （1）圍繞某點；（2）旋轉180°；（3）與本身重合．
■重點02 中心對稱
把一個圖形繞著某一個點旋轉180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱． 這個點叫做對稱中心（簡稱中心）．這兩個圖形在旋轉后能重合的對應點叫做關于對稱中心的對稱點．
【典例1】　（2024秋 浦北縣期中）如圖，與關于點成中心對稱，則下列結論不成立的是　　
A． B．
C． D．點與點是對應點
【典例2】　（2023秋 萊州市期末）下列各圖中，四邊形是正方形，其中陰影部分兩個三角形成中心對稱的是　　
A． B．
C． D．
【典例3】　（2024秋 南昌期中）如圖，與△成中心對稱，是的中位線，是△的中位線，已知，則　　．
【典例4】　（2024秋 羅定市期中）如圖，已知△與△關于點中心對稱，若，則的長為　　．
方法一：連接任意一對對稱點，取這條線段的中點，則該點為對稱中心． 方法二：連接任意兩對對稱點，這兩條線段的交點即是對稱中心．
■重點03 關于原點對稱的點的坐標
1．兩個點關于原點對稱時，它們的橫、縱坐標都互為相反數．即點P（x，y）關于原點的對稱點為P′（–x，–y）． 2．第一象限內的點關于原點的對稱點在第三象限，第二象限內的點關于原點的對稱點在第四象限．坐標軸上的點關于原點的對稱點仍在坐標軸上．
【典例1】　（2023秋 荔灣區期末）在平面直角坐標系中，點關于原點對稱的點的坐標是　　
A． B． C． D．
【典例2】　（2024秋 江南區期中）在平面直角坐標系中，點關于原點的對稱點的坐標是　　
A． B． C． D．
【典例3】　（2024秋 海淀區校級期中）在平面直角坐標系中，點和點關于原點對稱，則的值為　　
A． B． C．1 D．3
【典例4】　（2024春 東坡區期末）在平面直角坐標系中，已知點，下列說法不正確的是　　
A．點在第四象限
B．點關于軸的對稱點的坐標為
C．點關于軸的對稱點的坐標為
D．點關于原點的對稱點的坐標為
求一個點關于原點的對稱點，橫、縱坐標都變為原來的相反數．
■難點 在平面直角坐標系中利用中心對稱作圖
1．一般步驟 （1）定，確定對稱中心； （2）連，連接各關鍵點與對稱中心； （3）延，延長（2）中的連線； （4）截，截取等長線段，確定對稱點； （5）畫，按照原圖形依次連接各對稱點，即可得到已知圖形的對稱圖形． 2．作圖-旋轉變換 （1）旋轉圖形的作法： 根據旋轉的性質可知，對應角都相等都等于旋轉角，對應線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應點，順次連接得出旋轉后的圖形． （2）旋轉作圖有自己獨特的特點，決定圖形位置的因素較多，旋轉角度、旋轉方向、旋轉中心，任意不同，位置就不同，但得到的圖形全等．
【典例1】　（2024秋 長壽區校級期中）如圖，在平面直角坐標系中，△的三個頂點分別為，，．
（1）請畫出△關于軸對稱的△；
（2）請畫出△關于原點對稱的△；
（3）請直接寫出點的坐標；
（4）請求出△的面積．
【典例2】　（2024秋 西工區期中）如圖，是正方形的邊上一點，把△繞點順時針旋轉得到△．
（1）請用尺規作圖作出旋轉后的△（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）連接，若，求正方形的面積．
【典例3】　（2024秋 湖里區校級期中）如圖，在邊長為1的正方形組成的網格中建立直角坐標系，△的頂點均在格點上，點為原點，點，的坐標分別是、．
（1）作出△關于原點的對稱△，則點的坐標為 　　；
（2）將△繞點逆時針旋轉后得到△，請在圖中作出△，并求出這時點的坐標為 　　．
【典例4】　（2024秋 思明區校級期中）正方形網格中（網格中的每個小正方形邊長是1，小正方形的頂點叫做格點），△的頂點均在格點上，請在所給的直角坐標系中解答下列問題：
（1）畫出△繞點逆時針旋轉的△，并寫出點的對應點的坐標為 　　；
（2）畫出△關于點成中心對稱的△，并寫出點的對應點的坐標為 　　．
一般步驟如下： （1）確定對稱中心； （2）確定原圖形的各個關鍵點（如三角形的各頂點）； （3）作出各個關鍵點關于對稱中心的對稱點； （4）順次連接作出的各個對稱點，即可得到要求作的圖形．
■易錯點 利用中心對稱等分面積
利用中心對稱，合理進行分割．
【典例1】　（2024秋 中山市期中）請你畫出一條直線，把如圖所示的平行四邊形和圓兩個圖形分成面積相等的兩部分（保留作圖痕跡）．
【典例2】　（2024春 保定期末）知識背景：過中心對稱圖形的對稱中心的任意一條直線都將其分成全等的兩個部分．
（1）如圖①，直線經過平行四邊形對角線的交點，則__（填“”“ ”“ ” ；
（2）如圖②，兩個正方形如圖所示擺放，為小正方形對角線的交點，求作過點的直線將整個圖形分成面積相等的兩部分；
（3）八個大小相同的正方形如圖③所示擺放，求作直線將整個圖形分成面積相等的兩部分（用三種方法分割）．
【典例3】　（2024 平頂山二模）如圖，在正方形網格中，的頂點在格點上，請僅用無刻度直尺完成下列作圖（保留作圖痕跡）．
（1）在圖1中，作關于點對稱的△；
（2）在圖2中，作繞點逆時針旋轉一定角度后，頂點仍在格點上的△；
（3）在圖3中，找出格點并畫出直線，使直線將分成面積相等的兩部分．
【典例4】　（2023 未央區校級三模）有一塊方角形鋼板如圖所示，如何用一條直線將其分為面積相等的兩部分．
由兩個中心對稱圖形組合而成的圖形，等分面積時，往往連接兩個對稱中心．中小學教育資源及組卷應用平臺
23.2 中心對稱
23.3 課題學習 圖案設計
■重點01 中心對稱圖形
把一個圖形繞著某一點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是對稱中心． 如線段和平行四邊形是最常見的中心對稱圖形．線段的對稱中心是它的中點，平行四邊形的對稱中心是它兩條對角線的交點．
【典例1】　（2024秋 長樂區期中）我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．如圖為部分“卦”的符號，其中不是中心對稱圖形的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：根據中心對稱圖形的概念：在同一平面內，如果把一個圖形繞某一點旋轉180度，旋轉后的圖形能和原圖形完全重合，
可知、、是中心對稱圖形，不是中心對稱圖形．
故選：．
【典例2】　（2024秋 周至縣期中）下列圖形中，是中心對稱圖形的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【解答】解：把一個圖形繞某一點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．
選項、、中的圖形都不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形．
選項中的圖形能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形．
故選：．
【典例3】　（2024秋 長壽區校級期中）如圖所示標志中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【解答】解：．圖形不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，不符合題意；
．圖形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，符合題意；
．圖形不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，不符合題意；
．圖形既不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，不符合題意，
故選：．
【典例4】　（2024 雨花區一模）下列圖形中，是中心對稱圖形的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【解答】解：選項、、均不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉180度后和原圖形完全重合，所以不是中心對稱圖形，
選項能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉180度后和原圖形完全重合，所以是中心對稱圖形，
故選：．
1．中心對稱與中心對稱圖形的區別與聯系 區別聯系中心對稱（1）針對兩個圖形而言； （2）是指兩個圖形的位置關系； （3）對稱點在兩個圖形上； （4）對稱中心可能在圖形的外部，也可能在圖形的內部或圖形上（1）都是把圖形旋轉180°后能重合． （2）兩者可以相互轉化，如果把成中心對稱的兩個圖形看成一個整體，那么這“一個”圖形就是中心對稱圖形；反過來，如果把一個中心對稱圖形相互對稱的兩部分看成“兩個”圖形，那么這“兩個”圖形成中心對稱中心對稱圖形（1）針對一個圖形而言； （2）是指具有某種性質的一個圖形； （3）對稱點在一個圖形上； （4）對稱中心可能在圖形的內部
2．旋轉圖形中的角和“棱”都是偶數． 3．判斷一個圖形是不是中心對稱圖形的依據： （1）圍繞某點；（2）旋轉180°；（3）與本身重合．
■重點02 中心對稱
把一個圖形繞著某一個點旋轉180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱． 這個點叫做對稱中心（簡稱中心）．這兩個圖形在旋轉后能重合的對應點叫做關于對稱中心的對稱點．
【典例1】　（2024秋 浦北縣期中）如圖，與關于點成中心對稱，則下列結論不成立的是　　
A． B．
C． D．點與點是對應點
【答案】
【解答】解：與關于點成中心對稱，
，
與為對應點，不符合題意；
對應點到對稱中心的距離相等，
，不符合題意；
，，，
，
，不符合題意；
通過觀察圖象，可得與不是平行關系，符合題意，
故選：．
【典例2】　（2023秋 萊州市期末）下列各圖中，四邊形是正方形，其中陰影部分兩個三角形成中心對稱的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【解答】解：根據中心對稱的定義可知，選項中陰影部分兩個三角形成中心對稱．
故選：．
【典例3】　（2024秋 南昌期中）如圖，與△成中心對稱，是的中位線，是△的中位線，已知，則　　．
【答案】2．
【解答】解：與△成中心對稱，
△，
，
是△的中位線，
．
故答案為：2．
【典例4】　（2024秋 羅定市期中）如圖，已知△與△關于點中心對稱，若，則的長為　　．
【答案】6．
【解答】解：根據題意可知，已知△與△關于點中心對稱，，
△△，
，
．
故答案為：6．
方法一：連接任意一對對稱點，取這條線段的中點，則該點為對稱中心． 方法二：連接任意兩對對稱點，這兩條線段的交點即是對稱中心．
■重點03 關于原點對稱的點的坐標
1．兩個點關于原點對稱時，它們的橫、縱坐標都互為相反數．即點P（x，y）關于原點的對稱點為P′（–x，–y）． 2．第一象限內的點關于原點的對稱點在第三象限，第二象限內的點關于原點的對稱點在第四象限．坐標軸上的點關于原點的對稱點仍在坐標軸上．
【典例1】　（2023秋 荔灣區期末）在平面直角坐標系中，點關于原點對稱的點的坐標是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：點關于原點對稱的點的坐標是：．
故選：．
【典例2】　（2024秋 江南區期中）在平面直角坐標系中，點關于原點的對稱點的坐標是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：在平面直角坐標系中，點關于原點的對稱點的坐標是．
故選：．
【典例3】　（2024秋 海淀區校級期中）在平面直角坐標系中，點和點關于原點對稱，則的值為　　
A． B． C．1 D．3
【答案】
【解答】解：根據題意可知，
點和點關于原點對稱，
，，
．
故選：．
【典例4】　（2024春 東坡區期末）在平面直角坐標系中，已知點，下列說法不正確的是　　
A．點在第四象限
B．點關于軸的對稱點的坐標為
C．點關于軸的對稱點的坐標為
D．點關于原點的對稱點的坐標為
【答案】
【解答】解：．點在第四象限，選項正確，不符合題意；
．點關于軸的對稱點的坐標為，選項正確，不符合題意；
．點關于軸的對稱點的坐標為，選項正確，不符合題意；
．點關于原點的對稱點的坐標為，選項錯誤，符合題意；
故選：．
求一個點關于原點的對稱點，橫、縱坐標都變為原來的相反數．
■難點 在平面直角坐標系中利用中心對稱作圖
1．一般步驟 （1）定，確定對稱中心； （2）連，連接各關鍵點與對稱中心； （3）延，延長（2）中的連線； （4）截，截取等長線段，確定對稱點； （5）畫，按照原圖形依次連接各對稱點，即可得到已知圖形的對稱圖形． 2．作圖-旋轉變換 （1）旋轉圖形的作法： 根據旋轉的性質可知，對應角都相等都等于旋轉角，對應線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應點，順次連接得出旋轉后的圖形． （2）旋轉作圖有自己獨特的特點，決定圖形位置的因素較多，旋轉角度、旋轉方向、旋轉中心，任意不同，位置就不同，但得到的圖形全等．
【典例1】　（2024秋 長壽區校級期中）如圖，在平面直角坐標系中，△的三個頂點分別為，，．
（1）請畫出△關于軸對稱的△；
（2）請畫出△關于原點對稱的△；
（3）請直接寫出點的坐標；
（4）請求出△的面積．
【答案】（1）見解答．
（2）見解答．
（3）．
（4）．
【解答】解：（1）如圖，△即為所求．
（2）如圖，△即為所求．
（3）由圖可得，點的坐標為．
（4）△的面積為．
【典例2】　（2024秋 西工區期中）如圖，是正方形的邊上一點，把△繞點順時針旋轉得到△．
（1）請用尺規作圖作出旋轉后的△（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）連接，若，求正方形的面積．
【答案】（1）見解答．
（2）16．
【解答】解：（1）如圖，以點為圓心，的長為半徑畫弧，再以點為圓心，的長為半徑畫弧，兩弧相交于點，連接，，
則△即為所求．
（2）由旋轉得，，，
四邊形為正方形，
，
即，
，
，
．
在△中，由勾股定理得，，
正方形的面積為．
【典例3】　（2024秋 湖里區校級期中）如圖，在邊長為1的正方形組成的網格中建立直角坐標系，△的頂點均在格點上，點為原點，點，的坐標分別是、．
（1）作出△關于原點的對稱△，則點的坐標為 　　；
（2）將△繞點逆時針旋轉后得到△，請在圖中作出△，并求出這時點的坐標為 　　．
【答案】（1）作圖見解答過程；；
（2）作圖見解答過程；．
【解答】解：（1）如圖1，△為所求；
點的坐標為；
故答案為：；
（2）如圖2，△為所作；
點的坐標為；
故答案為：．
【典例4】　（2024秋 思明區校級期中）正方形網格中（網格中的每個小正方形邊長是1，小正方形的頂點叫做格點），△的頂點均在格點上，請在所給的直角坐標系中解答下列問題：
（1）畫出△繞點逆時針旋轉的△，并寫出點的對應點的坐標為 　　；
（2）畫出△關于點成中心對稱的△，并寫出點的對應點的坐標為 　　．
【答案】（1）畫圖見解答；．
（2）畫圖見解答；．
【解答】解：（1）如圖，△即為所求．
由圖可得，點的坐標為．
故答案為：．
（2）如圖，△即為所求．
由圖可得，點的坐標為．
故答案為：．
一般步驟如下： （1）確定對稱中心； （2）確定原圖形的各個關鍵點（如三角形的各頂點）； （3）作出各個關鍵點關于對稱中心的對稱點； （4）順次連接作出的各個對稱點，即可得到要求作的圖形．
■易錯點 利用中心對稱等分面積
利用中心對稱，合理進行分割．
【典例1】　（2024秋 中山市期中）請你畫出一條直線，把如圖所示的平行四邊形和圓兩個圖形分成面積相等的兩部分（保留作圖痕跡）．
【答案】作圖見解析部分．
【解答】解：如圖，直線即為所求作．
【典例2】　（2024春 保定期末）知識背景：過中心對稱圖形的對稱中心的任意一條直線都將其分成全等的兩個部分．
（1）如圖①，直線經過平行四邊形對角線的交點，則__（填“”“ ”“ ” ；
（2）如圖②，兩個正方形如圖所示擺放，為小正方形對角線的交點，求作過點的直線將整個圖形分成面積相等的兩部分；
（3）八個大小相同的正方形如圖③所示擺放，求作直線將整個圖形分成面積相等的兩部分（用三種方法分割）．
【解答】解：（1）如圖①，直線經過平行四邊形對角線的交點，則；
（2）如圖所示：
（3）如圖所示：
故答案為：．
【典例3】　（2024 平頂山二模）如圖，在正方形網格中，的頂點在格點上，請僅用無刻度直尺完成下列作圖（保留作圖痕跡）．
（1）在圖1中，作關于點對稱的△；
（2）在圖2中，作繞點逆時針旋轉一定角度后，頂點仍在格點上的△；
（3）在圖3中，找出格點并畫出直線，使直線將分成面積相等的兩部分．
【答案】（1）見解答．
（2）見解答．
（3）見解答．
【解答】解：（1）如圖1，△即為所求．
（2）如圖2，△即為所求．
（3）如圖3，取格點，使四邊形為平行四邊形，作直線，交于點，
，
與面積相等，
即直線將分成面積相等的兩部分，
則直線即為所求．
【典例4】　（2023 未央區校級三模）有一塊方角形鋼板如圖所示，如何用一條直線將其分為面積相等的兩部分．
【解答】解：如圖所示，有三種思路：
由兩個中心對稱圖形組合而成的圖形，等分面積時，往往連接兩個對稱中心．

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