資源簡介

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22.3 實際問題與二次函數
■重點01 銷售利潤問題
二次函數與利潤最大問題 （1）調整價格分漲價和降價． （2）總利潤=單件商品的利潤×銷售量． （3）商品價格上漲，銷售量會隨之下降；商品價格下降，銷售量會隨之增加．兩種情況都會導致利潤的變化．
【典例1】　（2024秋 閩侯縣期中）某商品每件進價20元，銷售期間發現，當售價為25元時，每天可售出120個，銷售單價每降價1元，每天銷量增加10個，現商家決定降價銷售，每個降價元，設每天銷售量為個，每天銷售商品獲得的利潤元，則下列函數關系式正確的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】當每個降價元時，每個的銷售利潤為元，利用每天的銷售量每個降低的錢數，可找出關于的函數關系式，再利用每天銷售該商品獲得的利潤每個的銷售利潤每天的銷售量，可找出關于的函數關系式．
【解答】解：當每個降價元時，每個的銷售利潤為元，每天的銷售量（個．
又每天銷售該商品獲得的利潤元，
．
故選：．
【典例2】　（2024秋 蜀山區校級期中）“直播帶貨”已經成為一種熱門的銷售方式，某主播代銷某一品牌的電子產品（這里代銷指廠家先免費提供貨源，待貨物銷售后再進行結算，未售出的由廠家負責處理）．經調查發現每件售價99元時，日銷售量為200件，當每件電子產品每下降1元時，日銷售量會增加2件．已知每售出1件電子產品，該主播需支付廠家和其他費用共50元，設每件電子產品售價為（元，主播每天的利潤為（元，則與之間的函數解析式為　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根據每件利潤實際售價成本價，銷售量原銷售量因價格下降而增加的數量，總利潤每件利潤銷售數量，即可得出與之間的函數解析式．
【解答】解：每件電子產品售價為（元，主播每天的利潤為（元，
則每件盈利元，每天可銷售件，
根據題意得：，
故選：．
【典例3】　（2024秋 津南區期中）某超市經銷一種水果，每千克盈利10元，每天銷售500千克，經市場調查反映：若每千克漲價1元，每天銷售量減少20千克，設每千克漲價（單位：元），且，每天售出商品的利潤為（單位：元），則與的函數關系式是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】當每千克漲價元時，每千克盈利元，每天可銷售千克，利用每天售出商品的利潤每千克的銷售利潤日銷售量，即可得出與的函數關系式，此題得解．
【解答】解：當每千克漲價元時，每千克盈利元，每天可銷售千克，
根據題意得：．
故選：．
【典例4】　（2024秋 江夏區校級期中）某超市銷售一種成本為20元件的商品，若某個月的第天為整數）的售價與銷量的相關信息如下表所示：
第天 售價（元件） 日銷售量（件
設銷售該商品的日銷售利潤為元．
（1）直接寫出與的函數關系式；
（2）問銷售該商品第幾天時，日銷售利潤最大？最大日銷售利潤為多少元？
（3）如果超市每銷售一件商品，就捐贈元給希望工程，若僅在第15天銷售利潤額達到最大值，求的取值范圍．
【答案】（1）與的函數關系式為；
（2）銷售該商品第25天時，日銷售利潤最大，最大日銷售利潤4900元；
（3）的取值范圍為．
【分析】（1）根據每天的銷售利潤單件的利潤銷售量列出函數解析式即可；
（2）把函數解析式化為頂點式，由函數的性質解答即可；
（3）先求出捐贈后利潤關于的解析式，求出對稱軸，再根據僅在第15天銷售利潤額達到最大值得出關于的不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）由題意得：，
與的函數關系式為；
（2），
，，
拋物線開口向下，
當時，取得最大值為4900，
銷售該商品第25天時，日銷售利潤最大，最大日銷售利潤4900元；
（3）設捐贈后的銷售利潤為元，
由題意得：，
對稱軸為直線，
僅在第15天銷售利潤額達到最大值，
，
解得．
的取值范圍為．
在商品經營活動中，經常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題．解此類題的關鍵是通過題意，確定出二次函數的解析式，然后確定其最大值，實際問題中自變量x的取值要使實際問題有意義，因此在求二次函數的最值時，一定要注意自變量x的取值范圍．
■重點02 拋物線形問題
用二次函數解決拋物線形問題 （1）建立恰當的平面直角坐標系； （2）將已知條件轉化為點的坐標，正確寫出關鍵點的坐標； （3）合理地設出函數解析式； （4）將點的坐標代入函數解析式求出解析式； （5）利用解析式求解．
【典例1】　（2024秋 大連期中）如圖，搭建一座蔬菜大棚，橫截面形狀為拋物線（單位：米），施工隊計劃在大棚正中搭建一個矩形腳手架，已知，則腳手架高為　　
A．7米 B．6米 C．5米 D．4米
【答案】
【分析】根據及拋物線的對稱性，判斷出用未知數表示的點的坐標，代入拋物線解析式可得未知數的值，進而可得的長．
【解答】解：四邊形是矩形，
，，
，拋物線關于軸對稱，
設點的縱坐標為，則點的橫坐標為，即點的坐標為，
點在拋物線上，
，
解得：，（舍去），
點的縱坐標為6，
，
．
故選：．
【典例2】　（2024秋 溫州期中）某彈性小球從地面以初速度v（米/秒）豎直向上拋出，其高度h（米）與時間t（秒）的關系為h＝vt﹣4.9t2．當初速度為v1時，達到最大高度h1后落回地面用時t1（如圖1）；落地后再次以初速度v2豎直向上彈起至最大高度h2再落回地面用時t2（如圖2）．已知h1：h2＝5：2，則v1：v2的值為（　　）
A．5：2 B． C．3：2 D．
【答案】D
【分析】利用h＝vt﹣4.9t2，求出h1，h2，再根據h1：h2＝5：2得出結論．
【解答】解：由題意得，h1＝，h2＝，
∵h1：h2＝5：2，
∴＝＝，
故選：D．
【典例3】　（2024秋 長安區校級期中）小明以二次函數的圖象為模型設計了一款杯子，如圖為杯子的設計稿，若，，則杯子的高為　　
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】
【分析】先求出頂點點的坐標，再根據題意求出點的縱坐標，求出的長度，進而求出的長度．
【解答】解：將二次函數的解析式化為頂點式可得：，
頂點的坐標為，
，
點的橫坐標為4，把代入，
得，
，
．
故選：．
【典例4】　（2024秋 長安區校級期中）如圖，以的速度將小球沿與地面成角的方向擊出時，小球的飛行路線是一條拋物線．如果不考慮空氣阻力，小球的飛行高度（單位：與飛行時間（單位：之間具有函數關系．
（1）求小球飛行時的高度．
（2）小球的飛行高度能否達到？請說明理由．
【答案】（1）；（2）小球的飛行高度能達到，理由見解析；
【分析】（1）依據題意，當時，可得，進而可以得解；
（2）依據題意，由函數為，從而可以判斷得解．
【解答】解：（1）由題意，當時，
．
答：小球飛行時的高度為．
（2）小球的飛行高度能達到．理由如下：
由題意，函數為，
當時，取最大值為20．
小球的飛行高度能達到．
1．在解題過程中要充分利用拋物線的對稱性，同時要注意對數形結合思想的應用． 2．利用二次函數解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實際問題時，要恰當地把這些實際問題中的數據落實到平面直角坐標系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測量問題或其他問題．
■重點03 圖形面積問題
求面積最大（小）值問題，常以三角形、四邊形、圓等基本圖形為背景，以某條變化的線段的長度為自變量，構建二次函數模型求解．
【典例1】　（2024秋 河西區期中）如圖，在足夠大的空地上有一段長為米的舊墻，某人利用舊墻和木欄圍成一個矩形菜園，其中，已知矩形菜園的一邊靠墻，另三邊一共用了20米木欄．
（Ⅰ）若米，所圍成的矩形菜園的面積為32平方米，求利用舊墻的長；
（Ⅱ）若米，求矩形菜園面積的最大值．
【答案】（1）的長為8米；
（2）當時，矩形菜園面積的最大值為50平方米．
【分析】（1）設米，則米，列方程求解即可；
（2）設米，由題意得關于的二次函數，利用二次函數的性質即可解決問題．
【解答】解：（1）設米，則米，由題意得：
，
解得：，，
當時，，不合題意舍去；
當時，，
答：的長為8米；
（2）設米，則
，
時，的最大值是50．
答：當時，矩形菜園面積的最大值為50平方米．
【典例2】　（2024秋 和平區期中）用一條長的繩子圍成一個矩形．
（Ⅰ）若圍成的矩形面積為，求該矩形的長和寬．
能圍成一個面積為的矩形嗎？若能，求出它的長和寬．若不能，請求出能圍成矩形的最大面積．
【答案】（Ⅰ）長為，寬為；不能圍成一個面積為的矩形，理由見解析；當長為，寬為時，得到面積最大的矩形，最大面積為．
【分析】（Ⅰ）設矩形的長為 ，則寬為，根據面積列出方程，解方程即可；
根據題意，列出方程，判斷一元二次方程有無實數根即可；又設矩形的長為 ，則寬為，設矩形的面積為 ，列出函數表達式，根據二次函數的性質進行解答即可．
【解答】解：（Ⅰ）設矩形的長為 ，則寬為，
，
，
，，
當時，，
當時，，
矩形的長為，寬為；
不能圍成一個面積為的矩形，理由如下：
設矩形的長為 ，則寬為，
，
，
△，
沒有實數根，
不能圍成一個面積為的矩形；
又設矩形的長為 ，則寬為，設矩形的面積為 ，
，
，
拋物線開口向下，二次函數有最大值，即當時，有最大值100，
此時長為，寬為，得到面積最大的矩形，最大面積為．
【典例3】　（2024秋 海珠區校級期中）如圖，用一段長為30米的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形苗圃園，墻長為18米，設這個苗圃園垂直于墻的一邊的長為米．
（1）設苗圃園的面積為，求與的函數關系式，寫出自變量的取值范圍；
（2）當為何值時，苗圃的面積最大？最大值為多少平方米？
【答案】（1），；（2）當時，這個苗圃園的面積有最大值，最大值是平方米．
【分析】（1）根據題意和圖形，與的函數關系式，注意墻長是18米；
（2）根據題意和圖形，可以得到與的函數關系式，再根據二次函數的性質，即可求得當取何值時，這個苗圃園的面積有最大值，最大值是多少．
【解答】解：（1）由題意可得，
，
，，
；
（2）設這個苗圃園的面積為平方米，
由題意可得，
，
平行于墻的一邊長米，且不大于18米，
，
解得，，
當時，取得最大值，此時，
答：當時，這個苗圃園的面積有最大值，最大值是平方米．
【典例4】　（2024秋 平湖市期中）如圖是一塊籬笆圍成的矩形土地，并且由一條與邊平行的籬笆分開，已知籬笆的總長為90米（厚度不計）．設米，米．
（1）用含有的代數式表示．
（2）設矩形土地面積為平方米，當時，求的最大值．
【分析】（1）根據題意可以周長列出，的關系式即可；
（2）長乘寬表示出面積，再用二次函數的性質即可求范圍．
【解答】解：（1）由題意可得，，
整理得；
（2）根據題意得，
，開口向下，
，
當時，取得最大值，．
幾何圖形中的二次函數問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案等．
■難點01 建立二次函數模型解決實際問題
建立二次函數模型解決實際問題的一般步驟： （1）審題； （2）找出題中的已知量和未知量； （3）用一個未知量表示題中的其他未知量； （4）找出等量關系并列出函數解析式； （5）利用二次函數的圖象及性質去分析、解決實際問題．
【典例1】　（2023秋 天山區校級期中）某商品的進價為每件40元，如果售價為每件50元，每個月可賣出210件；如果售價超過50元但不超過80元，每件商品的售價每上漲1元，則每個月少賣1件，如果售價超過80元后，若再漲價，則每漲1元每月少賣3件．設每件商品的售價元為整數），每個月的銷售量為件．
（1）求與的函數關系式并直接寫出自變量的取值范圍；
（2）設每月的銷售利潤為，請直接寫出與的函數關系式．
【答案】（1）則；
（2），．
【分析】（1）當售價超過50元但不超過80元，每件商品的售價每上漲1元，則每個月少賣1件，，，當如果售價超過80元后，若再漲價，則每漲1元每月少賣3件，，，
（2）由利潤（售價成本）銷售量列出函數關系式，
【解答】解：（1）當時，，即，
當時，，即．
則；
（2）由題意可得，
，
．
【典例2】　（2024 廬陽區校級四模）某廠今年一月份新產品的研發資金為10萬元，以后每月新產品的研發資金與上月相比增長率都是，則該廠今年一季度新產品的研發資金（萬元）關于的函數關系式為　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根據該廠今年一月份新產品的研發資金及以后每月新產品的研發資金與上月相比的增長率，可得出該廠今年二月份、三月份新產品的研發資金，將該廠今年一、二、三月份新產品的研發資金相加，即可得出關于的函數關系式．
【解答】解：該廠今年一月份新產品的研發資金為10萬元，以后每月新產品的研發資金與上月相比增長率都是，
該廠今年二月份新產品的研發資金為萬元，三月份新產品的研發資金為萬元．
根據題意得：．
故選：．
【典例3】　（2024秋 官渡區校級期中）為了美觀，在加工太陽鏡時將下半部分輪廓制作成拋物線的形狀（如圖所示），對應的兩條拋物線關于軸對稱，軸，，最低點在軸上，高，，則右輪廓所在拋物線的解析式為　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】先根據、關于軸對稱，得出點坐標為，再求出左邊拋物線的頂點的坐標為，則右邊拋物線的頂點的坐標為，設右邊拋物線的解析式為，代入即可得出答案．
【解答】解：、關于軸對稱，高，，
點坐標為，
軸，，最低點在軸上，
關于直線對稱，
左邊拋物線的頂點的坐標為，
右邊拋物線的頂點的坐標為，
設右邊拋物線的解析式為，
把代入得，
解得，
故右邊拋物線的解析式為，
故選：．
【典例4】　（2024秋 寧波期中）杭州某地種植有機蔬菜，已知某種蔬菜的銷售單價（元與銷售月份之間的關系滿足，每千克成本（元與銷售月份之間的關系如圖所示，圖象為拋物線，其最低點坐標是．（其中是滿足的整數）
（1）問：2月份每千克蔬菜成本是多少？
（2）判斷哪個月份銷售每千克蔬菜的收益最大？并求最大收益．
【分析】（1）利用待定系數法求出每千克成本與銷售月份之間的關系式，再令求出的值即可；
（2）列出一年中銷售每千克蔬菜的收益與銷售月份之間的關系式，根據二次函數的性質可得答案．
【解答】解：（1）設每千克成本與銷售月份之間的關系式為：，把代入得，
，
解得，
，即，
當時，，
月份每千克蔬菜成本是元；
（2）由（1）可得，每千克蔬菜的收益
，
，
當時，有最大值，，
月銷售每千克蔬菜的收益最大，最大為元．
應用二次函數解決實際問題的基本思路： ①理解題意； ②分析問題中的變量和常量以及它們之間的關系； ③用函數解析式表示它們之間的關系； ④用數學方法求解； ⑤檢驗結果的合理性．
■難點02 二次函數的最值問題
求面積最大（小）值問題，常以三角形、四邊形、圓等基本圖形為背景，以某條變化的線段的長度為自變量，構建二次函數模型求解．
【典例1】　（2024秋 增城區校級月考）某品牌大米遠近聞名，深受廣大消費者好評，某超市每天購進一批成本價為6元的該大米，以不低于成本價且不超過125元的價格銷售．當售價為8元時．每天售出大米；當售價為9元時，每天售出大米，通過分析銷售數據發現：每天銷售大米的質量與售價（元滿足一次函數關系．
（1）請寫出與的函數關系式；
（2）當售價定為多少元時，每天銷售該大米的利潤可達到3500元；
（3）當售價定為多少元時，每天獲利最大？最大利潤為多少？
【答案】（1）；
（2）當售價定為11元時，利潤可達到3500元；
（3）當售價定為12元時，每天獲利最大，最大利潤為3600元．
【分析】（1）設與的函數關系式為，將，代入即可解得、，從而得到與的函數關系式；
（2）由（售價成本價）每天銷售大米的質量利潤可得關于的一元二次方程，求解后根據的取值范圍即可得解；
（3）設利潤為元，由（售價成本價）每天銷售大米的質量利潤推得，則根據二次函數的圖象和性質可得當時，有最大值，每天獲利最大，最大利潤為3600元．
【解答】解：（1）設與的函數關系式為，
根據題意得，該函數經過點，，
將，代入，
得，
解得，
與的函數關系式為；
（2）根據題意，得，
，
解得，，
售價不低于成本單價且不超過12.5元，
當售價定為11元時，利潤可達到3500元．
（3）設利潤為元，根據題意得：
，
，，
當時，有最大值，此時，
當售價定為12元時，每天獲利最大，最大利潤為3600元．
【典例2】　（2024秋 鄒平市校級月考）已知是關于的二次函數．
（1）求滿足條件的的值；
（2）為何值時，拋物線有最低點？求出這個最低點；
（3）為何值時，函數有最大值？最大值是多少？
【答案】（1）；
（2），拋物線有最低點，；
（3），拋物線有最大值，其最大值為．
【分析】（1）根據二次函數的定義求出的值即可解決問題；
（2）運用“當二次項系數大于0時，拋物線開口向上，圖象有最低點，據此解答便可；
（3）運用“當二次項系數小于0時，拋物線開口向下，圖象有最高點，據此解答便可．
【解答】解：（1）是關于的二次函數
，
解得．
當時，是二次函數．
（2）開口向上，
，
即，
根據第（1）問得，
．
該拋物線的解析式為，
最低點為，
故當時有最低點，坐標為，
（3）根據二次函數有最大值，可得拋物線的開口向下，
，
即，
根據第（1）問得，
．
該拋物線的解析式為，
其函數最大值為，
故當時有最大值，其最大值為．
【典例3】　（2024 徐州）如圖，、為一次函數的圖象與二次函數的圖象的公共點，點、的橫坐標分別為0、4．為二次函數的圖象上的動點，且位于直線的下方，連接、．
（1）求、的值；
（2）求△的面積的最大值．
【答案】（1），5；
（2）8．
【分析】（1）先求出，的坐標，再用待定系數法求出，；
（2）由（1）可得：，設，作，交于，則，則，得出面積，即可解答．
【解答】解：（1）當時，；當時，，則，，
則，
解得：；
（2）由（1）可得：，設，作，交于，
則，則，
，
當時，最大值為8．
【典例4】　（2023秋 慶云縣期末）如圖，四邊形中，，，我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”．
（1）如果箏形的兩條對角線長分別為、，求箏形的面積？
（2）已知箏形的對角線，的長度為整數值，且滿足．試求當，的長度為多少時，箏形的面積有最大值，最大值是多少？
【答案】（1）；
（2）當，時，有最大值，最大值為．
【分析】（1）由和可得出點和點都在的垂直平分線上，推導出，即可解決問題．
（2）設的長為，用表示出箏形的面積，再求最值即可．
【解答】解：（1），
點在的垂直平分線上．
同理點在的垂直平分線上．
垂直平分．
．
，
，
．
又箏形的兩條對角線長分別為，，
．
（2）令 ，則 ，
由（1）知，
，
又，的長度為整數值，
則當時，
有最大值，最大值為．
此時．
即當，時，有最大值，最大值為．
二次函數的最值：一般地，當a>0（a<0）時，拋物線y=ax2+bx+c的頂點是最低（最高）點，也就是說，當x=時，二次函數y=ax2+bx+c有最小（最大）值，最小（最大）值為．
■易錯點01 動態幾何問題
利用二次函數解決動態幾何問題解決動態幾何問題時，可先觀察圖形運動的整個過程，找出這一過程中變化的量與不變的量，再根據這些量之間的關系構造適當的數學模型．
【典例1】　（2023秋 宜州區期末）如圖，在中，，，，動點從點開始沿邊向點以的速度移動（不與點重合），動點從點開始沿邊向點以的速度移動（不與點重合）．如果，兩點分別從，兩點同時出發．
（1）求出的面積隨出發時間的函數解析式；
（2）求經過多少秒，四邊形的面積最小？最小值是多少？
【答案】（1）；
（2）當時，四邊形面積最小，最小值是08．
【分析】（1）根據題意可以分別得到和的長，從而可表示出三角形的面積，從而可以明確的面積隨出發時間如何變化以及以的函數關系式；
（2）四邊形的面積，當時，有最小值．
【解答】解：（1）由題意得：，
，
；
（2）四邊形的面積，
，
．
當時，四邊形面積最小，最小值是08．
【典例2】　（2023秋 游仙區期末）如圖，在長方形中，，，點從點出發，沿邊以的速度向點移動；點從點出發，沿邊以的速度向點移動．已知、兩點分別從點，同時出發．問：
（1）經過幾秒，的面積等于？
（2）五邊形的面積最小值是多少？
【答案】（1）經過4秒或2秒，的面積等于；
（2）最小值為．
【分析】（1）設經過秒，的面積等于，再由三角形的面積公式即可得出結論；
（2）設經過秒，五邊形的面積最小，根據題意得出五邊形的面積表達式，求出其最小值即可．
【解答】解：（1）設經過秒，的面積等于，
，，點從點出發，沿邊以的速度向點移動；點從點出發，沿邊以的速度向點移動，
，，
的面積，
解得或2，
經過4秒或2秒，的面積等于；
（2）設經過秒，五邊形的面積最小，
由（1）知，的面積，
五邊形的面積
，
當時，五邊形的面積最小，最小值為．
【典例3】　（2023秋 新會區校級期中）如圖，在中，，，，點從點出發，沿邊向點以的速度移動，同時點從點出發沿邊向點以的速度移動．如果，兩點同時出發，分別到達，兩點后就停止移動．
（1）設運動開始第后，四邊形的面積為，寫出與的函數關系式，并指出自變量的取值范圍；
（2）為何值時，最小？最小值是多少？
【答案】（1）；（2）3．
【分析】（1）根據秒時，、兩點的運動路程，分別表示、的長度，可得的面積，用求面積即可；
（2）將（1）中所求函數式配方，可得函數的最小值．
【解答】解：（1），，，
，，
，
即：；
（2）；
，
當時，最小，最小值是27．
【典例4】　（2023秋 浦北縣校級月考）如圖，在△中，，，，動點以的速度從點開始沿邊向點移動，動點以的速度從點開始沿邊向點移動，若、兩點分別從，兩點同時出發，設運動時間為．
（1）　　，　　，　　；（用含的式子表示）
（2）為何值時，△的面積為；
（3）為何值時，△的面積最大？最大面積是多少？
【答案】（1） ，， ；
（2）2或4；
（3）3，．
【分析】（1）根據路程速度時間，求出和，然后再根據求出即可；
（2）根據直角三角形的面積兩條直角邊乘積的一半，列出關于的一元二次方程，解方程求出即可；
（3）根據直角三角形的面積公式求出△的面積，從而得到△的面積與時間的二次函數解析式，再把解析式化成頂點式
【解答】解：（1）由題意可知： ， ，
，，
，
故答案為： ，， ；
（2），
△的面積，
，
，
，
，
，
，，
解得：或4，
當或4時，△的面積為；
（3）△的面積
，
當時，△的面積最大，最大面積為．
要同時關注特殊情形，通過特殊情形逐步過渡到一般情形，從而找到解題的方法．中小學教育資源及組卷應用平臺
22.3 實際問題與二次函數
■重點01 銷售利潤問題
二次函數與利潤最大問題 （1）調整價格分漲價和降價． （2）總利潤=單件商品的利潤×銷售量． （3）商品價格上漲，銷售量會隨之下降；商品價格下降，銷售量會隨之增加．兩種情況都會導致利潤的變化．
【典例1】　（2024秋 閩侯縣期中）某商品每件進價20元，銷售期間發現，當售價為25元時，每天可售出120個，銷售單價每降價1元，每天銷量增加10個，現商家決定降價銷售，每個降價元，設每天銷售量為個，每天銷售商品獲得的利潤元，則下列函數關系式正確的是　　
A． B．
C． D．
【典例2】　（2024秋 蜀山區校級期中）“直播帶貨”已經成為一種熱門的銷售方式，某主播代銷某一品牌的電子產品（這里代銷指廠家先免費提供貨源，待貨物銷售后再進行結算，未售出的由廠家負責處理）．經調查發現每件售價99元時，日銷售量為200件，當每件電子產品每下降1元時，日銷售量會增加2件．已知每售出1件電子產品，該主播需支付廠家和其他費用共50元，設每件電子產品售價為（元，主播每天的利潤為（元，則與之間的函數解析式為　　
A． B．
C． D．
【典例3】　（2024秋 津南區期中）某超市經銷一種水果，每千克盈利10元，每天銷售500千克，經市場調查反映：若每千克漲價1元，每天銷售量減少20千克，設每千克漲價（單位：元），且，每天售出商品的利潤為（單位：元），則與的函數關系式是　　
A． B．
C． D．
【典例4】　（2024秋 江夏區校級期中）某超市銷售一種成本為20元件的商品，若某個月的第天為整數）的售價與銷量的相關信息如下表所示：
第天 售價（元件） 日銷售量（件
設銷售該商品的日銷售利潤為元．
（1）直接寫出與的函數關系式；
（2）問銷售該商品第幾天時，日銷售利潤最大？最大日銷售利潤為多少元？
（3）如果超市每銷售一件商品，就捐贈元給希望工程，若僅在第15天銷售利潤額達到最大值，求的取值范圍．
在商品經營活動中，經常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題．解此類題的關鍵是通過題意，確定出二次函數的解析式，然后確定其最大值，實際問題中自變量x的取值要使實際問題有意義，因此在求二次函數的最值時，一定要注意自變量x的取值范圍．
■重點02 拋物線形問題
用二次函數解決拋物線形問題 （1）建立恰當的平面直角坐標系； （2）將已知條件轉化為點的坐標，正確寫出關鍵點的坐標； （3）合理地設出函數解析式； （4）將點的坐標代入函數解析式求出解析式； （5）利用解析式求解．
【典例1】　（2024秋 大連期中）如圖，搭建一座蔬菜大棚，橫截面形狀為拋物線（單位：米），施工隊計劃在大棚正中搭建一個矩形腳手架，已知，則腳手架高為　　
A．7米 B．6米 C．5米 D．4米
【典例2】　（2024秋 溫州期中）某彈性小球從地面以初速度v（米/秒）豎直向上拋出，其高度h（米）與時間t（秒）的關系為h＝vt﹣4.9t2．當初速度為v1時，達到最大高度h1后落回地面用時t1（如圖1）；落地后再次以初速度v2豎直向上彈起至最大高度h2再落回地面用時t2（如圖2）．已知h1：h2＝5：2，則v1：v2的值為（　　）
A．5：2 B． C．3：2 D．
【典例3】　（2024秋 長安區校級期中）小明以二次函數的圖象為模型設計了一款杯子，如圖為杯子的設計稿，若，，則杯子的高為　　
A．4 B．5 C．6 D．7
【典例4】　（2024秋 長安區校級期中）如圖，以的速度將小球沿與地面成角的方向擊出時，小球的飛行路線是一條拋物線．如果不考慮空氣阻力，小球的飛行高度（單位：與飛行時間（單位：之間具有函數關系．
（1）求小球飛行時的高度．
（2）小球的飛行高度能否達到？請說明理由．
1．在解題過程中要充分利用拋物線的對稱性，同時要注意對數形結合思想的應用． 2．利用二次函數解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實際問題時，要恰當地把這些實際問題中的數據落實到平面直角坐標系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測量問題或其他問題．
■重點03 圖形面積問題
求面積最大（小）值問題，常以三角形、四邊形、圓等基本圖形為背景，以某條變化的線段的長度為自變量，構建二次函數模型求解．
【典例1】　（2024秋 河西區期中）如圖，在足夠大的空地上有一段長為米的舊墻，某人利用舊墻和木欄圍成一個矩形菜園，其中，已知矩形菜園的一邊靠墻，另三邊一共用了20米木欄．
（Ⅰ）若米，所圍成的矩形菜園的面積為32平方米，求利用舊墻的長；
（Ⅱ）若米，求矩形菜園面積的最大值．
【典例2】　（2024秋 和平區期中）用一條長的繩子圍成一個矩形．
（Ⅰ）若圍成的矩形面積為，求該矩形的長和寬．
能圍成一個面積為的矩形嗎？若能，求出它的長和寬．若不能，請求出能圍成矩形的最大面積．
【典例3】　（2024秋 海珠區校級期中）如圖，用一段長為30米的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形苗圃園，墻長為18米，設這個苗圃園垂直于墻的一邊的長為米．
（1）設苗圃園的面積為，求與的函數關系式，寫出自變量的取值范圍；
（2）當為何值時，苗圃的面積最大？最大值為多少平方米？
【典例4】　（2024秋 平湖市期中）如圖是一塊籬笆圍成的矩形土地，并且由一條與邊平行的籬笆分開，已知籬笆的總長為90米（厚度不計）．設米，米．
（1）用含有的代數式表示．
（2）設矩形土地面積為平方米，當時，求的最大值．
幾何圖形中的二次函數問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案等．
■難點01 建立二次函數模型解決實際問題
建立二次函數模型解決實際問題的一般步驟： （1）審題； （2）找出題中的已知量和未知量； （3）用一個未知量表示題中的其他未知量； （4）找出等量關系并列出函數解析式； （5）利用二次函數的圖象及性質去分析、解決實際問題．
【典例1】　（2023秋 天山區校級期中）某商品的進價為每件40元，如果售價為每件50元，每個月可賣出210件；如果售價超過50元但不超過80元，每件商品的售價每上漲1元，則每個月少賣1件，如果售價超過80元后，若再漲價，則每漲1元每月少賣3件．設每件商品的售價元為整數），每個月的銷售量為件．
（1）求與的函數關系式并直接寫出自變量的取值范圍；
（2）設每月的銷售利潤為，請直接寫出與的函數關系式．
【典例2】　（2024 廬陽區校級四模）某廠今年一月份新產品的研發資金為10萬元，以后每月新產品的研發資金與上月相比增長率都是，則該廠今年一季度新產品的研發資金（萬元）關于的函數關系式為　　
A． B．
C． D．
【典例3】　（2024秋 官渡區校級期中）為了美觀，在加工太陽鏡時將下半部分輪廓制作成拋物線的形狀（如圖所示），對應的兩條拋物線關于軸對稱，軸，，最低點在軸上，高，，則右輪廓所在拋物線的解析式為　　
A． B． C． D．
【典例4】　（2024秋 寧波期中）杭州某地種植有機蔬菜，已知某種蔬菜的銷售單價（元與銷售月份之間的關系滿足，每千克成本（元與銷售月份之間的關系如圖所示，圖象為拋物線，其最低點坐標是．（其中是滿足的整數）
（1）問：2月份每千克蔬菜成本是多少？
（2）判斷哪個月份銷售每千克蔬菜的收益最大？并求最大收益．
應用二次函數解決實際問題的基本思路： ①理解題意； ②分析問題中的變量和常量以及它們之間的關系； ③用函數解析式表示它們之間的關系； ④用數學方法求解； ⑤檢驗結果的合理性．
■難點02 二次函數的最值問題
求面積最大（小）值問題，常以三角形、四邊形、圓等基本圖形為背景，以某條變化的線段的長度為自變量，構建二次函數模型求解．
【典例1】　（2024秋 增城區校級月考）某品牌大米遠近聞名，深受廣大消費者好評，某超市每天購進一批成本價為6元的該大米，以不低于成本價且不超過125元的價格銷售．當售價為8元時．每天售出大米；當售價為9元時，每天售出大米，通過分析銷售數據發現：每天銷售大米的質量與售價（元滿足一次函數關系．
（1）請寫出與的函數關系式；
（2）當售價定為多少元時，每天銷售該大米的利潤可達到3500元；
（3）當售價定為多少元時，每天獲利最大？最大利潤為多少？
【典例2】　（2024秋 鄒平市校級月考）已知是關于的二次函數．
（1）求滿足條件的的值；
（2）為何值時，拋物線有最低點？求出這個最低點；
（3）為何值時，函數有最大值？最大值是多少？
【典例3】　（2024 徐州）如圖，、為一次函數的圖象與二次函數的圖象的公共點，點、的橫坐標分別為0、4．為二次函數的圖象上的動點，且位于直線的下方，連接、．
（1）求、的值；
（2）求△的面積的最大值．
【典例4】　（2023秋 慶云縣期末）如圖，四邊形中，，，我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”．
（1）如果箏形的兩條對角線長分別為、，求箏形的面積？
（2）已知箏形的對角線，的長度為整數值，且滿足．試求當，的長度為多少時，箏形的面積有最大值，最大值是多少？
二次函數的最值：一般地，當a>0（a<0）時，拋物線y=ax2+bx+c的頂點是最低（最高）點，也就是說，當x=時，二次函數y=ax2+bx+c有最小（最大）值，最小（最大）值為．
■易錯點01 動態幾何問題
利用二次函數解決動態幾何問題解決動態幾何問題時，可先觀察圖形運動的整個過程，找出這一過程中變化的量與不變的量，再根據這些量之間的關系構造適當的數學模型．
【典例1】　（2023秋 宜州區期末）如圖，在中，，，，動點從點開始沿邊向點以的速度移動（不與點重合），動點從點開始沿邊向點以的速度移動（不與點重合）．如果，兩點分別從，兩點同時出發．
（1）求出的面積隨出發時間的函數解析式；
（2）求經過多少秒，四邊形的面積最小？最小值是多少？
【典例2】　（2023秋 游仙區期末）如圖，在長方形中，，，點從點出發，沿邊以的速度向點移動；點從點出發，沿邊以的速度向點移動．已知、兩點分別從點，同時出發．問：
（1）經過幾秒，的面積等于？
（2）五邊形的面積最小值是多少？
【典例3】　（2023秋 新會區校級期中）如圖，在中，，，，點從點出發，沿邊向點以的速度移動，同時點從點出發沿邊向點以的速度移動．如果，兩點同時出發，分別到達，兩點后就停止移動．
（1）設運動開始第后，四邊形的面積為，寫出與的函數關系式，并指出自變量的取值范圍；
（2）為何值時，最小？最小值是多少？
【典例4】　（2023秋 浦北縣校級月考）如圖，在△中，，，，動點以的速度從點開始沿邊向點移動，動點以的速度從點開始沿邊向點移動，若、兩點分別從，兩點同時出發，設運動時間為．
（1）　　，　　，　　；（用含的式子表示）
（2）為何值時，△的面積為；
（3）為何值時，△的面積最大？最大面積是多少？
要同時關注特殊情形，通過特殊情形逐步過渡到一般情形，從而找到解題的方法．

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