資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
22.2 二次函數與一元二次方程
■重點01 拋物線與x軸的交點
求二次函數y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）與x軸的交點坐標，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解關于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標． （1）二次函數y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）的交點與一元二次方程ax2+bx+c＝0根之間的關系． Δ＝b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點個數． Δ＝b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點； Δ＝b2﹣4ac＝0時，拋物線與x軸有1個交點； Δ＝b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點． （2）二次函數的交點式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數，a≠0），可直接得到拋物線與x軸的交點坐標（x1，0），（x2，0）．
【典例1】　（2023秋 連云港期末）拋物線與軸的交點個數是　　
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】
【分析】令函數值為0，得到一元二次方程，再根據根的判別式判斷有幾個解就是與軸有幾個交點．
【解答】解：令，即，
△，
方程沒有實數根，
拋物線與軸沒有交點，
故選：．
【典例2】　（2024秋 新豐縣期中）拋物線與軸的交點個數為　　
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【答案】
【分析】拋物線與軸的交點個數即為拋物線對應的一元二次方程的解的個數，據此利用判別式求解即可．
【解答】解：△，
拋物線與軸的交點個數為0個，
故選：．
【典例3】　（2024秋 朝陽區校級期中）拋物線與軸的交點坐標為 　　．
【答案】或．
【分析】根據函數與方程的關系求解．
【解答】解：當時，，
解得：或，
拋物線與軸的交點坐標為或，
故答案為：或．
二次函數的圖像與軸的兩個交點的橫坐標、，是對應一元二次方程的兩個實數根．拋物線與軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定： ①有兩個交點拋物線與軸相交； ②有一個交點（頂點在軸上）拋物線與軸相切； ③沒有交點拋物線與軸相離．
■重點02 二次函數與一元二次方程
對于二次函數y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）， （1）當Δ＝b2﹣4ac＞0時，二次函數y＝ax2+bx+c的圖象與x軸有2個交點（x1，0），（x2，0）； 一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個不相等的實數根x1，x2． （2）當Δ＝b2﹣4ac＝0時，二次函數y＝ax2+bx+c的圖象與x軸有1個交點（x1，0）； 一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個相等的實數根x1=x2． （3）當Δ＝b2﹣4ac＜0時，二次函數y＝ax2+bx+c的圖象與x軸沒有交點； 一元二次方程ax2+bx+c＝0沒有實數根．
【典例1】　（2024秋 惠州期中）二次函數的圖象如圖所示，則的兩個根為 　　．
【答案】，3．
【分析】設拋物線與軸的另一個交點為，，根據對稱性解決問題即可．
【解答】解：設拋物線與軸的另一個交點為，，
拋物線的對稱軸是直線，拋物線與軸的一個交點是，
，
，
拋物線與軸的兩個交點為，，
的兩個根為，3．
故答案為：，3．
【典例2】　（2024秋 新市區月考）如圖，拋物線與直線交于，兩點，則方程的解為 　　．
【答案】，．
【分析】直接根據圖象交點的橫坐標可得答案．
【解答】解：，兩點的橫坐標為，3，
方程的解為，，
故答案為：，．
【典例3】　（2024秋 西華縣期中）已知關于的一元二次方程．
（1）試判斷原方程根的情況；
（2）若拋物線與軸交于，、，兩點，則、兩點間的距離是否存在最大或最小值？若存在，求出這個值；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）有兩個不相等的實數根
（2）存在最小值，最小值是2
【分析】（1）根據題意可得△，據此即可得出答案；
（2）利用公式法解一元二次方程即可得出、兩點的坐標，于是可求得、兩點間的距離，然后根據二次函數的圖象與性質即可得出答案．
【解答】解：（1）△，
，，
即△，
方程有兩個不相等的實數根；
（2）在中，當時，即，
解得，
，
當時，有最小值2，
答：、兩點間的距離存在最小值，最小值是2．
圖象法求一元二次方程的近似根 利用二次函數圖象求一元二次方程的近似根的步驟是： （1）作出函數的圖象，并由圖象確定方程的解的個數； （2）由圖象與y＝h的交點位置確定交點橫坐標的范圍； （3）觀察圖象求得方程的根（由于作圖或觀察存在誤差，由圖象求得的根一般是近似的）．
■重點03 二次函數與一元二次不等式
利用二次函數圖象求二次不等式的步驟： （1）作出二次函數的圖象，并由圖象確定圖象與x軸有無交點，有幾個交點； （2）觀察圖象，根據y＝ax2+bx+c圖象位于x軸上方的部分求得不等式ax2+bx+c>0的解； 根據y＝ax2+bx+c圖象位于x軸下方的部分求得不等式ax2+bx+c<0的解． 若y＝ax2+bx+c的圖象沒有位于x軸上方的部分，則不等式ax2+bx+c>0無解． 若y＝ax2+bx+c的圖象沒有位于x軸下方的部分，則不等式ax2+bx+c<0無解．
【典例1】　（2023秋 興賓區期末）拋物線的部分圖象如圖所示，則當時，的取值范圍是 　　
【分析】利用拋物線的對稱性得到拋物線與軸的另一個交點坐標為，然后寫出拋物線在軸上方所對應的自變量的范圍即可．
【解答】解：拋物線的對稱軸為直線，
而拋物線與軸的一個交點坐標為，
所以拋物線與軸的另一個交點坐標為，
所以當時，．
故答案為．
【典例2】　（2024秋 惠城區校級月考）二次函數的部分圖象如圖所示，對稱軸為直線，當時，的取值范圍是 　　．
【答案】．
【分析】先根據二次函數的對稱性求出其與軸的另一個交點坐標，再根據圖象法即可得．
【解答】解：由圖象可知，拋物線的對稱軸為，拋物線與軸的一個交點坐標為，
則其與軸的另一個交點坐標為．
設拋物線的解析式為，
當時，，
則，
解得：，
，
拋物線開口向下，則在軸上方，
結合圖象得：當時，．
故答案為：．
【典例3】　（2024秋 通州區期中）已知拋物線．
（1）在所給的坐標系中畫出這條拋物線；
（2）利用圖象回答：取什么值時，函數值小于0？
【答案】（1）見解答；
（2）．
【分析】（1）利用列表、描點、連線即可解決；
（2）直接根據函數圖象可得出結論．
【解答】解：（1）列表
． 0 1 2 3 ．
． 0 0 ．
描點、連線，
（2）由函數圖象知，當拋物線在軸上方時，或，
當時，函數值大于0．
利用二次函數圖象解二次不等式時注意拋物線的開口方向．
■難點01 根據拋物線與x軸交點的個數求字母的值（或范圍）
求二次函數圖象與x軸的交點個數問題，可轉化為判斷對應的一元二次方程的根的個數．
【典例1】　（2024秋 泰山區期中）拋物線與軸只有一個公共點，則的值為　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】拋物線與軸有一個交點，的方程就有兩個相等的實數根，根的判別式就等于0．
【解答】解：拋物線與軸只有一個公共點，
方程有兩個相等的實數根，
△，
．
故選：．
【典例2】　（2024秋 望奎縣校級月考）已知：拋物線開口向下，且與軸有兩個交點，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】拋物線開口向下，二次項系數，與軸有兩個交點△，聯立解不等式組即可．
【解答】依題意，得
解得：．
故選：．
【典例3】　（2024 市中區二模）已知拋物線與軸有且只有一個交點，則　　．
【答案】．
【分析】把二次函數轉化為關于的一元二次方程，再根據一元二次方程根與系數的關系得出結論
【解答】解：拋物線與軸有且只有一個交點，
△，
解得，
故答案為：．
運用數形結合的數學思想，在理解的基礎上，掌握二次函數圖象與x軸交點的坐標與一元二次方程根的關系．
■易錯點01 利用二次函數求一元二次方程的近似解
利用拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點的橫坐標求一元二次方程ax2+bx+c=0的根．具體過程如下： ①在平面直角坐標系中畫出拋物線y=ax2+bx+c； ②觀察圖象，確定拋物線與x軸的交點的橫坐標； ③交點的橫坐標為一元二次方程ax2+bx+c=0的根．
【典例1】　（2024秋 峰峰礦區月考）下表是若干組二次函數的自變量與函數值的對應值：
0.7 0.8 0.9 1.0
0.28 0.05
則下面哪個數是關于的方程的一個近似根（精確到　　
A．3.0 B．3.1 C．3.2 D．3.3
【答案】
【分析】根據表格可知，二次函數值為0時，的一個值在之間，由于0.05比更接近0，則二次函數值為0時，的一個值的近似值為0.8（精確到再求出對稱軸為直線，據此得到二次函數值為0時，的另一個值的近似值為3.2，據此可得答案．
【解答】解：當時，，
當時，，
由以上結果可以推斷出：二次函數值為0時，的一個值在之間，
比更接近0，
當二次函數值為0時，的一個值的近似值為0.8（精確到，
對稱軸為，
二次函數值為0時，的另一個值的近似值為3.2，
故選：．
【典例2】　（2023 晉城模擬）根據表格估計方程其中一個解的近似值．
1.63 1.64 1.65 1.66
5.9169 5.9696 6.0225 6.0756
根據上表，求方程的一個解大約是 　　（精確到
【答案】1.65．
【分析】先根據表中所給的數，再與6相減，然后所得的值進行比較，差值越小的越接近方程的解．
【解答】解：根據題意得：
，
，
，
可見6.0225比5.9696更逼近6，
當精確度為0.01時，方程的一個解約是1.65；
故答案為：1.65．
【典例3】　（2023秋 林州市期中）已知：由函數的圖象知道，當時，，當時，，所以方程有一個根在和0之間．
（1）參考上面的方法，求方程的另一個根在哪兩個連續整數之間；
（2）若方程有一個根在0和1之間，求的取值范圍．
【答案】（1）方程的另一個根在2和3之間；
（2）．
【分析】（1）計算和時，的值，確定其所在范圍是；
（2）根據題意得到，解得即可．
【解答】解：（1）利用函數的圖象可知，
當時，，當時，，
所以方程的另一個根在2和3之間；
（2）函數的圖象的對稱軸為直線，
由題意，得，
解得．
1．用兩點夾逼法估計一元二次方程的根，具體方法如下：在交點（拋物線與x軸的交點）的兩側各取一點， 則一元二次方程的根在這兩個點的橫坐標之間． 2．通過取平均數求根的近似值，具體的操作過程如下： ①取使函數值異號且絕對值較小的兩個自變量的值m，n； ②分別將，n（或，m）作為自變量的值代入函數解析式，判斷其函數值是否異號； ③重復執行步驟①②，以提高根的估計值的精確度．中小學教育資源及組卷應用平臺
22.2 二次函數與一元二次方程
■重點01 拋物線與x軸的交點
求二次函數y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）與x軸的交點坐標，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解關于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標． （1）二次函數y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）的交點與一元二次方程ax2+bx+c＝0根之間的關系． Δ＝b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點個數． Δ＝b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點； Δ＝b2﹣4ac＝0時，拋物線與x軸有1個交點； Δ＝b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點． （2）二次函數的交點式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數，a≠0），可直接得到拋物線與x軸的交點坐標（x1，0），（x2，0）．
【典例1】　（2023秋 連云港期末）拋物線與軸的交點個數是　　
A．0 B．1 C．2 D．3
【典例2】　（2024秋 新豐縣期中）拋物線與軸的交點個數為　　
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【典例3】　（2024秋 朝陽區校級期中）拋物線與軸的交點坐標為 　　．
二次函數的圖像與軸的兩個交點的橫坐標、，是對應一元二次方程的兩個實數根．拋物線與軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定： ①有兩個交點拋物線與軸相交； ②有一個交點（頂點在軸上）拋物線與軸相切； ③沒有交點拋物線與軸相離．
■重點02 二次函數與一元二次方程
對于二次函數y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）， （1）當Δ＝b2﹣4ac＞0時，二次函數y＝ax2+bx+c的圖象與x軸有2個交點（x1，0），（x2，0）； 一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個不相等的實數根x1，x2． （2）當Δ＝b2﹣4ac＝0時，二次函數y＝ax2+bx+c的圖象與x軸有1個交點（x1，0）； 一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個相等的實數根x1=x2． （3）當Δ＝b2﹣4ac＜0時，二次函數y＝ax2+bx+c的圖象與x軸沒有交點； 一元二次方程ax2+bx+c＝0沒有實數根．
【典例1】　（2024秋 惠州期中）二次函數的圖象如圖所示，則的兩個根為 　　．
【典例2】　（2024秋 新市區月考）如圖，拋物線與直線交于，兩點，則方程的解為 　　．
【典例3】　（2024秋 西華縣期中）已知關于的一元二次方程．
（1）試判斷原方程根的情況；
（2）若拋物線與軸交于，、，兩點，則、兩點間的距離是否存在最大或最小值？若存在，求出這個值；若不存在，請說明理由．
圖象法求一元二次方程的近似根 利用二次函數圖象求一元二次方程的近似根的步驟是： （1）作出函數的圖象，并由圖象確定方程的解的個數； （2）由圖象與y＝h的交點位置確定交點橫坐標的范圍； （3）觀察圖象求得方程的根（由于作圖或觀察存在誤差，由圖象求得的根一般是近似的）．
■重點03 二次函數與一元二次不等式
利用二次函數圖象求二次不等式的步驟： （1）作出二次函數的圖象，并由圖象確定圖象與x軸有無交點，有幾個交點； （2）觀察圖象，根據y＝ax2+bx+c圖象位于x軸上方的部分求得不等式ax2+bx+c>0的解； 根據y＝ax2+bx+c圖象位于x軸下方的部分求得不等式ax2+bx+c<0的解． 若y＝ax2+bx+c的圖象沒有位于x軸上方的部分，則不等式ax2+bx+c>0無解． 若y＝ax2+bx+c的圖象沒有位于x軸下方的部分，則不等式ax2+bx+c<0無解．
【典例1】　（2023秋 興賓區期末）拋物線的部分圖象如圖所示，則當時，的取值范圍是 　　
【典例2】　（2024秋 惠城區校級月考）二次函數的部分圖象如圖所示，對稱軸為直線，當時，的取值范圍是 　　．
【典例3】　（2024秋 通州區期中）已知拋物線．
（1）在所給的坐標系中畫出這條拋物線；
（2）利用圖象回答：取什么值時，函數值小于0？
利用二次函數圖象解二次不等式時注意拋物線的開口方向．
■難點01 根據拋物線與x軸交點的個數求字母的值（或范圍）
求二次函數圖象與x軸的交點個數問題，可轉化為判斷對應的一元二次方程的根的個數．
【典例1】　（2024秋 泰山區期中）拋物線與軸只有一個公共點，則的值為　　
A． B． C． D．
【典例2】　（2024秋 望奎縣校級月考）已知：拋物線開口向下，且與軸有兩個交點，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【典例3】　（2024 市中區二模）已知拋物線與軸有且只有一個交點，則　　．
運用數形結合的數學思想，在理解的基礎上，掌握二次函數圖象與x軸交點的坐標與一元二次方程根的關系．
■易錯點01 利用二次函數求一元二次方程的近似解
利用拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點的橫坐標求一元二次方程ax2+bx+c=0的根．具體過程如下： ①在平面直角坐標系中畫出拋物線y=ax2+bx+c； ②觀察圖象，確定拋物線與x軸的交點的橫坐標； ③交點的橫坐標為一元二次方程ax2+bx+c=0的根．
【典例1】　（2024秋 峰峰礦區月考）下表是若干組二次函數的自變量與函數值的對應值：
0.7 0.8 0.9 1.0
0.28 0.05
則下面哪個數是關于的方程的一個近似根（精確到　　
A．3.0 B．3.1 C．3.2 D．3.3
【典例2】　（2023 晉城模擬）根據表格估計方程其中一個解的近似值．
1.63 1.64 1.65 1.66
5.9169 5.9696 6.0225 6.0756
根據上表，求方程的一個解大約是 　　（精確到
【典例3】　（2023秋 林州市期中）已知：由函數的圖象知道，當時，，當時，，所以方程有一個根在和0之間．
（1）參考上面的方法，求方程的另一個根在哪兩個連續整數之間；
（2）若方程有一個根在0和1之間，求的取值范圍．
1．用兩點夾逼法估計一元二次方程的根，具體方法如下：在交點（拋物線與x軸的交點）的兩側各取一點， 則一元二次方程的根在這兩個點的橫坐標之間． 2．通過取平均數求根的近似值，具體的操作過程如下： ①取使函數值異號且絕對值較小的兩個自變量的值m，n； ②分別將，n（或，m）作為自變量的值代入函數解析式，判斷其函數值是否異號； ③重復執行步驟①②，以提高根的估計值的精確度．

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