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課題：第三章 圓錐曲線的方程
3.1.2 橢圓的幾何性質（三）
班級—————— 姓名——————
一、學習目標
1.了解并能判斷橢圓與點、直線的位置關系；
2.能解決橢圓弦長，面積等綜合性問題。
二、問題與例題
思考：你能類比圓與點、直線的位置關系來判斷橢圓與點、直線的位置關系呢？
知識點一 . 橢圓與點的位置關系：
對于點與橢圓的位置關系，有如下結論：
點在橢圓外+>1;
點在橢圓內+<1;
點在橢圓上+=1.
知識點二 . 橢圓與直線的位置關系：
利用方程討論直線與橢圓的位置關系：
<0直線與橢圓相離無公共點.
=0直線與橢圓相切有且只有一個公共點;
>0直線與橢圓相交有兩個公共點;
弦長公式：若直線與圓錐曲線相交與、兩點，則：
弦長
【題型1 橢圓與點的位置關系】
【例1】若點在橢圓的外部，則的取值范圍為（ ）
B． C． D．
【變式1-1】已知橢圓，則下列各點不在橢圓內部的是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】點與橢圓的位置關系為（ ）
A．點在橢圓上 B．點在橢圓內 C．點在橢圓外 D．不確定
【題型2 橢圓與直線的位置關系】
【例2】當m取何值時，直線l：y＝x＋m與橢圓9x2＋16y2＝144分別滿足下列條件：
(1)無公共點；(2)有且僅有一個公共點；(3)有兩個公共點
【變式2-1】已知直線，橢圓，則直線與橢圓的位置關系是（ ）
相交 B．相切 C．相離 D．無法確定
【變式2-2】直線與橢圓有且只有一公共點，那么的值為（ ）
B． C． D．
【變式2-3】已知直線與橢圓，點，則下列說法正確的是（ ）
A．若點A在橢圓C外，則直線l與橢圓C相離B．若點A在橢圓C上，則直線l與橢圓C相切
C．若點A在橢圓C內，則直線l與橢圓C相交
D．若點A在直線l上，則直線l與橢圓C的位置關系不確定
【題型3 中點弦問題】
【例3】在橢圓中，以點為中點的弦所在的直線方程為（ ）
B． C． D．
【變式3-1】已知橢圓C：，則斜率為2的平行弦中點的軌跡方程 ．
【變式3-2】已知直線與橢圓和交于A，B兩點，且點平分弦AB，則m的值為 ．
【題型4 橢圓的弦長】
【例4】已知斜率為1的直線l過橢圓的右焦點，交橢圓于A，B兩點，則弦AB的長為（ ）
B． C． D．
【變式4-1】已知橢圓與直線交于A，B兩點，且，則實數m的值為（ ）
±1 B．± C． D．±
【變式4-2】斜率為1的直線與橢圓相交于A，B兩點，則的最大值為（　　）
A．2 B． C． D．
【題型5 與橢圓有關的面積問題】
【例5】已知橢圓的焦點坐標為、，點為橢圓上一點.
求橢圓的標準方程；(2)經過點且傾斜角為的直線與橢圓相交于、兩點，為坐標原點，求的面積.
【變式5-1】如圖所示，橢圓的左、右焦點分別為，，一條直線經過與橢圓交于，兩點．(1)求焦點坐標，焦距，短軸長；(2)若直線的傾斜角為，求的面積．
【題型6 橢圓的綜合問題】
【例6】已知點，在橢圓 上.
(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓交于兩個不同的點（異于），過作軸的垂線分別交直線于點，當是中點時，證明．直線過定點.
【變式6-1】已知直線：交橢圓：于A，B兩點，為橢圓上一點．
(1)證明；(2)求的最大值．
目標檢測
1.已知直線l：，曲線C：，則直線l與曲線C的位置關系是（ ）
A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定
2.直線y＝x－1被橢圓2x2＋y2＝4所截得的弦的中點坐標是(　　)
A.（，- ） B.（- ） C.（，- ） D.（- ，）
3.已知橢圓，過原點且傾斜角為的直線交橢圓于兩點，則（ ）
A． B． C． D．
4.已知橢圓C：的左、右焦點分別為、，上頂點為A，，長軸的長為4．過右焦點的直線l與橢圓交于M、N兩點（非長軸端點）．
(1)求橢圓的方程；(2)若直線l過橢圓的上頂點A，求的面積．
5.已知橢圓的左頂點為，橢圓的中心關于直線的對稱點落在直線上，且橢圓過點.(1)求橢圓的方程；(2)為橢圓上兩個動點，且直線與的斜率之積為為垂足，求的最大值.

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