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中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
高中物理必修二素養(yǎng)提升學(xué)案
第五章 拋體運(yùn)動(dòng)
專題強(qiáng)化4 小船渡河
【專題解讀】
小船渡河時(shí)，實(shí)際上參與了兩個(gè)方向的分運(yùn)動(dòng)，即隨水流的運(yùn)動(dòng)（水沖船的運(yùn)動(dòng)）和船相對(duì)水的運(yùn)動(dòng)（船在靜水中的運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方向?yàn)榇^的方向），船的實(shí)際運(yùn)動(dòng)是合運(yùn)動(dòng).
情況 圖示 說(shuō)明
渡河時(shí)間最短 當(dāng)船體垂直于河岸時(shí)，渡河時(shí)間最短，最短時(shí)間tmin＝
渡河位移最短 當(dāng)v水＜v船時(shí)，如果滿足v水－v船cosθ＝0，合速度垂直于河岸，則渡河位移最短（等于河寬d）
當(dāng)v水＞v船時(shí)，如果船頭方向（即v船方向）與合速度方向垂直，則渡河位移最短，最短渡河位移smin＝
渡河船速最小 在水流速度v水和船的航行方向（即v合方向）一定的前提下，當(dāng)船頭方向（即v船方向）與合速度方向垂直時(shí)，有滿足條件的最小船速，即v船min＝v水sinθ
方法點(diǎn)撥
小船渡河問(wèn)題的模型建構(gòu)
兩類常考題型的解題攻略
1.最短時(shí)間渡河：只要船頭垂直河對(duì)岸即可，實(shí)際航行方向斜向河下游.
2.最短位移渡河：要分情況，若v船＞v水，則最短位移等于河寬；若v船＜v水，則v船⊥v合時(shí)，位移最短.
【典例剖析】．
典例　一小船渡河，河寬d＝180 m，水流速度v1＝2.5 m/s，船在靜水中的速度為v2＝5 m/s，則：
(1)欲使船在最短的時(shí)間內(nèi)渡河，船頭應(yīng)朝什么方向？用多長(zhǎng)時(shí)間？位移是多少？
(2)欲使船渡河的航程最短，船頭應(yīng)朝什么方向？用多長(zhǎng)時(shí)間？位移是多少？
(3)如果其他條件不變，水流速度變?yōu)? m/s。船過(guò)河的最短時(shí)間和最小位移是多少？
【思路分析】 (1)小船渡河時(shí)同時(shí)參與了幾個(gè)分運(yùn)動(dòng)？如何渡河時(shí)間最短？
提示：參與了兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)，一個(gè)是船相對(duì)水的運(yùn)動(dòng)(即船在靜水中的運(yùn)動(dòng))，一個(gè)是船隨水漂流的運(yùn)動(dòng)(即水的運(yùn)動(dòng))。當(dāng)v船垂直于河岸時(shí)到達(dá)對(duì)岸用時(shí)最短，最短時(shí)間與v水無(wú)關(guān)。
(2)當(dāng)v水提示：當(dāng)v水[規(guī)范解答]　(1)欲使船在最短時(shí)間內(nèi)渡河，船頭應(yīng)朝垂直河岸方向。當(dāng)船頭垂直河岸時(shí)，如圖甲所示。
時(shí)間t＝＝ s＝36 s，v合＝ eq \r(v＋v)＝ m/s，
位移為x＝v合t＝90 m。
(2)欲使船渡河航程最短，應(yīng)使合運(yùn)動(dòng)的速度方向垂直河岸，船頭應(yīng)朝上游與河岸成某一夾角β，如圖乙所示，有v2cos β＝v1，得β＝60°。
最小位移為xmin＝d＝180 m，
所用時(shí)間t′＝＝＝ s＝24 s。
(3)最短渡河時(shí)間只與v2有關(guān)，與v1無(wú)關(guān)，當(dāng)船頭垂直于河岸渡河時(shí)時(shí)間最短，t＝＝36 s；
當(dāng)水流速度變?yōu)? m/s時(shí)，v1＞v2，則合速度不可能垂直于河岸，無(wú)法垂直渡河。如圖丙所示，以v1矢量的末端為圓心、以矢量v2的大小為半徑畫弧，從v1矢量的始端向圓弧作切線，則合速度沿此切線方向時(shí)航程最短，設(shè)船頭與上游河岸夾角為α，則cos α＝，最小位移為xmin＝＝d＝×180 m＝216 m。
[答案]　(1)船頭朝垂直于河岸方向　36 s　90 m
(2)船頭偏向上游，與河岸夾角為60°　24 s　180 m
(3)36 s　216 m
規(guī)律點(diǎn)撥　　　　　
小船渡河的最短時(shí)間與最短航程
(1)不論水流速度多大，船頭垂直于河岸渡河，時(shí)間最短，tmin＝，且這個(gè)時(shí)間與水流速度大小無(wú)關(guān)。
(2)當(dāng)v水＜v船時(shí)，合運(yùn)動(dòng)的速度方向可垂直于河岸，最短航程為河寬。
(3)當(dāng)v水＞v船時(shí)，船不能垂直到達(dá)河對(duì)岸，但仍存在最短航程，當(dāng)v船與v合垂直時(shí)，航程最短，最短航程為xmin＝d。
【針對(duì)性訓(xùn)練】
1 .[2024湖南懷化三中校考]唐僧、悟空、沙僧和八戒師徒四個(gè)想劃船渡過(guò)一條寬150m的河，他們?cè)陟o水中劃船的速度為5m/s，現(xiàn)在他們觀察到河水的流速為4m/s，對(duì)于這次劃船過(guò)河，他們有各自的看法，其中正確的是（　B　）
A.唐僧說(shuō)：我們要想到達(dá)正對(duì)岸就得朝著正對(duì)岸劃船
B.悟空說(shuō)：我們要想節(jié)省時(shí)間就得朝著正對(duì)岸劃船
C.沙僧說(shuō)：我們要想少走點(diǎn)路就得朝著正對(duì)岸劃船
D.八戒說(shuō)：今天這種情況我們是不可能到達(dá)正對(duì)岸的
【答案】B
解析　當(dāng)朝著正對(duì)岸劃船時(shí)劃船的時(shí)間最短，有tmin＝＝30 s，又由于v船＞v水，如圖所示，則當(dāng) cos θ＝＝時(shí)，他們可以到達(dá)正對(duì)岸，此時(shí)位移最短，故選項(xiàng)B正確，選項(xiàng)A、C、D錯(cuò)誤.
2 .[多選]小明同學(xué)遙控小船做過(guò)河實(shí)驗(yàn)，并繪制了四幅小船過(guò)河的航線圖，如圖所示.圖中實(shí)線為河岸，河水的流動(dòng)速度不變，方向水平向右，虛線為小船從河岸M駛向?qū)Π禢的實(shí)際航線，小船相對(duì)于靜水的速度不變，并且大于河水的流動(dòng)速度，則（　AB　）
A.航線圖甲是正確的，船頭保持圖中的方向，小船過(guò)河時(shí)間最短
B.航線圖乙是正確的，船頭保持圖中的方向，小船過(guò)河位移最短
C.航線圖丙是正確的，船頭保持圖中的方向，小船過(guò)河位移最短
D.航線圖丁不正確，如果船頭保持圖中的方向，船的軌跡應(yīng)該是曲線
【答案】AB
解析　船速垂直于河岸，合速度的方向偏向下游，且過(guò)河時(shí)間最短，故A正確；根據(jù)平行四邊形定則知，合速度的方向正好垂直于河岸，過(guò)河的位移最短，故B正確；由于有流水速度，因此不可能出現(xiàn)此現(xiàn)象，故C錯(cuò)誤；船頭的指向?yàn)榇俚姆较颍俚姆较蚺c流水速度的合速度的方向不可能是圖示方向，但軌跡應(yīng)為直線，故D錯(cuò)誤.
3 .[多選]河水的流速隨離河岸一側(cè)的距離的變化關(guān)系如圖甲所示，船在靜水中的速度與時(shí)間的關(guān)系如圖乙所示，若要使船以最短時(shí)間渡河，則（　BD　）
A.船渡河的最短時(shí)間是60s
B.船在行駛過(guò)程中，船頭始終與河岸垂直
C.船在河水中航行的軌跡是一條直線
D.船在河水中的最大速度是5m/s
【答案】BD
解析　當(dāng)船頭垂直于河岸渡河時(shí)，過(guò)河時(shí)間最短，為tmin＝100 s，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，B正確；因河水的速度是變化的，故船相對(duì)于岸的速度的大小和方向均是變化的，船在河水中航行的軌跡不是一條直線，當(dāng)船在河中心時(shí)，船速最大，vmax＝5 m/s，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，D正確.
4（2021高考遼寧）1935年5月，紅軍為突破“圍剿”決定強(qiáng)渡大渡河.首支共產(chǎn)黨員突擊隊(duì)冒著槍林彈雨依托僅有的一條小木船堅(jiān)決強(qiáng)突.若河面寬300m，水流速度3m/s，木船相對(duì)靜水速度1m/s，則突擊隊(duì)渡河所需的最短時(shí)間為（　D　）
A.75s B.95s C.100s D.300s
【答案】D
解析　木船船頭垂直于河岸渡河時(shí)，所需時(shí)間最短，由d＝v船t解得最短時(shí)間t＝300 s，D正確.
5.（2024遼寧新民高級(jí)中學(xué)校考）一條小河寬d＝200m，一條小船最快能40s到達(dá)對(duì)岸，若要到達(dá)正對(duì)岸，則需要50s.若小船船頭斜向下游，與河岸方向成α＝37°角，船在靜水中速度大小不變，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，則下列說(shuō)法正確的是（　BC　）
A.小船在靜水中速度大小為4m/s
B.水流速度為3m/s
C.小船的實(shí)際速度大小為m/s
D.小船到達(dá)對(duì)岸的時(shí)間為45s
【答案】BC
解析　設(shè)小船在靜水中速度大小為v船，水流速度為v水，根據(jù)題意有tmin＝＝40 s，t＝＝50 s，解得v船＝5 m/s，v水＝3 m/s，A錯(cuò)誤，B正確；若小船船頭斜向下游，與河岸方向成α＝37°角，則小船沿河岸速度大小為vx＝v水＋v船 cos 37°＝7 m/s，垂直于河岸速度大小為vy＝v船 sin 37°＝3 m/s，小船的實(shí)際速度大小v＝＝ m/s＝ m/s，到達(dá)對(duì)岸的時(shí)間為t'＝＝ s，C正確，D錯(cuò)誤.
6 一小船在靜水中的速度為3m/s，它在一條寬為150m、水流速度為4m/s的河流中渡河，則該小船（　C　）
A.能到達(dá)正對(duì)岸
B.渡河的時(shí)間可能少于50s
C.以最短時(shí)間渡河時(shí)，它沿水流方向的位移大小為200m
D.以最小位移渡河時(shí)，位移大小為250m
【答案】C
解析　因?yàn)樾〈陟o水中的速度小于水流速度，所以小船不能到達(dá)正對(duì)岸，A錯(cuò)誤；當(dāng)船頭與河岸垂直時(shí)渡河時(shí)間最短，最短時(shí)間t＝＝50 s，故渡河時(shí)間不能少于50 s，B錯(cuò)誤；以最短時(shí)間渡河時(shí)，小船沿水流方向的位移大小為x＝v水t＝200 m，C正確；當(dāng)v船與實(shí)際運(yùn)動(dòng)方向垂直時(shí)渡河位移最小，設(shè)此時(shí)船頭與河岸的夾角為θ，則 cos θ＝，渡河位移大小為s＝＝200 m，D錯(cuò)誤.
命題拓展
如果水流速度不變，小船在靜水中的速度為5m/s，小船到對(duì)岸的最小位移是多少？
答案　150m
解析　此時(shí)小船在靜水中的速度大于水流速度，可讓船頭朝河的上游與河岸夾角
為α，當(dāng)v'船 cos α＝v水時(shí)，小船的合速度方向垂直于河岸，運(yùn)動(dòng)軌跡垂直于河岸，小
船到對(duì)岸的位移最小為河寬150 m.
7 . (2024年5月廣東部分重點(diǎn)高中聯(lián)考)近年來(lái)，我國(guó)各地都有組織游泳橫渡江河的活動(dòng)以倡導(dǎo)環(huán)保意識(shí)和體育精神。在一次橫渡河流的游泳活動(dòng)中，人在靜水中的速度為1.25m/s，要渡過(guò)寬為500m、水流速度為1.0m/s的河流，sin53°=0.8，cos53°=0.6，則下列說(shuō)法正確的是
A.人游到對(duì)岸的最短時(shí)間為400s
B.人面對(duì)正對(duì)岸游動(dòng)，其實(shí)際路線是曲線
C.人沿著與上游河岸夾角53°的方向游泳時(shí)，可以到達(dá)正對(duì)岸
D.人不可能垂直游到正對(duì)岸
【參考答案】.A
【名師解析】合運(yùn)動(dòng)和分運(yùn)動(dòng)之間具有等時(shí)性，所以當(dāng)人沿著垂直河岸的方向游泳時(shí)，游到對(duì)岸用時(shí)最短，最短時(shí)間為，故A項(xiàng)正確；人在靜水中的速度恒定（勻速），水流速度恒定（勻速），其合運(yùn)動(dòng)一定是勻速直線運(yùn)動(dòng)，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)椋瑒t人沿著斜向上游方向游泳時(shí)，可以使沿河岸方向的速度為零，合速度垂直河岸從而垂直過(guò)河，設(shè)人游泳的方向與上游河岸的夾角為，有，解得，即，故C、D項(xiàng)錯(cuò)誤。
8．（2024年4月上海寶山模擬）某人使圖游過(guò)黃浦江，他以一定速度，且視線始終垂直河岸向?qū)Π队稳ィO(shè)江水勻速流動(dòng)，則
A．江水的流速越大，渡江時(shí)間越短
B．渡江時(shí)間與江水的流速大小無(wú)關(guān)
C．江水的流速越大，渡江路程越短
D．渡江路程與江水的流速大小無(wú)關(guān)
【參考答案】B
【名師解析】可把游泳過(guò)江理想化為小船過(guò)河，視線始終垂直河岸向?qū)Π队稳ィ喈?dāng)于船頭指向?qū)Π叮山瓡r(shí)間與江水的流速大小無(wú)關(guān)，江水的流速越大，渡江路程越長(zhǎng)，B正確ACD錯(cuò)誤。
9．（2024年4月江蘇六校聯(lián)考）在靜水中速度為v1的小船，為垂直渡過(guò)寬度為d的河流，船頭與河岸成θ角斜向上游，如圖甲所示。航行中發(fā)現(xiàn)河水流速vs與河岸間距離x的關(guān)系如圖乙所示，為使小船仍能到達(dá)正對(duì)岸的B點(diǎn)，下列措施中可行的是（　　）
A．保持船頭方向不變，v1的大小不變
B．保持船頭方向不變，v1先變小后增大
C．保持船速v1大小不變，θ先增大后減小
D．保持船速v1大小不變，θ先減小后增大
【參考答案】D
【名師解析】若保持船頭方向不變，v1的大小不變，由于河水流速vs與河岸間距離x的關(guān)系如圖乙，則不可能垂直渡過(guò)寬度為d的河流，A錯(cuò)誤；若保持船頭方向不變，v1先變小后增大，由于河水流速vs與河岸間距離x的關(guān)系如圖乙，則不可能垂直渡過(guò)寬度為d的河流，B錯(cuò)誤；為垂直渡過(guò)寬度為d的河流，由于河水流速vs與河岸間距離x的關(guān)系如圖乙，可以保持船速v1大小不變，θ先減小后增大，D正確，C錯(cuò)誤。
10.（2024年4月河南名校聯(lián)考）如圖，某河流中水流速度大小恒為處的下游處有個(gè)漩渦，漩浴與河岸相切于點(diǎn)，漩渦的半徑為。為使小船從點(diǎn)出發(fā)以恒定的速度安全到達(dá)對(duì)岸，小船航行時(shí)在靜水中速度的最小值為
A. B.
C. D.
【參考答案】B
【名師解析】
如圖，當(dāng)小船相對(duì)于地面的運(yùn)動(dòng)軌跡恰好與旋渦邊界相切，且小船在靜水中的速度v船與其相對(duì)于地面的速度垂直時(shí)，小船航行時(shí)在靜水中速度最小。
由幾何關(guān)系，sin∠CAB=r/2r=1/2
解得：∠CAB=30°
所以小船相對(duì)于地面的速度與河岸的夾角為θ=2∠CAB=60°，
故 v船=v1sin60°=，B正確。
11．（2024遼寧部分重點(diǎn)高中3月聯(lián)考）寬為d的一條河，越靠近河中心水的流速越大，小船在靜水中的速度為，渡河時(shí)船頭垂直河岸，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．渡河時(shí)間為
B．此種方式渡河，有最短時(shí)間
C．小船渡河的軌跡為直線
D．小船到達(dá)河中心時(shí)速度最大
【參考答案】．ABD
【名師解析】合運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)的關(guān)系具有獨(dú)立性，每個(gè)分運(yùn)動(dòng)都按照各自的規(guī)律獨(dú)立運(yùn)行，因此船渡河時(shí)間只與船頭垂直河岸的分速度有關(guān)，船渡河時(shí)船頭垂直于河岸，則渡河的時(shí)間為，此種情況時(shí)間最短，A、B項(xiàng)正確；因?yàn)樗魉俣炔皇呛愣ǖ模娇拷又行乃牧魉僭酱螅纤俣鹊姆较蚝痛笮《几淖儯虼诵〈珊拥能壽E不是直線，C項(xiàng)錯(cuò)誤；小船到達(dá)河中心時(shí)，船頭垂直河岸的分速度大小不變，水流方向的分速度達(dá)到最大值，兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)速度垂直，合運(yùn)動(dòng)的速度為，即小船到達(dá)河中心時(shí)，水流方向的分速度達(dá)到最大值，合速度最大，D項(xiàng)正確。
12 汽艇以18km/h的速度沿垂直于河岸的方向勻速向?qū)Π缎旭偅訉?00m，河水流速為3.6km/h.
（1）汽艇的合速度是多大？
（2）汽艇到達(dá)對(duì)岸用時(shí)多久？
（3）汽艇在對(duì)岸何處靠岸？
答案　（1）m/s　（2）100s　（3）汽艇在對(duì)岸下游100m處靠岸
解析　（1）18km/h＝5m/s，3.6km/h＝1m/s，汽艇的合速度v合＝＝m/s
（2）汽艇到達(dá)對(duì)岸用時(shí)t＝＝100s
（3）汽艇在沿河水流動(dòng)方向的位移s＝v河t＝100m，則汽艇在對(duì)岸下游100m處靠岸.
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