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第2節　導體的電阻(賦能課—精細培優科學思維)

課標要求
層級達標
通過實驗，探究并了解金屬導體的電阻與材料、長度和橫截面積的定量關系。
學考
層級
1.知道電阻的定義，體會運用比值定義物理量的方法。
2.通過對決定導體電阻的因素的探究，體會控制變量的研究方法。
3.理解電阻率的概念及物理意義，了解電阻率與溫度的關系。

選考
層級
1.能根據I?U圖像或U?I圖像求導體的電阻。
2.能用伏安特性曲線分析不同導體導電性能的區別。


一、電阻　影響導體電阻的因素
1．定義：導體兩端的電壓與導體中電流之比。
2．定義式：R＝。
3．物理意義：反映導體對電流的阻礙作用的物理量。

4．導體的U?I圖像
(1)同一導體的U?I圖像是一條過原點的直線。
(2)圖像的斜率反映了導體電阻的大小。
5．影響導體電阻的因素
(1)探究電路(如圖所示)

(2)探究原理：a、b、c、d是四條不同的金屬導體，串聯連接在電路中，電流大小相同，各導體兩端的電壓與電阻之比都相等。
(3)探究思路：在長度、橫截面積和材料三個因素中，b、c、d跟a相比，分別只有一個因素不同，比較b、c、d與a的電阻關系。
(4)探究結果：導體的電阻與長度、橫截面積有關，與導體的材料也有關。

　　
雖然電阻R＝，但電阻與電壓、電流無關，而是由導體本身決定的。
二、導體的電阻率
1．電阻定律的內容：同種材料的導體，其電阻R與它的長度l成正比，與它的橫截面積S成反比；導體電阻還與構成它的材料有關。
2．表達式：R＝ρ。
3．電阻率
(1)物理意義：表征導體材料的導電特性。
(2)相關因素：與導體的材料和導體的溫度有關。
(3)超導現象：一些金屬在溫度特別低時電阻可以降到0的現象。

導體的電阻率小，電阻不一定小，即電阻率小的導體對電流的阻礙作用不一定小。
[微情境·大道理]
1．導體兩端的電壓為零時，導體的電阻也為零嗎？
提示：電阻是導體本身的固有屬性，與導體兩端的電壓和通過導體的電流無關，電壓為零時，導體的電阻不為零。
2.在做“探究導體中的電流與導體兩端電壓和電阻的關系”的實驗時，閉合開關S前，滑動變阻器滑片的位置應該在圖中的哪一側？
提示：最左側。為保證電路中電表的安全，閉合開關S前，應讓電流表所在支路處于被短路狀態，這樣閉合開關后該支路中的電流才能從零開始增大，因此閉合開關S前滑動變阻器滑片的位置應位于最左側。
3．如圖所示，將一條長度為l、截面直徑為d的鉑絲繞成一線圈，與電源、燈泡、電流表、電壓表、開關組成一電路。

閉合開關，觀察燈泡的亮度，記下此時電流表和電壓表的示數；然后用酒精燈對鉑絲加熱，再觀察燈泡的亮度，記錄電流表和電壓表的示數。
(1)酒精燈未加熱時，能否求出鉑絲的電阻？
提示：可根據電流表和電壓表的示數求出鉑絲的電阻。
(2)酒精燈加熱前后燈泡亮度是否變化？請解釋看到現象的原因。
提示：燈泡亮度變暗。由電流表和電壓表此時的示數求出鉑絲的電阻，發現鉑絲電阻變大，而長度和橫截面積幾乎不變，根據公式R＝ρ，可知其電阻率變大了，說明鉑的電阻率隨溫度升高而變大。

強化點(一)　對電阻的理解
任務驅動　
如圖所示的圖像為金屬導體A、B的U?I圖像，思考：
(1)對導體A(或導體B)來說，電流與它兩端的電壓有什么關系？U與I的比值怎樣？
提示：對導體A(或導體B)，電流與它兩端的電壓成正比，導體A或導體B的電壓與電流的比值是定值，但兩者的比值不相等。
(2)對導體A、B，在電壓U相同時，誰的電流小？誰對電流的阻礙作用大？
提示：電壓相同時，A的電流小，說明A對電流的阻礙作用大。
[要點釋解明]
1．R＝是電阻的定義式，比值表示一段導體對電流的阻礙作用，對給定的導體，它的電阻是一定的，與導體兩端是否加電壓、導體中是否有電流無關。
2．I＝是歐姆定律的數學表達式，表示通過導體的電流I與電壓U成正比，與電阻R成反比，常用于計算一段電路加上一定電壓時產生的電流，適用條件是金屬或電解質溶液導電(純電阻電路)。

[題點全練清]

1．(多選)下列說法正確的是(　 )
A．電流流過導體時，沿電流方向電勢逐漸降低
B．由R＝知，一般導體的電阻與它兩端的電壓成正比，與通過它的電流強度成反比
C．由I＝知，通過一段導體的電流強度與加在它兩端的電壓成正比
D．對確定的線性元件而言，比值恒定，不隨U或I的變化而變化
解析：選ACD　電流流過導體時，形成的場強沿電流方向，沿電場方向電勢逐漸降低，A正確；R＝是電阻的定義式，而電阻只與導體本身有關，與所加的電壓和通過的電流無關，B錯誤；由I＝可知，當電阻一定時，通過一段導體的電流強度與加在它兩端的電壓成正比，C正確；對確定的線性元件而言，導體的電阻一定，比值恒定，不隨U或I的變化而變化，D正確。
2．(多選)對于歐姆定律，下列理解正確的是(　 )
A．從關系式U＝IR可知，對于阻值一定的導體，通過它的電流越大，它兩端的電壓也越大
B．從關系式R＝可知，導體兩端的電壓為零時，導體的電阻也為零
C．從關系式I＝可知，對于阻值一定的導體，當導體兩端的電壓增大一倍時，導體中的電流也增大一倍
D．從關系式R＝可知，導體兩端電壓越大，電阻R也越大
解析：選AC　對于阻值一定的導體，根據U＝IR可知，電流I越大，電壓U越大，A正確；導體的電阻是由導體本身的性質決定，與U、I無關，故B、D錯誤；對于電阻一定的導體，導體中的電流與導體兩端的電壓成正比，故C正確。
強化點(二)　電阻定律與電阻率

[要點釋解明]
1．公式R＝ρ是導體電阻的決定式，圖中所示為一塊長方體鐵塊，若通過電流為I1，則R1＝ρ；若通過電流為I2，則R2＝ρ。
導體的電阻反映了導體阻礙電流的性質，是由導體本身決定的。
2．公式R＝ρ的適用條件：溫度一定、粗細均勻的金屬導體或濃度均勻的電解質溶液。
3．R＝ρ與R＝的比較

R＝ρ
R＝
意義
電阻定律的表達式，也是電阻的決定式
電阻的定義式，R與U、I無關
作用
提供了測定電阻率的一種方法：ρ＝R
提供了測定電阻的一種方法：伏安法
適用
范圍
適用于粗細均勻的金屬導體或濃度均勻的電解液、等離子體
純電阻元件
聯系
導體的電阻取決于導體本身的材料、長度和橫截面積，而不是U和I

[典例]　兩根完全相同的金屬導線A和B，如果把其中的一根導線A均勻拉長到原來的2倍，把另一根導線B對折后絞合起來，則它們的電阻之比為多少？
[解題指導]
(1)導線拉長2倍后，導線的電阻率ρ不變，長度l變為原來2倍，體積不變，橫截面積S變為原來的。
(2)R、ρ、l、S滿足R＝ρ。
[解析]　金屬導線原來的電阻為R＝ρ，拉長后l′＝2l，因為體積V＝lS不變，所以S′＝，R′＝ρ＝4ρ＝4R。
對折后l″＝，S″＝2S，所以R″＝ρ＝ρ＝，則R′∶R″＝16∶1。
[答案]　16∶1

[變式拓展]　上述[典例]中，若將變化后的A、B兩個導線串聯在同一電路中，則它們兩端的電壓之比為多少？
提示：兩電阻串聯時，電壓之比等于電阻之比，故電壓之比為16∶1。

應用R＝ρ解題的技巧
(1)明確導體的形狀改變后，電阻率不會發生變化。
(2)導體的形狀改變后，體積不變，由V＝l1S1＝l2S2確定l2與l1、S2與S1的關系。
(3)由R＝ρ確定電阻關系。　　

[題點全練清]
1．下列關于電阻率的敘述，正確的是(　 )
A．金屬導體的電阻率隨溫度的升高而減小
B．常用的導線是用電阻率較小的鋁、銅材料做成的
C．材料的電阻率取決于導體的電阻、橫截面積和長度
D．金屬電阻率在任何溫度下都不可能為0
解析：選B　金屬導體的電阻率隨溫度的升高而增大，故A錯誤；常用的導線是用電阻率較小的鋁、銅材料做成的，故B正確；材料的電阻率由材料本身和外界溫度決定，與導體的電阻、橫截面積和長度均無關，故C錯誤；一些金屬的電阻率在溫度特別低時可以降到0，即發生超導現象，故D錯誤。
2.一塊均勻的某種長方體金屬材料樣品，長為a，寬為b，厚為c，電流沿AB方向時測得樣品的電阻為R，則電流沿CD方向時樣品的電阻是(　 )
A.R　　　B.R　　　C.R　　　D.R
解析：選A　電流沿AB方向時S1＝bc，R＝ρ＝ρ，電流沿CD方向時S2＝ac，RCD＝ρ＝ρ＝R，故選A。
強化點(三)　導體的伏安特性曲線

[典例]　(多選)電阻R1、R2的伏安特性曲線如圖所示，由圖可知(　 )
A．R1為線性元件，R2為非線性元件
B．R1的阻值為tan 45° Ω，即1 Ω
C．R2的阻值隨電壓的增大而減小
D．當U＝1 V時，R2的阻值等于R1的阻值
[解析]　由題圖可知，R1的伏安特性曲線為一條過原點的直線，故R1為線性元件，R2的伏安特性曲線是彎曲的，故R2是非線性元件，故A正確；電阻R1的伏安特性曲線為直線，圖線與橫軸的夾角大小與兩坐標軸的長度單位選取有關，其夾角的正切值不能反映電阻值的大小，即R1的阻值不等于tan 45° Ω，應為U與I的比值，大小為2 Ω，故B錯誤；R2為非線性元件，其阻值大小等于對應狀態時U與I的比值，可知R2的阻值隨電壓的增大而增大，當U＝1 V時，R2的阻值為2 Ω，故C錯誤，D正確。
[答案]　AD

[要點釋解明]

1．伏安特性曲線：用縱坐標表示電流I，用橫坐標表示電壓U，這樣畫出的I?U圖像叫作導體的伏安特性曲線。
2．區分I?U圖像與U?I圖像
伏安特性曲線是I?U圖像，但同一元件中也經常出現對應的U?I圖像，處理相關問題時，要先確定縱軸與橫軸各代表什么，以及由此對應的圖像上任意一點與坐標原點連線的斜率的具體意義，如圖甲中R2R1。

3．I?U圖線是曲線的問題
導體電阻RP＝，即電阻等于圖線上點(UP，IP)與坐標原點連線的斜率的倒數，而不等于該點切線斜率的倒數，如圖丙所示。

[題點全練清]

1．(多選)如圖所示為A、B、C三個通電導體的I?U關系圖像。由圖可知(　 )

A．三個導體的電阻大小關系為RA>RB>RC
B．三個導體的電阻大小關系為RA C．若在導體B兩端加上10 V的電壓，通過導體B的電流是2.5 A
D．若在導體B兩端加上10 V的電壓，通過導體B的電流是40 A
解析：選BC　在線性元件的I?U圖像中圖線的斜率表示電阻的倒數，斜率越大，表示電阻越小，所以三個導體的電阻的大小關系為RA

2.某一導體的伏安特性曲線如圖中AB段(曲線)所示，關于導體的電阻，以下說法正確的是(　 )
A．對應于B點的電阻為12 Ω
B．對應于B點的電阻為40 Ω
C．工作狀態從A變化到B時，導體的電阻因溫度的影響改變了1 Ω
D．工作狀態從A變化到B時，導體的電阻因溫度的影響改變了9 Ω
解析：選B　根據電阻的定義式可以求出A、B兩點的電阻分別為RA＝ Ω＝30 Ω，RB＝ Ω＝40 Ω，所以ΔR＝RB－RA＝10 Ω，故B正確，A、C、D錯誤。


A級——學考達標
1．關于導體的電阻，下列說法正確的是(　 )
A．導體的電阻與電壓成正比，與電流成反比
B．電壓一定時，導體的電阻越大，則電流越大
C．加在某導體兩端的電壓越大，其電流不一定越大
D．導體的電阻等于導體兩端的電壓與通過導體電流的比值
解析：選D　導體電阻不隨電壓、電流的改變而改變，A錯誤；由I＝可知，電壓U不變時，R越大，電流越小，B錯誤；電壓U越大，電阻不變時電流I越大，C錯誤；由電阻定義式R＝知D項正確。
2．(多選)關于電阻率的說法中正確的是(　 )
A．電阻率ρ與導體的長度l和橫截面積S有關
B．電阻率反映材料導電能力的強弱，由導體的材料決定，且與溫度有關
C．電阻率大的導體，電阻一定很大
D．有些合金的電阻率幾乎不受溫度變化的影響，可用來制作標準電阻
解析：選BD　電阻率反映材料導電能力的強弱，只與材料及溫度有關，與導體的長度l和橫截面積S無關，故A錯誤，B正確；由R＝ρ知，電阻率ρ大，電阻R不一定大，故C錯誤；有些合金的電阻率幾乎不受溫度變化的影響，可用來制作標準電阻，故D正確。
3．關于導體的電阻，下列說法正確的是(　 )
A．由關系式R＝可知，導體的電阻跟導體兩端的電壓成正比，跟導體中的電流成反比
B．所有材料的電阻率都是隨溫度的升高而增大
C．對于同種材料，導體越長，橫截面積越小，導體的電阻越大
D．對于同種材料，導體越長，橫截面積越大，導體的電阻越大
解析：選C　R＝是導體電阻的定義式，導體的電阻取決于導體的材料、接入電路的長度、橫截面積以及溫度，與其接入電路時的電壓和電流無關，A錯誤；純金屬的電阻率隨溫度升高而增大，半導體材料的電阻率隨溫度升高而減小，B錯誤；由電阻定律R＝ρ可知，在溫度一定時，對于同種材料，導體越長，橫截面積越小，導體的電阻越大，C正確，D錯誤。
4．如圖所示，a、b、c為同一種材料做成的電阻，b與a的長度相等，b的橫截面積是a的兩倍；c與a的橫截面積相等，c的長度是a的兩倍，當開關閉合后，三個理想電壓表的示數關系是(　 )

A．V1的示數是V3的2倍
B．V1的示數是V2的2倍
C．V2的示數是V1的2倍
D．V2的示數是V3的2倍
解析：選B　由R＝ρ，a、b、c的電阻比為Ra∶Rb∶Rc＝2∶1∶4，三者串聯，電流相等，則電壓比等于電阻比，選項B正確。
5．如圖中R1和R2是兩個材料相同、厚度相同、表面均為正方形的導體，但R2的尺寸遠遠小于R1的尺寸。通過兩導體的電流方向如圖所示，則關于這兩個導體的電阻R1、R2大小關系的說法正確的是(　 )

A．R1＝R2　　　　　 B．R1 C．R1>R2 D．無法確定
解析：選A　設正方形導體表面的邊長為L，厚度為d，材料的電阻率為ρ，根據電阻定律得R＝ρ＝ρ＝，可見表面正方形的導體的電阻只與材料的電阻率及厚度有關，與導體的其他尺寸無關，故R1＝R2，A正確。


6.如圖所示，為A、B兩電阻的U?I圖線，則關于兩電阻的描述正確的是(　 )
A．電阻A的阻值隨電流的增大而減小，電阻B的阻值不變
B．在兩圖線交點處，電阻A的阻值等于電阻B的阻值
C．在兩圖線交點處，電阻A的阻值大于電阻B的阻值
D．在兩圖線交點處，電阻A的阻值小于電阻B的阻值
解析：選B　根據歐姆定律可知R＝，由題圖可知，隨電流的增大，電阻A的圖線上的點與原點連線的斜率越來越大，故A的電阻隨電流的增大而增大，同理，電阻B的阻值不變，故A錯誤；兩圖線的交點處，電流和電壓均相同，則由歐姆定律可知，兩電阻的阻值大小相等，故B正確，C、D錯誤。
7．(多選)某導體中的電流隨其兩端電壓的變化情況如圖所示，則下列說法正確的是(　 )

A．所加電壓為5 V時，導體的電阻是5 Ω
B．所加電壓為12 V時，導體的電阻是14 Ω
C．由圖可知，隨著電壓的增大，導體的電阻不斷減小
D．由圖可知，隨著電壓的增大，導體的電阻不斷增大
解析：選AD　由題圖可知，所加電壓為5 V時，電流為1.0 A，則由電阻的定義式可得R＝＝ Ω＝5 Ω，A正確；所加的電壓為12 V時，電流為1.5 A，則可得導體的電阻為R′＝ Ω＝8 Ω，B錯誤；由題圖可知，隨電壓的增大，圖線上的點與坐標原點連線的斜率減小，即導體電阻的倒數減小，則可知導體的電阻隨電壓的增大而不斷增大，C錯誤，D正確。
8．在神經系統中，神經纖維分為有髓鞘和無髓鞘兩大類。現代生物學認為，髓鞘是由多層類脂物質——髓質累積而成的，具有很大的電阻，經實驗測得髓質的電阻率ρ＝8×106 Ω·m。某生物體中某段髓質神經纖維可視為高為20 cm、半徑為4 cm的圓柱體，當在其兩端所加電壓U＝100 V時，該神經纖維發生反應，則引起神經纖維產生感覺的最小電流為(　 )
A．0.31 μA　　　　　　　　　 B．0.62 μA
C．0.15 μA D．0.43 μA
解析：選A　根據電阻定律，可得神經纖維的電阻為R＝ρ＝8×106× Ω≈3.18×108 Ω，根據歐姆定律得I＝＝ A≈0.31×10－6 A＝0.31 μA，故A正確，B、C、D錯誤。
9.有一種 “電測井”技術，用鉆頭在地上鉆孔，在鉆孔中進行電特性測量，可以反映地下的有關情況。如圖所示為一鉆孔，其形狀為圓柱體，半徑為10 cm，設里面充滿濃度均勻的鹽水，其電阻率ρ＝0.314 Ω·m，在鉆孔的上表面和底部加上電壓，測得U＝100 V，I＝100 mA，則該鉆孔的深度為(　 )
A．50 m B．100 m
C．1 000 m D．2 000 m
解析：選B　鹽水柱的電阻R＝＝1 000 Ω，由電阻定律R＝ρ，面積S＝πr2≈3.14×10－2 m2，聯立解得h＝100 m，故A、C、D錯誤，B正確。
10．對于常溫下一根阻值為R的金屬電阻絲，下列說法正確的是(　 )
A．常溫下，若將電阻絲均勻拉長為原來的10倍，則電阻變為10R
B．常溫下，若將電阻絲從中點對折，電阻變為4R
C．加在電阻絲上的電壓從0逐漸加大到U，則在任意狀態下的的值不變
D．若把溫度降到絕對零度附近，電阻絲的電阻突然變為零，這種現象稱為超導現象
解析：選D　常溫下，若將電阻絲均勻拉長為原來的10倍，則橫截面積變為原來的，根據電阻定律R＝ρ可知，電阻變為原來的100倍，A錯誤；常溫下，若將電阻絲從中點對折，長度變為原來的一半，橫截面積變為原來的2倍，可知電阻變為，B錯誤；加在電阻絲上的電壓從0逐漸加大到U，電阻絲的電阻率隨溫度發生變化，則電阻發生變化，可知的值發生變化，C錯誤；若把溫度降到絕對零度附近，電阻絲的電阻突然變為零，這種現象稱為超導現象，D正確。
11.(選自粵教版教材例題)工業上經常用“電導儀”來測定液體的電阻率。它是把兩片金屬放到液體中形成一個電容器形狀的液體電阻，而中間的液體即電阻的有效部分，如圖所示。A、B是兩片面積為1 cm2的正方形鉑片，間距d＝1 cm，把它們浸沒在待測液體中。通過兩根引線加上電壓U，當U＝6 V時，測出電流I＝1 μA，那么這種液體的電阻率為多少？
解析：假設鉑片A接在電源正極一端，則電流從鉑片A通過液體流到鉑片B，電流通過液體的長度d＝1 cm，橫截面積S＝1 cm2。
根據電阻定律，可得
R＝ρ
由歐姆定律，可得液體接入電路的電阻
R＝
可得液體的電阻率
ρ＝＝＝ Ω·m＝6×104 Ω·m。
答案：6×104 Ω·m
B級——選考進階
12．(2023·青島二中期末)(多選)小強在探究定值電阻(該電阻的阻值不受溫度的影響)兩端電壓和電流的關系，當在該電阻兩端加U＝20 V的電壓時，通過該電阻的電流為I＝5 A。下列說法正確的是(　 )
A．該電阻的阻值為4 Ω
B．如果僅將電壓升高到30 V，則通過的電流為6 A
C．如果僅將該電阻換成阻值為10 Ω的定值電阻，則通過的電流應為2 A
D．當該電阻兩端不加電壓時，定值電阻的阻值應為零
解析：選AC　由歐姆定律得R＝＝ Ω＝4 Ω，該電阻的阻值為4 Ω，A正確；由于該電阻的阻值不受溫度的影響，則僅將電壓升高到30 V，通過該電阻的電流應為I1＝＝ A＝7.5 A，B錯誤；如果僅將電阻換為阻值為10 Ω的定值電阻，由歐姆定律得I′＝＝ A＝2 A，C正確；定值電阻的阻值是一定的，與其兩端是否加電壓無關，D錯誤。
13.如圖所示，相距40 km的A、B兩地架兩條輸電線，電阻共為800 Ω，如果在A、B間的某處發生短路，這時接在A處的電壓表示數為10 V，電流表的示數為40 mA，則發生短路處距A處的距離為(　 )
A．6.25 km B．12.5 km
C．25 km D．31.25 km
解析：選B　設A與B間距離為L，從A處到短路點距離為x。根據歐姆定律有Rx＝，又由電阻定律有RAB＝ρ，Rx＝ρ，解得x＝12.5 km，故選項B正確。
14．給裝在均勻玻璃管內的水銀柱加一電壓，使通過水銀柱的電流為0.1 A，若將這些水銀倒入一個內徑為前者2倍的玻璃管內，接在同一電壓上，通過水銀柱的電流為多少？(水銀均充滿玻璃管)
解析：設水銀柱在兩種情況下的電阻分別為R1、R2，對應的長度、橫截面積分別為l1、l2，S1、S2，由電阻定律得
R1＝ρ，R2＝ρ
在兩種情況下水銀的體積相同，所以有l1S1＝l2S2
又因為S1＝πr2，S2＝π(2r)2
所以S2＝4S1，l1＝4l2，
聯立解得R1＝16R2
由歐姆定律得U＝R1I1＝R2I2
所以I2＝16I1＝1.6 A。
答案：1.6 A

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