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高中物理必修一素養提升學案
第三章 相互作用
專題強化四　平衡中的臨界極值問題
【專題解讀】
1.臨界問題
(1)問題界定：物體所處平衡狀態將要發生變化的狀態為臨界狀態，涉及臨界狀態的問題為臨界問題。
(2)問題特點
①當某物理量發生變化時，會引起其他幾個物理量的變化。
②注意某現象“恰好出現”或“恰好不出現”的條件。
(3)處理方法：基本方法是假設推理法，即先假設某種情況成立，然后根據平衡條件及有關知識進行論證、求解。
2.極值問題
(1)問題界定：物體平衡的極值問題，一般指在力的變化過程中涉及力的最大值和最小值的問題。
(2)處理方法
①解析法：根據物體的平衡條件列出方程，在解方程時，采用數學知識求極值或者根據物理臨界條件求極值。
②圖解法：根據物體的平衡條件作出力的矢量圖，畫出平行四邊形或者矢量三角形進行動態分析，確定最大值或最小值。
【典例剖析】
例1 一盞電燈重力為G，懸于天花板上的B點，在電線O處系一細線OA，使電線OB與豎直方向的夾角為β＝30°，OA與水平方向成α角，如圖所示?，F保持O點位置不變，使α角由0°緩慢增加到90°，在此過程中(　　)
A.電線OB上的拉力逐漸減小
B.細線OA上的拉力先減小后增大
C.細線OA上拉力的最小值為G
D.細線OA上拉力的最小值為G
答案　ABC
解析　對結點O受力分析，由平衡條件可知，細線OA和電線OB的拉力的合力F′一定豎直向上，與FT平衡。當α角由0°緩慢增加到90°的過程中，畫出動態分析圖如圖所示。由圖可看出，細線OA上的拉力先減小后增大，且當α＝30°時，FA最小，最小值為，而電線OB上的拉力逐漸減小，故A、B、C正確，D錯誤。
例2 (2024·安徽池州一中月考)如圖所示，一工人手持磚夾提著一塊磚勻速前進，手對磚夾豎直方向的拉力大小為F。已知磚夾的質量為m，重力加速度為g，磚夾與磚塊之間的動摩擦因數為μ，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。若磚塊不滑動，則磚夾與磚塊一側間的壓力的最小值是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　工人手持磚夾提著一塊磚勻速前進，當磚夾處于平衡狀態，在豎直方向滿足F＝mg＋2Ff，磚夾與磚之間恰好達到最大靜摩擦力Ffm＝μFN時，磚夾與磚塊一側間的壓力的最小，為FNmin＝，C項正確。
【針對性訓練】
1 . 如圖所示，繩下端掛一物體，用力F拉物體使懸線偏離豎直方向的夾角為α＝60°，且保持其平衡。保持60°不變，當拉力F有極小值時，F與水平方向的夾角β應是(　　)
A.0 B.90° C.60° D.45°
答案　C
解析　根據題意可知，O點受三個拉力處于平衡狀態，向上的兩個拉力的合力大小等于物體的重力，方向豎直向上，作出力的矢量三角形如圖所示，當F與天花板相連的繩子垂直時，拉力F最小，根據幾何關系知β＝α＝60°，故C正確。
2 .如圖所示，物塊在輕繩的拉動下沿傾角為30°的固定斜面向上勻速運動，輕繩與斜面平行。已知物塊與斜面之間的動摩擦因數為，重力加速度取10 m/s2。若輕繩能承受的最大張力為1 500 N，則物塊的質量最大為(　　)
A.150 kg B.100 kg
C.200 kg D.200 kg
答案　A
解析　物塊沿斜面向上勻速運動，受力如圖所示。
根據平衡條件
F＝Ff＋mgsin 30°①
Ff＝μFN②
FN＝mgcos 30°③
由①②③式得
F＝mgsin 30°＋μmgcos 30°
所以m＝，當F取1 500 N時，對應的m最大。代入數據得m＝150 kg，故A正確。
3 .北方農村秋冬季節常用金屬絲網圍成圓柱形糧倉儲存玉米棒，某糧倉由于玉米棒裝的不勻稱而發生傾斜現象，為避免傾倒，在左側用木棍支撐，如圖所示。若支撐點距水平地面的高度為 m，木棍與水平地面間的動摩擦因數為，木棍重力不計，糧倉對木棍的作用力沿木棍方向，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，為使木棍下端一定不發生側滑，則木棍的長度最多為(　　)
A.1.5 m B. m C.2 m D.2 m
答案　C
解析　設木棍與豎直方向夾角為θ，木棍長度為L，糧倉對木棍的作用力為F。為使木棍下端一定不發生側滑，則有Fsin θ≤μFcos θ，即μ≥tan θ，由幾何知識有tan θ＝，聯立解得L≤2 m，即木棍的長度最多為2 m，故C項正確。
4 .如圖所示，一輕質光滑定滑輪固定在傾斜木板上，質量分別為m和2m的物塊A、B，通過不可伸長的輕繩跨過滑輪連接，A、B間的接觸面和輕繩均與木板平行.A與B間、B與木板間的動摩擦因數均為μ，設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力.當木板與水平面的夾角為45°時，物塊A、B剛好要滑動，則μ的值為（　C?。?br/>A. B. C. D.
答案　C
解析　根據題述，物塊A、B剛要滑動，可知A、B之間的摩擦力fAB＝μmgcos45°，B與木板之間的摩擦力f＝μ·3mgcos45°.隔離A分析受力，由平衡條件可得輕繩中拉力F＝fAB＋mgsin45°.對AB整體，由平衡條件有2F＝3mgsin45°－f，聯立解得μ＝，選項C正確.
5 .[2022浙江1月]如圖所示，學校門口水平地面上有一質量為m的石礅，石礅與水平地面間的動摩擦因數為μ.工作人員用輕繩按圖示方式勻速移動石礅時，兩平行輕繩與水平面間的夾角均為θ，則下列說法正確的是（　B?。?br/>A.輕繩的合拉力大小為
B.輕繩的合拉力大小為
C.減小夾角θ，輕繩的合拉力一定減小
D.輕繩的合拉力最小時，地面對石礅的摩擦力也最小
答案　B
解析　對石礅受力分析如圖所示，設兩根輕繩的合力為F，根據平衡條件有Fcosθ＝f，Fsinθ＋FN＝mg，且μFN＝f，聯立可得F＝，選項A錯誤，B正確；上式變形得F＝，
其中tanα＝，根據三角函數特點，由于θ的初始值不知道，因此減小θ，輕繩的合拉力F并不一定減小，選項C錯誤；根據上述討論，當θ＋α＝90°時，輕繩的合拉力F最小，而摩擦力f＝Fcosθ＝＝，可知增大夾角θ，摩擦力一直減小，當θ趨近于90°時，摩擦力最小，故輕繩的合拉力F最小時，地面對石礅的摩擦力不是最小的，選項D錯誤.
6 . [2024吉林長春質量監測]如圖，質量為m的光滑球體夾在豎直墻壁和斜面體之間，斜面體的質量為2m，傾角θ＝37°，設斜面體與地面間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，若斜面體恰好不滑動，則斜面體與水平地面間的動摩擦因數μ為（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）（　A　）
A. B. C. D.
答案　A
解析　對光滑球體受力分析，如圖1所示，則由平衡條件有N1＝N2sinθ，mg＝N2cosθ，聯立解得N1＝mg，對光滑球體與斜面體組成的整體受力分析，如圖2所示，則由平衡條件有N1＝μN3，3mg＝N3，聯立解得μ＝，A正確.
7 如圖所示為兩個擋板夾一個小球的縱截面圖，每個擋板和豎直方向的夾角均為θ.擋板與小球間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，小球靜止不動.小球的質量為m，與兩擋板之間的動摩擦因數均為μ（μ＜tanθ），重力加速度為g.則每個擋板的彈力N的范圍為多少？
答案　≤N≤
解析　擋板對小球的彈力最小時，小球受到的摩擦力方向沿擋板向上，如圖所示，小球受力平衡，由平衡條件得2Nminsinθ＋2fmaxcosθ＝mg，此時的最大靜摩擦力fmax＝μNmin，聯立解得Nmin＝；擋板對小球的彈力最大時，小球受到的摩擦力沿擋板向下，由平衡條件得2Nmaxsinθ＝2f'maxcosθ＋mg，此時的最大靜摩擦力f'max＝μNmax，聯立解得Nmax＝；則每個擋板彈力N的取值范圍為≤N≤.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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