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高中物理必修一素養提升學案
第二章 勻變速直線運動的研究
專題強化一 勻變速直線運動的兩個推論及應用
【專題解讀】
推論1：勻變速直線運動中，中間時刻的瞬時速度等于這一段時間內的平均速度。
(1)推導：平均速度的定義式為＝
勻變速直線運動的位移與時間關系式為x＝v0t＋at2
則 平均速度＝＝v0＋a·＝vt/2。
(2)結論：勻變速直線運動中，中間時刻的瞬時速度vt/2等于這一段時間內的平均速度。
【溫馨提示】勻變速直線運動的.平均速度與初、末速度的關系：＝。
(1)推導：平均速度＝＝v0＋a·＝＝＝。
(2)結論：勻變速直線運動中，一段時間內的平均速度等于這段時間初、末速度和的一半。
【思考】 三個平均速度公式＝、＝和＝vt/2的適用條件一樣嗎？
提示　＝適用于任何運動，＝和＝vt/2只適用于勻變速直線運動。
【特別提醒】.中間時刻的速度與位移中點的瞬時速度的比較
(1)做勻變速直線運動的物體，在運動一段位移中點的瞬時速度為vx/2＝eq \r(\f(v＋v2,2))。
推導：由v2－v＝2ax得v x/22－v＝2a·，v2－v x/22＝2a·
聯立解得v x/2＝eq \r(\f(v＋v2,2))。
(2)結論：不論物體做勻加速直線運動還是做勻減速直線運動，總有v>v。
證明：分別作出勻加速直線運動的速度—時間圖像和勻減速直線運動的速度—時間圖像，如圖甲、乙所示。
由圖甲看出0～時間內的位移不到總位移的一半，因此位移中點的時刻t x/2>，則v x/2>v x/2；由圖乙可知t x/2<，所以v x/2>v t/2。因此，只要物體做勻變速直線運動，總有v x/2>v t/2。
推論二 位移差公式Δx＝aT2
1. 勻變速直線運動中，任意兩個連續相等的時間間隔T內的位移差都相等。
即Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT2(如圖)。
①公式Δx＝aT2的推導
第一個時間T內的位移x1＝v0T＋aT2
第二個時間T內的位移x2＝(v0＋aT)T＋aT2
第三個時間T內的位移x3＝(v0＋a·2T)T＋aT2
……
第n個時間T內的位移
xn＝[v0＋a·(n－1)T]T＋aT2
所以有Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT2
T為連續相等的時間間隔，x1、x2、x3、…、xn為連續相等時間間隔內的位移。
②公式Δx＝aT2的.應用
(1)判斷物體是否做勻變速直線運動
如果Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT2成立，則a為一恒量，說明物體做勻變速直線運動。
(2)求加速度：利用Δx＝aT2，可求得a＝。
③公式Δx＝aT2的推論：xm－xn＝(m－n)aT2。
【思考】 能否利用v－t圖像推導Δx＝aT2
提示　v－t圖像如圖所示
設物體的初速度為v0，第一個時間T內的位移為x1，第二個時間T內的位移為x2，第三個時間T內的位移為x3，則x2－x1、x3－x2、x4－x3、…為圖中陰影部分的面積，它們的值相等且為Δx＝aT2。
【方法歸納】逐差法求加速度
紙帶上測得連續6個相同時間T內的位移x1、x2、x3、x4、x5、x6，將它們分為三組，由xm－xn＝(m－n)aT2得，a1＝，a2＝，a3＝，所以全段的平均加速度為a＝＝。
此式把各段位移都利用上，有效地減小了僅由兩次位移測量所帶來的偶然誤差，這種方法稱為逐差法。
技巧：此種情況也可以把連續的六段位移看成連續的兩大段位移s1＝x1＋x2＋x3，s2＝x4＋x5＋x6，時間間隔Δt＝3T，
即a＝＝。
【思考】
1.如圖所示，已知連續4個相同時間T內的位移分別為x1、x2、x3、x4，利用逐差法求加速度公式。
提示　x3－x1＝2a1T2
x4－x3＝2a2T2
a＝＝。
2.若n為大于4的奇數段，應怎么處理？
提示　舍去位移最小的一段或中間一段。
假設n＝5，若相鄰各段間的位移逐漸增大，第一段讀數的誤差相對較大，可以舍去第一段，則a＝
同理，若相鄰各段間的位移逐漸減小，可以舍去最后一段或舍去中間一段，則
a＝＝
兩種情況下，在保留有效數字位數相同時，計算結果一般相同。
【針對性訓練】
1 光滑斜面的長度為L，一物體自斜面頂端由靜止開始勻加速滑至底端，經歷的時間為t，則下列說法正確的是(　　)
A.物體運動全過程中的平均速度是
B.物體在時的瞬時速度是
C.物體運動到斜面中點時瞬時速度是
D.物體從頂點運動到斜面中點所需的時間是
答案　ACD
解析　全程的平均速度＝，A正確；由vt/2＝知，在時，物體的速度vt/2等于全程的平均速度，B錯誤；若末速度為v，則＝，解得v＝，中間位置L/2的瞬時速度 vL/2＝＝＝，C正確；設物體加速度為a，到達中間位置L/2用時t′，則L＝at2，＝at′2，所以t′＝t，D正確。
2. 如圖所示，假設“運－20”起飛前沿地面做勻加速直線運動，加速過程中連續經過兩段均為120 m的測試距離，用時分別為2 s和1 s，則“運—20”的加速度大小是(　　)
A.35 m/s2 B.40 m/s2
C.45 m/s2 D.50 m/s2
答案　B
解析　第一段的平均速度1＝＝ m/s＝60 m/s，第二段的平均速度2＝＝ m/s＝120 m/s，由中間時刻的速度等于平均速度，則v1＝1，v2＝2，由v2＝v1＋a，得a＝＝ m/s2＝40 m/s2，故B正確。
　
3 如圖所示，物體做勻加速直線運動，A、B、C、D為其運動軌跡上的四點，測得AB＝2 m，BC＝3 m，且物體通過AB、BC、CD所用的時間均為0.2 s，則下列說法正確的是(　　)
A.物體的加速度為20 m/s2
B.物體的加速度為25 m/s2
C.CD＝4 m
D.CD＝5 m
答案　BC
解析　由勻變速直線運動的推論Δx＝aT2，可得a＝＝25 m/s2，故A錯誤，B正確；根據CD－BC＝BC－AB，可知CD＝4 m，故C正確，D錯誤。
4 從斜面上某一位置每隔0.1 s靜止釋放一個相同的小球，釋放后小球做勻加速直線運動，在連續釋放幾個小球后，對在斜面上滾動的小球拍下如圖所示的照片，測得xAB＝15 cm，xBC＝20 cm。求：
(1)小球的加速度的大小；
(2)拍攝時小球在B點時的速度大小；
(3)拍攝時C、D間的距離xCD；
(4)A點的上方滾動的小球還有幾個。
答案　(1)5 m/s2　(2)1.75 m/s　(3)0.25 m (4)2個
解析　(1)由推論Δx＝aT2可知，小球加速度為
a＝＝＝ m/s2
＝5 m/s2。
(2)由題意知B點對應AC段的中間時刻，所以B點的速度等于AC段的平均速度，即
vB＝＝ m/s＝1.75 m/s。
(3)由于連續相等時間內位移差恒定，
所以xCD－xBC＝xBC－xAB
得xCD＝2xBC－xAB
＝2×20×10－2 m－15×10－2 m＝0.25 m。
(4)設A點處小球的速度為vA
由于vA＝vB－aT＝1.25 m/s
所以A點處小球的運動時間為
tA＝＝0.25 s
所以在A點的上方滾動的小球還有2個。
　
5 如圖所示是某同學測量勻變速直線運動的加速度時，選取的一條紙帶的一部分，他每隔4個點取一個計數點，圖中注明了他對各計數點間距離的測量結果。所接電源是頻率為50 Hz的交變電源。
(1)為了驗證小車的運動是勻變速運動，請進行計算，并將數據填入下表內(單位：cm)。
x2－x1 x3－x2 x4－x3 x5－x4 x6－x5
1.58 1.57 ______ ______ ______
由此可以得出結論：小車的運動是________。
(2)兩個相鄰計數點間的時間間隔Δt＝______s。
(3)小車的加速度的表達式a＝________(用題中的字母表示)，加速度a＝________m/s2(結果保留3位有效數字)。
(4)打計數點B時小車的速度vB＝________m/s(結果保留3位有效數字)。
答案　(1)1.57　1.58　1.58　勻變速直線運動
(2)0.1　(3)　1.57
(4)0.517
解析　(1)由紙帶計數點的數據可知
x4－x3＝7.52 cm－5.95 cm＝1.57 cm
x5－x4＝9.10 cm－7.52 cm＝1.58 cm
x6－x5＝10.68 cm－9.10 cm＝1.58 cm
由此可以得出結論：在誤差允許范圍內，相鄰相等時間內的位移差Δx相等，小車的運動是勻變速直線運動。
(2)每隔4個點取一個計數點，電源頻率為50 Hz，所以兩個相鄰計數點間的時間間隔
Δt＝0.02 s×5＝0.1 s。
(3)小車的加速度的表達式
a＝
代入題中數據可得a≈1.57 m/s2。
(4)由勻變速直線運動中間時刻的瞬時速度等于這段時間的平均速度可得，打計數點B時小車的速度
vB＝＝×10－2 m/s≈0.517 m/s。
6 某探究小組為了研究小車在桌面上的直線運動，用自制“滴水計時器”計量時間。實驗前，將該計時器固定在小車旁，如圖甲所示。實驗時，保持桌面水平，用手輕推一下小車。在小車運動過程中，滴水計時器等時間間隔地滴下小水滴，圖乙記錄了桌面上連續6個水滴的位置(已知滴水計時器每30 s滴下46個小水滴)。
(1)由圖乙可知，小車在桌面上是________(選填“從右向左”或“從左向右”)運動的。
(2)該小組同學根據圖乙的數據判斷出小車做勻變速運動。小車運動到圖乙中A點位置時的速度大小為______m/s，加速度大小為______m/s2(結果均保留2位有效數字)。
答案　(1)從右向左　(2)0.19　0.038
解析　(1)小車在阻力的作用下，做減速運動，由題圖乙知，從右向左相鄰水滴間的距離逐漸減小，即速度減小，所以小車在桌面上是從右向左運動的。
(2)已知滴水計時器每30 s滴下46個小水滴，所以相鄰兩水滴間的時間間隔為T＝ s＝ s，所以A點位置的速度為vA＝ m/s≈0.19 m/s。根據逐差法可得加速度a＝≈－0.038 m/s2，故加速度的大小為0.038 m/s2。
7.(2024·廣東韶關高一期末)為研究勻變速直線運動的規律，某實驗小組利用智能手機的錄像功能拍下小球在貼有刻度尺的斜面上做勻加速直線運動的過程，然后將在錄像中時間間隔為T的連續4幅畫面合成到同一張圖中，如圖所示。
(1)從圖中讀出小球經過的A、B兩位置之間的距離為x1＝________cm，BC間、CD間的距離分別為x2＝1.40 cm、x3＝1.80 cm。
(2)計算小球在B點速度大小的表達式為vB＝________(用所測物理量的符號表示)。
(3)已知T＝0.04 s，由測得的數據，可計算出小球運動過程中的加速度大小為________m/s2(計算結果保留3位有效數字)。
答案　(1)1.00　(2)　(3)2.50
解析　(1)刻度尺精度為1 mm，讀數時需要估讀一位，根據圖中小球經過的A、B兩位置之間的距離為x1＝1.00 cm。
(2)根據勻變速直線運動某段位移的平均速度等于該段位移所用時間中間時刻的瞬時速度可得
vB＝。
(3)根據逐差相等公式可得Δx＝x3－x2＝x2－x1＝aT2，代入數據解得a＝＝×10－2 m/s2＝2.50 m/s2。
8.在“研究小車做勻變速直線運動”的實驗中，電源頻率為50 Hz，如圖為一次記錄小車運動情況的紙帶，圖中A、B、C、D、E、F、G為相鄰的計數點，在相鄰計數點之間還有4個點未畫出。
(1)根據紙帶可知，相鄰計數點之間的時間間隔為________s，打C點時小車的瞬時速度為vC＝________m/s，小車運動的加速度a＝________m/s2(后兩空結果保留2位有效數字)。
(2)若電源的頻率變為51 Hz而未被發覺，則測得的小車的速度值與真實值比較將偏________(選填“大”或“小”)(已知打點周期T與交流電的頻率關系為T＝)。
答案　(1)0.1　0.20　0.50　(2)小
解析　(1)電源頻率為50 Hz，則相鄰兩個點之間的時間間隔為0.02 s，由于相鄰計數點之間還有4個點未畫出，所以相鄰計數點之間的時間間隔為T＝0.1 s；利用中間時刻的速度等于這段時間內的平均速度即可求得
vC＝＝ m/s≈0.20 m/s
根據Δx＝aT2可得加速度為
a＝
代入數據可得a＝0.50 m/s2。
(2)當電源的頻率變為51 Hz時，打點的時間間隔減小，所以相鄰計數點之間的時間間隔T減小，而此時還是以50 Hz對應的打點周期去計算，根據v＝可知測得的小車的速度值與真實值比較將偏小
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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