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高中物理必修一素養(yǎng)提升學(xué)案
第二章 勻變速直線運(yùn)動(dòng)的研究
專題強(qiáng)化五　追及相遇問題
【專題解讀】
1.追及相遇問題
兩物體在同一直線上一前一后運(yùn)動(dòng)，速度不同時(shí)它們之間可能出現(xiàn)距離最大、距離最小或者碰撞的情況，這類問題稱為追及相遇問題。
2.分析追及相遇問題的思路和方法
(1)討論追及相遇問題的實(shí)質(zhì)是分析兩物體能否在同一時(shí)刻到達(dá)同一位置，注意抓住一個(gè)條件、用好兩個(gè)關(guān)系。
一個(gè)條件 速度相等。這是兩物體能否追上(或相撞)、距離最大、距離最小的臨界點(diǎn)，是解題的切入點(diǎn)
兩個(gè)關(guān)系 時(shí)間關(guān)系和位移關(guān)系。通過畫示意圖找出兩物體位移之間的數(shù)量關(guān)系，是解題的突破口
(2)常用方法
物理分析法 抓住“兩物體能否同時(shí)到達(dá)同一位置”這一關(guān)鍵，認(rèn)真審題，挖掘題中的隱含條件，建立物體運(yùn)動(dòng)關(guān)系的圖景，并畫出運(yùn)動(dòng)情況示意圖，找出位移關(guān)系
圖像法 將兩者的v－t圖像畫在同一坐標(biāo)系中，然后利用圖像求解
數(shù)學(xué)分析法 設(shè)從開始至相遇的時(shí)間為t，根據(jù)條件列位移關(guān)系方程，得到關(guān)于t的一元二次方程，用判別式進(jìn)行討論，若Δ＞0，即有兩個(gè)解，說明可以相遇兩次，若Δ＝0，說明剛好追上或相遇；若Δ<0，說明追不上或不能相碰
總結(jié)提升
1.追及相遇問題的常見情況一(v2＜v1)
初速度小者追初速度大者
v－t圖像
t＝t0以前(v2＜v1) 兩物體距離增大
t＝t0時(shí)(v1＝v2) 兩物體相距最遠(yuǎn)
t＝t0以后(v2＞v1) 兩物體距離減小到零再逐漸增大
追及情況 能追上且只能相遇一次
2.追及相遇問題的常見情況二(v2＞v1)
初速度大者追初速度小者
v－t圖像
t0時(shí)刻以前(v2＞v1) 兩物體距離減小
t0時(shí)刻(v2＝v1) 若Δx＝x0，恰好追上
若Δx＜x0，追不上，有最小距離
若Δx＞x0，相遇兩次
【高考題剖析】
【典例】.（2008·四川理綜·23）A、B兩輛汽車在筆直的公路上同向行駛。當(dāng) B車在A車前84 m處時(shí)，B車速度為4 m/s，且正以2 m/s2的加速度做勻加速運(yùn)動(dòng)；經(jīng)過一段時(shí)間后，B車加速度突然變?yōu)榱恪車一直以20 m/s的速度做勻速運(yùn)動(dòng)。經(jīng)過12 s后兩車相遇。問B車加速行駛的時(shí)間是多少？
解析：設(shè)A車的速度為vA，B車加速行駛時(shí)間為t，兩車在t0時(shí)相遇。則有
sA=vA t0，
sB=vB t+at2+( vB +at)( t0-t)，
sA= sB +s，
聯(lián)立解得：
代入題給數(shù)據(jù)： vA＝20 m/s，vB＝4 m/s，a＝2 m/s2，
有：
解得： t1＝6 s，t2＝18 s（舍去）
因此，B車加速行駛的時(shí)間為 6 s。
【點(diǎn)評(píng)】此題以兩輛汽車的相遇切入，意在考查勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律及其相關(guān)知識(shí)的應(yīng)用。
【針對(duì)性訓(xùn)練】
1 一輛汽車以3 m/s2的加速度開始啟動(dòng)的瞬間，一輛以6 m/s的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)的自行車恰好從汽車的旁邊通過。試求：
(1)汽車在追上自行車前運(yùn)動(dòng)多長(zhǎng)時(shí)間與自行車相距最遠(yuǎn)？此時(shí)的距離是多少？
(2)汽車經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間追上自行車？追上自行車時(shí)汽車的瞬時(shí)速度是多大？
答案　(1)2 s　6 m　(2)4 s　12 m/s
解析　(1)法一　基本規(guī)律法
汽車與自行車的速度相等時(shí)兩車相距最遠(yuǎn)，設(shè)此時(shí)經(jīng)過的時(shí)間為t1，汽車的速度為v1，兩車間的距離為Δxm，則有
v1＝at1＝v自
所以t1＝＝2 s
Δxm＝v自t1－at＝6 m。
法二　極值法或數(shù)學(xué)分析法
設(shè)汽車在追上自行車之前經(jīng)過時(shí)間t1兩車間的距離為Δx＝x1－x2＝v自t1－at
代入已知數(shù)據(jù)得Δx＝6t1－t
由二次函數(shù)求極值的條件知t1＝2 s時(shí)，Δx最大，最大值Δxm＝6 m。
法三　圖像法
自行車和汽車運(yùn)動(dòng)的v－t圖像如圖所示，由圖可以看出，在相遇前，t1時(shí)刻兩車速度相等，兩車相距最遠(yuǎn)，此時(shí)的距離為陰影三角形的面積。
t1＝＝＝2 s
Δxm＝＝＝6 m。
(2)當(dāng)兩車位移相等時(shí)，汽車追上自行車，設(shè)此時(shí)經(jīng)過的時(shí)間為t2，汽車的瞬時(shí)速度為v2，則有
v自t2＝at
解得t2＝4 s
v2＝at2＝3 m/s2×4 s＝12 m/s。
2 (多選)甲、乙兩物體先后從同一地點(diǎn)出發(fā)，沿同一條直線運(yùn)動(dòng)，它們的v－t圖像如圖所示，由圖可知(　　)
A.甲比乙運(yùn)動(dòng)快，且早出發(fā)，所以乙追不上甲
B.t＝20 s時(shí)，乙追上了甲
C.t＝20 s時(shí)，甲、乙之間的距離為乙追上甲前的最大距離，大小為150 m
D.在t＝20 s之前，甲比乙運(yùn)動(dòng)得快；在t＝20 s之后，乙比甲運(yùn)動(dòng)得快
答案　CD
解析　由圖可知，乙在0～10 s內(nèi)速度為零，甲先出發(fā)，但乙出發(fā)后做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，甲做勻速直線運(yùn)動(dòng)，兩物體出發(fā)地點(diǎn)相同，則乙可以追上甲，故A錯(cuò)誤；在v－t圖像中，圖線與時(shí)間軸所圍面積即為物體運(yùn)動(dòng)的位移，故20 s內(nèi)甲的位移大于乙的位移，乙不可能追上甲，故B錯(cuò)誤；在10～20 s內(nèi)，甲的速度大于乙的速度，甲在乙的前方，兩者距離逐漸增大，20 s后乙的速度大于甲的速度，兩者距離逐漸減小，在t＝20 s時(shí)兩者距離最大，最大距離為s＝10×20 m－×10×10 m＝150 m，所以C、D正確。
3 火車甲以v1＝288 km/h的速度勻速行駛，司機(jī)突然發(fā)現(xiàn)前方同軌道上相距s＝0.5 km處有一列火車乙正沿同方向以v2＝144 km/h的速度做勻速運(yùn)動(dòng)，司機(jī)立即以大小為a的加速度緊急剎車，要使甲、乙不相撞，a應(yīng)滿足什么條件？
答案　a≥1.6 m/s2
解析　法一　物理分析法
甲、乙不相撞的條件是當(dāng)甲、乙速度相等時(shí)，甲、乙仍相距一段距離，即
v1－at＝v2
x1≤x2＋s
其中x1＝v1t－at2
x2＝v2t
聯(lián)立解得a≥1.6 m/s2
即a≥1.6 m/s2時(shí)，甲、乙不會(huì)相撞。
法二　數(shù)學(xué)分析法
設(shè)甲減速t時(shí)間后，甲、乙恰好相撞
則有x1＝x2＋s
即v1t－at2＝v2t＋s
整理得at2－2(v1－v2)t＋2s＝0
若甲、乙不相撞，則以上方程不能有兩個(gè)解
即判別式應(yīng)滿足Δ＝4(v1－v2)2－8as≤0
解得a≥＝1.6 m/s2。
法三　圖像法
分別畫出甲、乙的v－t圖像，如圖所示
剛好不相撞時(shí)圖中陰影部分面積為s
有(v1－v2)t1＝s
a＝
故a＝，且s＝0.5 km
若要使甲、乙不相撞
則a≥＝1.6 m/s2。
4 甲、乙兩物體零時(shí)刻開始從同一地點(diǎn)向同一方向做直線運(yùn)動(dòng)，位移—時(shí)間圖像如圖所示，則在0～t1時(shí)間內(nèi)(　　)
A.甲的速度總比乙大
B.甲、乙位移相同
C.甲經(jīng)過路程比乙小
D.甲、乙均做加速運(yùn)動(dòng)
答案　B
解析　位移—時(shí)間圖像中，圖線斜率大小等于物體速度大小。由題圖可知，甲做勻速直線運(yùn)動(dòng)，乙做變速直線運(yùn)動(dòng)，D錯(cuò)誤；靠近t1時(shí)刻時(shí)乙的斜率大于甲的斜率，即乙的速度大于甲的速度，故A錯(cuò)誤；在0～t1時(shí)間段內(nèi)，甲、乙物體的初位置和末位置相同，故位移相同，B正確；甲、乙物體做的是單向直線運(yùn)動(dòng)，兩者的位移大小相等，路程也相同，故C錯(cuò)誤。
5 汽車以20 m/s的速度在平直公路上行駛時(shí)，剎車后40 s停下來(lái)。現(xiàn)在同一平直公路上以20 m/s的速度行駛時(shí)發(fā)現(xiàn)前方200 m處有一貨車以6 m/s的速度同向勻速行駛，司機(jī)以相同的加速度立即剎車，則：
(1)汽車剎車時(shí)的加速度大小；
(2)是否發(fā)生撞車事故？若發(fā)生撞車事故，在何時(shí)發(fā)生？若沒有撞車，兩車最近距離為多少？
答案　(1)0.5 m/s2　(2)不會(huì)相撞　4 m
解析　(1)汽車剎車時(shí)加速度大小為
a＝＝0.5 m/s2。
(2)當(dāng)汽車減速到與貨車速度相同時(shí)，所用時(shí)間
t0＝＝28 s
汽車運(yùn)動(dòng)的位移x1＝eq \f(v－v,2a)＝364 m
此時(shí)間內(nèi)貨車運(yùn)動(dòng)的位移為
x2＝v1t0＝168 m
由于x2＋200 m＝368 m＞x1
故汽車與貨車不會(huì)發(fā)生相撞
兩車最近距離為
Δx＝x2＋200 m－x1＝4 m。
6 .(多選)A、B兩物體在同一直線上運(yùn)動(dòng)的v－t圖像如圖所示，已知在第4 s末兩物體相遇，則下列說法正確的是(　　)
A.兩物體從同一地點(diǎn)出發(fā)
B.出發(fā)時(shí)A在B前方4 m處
C.兩物體運(yùn)動(dòng)過程中，A的加速度小于B的加速度
D.第4 s末兩物體相遇之后，兩物體可能再次相遇
答案BC
解析由v－t圖像與t軸所圍的“面積”表示位移可知，兩物體在0～4 s內(nèi)的位移不相等，而在第4 s末相遇，可知出發(fā)點(diǎn)不同，A錯(cuò)誤；在4 s內(nèi)，A的位移xA＝×4×4 m＝8 m，B的位移xB＝×6×4 m＝12 m，已知在第4 s末相遇，則出發(fā)時(shí)A在B前方4 m處，B正確；由于A圖線的斜率小于B圖線的斜率，可知A的加速度小于B的加速度，C正確；相遇后A的速度始終小于B的速度，所以兩物體不會(huì)再次相遇，D錯(cuò)誤。
7 .自動(dòng)駕駛汽車又稱無(wú)人駕駛汽車，是一種通過電腦系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)無(wú)人駕駛的智能汽車。某次自動(dòng)駕駛汽車以恒定的加速度啟動(dòng)，同時(shí)一輛貨車以恒定速度從其旁邊駛過，自動(dòng)駕駛汽車再次與貨車相遇之前已達(dá)到最大速度，則下列圖像正確的是(　　)
答案　D
解析v－t圖像的斜率代表加速度，由于自動(dòng)駕駛汽車以恒定加速度啟動(dòng)，則自動(dòng)駕駛汽車加速時(shí)的v－t圖線為直線，A錯(cuò)誤；v－t圖線與t軸圍成的面積表示位移，由題可知自動(dòng)駕駛汽車再次與貨車相遇之前已達(dá)到最大速度，B項(xiàng)中t0時(shí)刻自動(dòng)駕駛汽車剛好達(dá)到最大速度，且由圖像中幾何關(guān)系可知此時(shí)兩車位移相等，則此時(shí)相遇，B錯(cuò)誤；x－t圖像的斜率表示速度大小，圖線交點(diǎn)表示兩車位移相同，C項(xiàng)中自動(dòng)駕駛汽車與貨車相遇時(shí)其速度還未達(dá)到最大，C錯(cuò)誤；D項(xiàng)中兩車x－t圖線交點(diǎn)表示兩車再次相遇，且自動(dòng)駕駛汽車在再次相遇之前已經(jīng)達(dá)到最大速度，D正確。
8 .(多選)甲、乙兩車在平直公路上同向行駛，它們的v－t圖像如圖所示。已知兩車在t＝3 s時(shí)并排行駛，則(　　)
A.在t＝1 s時(shí)，甲車在乙車后
B.在t＝0時(shí)，甲車在乙車前7.5 m
C.兩車另一次并排行駛的時(shí)刻是t＝2 s
D.甲、乙車兩次并排行駛的位置之間沿公路方向的距離為40 m
答案　BD
解析　因v－t圖像與坐標(biāo)軸圍成的面積等于位移，根據(jù)v－t圖像可知在1～3 s內(nèi)兩車位移相等，可以判斷在t＝1 s時(shí)，甲、乙車并排行駛，故A、C錯(cuò)誤；在t＝0時(shí)，甲車在乙車前Δx＝ m－×1×10 m＝7.5 m處，故B正確；甲、乙兩車兩次并排行駛的位置之間沿公路方向的距離也就是從第1 s末到第3 s末兩車運(yùn)動(dòng)的位移Δx′＝ m＝40 m，故D正確。
9 .在同一水平面上，一輛小車從靜止開始以1 m/s2的加速度前進(jìn)，有一人在車后與車相距25 m處，同時(shí)開始以6 m/s的速度勻速追車，人與車前進(jìn)的方向相同，則人追車過程中，人與車的最小距離為(　　)
A.5 m B.6 m C.7 m D.9 m
答案　C
解析當(dāng)小車與人的速度相等時(shí)，小車與人相距最近，即v車＝v人＝6 m/s，又v車＝at，則t＝＝6 s，在6 s內(nèi)小車行駛的距離x車＝at2＝18 m，人運(yùn)動(dòng)的距離x人＝v人t＝36 m，由于x車＋25 m＞x人，所以人不能追上車，人與車的最小距離Δs＝x車＋s0－x人＝7 m，故C正確。
10 .如圖甲所示小明姐姐騎電動(dòng)自行車帶著小明去學(xué)校，在筆直的公路上以某一速度勻速行駛，發(fā)現(xiàn)正前方30 m處有一條小狗趴在地上，小明姐姐立馬剎車以免撞到小狗。剎車過程中電動(dòng)自行車運(yùn)動(dòng)的－圖像如圖乙所示，則電動(dòng)自行車(　　)
A.剎車的加速度大小為1 m/s2
B.在10 s時(shí)停下來(lái)
C.最終沒有撞上小狗
D.在6 s內(nèi)行駛的位移大小為36 m
答案　C
解析　由x＝v0t＋at2，變形可得＝＋a，由數(shù)學(xué)知識(shí)可知－圖像的斜率表示初速度v0，截距表示a，即v0＝10 m/s，a＝－2 m/s2，A錯(cuò)誤；由0－v0＝at可得，剎車時(shí)間t＝5 s，剎車位移x＝t＝25 m＜30 m，故電動(dòng)自行車最終沒有撞上小狗，B錯(cuò)誤，C正確；由于電動(dòng)自行車在5 s時(shí)就停止運(yùn)動(dòng)，故6 s內(nèi)行駛的位移為25 m，D錯(cuò)誤。
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
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