資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
22.1 二次函數的圖象和性質
內容 常考題型
重點01 二次函數的定義 選擇題、填空題
重點02 二次函數的三種形式及相互轉化 選擇題、填空題
重點03 待定系數法求二次函數的解析式 選擇題、填空題、解答題
難點01 二次函數圖象和性質 選擇題、填空題
難點02 二次函數圖象的綜合應用 解答題
易錯點 二次函數圖象的平移 選擇題、填空題
■重點01 二次函數的定義
一般地，形如（a，b，c是常數，a≠0）的函數叫做二次函數．其中x是自變量，a，b，c分別表示函數解析式的二次項系數、一次項系數、常數項．一般情況下，二次函數中自變量的取值范圍是全體實數．
【例1】　（2024秋 姑蘇區校級期中）下列函數中，是的二次函數的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根據形如的函數稱為是二次函數，逐項判斷即可求解．
【解答】解：、，是的一次函數，不是二次函數，故選項錯誤，不符合題意；
、，是的二次函數，故選項正確，符合題意；
、，是的反比例函數，故選項錯誤，不符合題意；
、，不是的二次函數，故選項錯誤，不符合題意；
故選：．
【例2】　（2024秋 青縣校級期中）下列函數關系中，是的二次函數的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】利用二次函數定義進行分析即可．
【解答】解：、當時，不是二次函數，故此選項不合題意；
、不是二次函數，故此選項不合題意；
、是二次函數，故此選項符合題意；
、化簡后，不是二次函數，故此選項不合題意；
故選：．
【例3】　（2024秋 洛龍區校級月考）關于的函數是二次函數，則的值是 　　．
【答案】．
【分析】根據概念得，，求解即可．
【解答】解：由題意得：，，
；
故答案為：．
注意：二次函數的判斷方法： ①函數關系式是整式； ②化簡后自變量的最高次數是2； ③二次項系數不為0．
■重點02 二次函數的三種形式及相互轉化
二次函數的解析式 （1）一般式：（a，b，c是常數，a≠0）； （2）頂點式：（a，b，c是常數，a≠0），其中（h，k）為頂點坐標； （3）交點式： （a≠0，是拋物線與x軸兩交點的坐標，即一元二次方程的兩個根）．
【例1】　（2024秋 昌平區期中）將函數化為頂點式，結果是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】把原式配方即可轉化為頂點式．
【解答】解：，即．
故選：．
【例2】　（2024秋 新城區校級月考）用配方法將二次函數寫成的形式為　　．
【分析】利用配方法加上一次項系數的一半的平方來湊完全平方式，把一般式轉化為頂點式．
【解答】解：
，
故答案為：．
【例3】　（2024秋 綿陽月考）將二次函數寫成的形式為 　　．
【答案】．
【分析】利用配方法把原式化為頂點式的形式即可．
【解答】解：，
將二次函數寫成的形式為，
故答案為：．
二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與y＝ax2（a≠0）的圖象形狀相同，位置不同，利用配方法，可將y=ax2+bx+c轉化為頂點式．
■重點03 待定系數法求二次函數的解析式
（1）設函數解析式：根據已知條件設函數解析式； （2）找點：找函數圖象上的點； （3）代入：把點代入函數解析式得到方程； （4）求解方程； （5）反代入：把求出的字母的值帶入解析式．
【例1】　（2023秋 長沙縣期末）一個二次函數圖象的頂點坐標是，且過另一點，則這個二次函數的解析式為　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】設拋物線的表達式為，將代入上式，即可求解；
【解答】解：設拋物線的表達式為，
則拋物線表達式為，
將代入上式得，，解得，
故拋物線的表達式為．
故選：．
【例2】　（2024秋 桐城市校級月考）已知拋物線的頂點坐標為，且經過點，請確定拋物線的函數表達式．
【答案】．
【分析】先設拋物線的函數表達式為，把點代入解析式，求出的值，進而即可得到函數解析式．
【解答】解：拋物線的頂點坐標為，
可設拋物線的函數表達式為，
拋物線經過點，
，
解得：．
拋物線的函數表達式為．
【例3】　（2024秋 余姚市校級月考）已知二次函數頂點為且過點．
（1）求此二次函數的解析式；
（2）當時，求的取值范圍．
【答案】（1）求此二次函數的解析式；
（2）或．
【分析】（1）根據拋物線的頂點坐標，所以設此二次函數的解析式為，把點代入解析式即可解答．
（2）先求得拋物線與軸的交點，即可求得自變量的取值范圍．
【解答】解：（1）已知拋物線的頂點坐標為，
設此二次函數的解析式為，
把點代入解析式，得：
，即，
此函數的解析式為．
（2）當時，，
解得或，
拋物線與軸的交點為，，
時，函數的圖象位于軸的上方，
圖象位于軸的上方的自變量的取值范圍為或．
用待定系數法求函數解析式，需先明確函數的類型，如，已知函數為二次函數時，才可以設函數的解析式為y=ax2+bx+c．
■難點01 二次函數圖象和性質
1．二次函數的圖象和性質 函數y=ax2（a>0）y=ax2（a<0）圖象開口方向向上向下頂點坐標（0，0）（0，0）對稱軸y軸y軸增減性x>0時，y隨x的增大而增大； x<0時，y隨x的增大而減小x>0時，y隨x的增大而減小； x<0時，y隨x的增大而增大最大（小）值當x=0時，y最小值=0當x=0時，y最大值=0
2．二次函數y=a（x-h）2+k的圖象和性質 函數y=a（x-h）2+k（a>0）y=a（x-h）2+k（a<0）開口方向向上向下頂點坐標（h，k）（h，k）對稱軸x=hx=h增減性x> h時，y隨x的增大而增大； x h時，y隨x的增大而減小； x3．二次函數y=ax2+bx+c的圖象和性質 函數y=ax2+bx+c（a>0）y=ax2+bx+c（a<0）開口方向向上向下頂點坐標（， （，）對稱軸x=x=增減性x>時，y隨x的增大而增大； x<時，y隨x的增大而減小x>時，y隨x的增大而減小； x<時，y隨x的增大而增大最大（小）值當x= 時，y最小值= 當x= 時，y最大值=
【例1】　（2024秋 開魯縣校級期中）關于二次函數的圖象與性質，下列結論錯誤的是　　
A．圖象開口向下 B．當時，有最大值
C．當時，隨的增大而減小 D．圖象的頂點坐標為
【答案】
【分析】根據二次函數的圖象和性質，逐項判斷即可求解．
【解答】解：二次函數，，
開口向下，頂點坐標為；當時，有最大值；當時，隨的增大而減小；圖象的頂點坐標為；
選項錯誤，符合題意，
故選：．
【例2】　（2024秋 西鄉塘區校級月考）二次函數的圖象如圖所示．下列結論：①；②為任意實數，則；③；④；⑤．其中正確結論的個數有　　
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【答案】
【分析】根據所給二次函數的圖象，可得出，，的正負，再結合拋物線的對稱性和增減性，對所給結論依次進行判斷即可．
【解答】解：由所給圖形可知，
拋物線的開口向下，
所以．
拋物線的對稱軸在軸右側，
所以，
所以．
因為拋物線與軸的交點在正半軸，
所以，
所以．
故①正確．
因為拋物線的開口向下，且對稱軸為直線，
所以當時，函數取得最大值為，
則對于拋物線上的任意一點（橫坐標為，其函數值不大于，
即，
所以．
故②正確．
因為拋物線的對稱軸為直線，
所以，
即．
故③正確．
由函數圖象可知，
當時，函數值小于零，
所以，
又因為，
所以，
即．
故④正確．
因為拋物線對稱軸為直線，且時函數值小于零，
所以當時，函數值小于零；
又因為當時，函數值大于零，
則，，
所以，
所以．
故⑤錯誤．
故選：．
【例3】　（2024秋 西湖區校級期中）二次函數，，是常數，圖象的對稱軸是直線，其圖象一部分如圖所示，對于下列說法：①；②；③方程有兩個不相等的實數根；④為任意實數）．其中正確的是　　（填寫序號）
【答案】①③④．
【分析】根據所給二次函數的圖象，可得出，，的正負，再結合拋物線的對稱性、增減性以及二次函數與一元二次方程之間的關系，對所給說法依次進行判斷即可．
【解答】解：由所給圖形可知，
，，，
所以．
故①正確．
因為拋物線的對稱軸為直線，
所以，
即．
因為當時，函數值小于零，
所以，
即，
整理得，．
故②錯誤．
方程的根可看成拋物線與直線圖象交點的橫坐標，
顯然拋物線與直線有兩個不同的交點，
所以方程有兩個不相等的實數根．
故③正確．
因為拋物線的對稱軸為直線，且開口向下，
所以當時，函數取得最大值，
則對于拋物線上的任意一點（橫坐標為，其函數值不大于，
所以，
即．
故④正確．
故答案為：①③④．
拋物線的對稱軸是直線， 頂點坐標是．
■難點02 二次函數圖象的綜合應用
二次函數圖象的畫法 （1）列表：先取作為頂點的原點（0，0），然后在原點兩側對稱取點； （2）描點：一般先描出y軸一側的幾個點，再根據對稱性找出另一側的幾個點； （3）連線：按照從左到右的順序，用平滑的曲線將各點連接起來，注意曲線要出頭． 列表選取自變量x值時常以0為中心，選取便于計算、描點的整數值，描點連線時一定要用光滑曲線連接，并注意變化趨勢．
【例1】　（2024秋 武威期中）如圖為拋物線，圖象經過點．直線與拋物線交于，兩點，點，在軸上．
（1）求拋物線與直線的函數解析式；
（2）求△的面積．
【答案】（1）拋物線的解析式為，一次函數解析式為；
（2）15．
【分析】（1）把代入即可求出拋物線解析式，再求出，坐標，最后代入計算即可；
（2）聯立二次函數與一次函數的解析式，解方程組求出點坐標，再根據求解即可．
【解答】解：（1）把代入代入得，
解得，
拋物線的解析式為，
令，則，
解得，
，，
把代入得，
解得，
一次函數解析式為；
（2）聯立方程組，
解得或，
，
，，
，
．
【例2】　（2024秋 濱海新區校級月考）如圖，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點．
（1）點坐標為 　　，點坐標為 　　；
（2）拋物線頂點坐標為 　　；
（3）當滿足 　　時，；
（4）若二次函數的圖象與直線有兩個交點，則的取值范圍是 　　．
【分析】（1）把代入拋物線的解析式先求解的值，再令，可得，再解方程即可；
（2）把拋物線化為頂點式，從而可得答案；
（3）根據函數圖象，找出軸下方的函數圖象，可得答案；
（4）結合（3）中圖象解答即可．
【解答】解：（1）拋物線與軸交于點，
把點代入，得
．
，
拋物線為：，
令，則，
，
解得：，，
，；
故答案為：，；
（2），
拋物線的頂點坐標為：；
故答案為：；
（3）觀察圖象得，當時，；
故答案為：；
（4）由的圖象可得：當過拋物線的頂點時，，
此時二次函數的圖象與直線有1個交點，
二次函數的圖象與直線有兩個交點，
則的取值范圍是．
故答案為：．
【例3】　（2023秋 西峽縣期末）如圖，二次函數的圖象與軸交于點，在的左側），與一次函數的圖象交于，兩點．
（1）求的值；
（2）求的面積；
（3）根據圖象，直接寫出當時的取值范圍．
【答案】（1）；
（2）；
（3）或．
【分析】（1）根據函數與方程的關系，當時，求解一元二次方程，即可得出拋物線與軸的兩個交點，然后將點代入一次函數解析式即可確定的值；
（2）先求兩個函數的交點的坐標，把代入中，求解一元二次方程，即可確定點的坐標，然后結合圖象，求三角形面積即可；
（3）根據，，結合圖象，即可確定的取值范圍．
【解答】解：（1）當時，
，
解得：，，
拋物線與軸交于，．
直線經過點，
，
；
（2）由（1）知，
聯立得：，
整理得
解得：（舍，，
把代入，得，
，
；
（3），，
當或時，拋物線在直線的上方，
當時，或．
1．二次函數y＝ax2＋k（a≠0）的圖象是一條與y＝ax2（a≠0）的圖象形狀相同，頂點坐標為（0，k）的拋物線，因此畫它的圖象時，可以用描點法，也可以用平移法． 2．在二次函數中，a的符號決定拋物線的開口方向，|a|的大小決定拋物線的開口程度，|a|越大，拋物線開口越小；|a|越小，拋物線開口越大． 3．拋物線（a≠0）圖象的五點作圖法 利用配方法將二次函數（a≠0）化為頂點式（a≠0）．確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標，然后在對稱軸兩側，左右對稱地描點畫圖．一般我們選取的五點為：頂點、與y軸的交點（0，c）以及與（0，c）關于對稱軸對稱的點（2h，c），與x軸的交點（x1，0）（x2，0）．若與x軸沒有交點，則取兩組關于對稱軸對稱的點．
■易錯點01 二次函數圖象的平移
解析式y=a（x+m）2+n（a、m、n都是常數，a≠0）分情況討論m>0，n>0m>0，n<0m<0，n>0m<0，n<0變換過程由y=ax2向左平移|m|個單位，向上平移|n|個單位由y=ax2向左平移|m|個單位，向下平移|n|個單位由y=ax2向右平移|m|個單位，向上平移|n|個單位由y=ax2向右平移|m|個單位，向下平移|n|個單位
【例1】　（2024秋 硚口區期中）將拋物線平移后得到拋物線，正確的平移方式是　　
A．向右移動3個單位長度，向上移動1個單位長度
B．向左移動3個單位長度，向上移動1個單位長度
C．向右移動3個單位長度，向下移動1個單位長度
D．向左移動3個單位長度，向下移動1個單位長度
【答案】
【分析】原拋物線頂點坐標為，平移后拋物線頂點坐標為，由此確定平移的方式．
【解答】解：原拋物線解析式為，
該拋物線的頂點坐標是，
拋物線的頂點坐標是，
平移的方法可以是：將拋物線向左平移3個單位，再向下平移1個單位．
故選：．
【例2】　（2024秋 翁源縣期中）將拋物線先向下平移1個單位長度，再向右平移3個單位長度，所得到的拋物線為　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根據“上加下減，左加右減”的原則進行解答即可．
【解答】解：將拋物線先向下平移1個單位長度，再向右平移3個單位長度，所得到的拋物線為，即，
故選：．
【例3】　（2024秋 武威期中）將二次函數的圖象先向右平移2個單位長度，再向下平移4個單位長度，所得到的函數解析式為 　　．
【答案】．
【分析】按照“左加右減，上加下減”的規律進而求出即可．
【解答】解：根據“左加右減，上加下減”的規律知：
二次函數的圖象先向右平移2個單位長度，再向下平移4個單位長度后所得拋物線解析式為：，即．
故答案為：．
左加右減，上加下減．中小學教育資源及組卷應用平臺
22.1 二次函數的圖象和性質
內容 常考題型
重點01 二次函數的定義 選擇題、填空題
重點02 二次函數的三種形式及相互轉化 選擇題、填空題
重點03 待定系數法求二次函數的解析式 選擇題、填空題、解答題
難點01 二次函數圖象和性質 選擇題、填空題
難點02 二次函數圖象的綜合應用 解答題
易錯點 二次函數圖象的平移 選擇題、填空題
■重點01 二次函數的定義
一般地，形如（a，b，c是常數，a≠0）的函數叫做二次函數．其中x是自變量，a，b，c分別表示函數解析式的二次項系數、一次項系數、常數項．一般情況下，二次函數中自變量的取值范圍是全體實數．
【例1】　（2024秋 姑蘇區校級期中）下列函數中，是的二次函數的是　　
A． B． C． D．
【例2】　（2024秋 青縣校級期中）下列函數關系中，是的二次函數的是　　
A． B．
C． D．
【例3】　（2024秋 洛龍區校級月考）關于的函數是二次函數，則的值是 　　．
注意：二次函數的判斷方法： ①函數關系式是整式； ②化簡后自變量的最高次數是2； ③二次項系數不為0．
■重點02 二次函數的三種形式及相互轉化
二次函數的解析式 （1）一般式：（a，b，c是常數，a≠0）； （2）頂點式：（a，b，c是常數，a≠0），其中（h，k）為頂點坐標； （3）交點式： （a≠0，是拋物線與x軸兩交點的坐標，即一元二次方程的兩個根）．
【例1】　（2024秋 昌平區期中）將函數化為頂點式，結果是　　
A． B． C． D．
【例2】　（2024秋 新城區校級月考）用配方法將二次函數寫成的形式為　　．
【例3】　（2024秋 綿陽月考）將二次函數寫成的形式為 　　．
二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與y＝ax2（a≠0）的圖象形狀相同，位置不同，利用配方法，可將y=ax2+bx+c轉化為頂點式．
■重點03 待定系數法求二次函數的解析式
（1）設函數解析式：根據已知條件設函數解析式； （2）找點：找函數圖象上的點； （3）代入：把點代入函數解析式得到方程； （4）求解方程； （5）反代入：把求出的字母的值帶入解析式．
【例1】　（2023秋 長沙縣期末）一個二次函數圖象的頂點坐標是，且過另一點，則這個二次函數的解析式為　　
A． B．
C． D．
【例2】　（2024秋 桐城市校級月考）已知拋物線的頂點坐標為，且經過點，請確定拋物線的函數表達式．
【例3】　（2024秋 余姚市校級月考）已知二次函數頂點為且過點．
（1）求此二次函數的解析式；
（2）當時，求的取值范圍．
用待定系數法求函數解析式，需先明確函數的類型，如，已知函數為二次函數時，才可以設函數的解析式為y=ax2+bx+c．
■難點01 二次函數圖象和性質
1．二次函數的圖象和性質 函數y=ax2（a>0）y=ax2（a<0）圖象開口方向向上向下頂點坐標（0，0）（0，0）對稱軸y軸y軸增減性x>0時，y隨x的增大而增大； x<0時，y隨x的增大而減小x>0時，y隨x的增大而減小； x<0時，y隨x的增大而增大最大（小）值當x=0時，y最小值=0當x=0時，y最大值=0
2．二次函數y=a（x-h）2+k的圖象和性質 函數y=a（x-h）2+k（a>0）y=a（x-h）2+k（a<0）開口方向向上向下頂點坐標（h，k）（h，k）對稱軸x=hx=h增減性x> h時，y隨x的增大而增大； x h時，y隨x的增大而減小； x3．二次函數y=ax2+bx+c的圖象和性質 函數y=ax2+bx+c（a>0）y=ax2+bx+c（a<0）開口方向向上向下頂點坐標（， （，）對稱軸x=x=增減性x>時，y隨x的增大而增大； x<時，y隨x的增大而減小x>時，y隨x的增大而減小； x<時，y隨x的增大而增大最大（小）值當x= 時，y最小值= 當x= 時，y最大值=
【例1】　（2024秋 開魯縣校級期中）關于二次函數的圖象與性質，下列結論錯誤的是　　
A．圖象開口向下 B．當時，有最大值
C．當時，隨的增大而減小 D．圖象的頂點坐標為
【例2】　（2024秋 西鄉塘區校級月考）二次函數的圖象如圖所示．下列結論：①；②為任意實數，則；③；④；⑤．其中正確結論的個數有　　
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【例3】　（2024秋 西湖區校級期中）二次函數，，是常數，圖象的對稱軸是直線，其圖象一部分如圖所示，對于下列說法：①；②；③方程有兩個不相等的實數根；④為任意實數）．其中正確的是　　（填寫序號）
拋物線的對稱軸是直線， 頂點坐標是．
■難點02 二次函數圖象的綜合應用
二次函數圖象的畫法 （1）列表：先取作為頂點的原點（0，0），然后在原點兩側對稱取點； （2）描點：一般先描出y軸一側的幾個點，再根據對稱性找出另一側的幾個點； （3）連線：按照從左到右的順序，用平滑的曲線將各點連接起來，注意曲線要出頭． 列表選取自變量x值時常以0為中心，選取便于計算、描點的整數值，描點連線時一定要用光滑曲線連接，并注意變化趨勢．
【例1】　（2024秋 武威期中）如圖為拋物線，圖象經過點．直線與拋物線交于，兩點，點，在軸上．
（1）求拋物線與直線的函數解析式；
（2）求△的面積．
【例2】　（2024秋 濱海新區校級月考）如圖，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點．
（1）點坐標為 　　，點坐標為 　　；
（2）拋物線頂點坐標為 　　；
（3）當滿足 　　時，；
（4）若二次函數的圖象與直線有兩個交點，則的取值范圍是 　　．
【例3】　（2023秋 西峽縣期末）如圖，二次函數的圖象與軸交于點，在的左側），與一次函數的圖象交于，兩點．
（1）求的值；
（2）求的面積；
（3）根據圖象，直接寫出當時的取值范圍．
1．二次函數y＝ax2＋k（a≠0）的圖象是一條與y＝ax2（a≠0）的圖象形狀相同，頂點坐標為（0，k）的拋物線，因此畫它的圖象時，可以用描點法，也可以用平移法． 2．在二次函數中，a的符號決定拋物線的開口方向，|a|的大小決定拋物線的開口程度，|a|越大，拋物線開口越小；|a|越小，拋物線開口越大． 3．拋物線（a≠0）圖象的五點作圖法 利用配方法將二次函數（a≠0）化為頂點式（a≠0）．確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標，然后在對稱軸兩側，左右對稱地描點畫圖．一般我們選取的五點為：頂點、與y軸的交點（0，c）以及與（0，c）關于對稱軸對稱的點（2h，c），與x軸的交點（x1，0）（x2，0）．若與x軸沒有交點，則取兩組關于對稱軸對稱的點．
■易錯點01 二次函數圖象的平移
解析式y=a（x+m）2+n（a、m、n都是常數，a≠0）分情況討論m>0，n>0m>0，n<0m<0，n>0m<0，n<0變換過程由y=ax2向左平移|m|個單位，向上平移|n|個單位由y=ax2向左平移|m|個單位，向下平移|n|個單位由y=ax2向右平移|m|個單位，向上平移|n|個單位由y=ax2向右平移|m|個單位，向下平移|n|個單位
【例1】　（2024秋 硚口區期中）將拋物線平移后得到拋物線，正確的平移方式是　　
A．向右移動3個單位長度，向上移動1個單位長度
B．向左移動3個單位長度，向上移動1個單位長度
C．向右移動3個單位長度，向下移動1個單位長度
D．向左移動3個單位長度，向下移動1個單位長度
【例2】　（2024秋 翁源縣期中）將拋物線先向下平移1個單位長度，再向右平移3個單位長度，所得到的拋物線為　　
A． B． C． D．
【例3】　（2024秋 武威期中）將二次函數的圖象先向右平移2個單位長度，再向下平移4個單位長度，所得到的函數解析式為 　　．
左加右減，上加下減．

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