資源簡(jiǎn)介

3.4 一元一次方程的應(yīng)用
第1課時(shí) 和、差、倍、分問題
一.學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.會(huì)分析和、差、倍、分問題中量與量之間的關(guān)系，尋找等量關(guān)系，列出一元一次方程解簡(jiǎn)單的應(yīng)用題.
2.通過列方程解決實(shí)際問題的過程,體會(huì)一元一次方程與實(shí)際生活的密切聯(lián)系,加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模思想的應(yīng)用意識(shí).
二.自主預(yù)習(xí)
1．某校七年級(jí)1班共有學(xué)生48人，其中女生人數(shù)比男生人數(shù)的多3人，則這個(gè)班有女生（　　）
A．22人 B．23人 C．24人 D．25人
2．哥哥今年的年齡是弟弟的2倍，弟弟說：“六年前，我們倆的年齡和為15歲”，若用x表示哥哥今年的年齡，則可列方程（　　）
A． B．
C． D．
三.探究新知
探究一：和、差、倍、分問題
問題1 情景導(dǎo)入這道題目的相等關(guān)系是什么？
問題2 可以怎樣設(shè)未知數(shù)？
問題3 在這個(gè)問題中，全價(jià)票的票款一共是多少元？半價(jià)票的票款一共是多少元？
問題4 怎樣求出全價(jià)票和半價(jià)票各售出多少張？
小結(jié)
1.本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)已知條件確定兩者的數(shù)量關(guān)系，即“全價(jià)票款+半價(jià)票款=總票款”然后列出方程解題．
2. 運(yùn)用一元一次方程模型解決實(shí)際問題的步驟：
探究二 ：例題講解
例 某房間里有4條腿的椅子和3條腿的凳子共16個(gè)， 如果椅子腿數(shù)與凳子腿數(shù)的和為60，試問，有幾張椅子和幾把凳子？
小結(jié)
列方程解應(yīng)用題的一般步驟如下.
設(shè)：即設(shè)出未知數(shù)（注意帶單位），可直接設(shè)，即問什么設(shè)什么，也可間接設(shè).
列：即列出方程，這是解題的關(guān)鍵，而列方程的關(guān)鍵是找到相等關(guān)系，把相等關(guān)系兩邊的量用數(shù)或含字母的代數(shù)式給表示出來就得到了方程.
解：即求出方程的解.
驗(yàn)：此時(shí)要注意驗(yàn)證其結(jié)果是否為方程的解且是否符合實(shí)際意義.
答：即回答題中問題.
四.運(yùn)用新知
1．盒子里有三種顏色的球共200個(gè)．黃球個(gè)數(shù)與紅球個(gè)數(shù)的比是2：3．紅球個(gè)數(shù)與白球個(gè)數(shù)的比是2：5，那么盒子里的紅球有 　 　個(gè)．
2．一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位數(shù)比十位數(shù)字大4，而且這個(gè)兩位數(shù)比它的數(shù)字之和的3倍大2，則這個(gè)兩位數(shù)是 　 　．
3．小遠(yuǎn)在文具店買了一盒24色馬克筆和一種黑色中性筆6根，共用了27元．已知他買一盒馬克筆的錢比6根黑色中性筆的錢多3元．求該文具店中這種黑色中性筆的單價(jià)．
4．一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字大4，把個(gè)位上的數(shù)字和十位上的數(shù)字對(duì)調(diào)，新的兩位數(shù)與原兩位數(shù)之和為110，求原兩位數(shù)是多少．
五.達(dá)標(biāo)測(cè)試
1．小明出生時(shí)父親28歲，現(xiàn)在父親的年齡是小明年齡的3倍，現(xiàn)在父親的年齡是（　 　）
A．50歲 B．46歲 C．44歲 D．42歲
2.甲乙兩人的年齡和是33歲，甲比乙大3歲，則甲的年齡是 歲.
3.某工廠去年的總產(chǎn)值是545萬元，比5年前產(chǎn)值的10倍還多18萬元，那么5年前這個(gè)廠的年產(chǎn)值是 萬元.
4.某縣舉行七年級(jí)數(shù)學(xué)知識(shí)搶答競(jìng)賽，甲學(xué)校的代表參加比賽，比賽采取雙循環(huán)賽制，共比賽22場(chǎng)（勝一場(chǎng)得2分，負(fù)一場(chǎng)得1分），最終甲學(xué)校以總分40分獲得第一名，那么甲學(xué)校的勝場(chǎng)數(shù)為 　 　．
5.甲、乙、丙三隊(duì)合修一條公路，計(jì)劃出280人，如果甲隊(duì)人數(shù)是乙隊(duì)人數(shù)的一半，丙隊(duì)人數(shù)是乙隊(duì)人數(shù)的2倍，那么三隊(duì)各出多少人？
參考答案：
1.D 2.18 3.52.7 4.18
5.解：設(shè)乙隊(duì)出x人，則甲隊(duì)出人，丙隊(duì)出2x人.
依題意得x+＋2x＝280，
解方程得x＝80，＝40，2x＝160.
答：甲隊(duì)出40人，乙隊(duì)出80人，丙隊(duì)出160人.
3.4 一元一次方程的應(yīng)用
第2課時(shí) 工程問題與行程問題
一.學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.掌握工程問題和行程問題中有關(guān)量的基本關(guān)系式,并會(huì)尋求相等關(guān)系列方程求解.
2.通過列方程解決實(shí)際問題的過程,體會(huì)一元一次方程與實(shí)際生活的密切聯(lián)系,加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模思想的應(yīng)用意識(shí).
二.自主預(yù)習(xí)
1．已知某座橋長(zhǎng)800米，現(xiàn)有一列火車從橋上通過，測(cè)得火車從開始上橋到完全通過共用了1分鐘，這列火車完全在橋上的時(shí)間為40秒，則火車的速度是（　　）
A．20米/秒 B．18米/秒 C．16米/秒 D．15米/秒
2．制造一批零件，按計(jì)劃18天可以完成它的．如果工作4天后，工作效率提高了，那么完成這批零件的一半，一共需要　 天．
【自主歸納】
1.行程問題中的常用關(guān)系式：
（1）速度×?xí)r間=路程；路程÷速度=時(shí)間；路程÷時(shí)間=速度;
（2）速度和×?xí)r間=路程和；
（3）速度差×?xí)r間=路程差.
2.工程問題中的常用關(guān)系式：
（1）工作總量÷工作效率=工作時(shí)間
（2）工作總量÷工作效率和=合作時(shí)間
三.探究新知
探究一：行程問題
為進(jìn)一步感悟雷鋒胸懷祖國，服務(wù)人民的愛國精神，星期日早晨，小楠和小華分別騎自行車從家里同時(shí)出發(fā)去參觀雷鋒紀(jì)念館，已知他倆的家到雷鋒紀(jì)念館的路程相等，并且小楠每小時(shí)騎10km，他在上午10時(shí)到達(dá)，小華每小時(shí)騎15km，他在上午9時(shí)30分到達(dá)，他倆的家到雷鋒純念館的路程是多少？
問題1 這個(gè)問題中涉及哪些量？它們有什么數(shù)量關(guān)系？
問題2 本題的等量關(guān)系是什么？
問題3 這個(gè)題可以如何列方程？
探究二：工程問題
一份工作,甲單獨(dú)做需要m天完成,乙單獨(dú)做需要 n天完成.求甲乙合作完成這份工作需要多少天
問題1 若把工作總量設(shè)為1,則甲、乙的工作效率(一天完成的工作量)分別是多少？
問題2 若甲、乙合作x天，則甲、乙的工作量各是多少？甲乙合作的工作量是多少？
問題3 題目中的等量關(guān)系是什么？
問題4 你將如何得出問題的答案？
小結(jié)：解決工程問題的基本思路：
1. 三個(gè)基本量：工作量、工作效率、工作時(shí)間.
它們之間的關(guān)系是：工作量=工作效率×工作時(shí)間.
2. 相等關(guān)系：工作總量=各部分工作量之和.
(1) 按工作時(shí)間，工作總量=各時(shí)間段的工作量之和；
(2) 按工作者，工作總量=各工作者的工作量之和.
3. 通常在沒有具體數(shù)值的情況下，把工作總量看作1.
探究三:例題講解
例1 甲、乙兩人在一條長(zhǎng)400米的環(huán)形跑道上跑步，甲的速度為360米/分，乙的速度是240米/分．
(1)兩人同時(shí)同地同向跑，問第一次相遇時(shí)，兩人一共跑了多少圈？
(2)兩人同時(shí)同地反向跑，問幾秒后兩人第一次相遇？
例2、刺繡是我國民間傳統(tǒng)手工藝之一.我國刺銹主要有湘繡、蘇繡、蜀繡、粵繡四大類.若刺繡一件作品，甲單獨(dú)繡需要15天才能完成，乙單獨(dú)繡需要12天才能完成，現(xiàn)在甲先單獨(dú)繡1天,接著乙又單獨(dú)繡4天，剩下的工作由甲、乙兩人合繡，試問：再合繡多少天可以完成這件作品？
四.運(yùn)用新知
1.一項(xiàng)工程甲單獨(dú)做20天可以完成,乙單獨(dú)做 30天可以完成.現(xiàn)在兩個(gè)人合作,但是乙中途因事離開幾天,從開工后14天把這項(xiàng)工作做完,則乙中途離開了( )
A.10天 B.9天 C.7天 D.5天
2.甲乙兩人跑步，從同一地點(diǎn)出發(fā)，沿直線同向而行，甲的速度為10km/h，乙的速度為8km/h，乙先出發(fā)小時(shí)，問甲出發(fā) 　　小時(shí)，兩人相距2km．
3.一輛卡車從A地出發(fā)勻速開往B地，速度為40千米/時(shí)，卡車出發(fā)兩小時(shí)后，一輛出租車從B地出發(fā)勻速開往A地，卡車出發(fā)6小時(shí)，兩車同時(shí)到達(dá)各自的目的地（到達(dá)目的地后兩車都停止行駛）．
解答下列問題：
（1）出租車的速度為 　　千米/時(shí)；
（2）用含x（行駛的時(shí)間）的代數(shù)式表示兩車行駛的路程之和；
（3）當(dāng)兩車相距180千米時(shí)，求卡車行駛的時(shí)間．
五.達(dá)標(biāo)測(cè)試
1．一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需12天完成，乙單獨(dú)做需8天完成，現(xiàn)由甲先做2天，乙再加入合作，完成這項(xiàng)工程共需多少天？若設(shè)完成這項(xiàng)工程共需x天，依題意可列方程（　 　）
A． B．
C． D．
2．一個(gè)自行車隊(duì)進(jìn)行訓(xùn)練，訓(xùn)練時(shí)所有隊(duì)員都以40km/h的速度前進(jìn)，突然，6號(hào)隊(duì)員以50km/h的速度獨(dú)自行進(jìn)，行進(jìn)20km后掉轉(zhuǎn)車頭，仍以50km/h的速度往回騎，直到與其他隊(duì)員會(huì)合，設(shè)6號(hào)隊(duì)員從離隊(duì)開始到與隊(duì)員重新會(huì)合經(jīng)過了x h，則x的值是（　 　）
A． B． C． D．
3．我國元朝朱世杰所著的《算學(xué)啟蒙》中有這樣的記載：“良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，良馬數(shù)日追及之”．其大意是：跑得快的馬每天走240里，跑的慢的馬每天走150里，慢馬先走12天，快馬
　　天可以追上慢馬．
4．甲、乙兩列火車從相距60千米的兩站同時(shí)出發(fā)，同向而行，甲車在后，每小時(shí)行駛70千米，乙車在前，每小時(shí)行駛50千米，則經(jīng)過 　　小時(shí)后兩車相距20千米．
5．制造一批零件，按計(jì)劃18天可以完成它的．如果工作4天后，工作效率提高了，那么完成這批零件的一半，一共需要　　天．
6．某市今年進(jìn)行煤氣工程改造，甲乙兩個(gè)工程隊(duì)共同承包這個(gè)工程．這個(gè)工程若甲隊(duì)單獨(dú)做需要10天完成；若乙隊(duì)單獨(dú)做需要15天完成．若甲乙兩隊(duì)同時(shí)施工4天，余下的工程由乙隊(duì)完成，問乙隊(duì)還需要幾天能夠完成任務(wù)？
參考答案
1.D 2.D 3.20 4.2或4 5.
6.解：設(shè)甲乙兩隊(duì)同時(shí)施工4天后，余下的工程乙隊(duì)還需要x天能夠完成任務(wù)，
根據(jù)題意得：1，
解得：x＝5．
答：乙隊(duì)還需要5天能夠完成任務(wù)．
3.4 一元一次方程的應(yīng)用
第3課時(shí) 方案問題和調(diào)配問題
一.學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.掌握用一元一次方程解決方案問題、調(diào)配問題的方法.
2.通過對(duì)具體實(shí)例的分析和對(duì)問題的解決,增強(qiáng)應(yīng)用方程模型解決問題的意識(shí)和能力.
二.自主預(yù)習(xí)
1.在“踐行垃圾分類，助力雙碳目標(biāo)”主題班會(huì)結(jié)束后，劉華和小燕子一起收集了一些廢電池，劉華說：“我比你多收集了7節(jié)廢電池．”小燕子說：“如果你給我8節(jié)廢電池，那么我的廢電池節(jié)數(shù)就是你的2倍．”如果他們說的都是真的，那么劉華和小燕子分別收集了多少節(jié)廢電池？
解：設(shè)小燕子收集了x節(jié)廢電池，則劉華收集了 節(jié)廢電池，
根據(jù)題意得： ，
解得： ，
所以 ．
答：劉華收集了 節(jié)廢電池，小燕子收集了 節(jié)廢電池．
三.探究新知
探究一：方案問題
購買空調(diào)時(shí)，需要綜合考慮空調(diào)的價(jià)格和耗電情況.某人打算從兩款空調(diào)中選購一臺(tái)，如表是這兩款空調(diào)的部分基本信息.如果電價(jià)是0.5元/(kw h)，請(qǐng)你分析他購買、使用哪款空調(diào)綜合費(fèi)用較低.
兩款空調(diào)的部分基本信息.
匹數(shù) 能效等級(jí) 售價(jià)/元 平均每年耗電量/kw h
1.5 1級(jí) 3000 640
1.5 3級(jí) 2600 800
問題1 在這個(gè)問題中，綜合費(fèi)用= 空調(diào)的售價(jià) + 電費(fèi) .
選定一種空調(diào)后，售價(jià)是確定的，電費(fèi)則與使用的時(shí)間有關(guān).
設(shè)空調(diào)的使用年數(shù)是t，則1級(jí)能效空調(diào)的綜合費(fèi)用(單位:元)是 .3級(jí)能效空調(diào)的綜合費(fèi)用(單位:元)是 ，
問題2 t取何值時(shí)，兩款空調(diào)的綜合費(fèi)用相等？
問題3 t取何值時(shí)，哪款空調(diào)綜合費(fèi)用較低？
探究二 ：調(diào)配問題
3月12日植樹節(jié)，為貫徹“綠水青山就是金山銀山”的生態(tài)理念，學(xué)校組織植樹活動(dòng)．已知在甲處植樹的有23人，在乙處植樹的有17人．現(xiàn)調(diào)20人去支援，使在甲處植樹的人數(shù)比乙處植樹人數(shù)的2倍多3人，求應(yīng)調(diào)往甲處的人數(shù)．
問題1 若設(shè)應(yīng)調(diào)往甲處x人，根據(jù)題意填寫表格.
調(diào)配前人數(shù) 調(diào)入人數(shù) 調(diào)配后人數(shù)
甲處 23 x
乙處 17
問題2 增派人數(shù)后甲處和乙處人數(shù)的數(shù)量關(guān)系是什么？可列出怎樣的等式
探究三：例題講解
例1 現(xiàn)有樹苗若干棵，計(jì)劃栽在一段公路的一側(cè)，要求路的兩端各栽1棵，并且相鄰兩棵樹的間隔相等．
方案一：如果每隔5m栽1棵，則樹苗缺21棵；
方案二：如果每隔5.5m栽1棵，則樹苗正好用完．
根據(jù)以上方案，請(qǐng)算出原有樹苗的棵數(shù)和這段路的長(zhǎng)度．
分析觀察植樹示意圖，想一想：
分析:
問題1 相鄰兩樹的間隔長(zhǎng)與應(yīng)植樹的棵數(shù)有什么關(guān)系？
問題2 相鄰兩樹的間隔長(zhǎng)、應(yīng)植樹棵數(shù)與路長(zhǎng)有怎樣的數(shù)量關(guān)系？
問題3 設(shè)原有樹苗x棵，填寫下表:
方案 間隔/m 種植的樹苗數(shù) 路長(zhǎng)/m
一 5
二 5.5 x
問題4 兩種方案下路長(zhǎng)相等嗎？根據(jù)路長(zhǎng)關(guān)系列方程求解.
答：兩種方案下路長(zhǎng)是相等的.
小結(jié)
本題解決栽樹問題的栽樹棵樹和路長(zhǎng)關(guān)系的運(yùn)用，其中“栽樹的棵數(shù)＝分得的段數(shù)+1”和“路長(zhǎng)＝（植樹棵數(shù)﹣1 ）×間隔長(zhǎng)”，根據(jù)路的長(zhǎng)度不變建立方程解決實(shí)際問題．
例2 甲班有45人，乙班有39人．現(xiàn)在需要從甲、乙班各抽調(diào)一些同學(xué)去參加“歌唱祖國”歌詠比賽．如果從甲班抽調(diào)的人數(shù)比乙班多1人，那么甲班剩余人數(shù)恰好是乙班剩余人數(shù)的2倍．請(qǐng)問：從甲、乙兩班各抽調(diào)了多少參加歌詠比賽？
分析：本題中有如下的等量關(guān)系：
甲班抽調(diào)的人數(shù)-乙班抽調(diào)的人數(shù)=1；
抽調(diào)之后甲班剩余人數(shù)=乙班剩余人數(shù)×2.
四.運(yùn)用新知
1.某車間有2個(gè)小組，甲組是乙組人數(shù)的2倍，若從甲組調(diào)12人到乙組，使甲組人數(shù)比乙組人數(shù)的一半還多3人，求原來甲乙兩組人數(shù).
2.為進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生“學(xué)黨史、知黨情、跟黨走”的信心，培養(yǎng)學(xué)生的民族精神和愛國主義情懷，某學(xué)校組織開展以“觀看紅色電影，點(diǎn)燃紅色初心”為主題的教育活動(dòng)．電影票價(jià)格表如下：
購票張數(shù) 1至40 41至80 80以上
每張票的價(jià)格 20元 18元 免2張門票，其余每張17元
該校七年級(jí)兩個(gè)班共有83名學(xué)生去看電影，其中七（1）班的學(xué)生人數(shù)超過30，但不足40．
（1）如果兩個(gè)班都以班為單位單獨(dú)購票，一共付了1572元．求七（2）班學(xué)生的人數(shù)；
（2）在（1）所得的班級(jí)學(xué)生人數(shù)下，如果七（1）班有7名學(xué)生因有比賽任務(wù)不能參加這次活動(dòng)，請(qǐng)你為兩個(gè)班級(jí)設(shè)計(jì)購買電影票的方案，并指出最省錢的方案．
3.植樹節(jié)到了，全班45名同學(xué)分兩組植樹，要求甲組每人只挖5個(gè)坑不植樹，乙組每人挖3個(gè)坑并植樹7棵，問如何分配兩組的人數(shù)，才能使挖坑的數(shù)與植樹的棵數(shù)正好相等？
五.達(dá)標(biāo)測(cè)試
1．某市對(duì)迎賓大道進(jìn)行綠化，計(jì)劃把某一段公路的一側(cè)全部栽上桂花樹，要求路的兩端各栽一棵，并且每?jī)煽脴涞拈g隔相等．如果每隔3米栽1棵，則樹苗缺15棵；如果每隔4米栽1棵，則樹苗缺1棵．則原有樹苗的棵數(shù)是（　　）
A．41 B．42 C．43 D．44
2．某機(jī)械廠加工車間有33名工人，平均每名工人每天加工大齒輪5個(gè)或小齒輪15個(gè)，已知2個(gè)大齒輪和3個(gè)小齒輪配成一套，應(yīng)安排 　 　名工人加工大齒輪，才能剛好配套．
3．我國古代《孫子算經(jīng)》記載了這樣一個(gè)數(shù)學(xué)問題：“今有三人共車，二車空；二人共車，五人步．問車有幾何？”意思是：每3人共乘一輛車，最終剩余2輛車；每2人共乘一輛車，最終有5人無車可乘，則車有 　 　輛．
4.某班打算買一些乒乓球和乒乓球拍,現(xiàn)了解情況如下:甲、乙兩家商店出售同樣品牌的乒乓球和乒乓球拍,乒乓球拍每副定價(jià)30元,乒乓球每盒定價(jià)5元,經(jīng)洽談后,甲店買一副球拍贈(zèng)一盒乒乓球,乙店全部按定價(jià)的9折優(yōu)惠.該班需球拍 5副,乒乓球若干盒(不小于5盒).問:
(1)當(dāng)購買乒乓球15盒時(shí),去哪家店購買比較優(yōu)惠
(2)當(dāng)購買乒乓球多少盒時(shí),兩家店的付款一樣多
參考答案：
1.B 2.22 3.11
4.解:(1)甲:30×5+5×(15-5)=200(元),
乙:(30×5+5×15)×0.9=202.5(元),
因?yàn)?00<202.5,
所以當(dāng)購買乒乓球15盒時(shí),去甲商店購買比較優(yōu)惠.
(2)設(shè)購買x盒乒乓球時(shí),兩家店的付款一樣多,
根據(jù)題意,得30×5+5(x-5)=(30×5+5x)×0.9,
解得x=20.
所以當(dāng)購買乒乓球20盒時(shí),兩家店的付款一樣多.

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