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高中物理必修二素養提升學案
第五章 拋體運動
章末整合提升
【知識網絡】
【要點突破】
專題一　　運動的合成與分解
1．合運動與兩個分運動的關系
(1)利用運動的合成或分解，可以簡化復雜運動，是分析曲線運動的方法和手段．
合運動是物體的實際運動，與分運動具有等效性和等時性，這是合成和分解運動的基本依據．合運動與分運動滿足平行四邊形定則．
(2)合理地分解運動
分解運動時，不僅要遵從分解法則，還要注意各分運動的實際意義及效果，按照效果將運動進行分解．
2．船渡河運動的分解
v1為水流速度，v2為船相對靜水的速度，θ為v2與v1的夾角，d為河寬．
(1)沿水流方向：船的運動是速度為v1＋v2cosθ的勻速直線運動．
(2)沿垂直河岸方向：船的運動是速度為v2sinθ的勻速直線運動．
(3)船垂直河岸渡河時：渡河位移最小，有lmin＝d.在水流方向上有v1＋v2cosθ＝0，即船頭指向上游，滿足cosθ＝－.
(4)船頭垂直河岸渡河時：渡河時間最短，有tmin＝.
[例1]　如圖所示，有一只小船正在過河，河寬d＝300 m，小船在靜水中的速度v2＝3 m/s，水的流速v1＝1 m/s.小船以下列條件過河時，求過河的時間．
(1)以最短的時間過河；
(2)以最短的位移過河．
[解析]　(1)當小船的船頭方向垂直于河岸時，即船在靜水中的速度v2的方向垂直于河岸時，過河時間最短，則
最短時間tmin＝＝ s＝100 s.
(2)因為v2＝3 m/s>v1＝1 m/s，所以當小船的合速度方向垂直于河岸時，過河位移最短．此時合速度方向如圖所示，則過河時間t＝＝≈106.1 s.
[答案]　(1)100 s　(2)106.1 s
[例2]　在光滑水平面上，一個質量為2 kg的物體從靜止開始運動，在前5 s內受到一個沿正東方向、大小為4 N的水平恒力作用；從第5 s末到第15 s末改受正北方向、大小為2 N的水平恒力作用．求物體在15 s內的位移和15 s末的速度．
[解析]　如圖所示，物體在前5 s內由坐標原點開始沿正東方向做初速度為0的勻加速直線運動，其加速度
a1＝＝ m/s2＝2 m/s2.
5 s內物體沿正東方向的位移
x1＝a1t＝×2×52 m＝25 m.
5 s末物體的速度v1＝a1t1＝2×5 m/s＝10 m/s，方向向正東．
5 s末物體改受正北方向的外力F2，則物體同時參與了兩個方向的運動，合運動為曲線運動．物體在正東方向做勻速直線運動，5 s末到15 s末沿正東方向的位移
x1′＝v1t2＝10×10 m＝100 m.
5 s后物體沿正北方向分運動的加速度
a2＝＝ m/s2＝1 m/s2，
5 s末到15 s末物體沿正北方向的位移y＝a2t＝50 m.
15 s末物體沿正北方向的分速度v2＝a2t2＝10 m/s.
根據平行四邊形定則可知，物體在15 s內的位移
l＝≈135 m，
方向為東偏北θ角，tanθ＝＝.
物體在15 s末的速度v＝＝10 m/s，
方向為東偏北α角，由tanα＝＝1，得α＝45°.
[答案]　物體15 s內的位移為135 m，方向為東偏北θ角，且tanθ＝　15 s末的速度為10 m/s，方向為東偏北45°角
總結提能 本題中物體的運動分為兩個階段，前5 s內沿正東方向做初速度為0的勻加速直線運動，后10 s內物體同時參與了兩個方向(正東和正北)的運動．根據運動的合成與分解的方法，分別求出兩個方向上的分位移和分速度，然后利用矢量運算法則求解即可．
（3）繩（桿）端速度分解
把繩（桿）端的實際速度分解為沿繩子的分速度和垂直繩子的分速度。
（4）．關聯速度問題
用繩、桿相牽連的物體在運動過程中的速度通常不同，但兩物體沿繩或桿方向的分速度大小相等。
關聯速度問題的解題步驟
①確定合速度：牽連物端點的速度(即所連接物體的實際速度)是合速度。
②分解合速度：按平行四邊形定則進行分解，作好矢量圖。合運動所產生的實際效果：一方面產生使繩或桿伸縮的效果；另一方面產生使繩或桿轉動的效果。兩個分速度的方向：沿繩或桿方向和垂直于繩或桿方向。
常見的模型如圖所示：
③沿繩或桿方向的分速度大小相等，列方程求解。例如：v＝v∥(圖甲)；v∥＝v∥′(圖乙、丙)。
專題二　　平拋運動的解題方法
平拋運動是典型的勻變速曲線運動，它的動力學特征是：水平方向有初速度而不受外力，豎直方向只受重力而無初速度．因此抓住了平拋運動的這個初始條件，也就抓住了它的解題關鍵．現將常見的幾種解題方法介紹如下：
(1)利用平拋運動的時間特點解題
平拋運動可分解成水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動，只要拋出的時間相同，下落的高度和豎直分速度就相同．
(2)利用平拋運動的軌跡解題
平拋運動的軌跡是一條拋物線，已知拋物線上的任意一段，就可求出初速度和拋出點，其他物理量也就迎刃而解了．設如圖為某小球做平拋運動的一段軌跡，在軌跡上任取兩點A和B，分別過A點作豎直線，過B點作水平線，兩直線相交于C點，然后過BC的中點D作垂線交軌跡于E點，過E點再作水平線交AC于F點，則小球經過AE和EB的時間相等，設為單位時間T.
由豎直方向上的勻加速直線運動得
－＝gT2，所以T＝，
由水平方向上的勻速直線運動得
v0＝＝，
由于小球從拋出點開始在豎直方向上做自由落體運動，在連續相等的時間內滿足h1 ?h2 h3 …＝1 3 5 …因此，只要求出的值，就可以知道AE和EB是在哪個單位時間段內．
[例3]　在離地某一高度的同一位置處，有A、B兩個小球，A球以vA＝3 m/s的速度水平向左拋出，同時B球以vB＝4 m/s的速度水平向右拋出，那么當兩個小球的速度方向垂直時，它們之間的距離為多大？
[解析]　如圖所示，由于兩個小球是在同一高度同一時刻拋出，它們始終在同一水平位置上，且有vAy＝vBy＝gt，設vA′、vB′的方向和豎直方向的夾角分別為α和β，則
vAy＝vAcotα，vBy＝vBcotβ，且α＋β＝90°.
則vAyvBy＝v＝vAvBcotαcotβ＝vAvB.
得vAy＝，則時間t＝＝，
故距離s＝(vA＋vB)t＝≈2.47 m.
[答案]　2.47 m
[例4]　下圖是某同學根據實驗畫出的平拋小球的運動軌跡，O為平拋的起點，在軌跡上任取三點A、B、C，測得A、B兩點豎直坐標y1為5.0 cm、y2為45.0 cm，A、B兩點水平間距Δx為40.0 cm.則平拋小球的初速度v0為________ m/s，若C點的豎直坐標y3為60.0 cm，則小球在C點的速度vC＝________ m/s(結果保留兩位有效數字，g取10 m/s2)．
[解析]　由y＝gt2得，t1＝＝0.10 s，t2＝＝0.30 s，因此小球平拋運動的初速度為v0＝＝ m/s＝2.0 m/s. 小球在C點時豎直方向的分速度vy3＝＝ m/s＝2 m/s，因此C點速度vC＝＝4.0 m/s.
[答案]　2.0　4.0
總結提能 平拋運動在水平方向上是勻速直線運動，在豎直方向上是自由落體運動．由軌跡分析問題時要注意坐標原點是否為拋出點，即在應用豎直方向的規律時要注意使用條件．
【綜合訓練】
1.（2023江蘇名校聯考）．1949年4月，解放軍“百萬雄師過大江”。在某平直江段渡江時，戰士所乘船只在靜水中的速度為v1，江水流速為v2，若江水速度方向與江岸平行，下列說法正確的是（　?。?br/>A．船渡江時間與v2有關
B．當v1=v2時，船能到達正對岸
C．當保持船頭垂直江岸時，渡江時間最短
D．當保持船頭垂直江岸時，渡江位移最小
【參考答案】C
【名師解析】船頭垂直河岸渡河，船渡江時間只與v1有關，船渡江時間與v2無關，A錯誤；當v1＞v2時，船能到達正對岸，當v1=v2時，船不能到達正對岸，B錯誤；當保持船頭垂直江岸時，渡江時間最短，C正確；當v1＞v2時，船頭斜向上游，船能到達正對岸，渡江位移最小，但渡江時間不是最短，D錯誤。
2.（2023安徽合肥六中質檢） 如圖所示，小船以大小為、方向與上游河岸成角的速度（在靜水中的速度）從處渡河，經過一段時間正好到達正對岸的處。已知河寬，則下列說法中正確的是（　?。?br/>A. 河中水流速度為
B. 小船以最短位移渡河的時間為
C. 小船渡河的最短時間為
D. 小船以最短的時間渡河的位移是
【參考答案】CD
【名師解析】
由題意知，船頭垂直河岸渡河，其渡河時間最短，船頭應朝上游，與垂直河岸方向成某一夾角α，根據題意可知 α=30°
則 v1sinα=v2
解得 v2=2.5m/s
故A錯誤；
小船以最短位移渡河的時間為 ，B錯誤；
小船以最短時間渡河，船頭應垂直對岸，時間為，C正確；
小船以最短時間渡河時到達對岸，沿河岸通過的位移為
x=v2t=2.5×36m=90m
通過的位移，D正確。
　
3. (2023長沙名校質檢)某次英雄小伙子救人的過程，可用下圖去描述：落水孩童抓住繩索停在A處，對面河岸上的小伙子從B處沿直線勻速游到A處，成功把人救起。河寬和間距如圖中標注，假定河水在各處的流速均為，則（　?。?br/>A. 小伙子如果面對垂直于河岸的方向游，是不可能到達A點的
B. 小伙子渡河的時間一定為8s
C. 小伙子在靜水中游泳的速度至少應為，才能沿直線勻速游到A處
D. 只有小伙子總面對著A處游，沿直線勻速游到A處
【參考答案】C
【名師解析】
由題可知，設小伙子在靜水中的游泳的速度為，小伙子的合運動方向是從B到A，作出小伙子游泳時合速度與兩個分速度的關系如圖所示：
當與合速度垂直時，有最小值，設AB與河岸的夾角為，根據幾何關系有
即游泳時小伙子面對的方向是與合速度方向垂直，最小速度為，故C正確；
小伙子如果面對垂直于河岸的方向游，若相對于靜水的速度為
此時恰好到達A點，故A錯誤；
只有小伙子在靜水中速度垂直于河岸時，小伙子渡河的時間為
小伙子在靜水中的速度不與河岸垂直時，小伙子渡河的時間不等于8s，故B錯誤；
若小伙子總面對著A處游，且速度一定時，由于兩個勻速直線運動的合運動仍然為勻速直線運動，可知，其軌跡為一條直線，根據運動的合成可知，此時其合速度方向指向A點右側，即到達不了A處，故D錯誤。
4. (2021·湖北省隨州市高一月考)新冠疫情居家期間，某人為鍛煉身體設計了如圖所示的裝置，在水平地面上豎直固定直桿A和B。將重物套在桿A上，在桿B的頂端固定一輕滑輪，繩子的一端連接重物，跨過定滑輪后另一端系在腰上。開始時，重物在水平地面上，人以恒定的速度v0向左運動，當繩子與桿A的夾角θ＝60°時重物的速度為v，加速度為a，規定向上為重物速度、加速度的正方向。下列說法正確的是(　　)
A．v＝v0 B．v＝v0
C．a>0 D．a<0
答案　C
解析　重物沿桿A向上運動，沿繩子方向的分速度等于v0，即v cos θ＝v0，所以v＝，當θ＝60°時，v＝2v0，故A、B錯誤；重物沿桿A向上運動，繩子與桿A的夾角θ增大，由v＝，可知重物運動的速度增大，所以重物做加速運動，a>0，故C正確，D錯誤。
5.　(多選)下列圖中實線為河岸，河水的流動方向如圖中v的箭頭所示，虛線為小船從河岸M駛向對岸N的實際航線。則其中可能正確的是(　　)
答案　AB
解析　小船渡河的運動可看作小船隨水漂流的運動和小船沿船頭運動的合運動。虛線為小船從河岸M駛向對岸N的實際航線，小船合運動的速度方向就是其實際運動的方向，分析可知，實際航線可能正確的是A、B。
6. [2020·安徽江淮十校二聯]如圖所示，重物M沿豎直桿下滑，并通過一根不可伸長的細繩帶動小車沿水平面向右運動．若當滑輪右側的繩與豎直方向成β角，且重物下滑的速率為v時，滑輪左側的繩與水平方向成α角，則小車的速度為(　　)
A. B.
C. D.
【參考答案】．D　
【名師解析】將速度v車和v按運動效果分解如圖1、圖2所示，由圖2知沿繩方向v1＝vcos β，同理由圖1知v3＝v車cos α，因為繩不可伸長，故沿繩方向速度大小相等，v1＝v3，所以v車cos α＝vcos β，所以v車＝，故D正確．
7．(2023山東泰安名校聯考)如圖所示,頂角θ=60°、光滑V字形軌道AOB固定在豎直平面內,且AO豎直。一水平桿與軌道交于M、N兩點,已知桿自由下落且始終保持水平,經時間t速度由6 m/s增大到14 m/s(桿未觸地),則在0.5t時,觸點N沿傾斜軌道運動的速度大小為(g取10 m/s2)(　　)
A.10 m/s B.17 m/s
C.20 m/s D.28 m/s
【參考答案】C
【名師解析】　桿自由下落,由運動學公式有v=v0+gt,則t== s=0.8 s;則在0.5t時,桿的下落速度v'=v0+g·=6 m/s+10×0.4 m/s=10 m/s;根據運動的分解,桿下落的速度可分解成如圖所示的兩分運動,觸點N沿傾斜軌道運動的速度大小v″== m/s=20 m/s,故C正確,A、B、D錯誤。
8. (2023陜西寶雞名校聯考)如圖10所示，水平光滑長桿上套有一物塊Q，跨過懸掛于O點的輕小光滑圓環的輕繩一端連接Q，另一端懸掛一物塊P。設輕繩的左邊部分與水平方向的夾角為θ，初始時θ很小?，F將P、Q由靜止同時釋放，關于P、Q以后的運動下列說法正確的是(　　)
A.當θ＝60°時，P、Q的速度之比是∶2
B.當θ＝90°時，Q的速度最大
C.當θ＝90°時，Q的速度為零
D.當θ向90°增大的過程中Q的合力一直增大
【參考答案】B
【名師解析】　P、Q用同一根繩連接，則Q沿繩子方向的速度與P的速度大小相等，則當θ＝60°時，Q的速度vQcos 60°＝vP，解得＝，故選項A錯誤；當θ＝90°時，即Q到達O點正下方，垂直Q運動方向上的分速度為0，即vP＝0，此時Q的速度最大，故選項B正確，C錯誤；當θ向90°增大的過程中Q的合力逐漸減小，當θ＝90°時，Q的速度最大，加速度為零，合力為零，故選項D錯誤。
9　如圖所示為某公園的噴水裝置，若水從噴水口中水平噴出，忽略空氣阻力及水之間的相互作用，下列說法中正確的是(　　)
A．噴水口高度一定，噴水速度越大，水從噴出到落入池中的時間越短
B．噴水口高度一定，噴水速度越大，水噴得越近
C．噴水速度一定，噴水口高度越高，水噴得越近
D．噴水口高度一定，無論噴水速度多大，水從噴出到落入池中的時間都相等
答案　D
解析　由題意可將水從噴水口中水平噴出后的運動看成平拋運動，豎直方向做自由落體運動，水平方向做勻速直線運動，則豎直方向有：h＝gt2，得t＝，可知水從噴出到落入池中的時間由噴水口高度決定，與噴水速度無關，所以噴水口高度一定，水從噴出到落入池中的時間一定，故A錯誤，D正確。水平方向有：x＝v0t＝v0 ，則知噴水口高度一定，噴水速度越大，水噴得越遠；噴水速度一定，噴水口高度越高，水噴得越遠，故B、C錯誤。
10　如圖所示，某次球與墻壁上A點碰撞后水平彈離，恰好垂直落在球拍上的B點。已知球拍與水平方向的夾角θ＝60°，A、B兩點間的高度差h＝1 m，忽略空氣阻力，重力加速度g取10 m/s2，則球剛要落到球拍上時速度的大小為(　　)
A．2 m/s B．2 m/s
C．4 m/s D． m/s
答案　C
解析　球的運動示意圖如圖所示，由題意知球在空中做平拋運動，根據h＝gt2，得時間t＝＝ s＝ s，球剛要落到球拍上時豎直分速度vy＝gt＝10× m/s＝2 m/s，根據平行四邊形定則知，速度的大小v＝＝4 m/s，故C正確，A、B、D錯誤。
11　如圖所示，墻壁上落著兩只飛鏢，它們是從同一位置水平射出的，飛鏢A與豎直墻壁成53°，飛鏢B與豎直墻壁成37°，兩者相距為d。假設飛鏢的運動是平拋運動，求射出點離墻壁的水平距離。(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
答案　d
解析　飛鏢與墻壁的夾角為平拋運動物體速度與墻壁所成的角，由于水平位移相同，故速度反向延長線必交于水平位移上的同一點。將兩只飛鏢的速度反向延長與初速度的延長線交于一點C，作出如圖所示情景圖。設總的水平距離為x，CD＝，BD＝CD·cot 37°，AD＝CD·cot 53°，且BD－AD＝d，聯立解得x＝d。
12. （2022南京金陵中學4月模擬）如圖所示，、兩點在同一豎直線上，現同時分別在、兩點拋出兩個小球甲、乙，甲球的速度大小為，方向水平向右，乙球的速度大小為，方向與水平方向的夾角為斜向右上方，兩球在點（未畫出）相碰。已知碰前瞬間乙球速度方向水平，則下列判斷正確的是（　　）
A. 、兩點豎直方向的距離大于、兩點豎直方向的距離
B. 甲、乙兩球相碰前瞬間甲球的速率與乙球速率相等
C. 甲、乙兩球自拋出至相碰前瞬間速度變化不相等
D. 甲、乙兩球拋出時的速度大小與之比為
【參考答案】D
【名師解析】
兩球在運動過程中的加速度都為重力加速度，兩球同時拋出到相碰，兩球運動的時間相同，根據
可知甲、乙兩球自拋出至相碰前瞬間速度變化相等，C錯誤；
由題意可知甲、乙兩球自拋出至相碰前瞬間，兩球在水平方向通過的水平位移相等，則有
可得
D正確；
已知碰前瞬間乙球速度方向水平，可知從拋出到相碰所用時間為
兩球相碰前瞬間乙球的速率為
甲球的速率為
B錯誤；
、兩點豎直方向的距離為
、兩點豎直方向的距離為
可知、兩點豎直方向的距離等于、兩點豎直方向的距離，A錯誤。
14.（2023山東濟南重點高中質檢） 從某一高度處水平拋出一物體，它落地時速度是50 m/s，方向與水平方向成53°角。（不計空氣阻力，g取10 m/s2，cos 53°=0.6，sin 53°=0.8）求：
(1)拋出點的高度和水平射程；
(2)拋出后3 s末的速度；
(3)拋出后3 s內的位移。
【答案】(1)80 m，120 m；(2)30 m/s，與水平方向的夾角為45°；
(3)45 m，與水平方向的夾角的正切值為
【解析】
(1)設落地時豎直方向的速度為vy，水平速度為v0，則有
拋出點的高度為
水平射程
(2)設拋出后3 s末的速度為v3，則豎直方向的分速度
拋出后3 s末的速度
設速度方向與水平方向的夾角為α，則
故
(3)3 s內物體的水平位移
豎直方向位移
故物體在3 s內的位移
設位移方向與水平方向的夾角為θ，則
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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