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高中物理必修二素養提升學案
第五章 拋體運動
5.4. 拋體運動的規律（一）
【課標解讀】
1.理解平拋運動的特點和規律。
2.讓學生能根據運動合成與分解的方法探究出平拋運動的一般規律。
3.能用平拋運動的規律解決實際問題。
【核心素養】
物理觀念：用“演繹推理”的方法生成平拋運動的規律，使學生親歷物理觀念建立的過程。
科學思維：利用已知的直線運動的規律來研究復雜的曲線運動，滲透“化曲為直”“化繁為簡”“等效替換”等重要的物理思想。
科學探究：通過實例分析再次體會平拋運動的規律。
科學態度與責任：通過對平拋運動的規律的建立，增強學生學習物理的興趣，感受學習成功的快樂。
【知識點探究】
一　平拋運動的速度
1．平拋運動的特點：平拋運動可以看作是水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動的合運動。
2．平拋運動的速度
(1)水平方向：vx＝v0。
(2)豎直方向：vy＝gt。
(3) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(大小：v＝ \r(v＋v)＝\o(□,\s\up3(05))\r(v＋g2t2),方向：tan θ＝\f(vy,vx)＝\o(□,\s\up3(06))\f(gt,v0)))
二　平拋運動的位移與軌跡
1．平拋運動的位移
(1)水平方向：x＝v0t。
(2)豎直方向：y＝gt2。
(3)合位移
2．平拋運動的軌跡：由x＝v0t，y＝gt2，得y＝ eq \f(g,2v)x2，所以平拋運動的軌跡是一條拋物線。
【課堂互動】
課堂任務1　平拋運動的速度、位移和軌跡
仔細觀察下列圖片，認真參與“課堂互動”。
活動1：曲線運動一般的解決方法是什么？
提示：化曲為直法。就是把復雜的曲線運動問題分解為比較簡單的直線運動來處理。
活動2：由活動1的思路，試總結出如圖平拋運動中水平方向的運動結論。
提示：因為水平方向不受力，故水平方向做勻速直線運動，速度vx＝v0，位移x＝v0t。
活動3：由活動1的思路，試總結出如圖平拋運動中豎直方向的運動結論。
提示：由于豎直方向初速度為零，只受重力作用，故豎直方向做自由落體運動，速度vy＝gt，位移y＝gt2。
活動4：由以上結論可以得出平拋運動的軌跡方程是什么？它的軌跡有什么特點？
提示：將x＝v0t，y＝gt2聯立消去t可得平拋運動的軌跡方程為y＝ eq \f(g,2v)x2，式中g、v0都是常量，可知它的軌跡是一條拋物線。
【總結提升】
1．平拋運動的研究方法
(1)由于平拋運動是勻變速曲線運動，速度、位移的方向時刻發生變化，無法直接應用運動學公式，因此研究平拋運動問題時采用運動分解的方法，“化曲為直”法是我們解決所有曲線運動問題的一個重要方法。
(2)將平拋運動分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動。這是我們解決平拋運動問題的基本方法。
2．平拋運動的特點
(1)速度特點：平拋運動的速度大小和方向都不斷變化，故它是變速運動。
(2)軌跡特點：平拋運動的運動軌跡是曲線，故它是曲線運動。
(3)加速度特點：平拋運動的加速度為自由落體加速度，恒定不變，故它是勻變速運動。
綜上所述，平拋運動為勻變速曲線運動。
3.平拋運動的速度變化特點：任意兩個相等的時間間隔內速度的變化相同，Δv＝gΔt，方向豎直向下，如圖所示。公式a＝在曲線運動中仍適用，只是要注意a與Δv的矢量性。
4．平拋運動的時間、水平位移、落地速度的決定因素
(1)運動時間：由y＝gt2得t＝ ，做平拋運動的物體在空中運動的時間只與下落的高度有關，與初速度的大小無關。
(2)水平位移：x＝v0t＝v0，做平拋運動的物體的水平位移由初速度v0和下落的高度y共同決定。
(3)落地速度：v＝ eq \r(v＋v)＝ eq \r(v＋2gy)，即落地速度由初速度v0和下落的高度y共同決定。
5．平拋運動的規律
注意：①θ為速度方向與x軸的夾角，α為位移方向與x軸的夾角；②解題時靈活處理，例如平拋運動中，豎直方向的分速度vy＝gt，除該公式外，如果知道高度，還可以根據vy＝計算。
6．平拋運動的軌跡
由水平分位移x＝v0t和豎直分位移y＝gt2可知平拋運動的軌跡方程為y＝ eq \f(g,2v)x2，其中g、v0是常量，則y x圖線是二次函數圖線，即平拋運動的軌跡是一條拋物線。
【典例分析】
例1　家長與小朋友做沙包拋擲的游戲，游戲時家長與小朋友站在相距3 m的場地兩端，家長在離地1.5 m處將質量為100 g的沙包水平扔出，正好落入小朋友手中距地面0.7 m高的塑料筐中。重力加速度g取10 m/s2，不計空氣阻力。下列說法正確的是(　　)
A．沙包從拋出至落入筐中用時0.55 s
B．家長水平扔出沙包的速度大小為6.2 m/s
C．沙包即將落入筐中時的速度大小為7.5 m/s
D．沙包從拋出至落入筐中速度的變化量大小為4 m/s
【思路分析】 (1)如何求平拋運動的時間和初速度？
提示：根據y＝gt2、x＝v0t求解。
(2)求平拋運動速度的變化量有哪幾種方法？
提示：根據Δv＝gΔt或Δv＝ eq \r(v2－v)求解。
【解析】　根據平拋運動的規律有h＝gt2，x＝v0t，代入數據可得t＝0.4 s，v0＝7.5 m/s，故A、B錯誤；沙包即將落入筐中時，水平方向的速度大小vx＝v0＝7.5 m/s，豎直方向的速度大小vy＝gt＝4 m/s，合速度大小v合＝ eq \r(v＋v)>v0＝7.5 m/s，C錯誤；沙包從拋出至落入筐中，速度的變化量大小為Δv＝gt＝4 m/s，D正確。
[答案]　D
【規律點撥】
平拋運動的飛行時間由豎直高度決定。水平位移由豎直高度和初速度共同決定。
課堂任務2　平拋運動的兩個重要推論
仔細觀察下列圖片，認真參與“師生互動”。
活動1：如圖所示，速度偏向角的正切值是什么？速度的反向延長線在x軸上的交點有什么特點？
提示：從速度的分解來看，速度偏向角的正切值
tan θ＝＝。①
將代表速度矢量v的箭頭反向延長，速度偏向角的正切值還可以用長度之比來表示，即
tan θ＝＝，②
聯合①②解得＝v0t＝xA，
即速度的反向延長線過水平位移的中點。
活動2：如圖所示，速度偏向角與位移偏向角之間的關系怎樣？
提示：由活動1知速度偏向角的正切值tan θ＝，①
由圖知位移偏向角的正切值tan α＝＝＝。②
比較①②可得tan θ＝2tan α。
【規律總結】
1．推論一：做平拋運動的物體任一時刻的瞬時速度的反向延長線一定通過此時水平位移的中點。
2．推論二：做平拋運動的物體在任一時刻任一位置處，設其速度、位移與水平方向的夾角分別為θ、α，則tan θ＝2tan α。
【典例分析】
例2　如圖所示，從傾角為θ的斜坡上某點先后將同一石子以不同的初速度水平拋出，石子均落在斜坡上，當拋出的速度為v1時，石子到達斜坡時速度方向與斜坡的夾角為α1；當拋出速度為v2時，石子到達斜坡時速度方向與斜坡的夾角為α2，則(不計空氣阻力)(　　)
A．當v1>v2時，α1>α2
B．當v1>v2時，α1<α2
C．無論v1、v2關系如何，均有α1＝α2
D．α1、α2的關系與斜坡傾角θ有關
【思路分析】
(1)石子位移是什么方向？初速度是什么方向？位移與水平方向的夾角有什么特點？
提示：石子的起點和終點都在斜坡上，位移沿斜坡向下，石子初速度是水平方向，不管速度多大，位移與水平方向的夾角都等于斜坡的傾角。
(2)平拋運動中速度的偏向角和位移的偏向角有什么關系，會因為初速度不同發生變化嗎？
提示：只要是平拋運動，運動中速度的偏向角與位移的偏向角一定滿足tan θ＝2tan α(θ、α分別為速度、位移的偏向角)，與初速度無關。
【解析】　石子從斜坡某點水平拋出后落到斜坡上，石子的位移與水平方向的夾角等于斜坡傾角θ，即tan θ＝＝＝，石子落到斜坡上時速度方向與水平方向的夾角為θ＋α，則tan (θ＋α)＝＝，故可得tan (θ＋α)＝2tan θ，只要石子落到斜坡上，位移方向與水平方向夾角就總是θ，則石子的速度方向與水平方向的夾角也總是θ＋α，故速度方向與斜坡的夾角就總是相等，與v0的大小無關，C正確。
[答案]　C
【關鍵點撥】
運用推論二的關鍵是找準位移偏向角與速度偏向角，再分析判斷問題。
課堂任務3　有斜面、曲面約束的平拋運動問題
仔細觀察下列圖片，認真參與“課堂互動”。
活動1：圖甲中到達斜面時速度偏向角θ與斜面傾角α有什么關系？
提示：由課堂任務2里的討論知道，α就是位移的偏向角。故有tan θ＝2tan α。
活動2：圖甲中到達斜面時水平位移和豎直位移有什么關系？
提示：由于＝tan α，所以落到斜面的水平位移和豎直位移比值始終不變。
活動3：圖乙中到達斜面的水平速度和豎直速度有什么關系？
提示：由于＝tan θ，所以到達斜面的水平速度和豎直速度比值始終不變。
【總結提升】
1．斜面、曲面對平拋運動約束的常見情境
(1)給出末速度方向
(2)給出位移方向
2．基本求解思路
(1)給出末速度方向
①畫速度分解圖，確定速度與水平方向的夾角θ；
②根據水平方向和豎直方向的運動規律分析vx、vy；
③根據tan θ＝列方程求解。
(2)給出位移方向
①畫位移分解圖，確定位移與水平方向的夾角α；
②根據水平方向和豎直方向的運動規律分析x、y；
③根據tan α＝列方程求解。
【典例分析】
例3　(2021·鄂爾多斯西部四校高一下期末)2022年將在北京舉辦第24屆冬奧會，其中一項比賽是跳臺滑雪，它是利用依山勢特別建造的跳臺進行的。運動員穿著專用滑雪板，不帶雪杖在助滑路上獲得高速后水平飛出，在空中飛行一段距離后著陸。這項比賽極為壯觀。設一位運動員由山坡頂的A點沿水平方向飛出，到山坡上的B點著陸。如圖所示。已知運動員水平飛出的速度為v0＝20 m/s，山坡傾角為θ＝37°，山坡可以看成一個斜面。(g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：
(1)運動員在空中飛行的時間t；
(2)A、B間的距離s；
(3)運動員經多長時間離斜面的距離最遠？
【思路分析】
(1)運動員的位移是什么？
提示：斜坡上A點到B點的距離即為運動員的位移大小，沿斜面向下即為位移的方向。
(2)水平方向的位移x和豎直方向的位移y有什么關系？
提示：tan 37°＝。
(3)運動員在垂直于斜面的方向做什么運動？
提示：初速度為v0sin θ，加速度為－g cos θ的勻變速直線運動。
【解析】　(1)設A、B間的豎直高度為h，水平距離為x，
豎直方向有h＝gt2
水平方向有x＝v0t
由幾何關系，得tan θ＝
聯立并代入數據解得t＝3 s。
(2)根據幾何關系有s＝
聯立并代入數據解得s＝75 m。
(3)當運動員速度與斜面平行，即垂直于斜面向上的速度減為零時運動員離斜面最遠，設此時運動員經過的時間為t′，將運動員的平拋運動沿平行于斜面和垂直于斜面方向分解，在垂直于斜面方向有
0－v0y＝－gyt′
其中v0y＝v0sin θ
gy＝g cos θ
聯立并代入數據解得t′＝1.5 s。
[答案]　(1)3 s　(2)75 m　(3)1.5 s
【規律總結】
物體從斜面平拋后又落到斜面上時的速度方向與斜面夾角恒定；當速度平行于斜面時，物體離斜面最遠。
【課堂檢測】
1、決定平拋運動時間的是（ ）
A．拋出時的初速度 B．拋出時的高度
C．拋出時的初速度和高度 D．以上說法都不正確
答案：B
解析：根據h=知，平拋運動的時間t由高度h決定，與初速度v0無關。故B正確，A. C. D錯誤。
2、從水平勻速飛行的直升飛機上向外自由釋放一個物體,不計空氣阻力,在物體下落過程中,下列說法正確的是( )
A.從飛機上看,物體做自由落體運動
B.從飛機上看,物體始終在飛機的后方
C.從地面上看,物體做平拋運動
D.從地面上看,物體做自由落體運動
答案：AC
解析：由于慣性物體在釋放后在水平方向做勻速直線運動，故在水平方向和飛機不發生相對運動．而物體在豎直方向初速度為0，加速度為g，故在豎直方向做自由落體運動．所以從飛機上看，物體做自由落體運動．故A正確，B錯誤．從地面上看物體物體做平拋運動，故C正確而D錯誤．
3、在任意相等時間內,物體的速度變化不相同的運動是( )
A.勻減速直線運動 B.勻速圓周運動
C.平拋運動 D.自由落體運動
答案：B
解析：.勻減速直線運動的加速度不變,據知,勻減速直線運動,在任意相等時間內,物體的速度變化相等。.勻速圓周運動的加速度變化(大小不變,方向不斷變化),據知,勻速圓周運動,在任意相等時間內,物體的速度變化不相等。.平拋運動的加速度不變,據知,平拋運動,在任意相等時間內,物體的速度變化相等。D.自由落體運動的加速度不變,據知,自由落體運動,在任意相等時間內,物體的速度變化相等。綜上,在任意相等時間內,物體的速度變化不相同的運動是勻速圓周運動。故B項運動在任意相等時間內,物體的速度變化不相同，此題選擇B。
4、在水平勻速飛行的飛機上，相隔1s先后落下物體A和B，不考慮空氣阻力對兩物體運動的影響，在落地前，A物體將( )
A.處在B物體的后下方 B.處在B物體的正上方
C.處在B物體的前下方 D.處在B物體的正下方
答案：D
解析：A和B都做平拋運動，在水平方向的運動都是勻速直線運動，所以在水平方向的運動情況是一樣的，只是在豎直方向運動的時間不一樣，所以A將始終在B物體正下方，故D正確．
5、如圖所示,某同學對著墻壁練習打乒乓球,某次球與墻壁上A點碰撞后水平彈離,恰好垂直落在球拍上的B點,已知球拍與水平方向夾角,兩點高度差,忽略空氣阻力,重力加速度,則球剛要落到球拍上時速度大小為( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：根據得,豎直分速度,剛要落到球拍上時的速度大小,C正確,ABD錯誤。
6.（2023山東濰坊期中）質點做平拋運動的初速度為v1.3s末時的速度為v2..。下列四個圖中能夠正確反映拋出時刻1s末、2s末、3s末速度矢量的示意圖是
【答案】D
【解析】平拋運動所受合力為重力，其加速度為g，在1s時間內速度變化的大小相等，速度變化的方向向下，所以能夠正確反映拋出時刻1s末、2s末、3s末速度矢量的示意圖是圖D。
7. （2023山東濟南名校聯考）如圖所示，在高處以某一初速度水平拋出一石子，當它的速度由水平方向變化為與水平方向成θ角的過程中，石子水平方向位移為x，則下列說法正確的是（已知當地的重力加速度為g，不計空氣阻力）（　　）
A. 石子運動時間為 B. 石子運動時間為
C. 石子初速度 D. 石子初速度
【答案】AC
【解析】
石子做平拋運動，設位移方向與水平方向的夾角為α，則
即
所以
石子的初速度為，故選AC。
8. （2022河北唐山三模）滑雪運動員以20m/s的速度從一平臺水平飛出，落地點與飛出點的高度差3.2m。不計空氣阻力，g取10m/s2。運動員飛過的水平距離為s，所用時間為t，則（　　）
A. s=16m，t=0.50s B. s=16m，t=0.80s
C. s=20m，t=0.50s D. s=20m，t=0.80s
【答案】B
【解析】
運動員做平拋運動，在豎直方向上做自由落體運動，而落地點與飛出點的高度差3.2m，則由
解得運動員運動時間為
運動員在水平方向上做勻速直線運動，所以飛過的水平距離為故選B。
9. （2022山東棗莊二模）如圖所示，蜘蛛在豎直墻壁與地面之間結網時，為拉出的第一根直線蛛絲，與水平地面之間的夾角為．A點到地面的距離為。取重力加速度，空氣阻力不計，。若蜘蛛從豎直墻壁上距地面的C點以水平速度跳出，要落到蛛絲上，則水平速度至少為（　　）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
平拋的運動軌跡如下所示：
AC之間的距離為
1.2m-1m=0.2m
由圖可知
x=（y+0.2）tan37°
根據平拋運動規律有：
x=v0t
y=gt2
聯立解得
v0=1.5m/s
C正確，ABD錯誤。
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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