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高中物理必修二素養提升學案
第五章 拋體運動
5.2. 運動的合成與分解
【課標解讀】
1.通過蠟塊在平面內運動的實驗探究過程總結出運動的合成與分解的規律。
2.掌握運動的合成與分解的規律。
3.并且運用運動的合成與分解的規律來解決速度關聯、小船渡河等實際問題。
【核心素養】
物理觀念:掌握運動的合成與分解的規律，并且運用運動的合成與分解的規律來解決速度關聯、小船渡河等實際問題，形成運動的合成與分解的觀念。
科學思維：通過探究的過程，讓學生體會得到結論的科學方法：歸納法。
科學探究：通過蠟塊在平面內運動的實驗探究過程總結出運動的合成與分解的規律。
科學態度與責任：能領略曲線運動的奇妙與和諧，發展對科學的好奇心與求知欲。
【知識點探究】
一、蠟塊在平面的運動
在蠟塊勻速上升的同時，將玻璃管緊貼著黑板沿水平方向向右勻速移動。
1．建立坐標系：以蠟塊開始勻速運動的位置為原點O，以水平向右的方向和豎直向上的方向分別為x軸和y軸的方向，建立平面直角坐標系。
2．蠟塊運動的軌跡：若以vx表示玻璃管向右移動的速度，以vy表示蠟塊沿玻璃管上升的速度，則有x＝vxt，y＝vyt。消去t，得到y＝x，可知蠟塊的運動軌跡是直線。
3．蠟塊運動的速度：v＝ eq \r(v＋v)，方向滿足tan θ＝。
二、運動的合成與分解
1．合運動與分運動：如果一個物體同時參與幾個運動，那么物體實際發生的運動就叫作那幾個運動的合運動。那幾個運動就叫作這個實際運動的分運動。
2．運動的合成：由分運動求合運動的過程。
3．運動的分解：由合運動求分運動的過程。
4．運動的合成與分解實質是對物體的速度、加速度、位移等物理量進行合成與分解。
5．運動的合成與分解遵從矢量運算法則。
【效果檢測】下列說法，正確的劃“√”，錯誤的劃“×”。
(1)合速度等于兩個分速度的代數和。(　　)
(2)合速度不一定大于任一分速度。(　　)
(3)合位移一定大于任意一個分位移。(　　)
(4)運動的合成就是把兩個分運動加起來。(　　)
(5)運動的分解就是把一個運動分成兩個完全相同的運動。(　　)
(6)運動的合成與分解遵循平行四邊形定則。(　　)
提示：(1)×　合速度是各分速度的矢量和，而不是代數和。
(2)√當兩個分速度方向相反時，合速度一定小于一分速度。
(3)×　根據矢量三角形可知，合位移不一定大于任一分位移。
(4)×　運動的合成遵從平行四邊形定則，而不是簡單相加。
(5)×　運動的分解就是把一個運動分成兩個運動，這兩個運動可以相同，可以不相同。
(6)√ 描述運動的物理量是位移、速度、加速度，這些物理量都是矢量，矢量的合成與分解遵循平行四邊形定則，所以運動的合成與分解遵循平行四邊形定則。
【課堂互動】
課堂任務1　運動的合成與分解
仔細觀察下列圖片，認真參與“課堂互動”。
活動1：如果玻璃管沿水平方向勻速運動，蠟塊實際的運動會怎么樣？
提示：蠟塊參與了兩個運動，分別是水平方向的勻速直線運動和豎直方向的勻速直線運動。蠟塊實際上做勻速直線運動，如圖乙中斜線。
活動2：如果玻璃管沿水平方向做加速運動，蠟塊的運動又會怎么樣？
提示：玻璃管沿水平方向做加速運動，蠟塊也被迫在水平方向做加速運動，這樣，蠟塊運動到玻璃管頂部的過程不再是條直線而是曲線。
活動3：怎么求蠟塊經過一段時間后的位移和速度？
提示：可以建立平面直角坐標系，分別求蠟塊經過一段時間后在兩個方向的位移和速度，再求合位移、合速度即可。
【總結提升】
1．合運動與分運動的關系
(1)等時性：合運動與分運動經歷的時間相等，即同時開始、同時進行、同時停止。
(2)獨立性：各分運動之間互不相干、彼此獨立、互不影響。
(3)等效性：各分運動的共同效果與合運動的效果相同。
2．合運動性質的判斷
分析兩個直線運動的合運動的性質時，應先根據平行四邊形定則，求出合運動的合初速度v0與合加速度a，然后進行判斷。
(1)判斷是否做勻變速運動
①若a＝0，物體沿合初速度v0的方向做勻速直線運動。
②若a≠0且a恒定，物體做勻變速運動。
③若a變化，物體做非勻變速運動。
(2)判斷軌跡的曲直
①若a與v0在同一直線上，物體做直線運動。
②若a與v0不在同一直線上，物體做曲線運動。
3．合位移和合速度的計算
位移和速度的合成與分解都遵循平行四邊形定則。例如：上圖中蠟塊在水平和豎直兩個方向均做勻速直線運動時，設速度分別為vx、vy，則經過時間t，蠟塊在水平方向的位移x＝vxt，豎直方向的位移y＝vyt，蠟塊的合位移為l＝＝ eq \r(v＋v) t，設位移與水平方向的夾角為α，則tan α＝＝，蠟塊的合速度v＝ eq \r(v＋v)，合速度方向與vx方向的夾角θ的正切值為tan θ＝。
4．運動的分解：運動的分解是運動合成的逆運算，利用運動的分解可以將曲線運動問題轉化為直線運動問題。
【典例分析】
例1　(多選)質量為2 kg的質點在xOy平面內做曲線運動，在x方向的速度圖像和y方向的位移圖像如圖所示，下列說法正確的是(　　)
A．質點的初速度大小為5 m/s
B．質點所受的合力為3 N，做勻變速曲線運動
C．2 s末質點速度大小為6 m/s
D．2 s內質點的位移大小約為12 m
【解析思路】 (1)通過速度圖像能看出什么？
提示：質點在x方向的初速度為3 m/s，加速度為a＝ m/s2＝1.5 m/s2。
(2)通過位移圖像能看出什么？
提示：質點在y方向做勻速直線運動，速度大小為v＝ m/s＝4 m/s。
【解析】　由x方向的速度圖像可知，質點在x方向的初速度為3 m/s，加速度為1.5 m/s2，受力Fx＝3 N，由y方向的位移圖像可知，質點在y方向做勻速直線運動，速度為vy＝－4 m/s，受力Fy＝0。因此質點的初速度大小為5 m/s，A正確；受到的合力為3 N，顯然，質點初速度方向與合力方向不在同一條直線上，質點做勻變速曲線運動，B正確；2 s末質點速度大小應該為v＝ m/s＝2 m/s，C錯誤；2 s內，x＝vx0t＋at2＝9 m，y＝－8 m，合位移大小l＝＝ m≈12 m，D正確。
[答案]　ABD
【規律點撥】　　　　　
求解合運動或分運動的步驟
(1)根據題意確定物體的合運動與分運動。
(2)根據平行四邊形定則作出矢量合成或分解的平行四邊形。
(3)根據所畫圖形求解合運動或分運動的參量，若兩個分運動相互垂直，則合速度的大小v＝ eq \r(v＋v)，合位移的大小s＝ eq \r(s＋s)。
【變式訓練1】　如圖所示，乒乓球從斜面上滾下，以一定的速度沿直線運動。在與乒乓球路徑相垂直的方向上放一個紙筒(紙筒的直徑略大于乒乓球的直徑)，當乒乓球經過筒口正前方時，對著球橫向吹氣，則關于乒乓球的運動，下列說法中正確的是(　　)
A．乒乓球將保持原有的速度繼續前進
B．乒乓球將偏離原有的運動路徑，但不進入紙筒
C．乒乓球一定能沿吹氣方向進入紙筒
D．只有用力吹氣，乒乓球才能沿吹氣方向進入紙筒
答案　B
解析　當乒乓球經過筒口正前方時，對著球橫向吹氣，乒乓球沿著原方向做勻速直線運動的同時也會沿著吹氣方向做加速運動，實際運動是兩個運動的合運動，故一定不會進入紙筒，A、C、D錯誤，B正確。
課堂任務2　小船渡河與關聯速度問題
仔細觀察下列圖片，認真參與“課堂互動”。
活動1：圖甲反映的是小船渡河的什么情況？
提示：圖甲反映的是小船渡河的分速度與合速度的情況。
活動2：圖乙反映的是什么情況？
提示：圖乙反映的是小船靠岸時的分運動與合運動的情況。
活動3：甲、乙兩圖的共同點是什么？
提示：物體的運動(合運動)都相當于參與了兩個分運動，合運動或所有分運動的情況反映物體的運動規律。
【總結提升】
1．小船渡河問題
(1)三個速度：v船(船在靜水中的速度)、v水(水流速度)、v合(船的實際速度)。
(2)兩個問題
①渡河時間
a．船頭與河岸成α角時，渡河時間為t＝(d為河寬)。
b.船頭正對河岸時，渡河時間最短，tmin＝(d為河寬)。
②最短航程
a．若v水＜v船，則當合速度v合垂直于河岸時，航程最短，xmin＝d。船頭指向上游與河岸的夾角α滿足cos α＝。如圖①所示。
b．若v水＞v船，則合速度不可能垂直于河岸，無法垂直渡河。如圖②所示，以v水矢量的末端為圓心、以v船矢量的大小為半徑畫圓弧，從v水矢量的始端向圓弧作切線，則合速度沿此切線方向時航程最短，由圖可知船頭指向上游與河岸的夾角α滿足cos α＝，最短航程xmin＝＝d。
2．關聯速度問題
(1)對關聯速度的理解
用繩、桿相牽連的物體在運動過程中的速度通常不同，但兩物體沿繩或桿方向的分速度大小相等。
(2)關聯速度問題的解題步驟
①確定合速度：牽連物端點的速度(即所連接物體的實際速度)是合速度。
②分解合速度：按平行四邊形定則進行分解，作好矢量圖。合運動所產生的實際效果：一方面產生使繩或桿伸縮的效果；另一方面產生使繩或桿轉動的效果。兩個分速度的方向：沿繩或桿方向和垂直于繩或桿方向。常見的模型如圖所示：
③沿繩或桿方向的分速度大小相等，列方程求解。例如：v＝v∥(圖甲)；v∥＝v∥′(圖乙、丙)。
【典例分析】
例2　一小船渡河，河寬d＝180 m，水流速度v1＝2.5 m/s，船在靜水中的速度為v2＝5 m/s，則：
(1)欲使船在最短的時間內渡河，船頭應朝什么方向？用多長時間？位移是多少？
(2)欲使船渡河的航程最短，船頭應朝什么方向？用多長時間？位移是多少？
(3)如果其他條件不變，水流速度變為6 m/s。船過河的最短時間和最小位移是多少？
【思路分析】(1)小船渡河時同時參與了幾個分運動？如何渡河時間最短？
提示：參與了兩個分運動，一個是船相對水的運動(即船在靜水中的運動)，一個是船隨水漂流的運動(即水的運動)。當v船垂直于河岸時到達對岸用時最短，最短時間與v水無關。
(2)當v水提示：當v水【解析】　(1)欲使船在最短時間內渡河，船頭應朝垂直河岸方向。當船頭垂直河岸時，如圖甲所示。
時間t＝＝ s＝36 s，v合＝ eq \r(v＋v)＝ m/s，
位移為x＝v合t＝90 m。
(2)欲使船渡河航程最短，應使合運動的速度方向垂直河岸，船頭應朝上游與河岸成某一夾角β，如圖乙所示，有v2cos β＝v1，得β＝60°。
最小位移為xmin＝d＝180 m，
所用時間t′＝＝＝ s＝24 s。
(3)最短渡河時間只與v2有關，與v1無關，當船頭垂直于河岸渡河時時間最短，t＝＝36 s；
當水流速度變為6 m/s時，v1＞v2，則合速度不可能垂直于河岸，無法垂直渡河。如圖丙所示，以v1矢量的末端為圓心、以矢量v2的大小為半徑畫弧，從v1矢量的始端向圓弧作切線，則合速度沿此切線方向時航程最短，設船頭與上游河岸夾角為α，則cos α＝，最小位移為xmin＝＝d＝×180 m＝216 m。
[答案]　(1)船頭朝垂直于河岸方向　36 s　90 m
(2)船頭偏向上游，與河岸夾角為60°　24 s　180 m
(3)36 s　216 m
【規律總結】　　　　　
小船渡河的最短時間與最短航程
(1)不論水流速度多大，船頭垂直于河岸渡河，時間最短，tmin＝，且這個時間與水流速度大小無關。
(2)當v水＜v船時，合運動的速度方向可垂直于河岸，最短航程為河寬。
(3)當v水＞v船時，船不能垂直到達河對岸，但仍存在最短航程，當v船與v合垂直時，航程最短，最短航程為xmin＝d。
例3　(2021·四川省達州市高一期末)圖甲為發動機活塞連桿組，圖乙為連桿組的結構簡圖，連桿組在豎直平面內，且OA正好在豎直方向上，連桿一端連接A處活塞，另一端與曲柄上B點相連，活塞沿OA直線往復運動并帶動連桿使B點繞圓心O順時針方向做圓周運動，某時刻OB剛好水平，∠OAB＝θ，活塞的速率為vA，曲柄上B點的速率為vB，則此時(　　)
A．vA·cos θ＝vB B．vB·cos θ＝vA
C．vA＝vB D．vA·sin θ＝vB
【思路分析】 (1)活塞的實際運動沿什么方向？曲柄上B點的實際運動沿什么方向？
提示：沿豎直方向；沿虛線圓的切線方向。
(2)應將A、B點的運動沿什么方向分解？
提示：沿連桿方向和垂直于連桿方向分解。
【解析】　活塞的實際運動沿豎直方向，曲柄上B點的實際運動沿虛線圓的切線方向，當OB剛好水平，曲柄上B點的速率為vB且剛好方向豎直時，將vA、vB沿連桿方向和垂直于連桿方向分解如圖，則有v1＝vA cos θ＝vB cos θ，可得vA＝vB，故A、B、D錯誤，C正確。
[答案]　C
【關鍵點撥】
關聯速度問題，關鍵是要弄清楚哪個速度是合速度、哪個速度是分速度，然后弄清楚哪個分速度才是我們需要用來解題的。
【課堂訓練】
1、如圖所示,紅蠟塊能在玻璃管的水中勻速上升,若紅蠟塊從A點勻速上升的同時,使玻璃管水平向右作勻加速直線運動,則紅蠟塊實際運動的軌跡是圖中的( )

A.直線P B.曲線Q
C.曲線R D.無法確定
答案：B
2、以下關于分運動和合運動的關系的討論中,說法正確的是( )
A.兩個直線運動的合運動,可能是直線運動,也可能是曲線運動
B.兩個勻速直線運動的合運動,可能是直線運動,也可能是曲線運動
C.兩個勻變速直線運動的合運動,可能是直線運動,也可能是曲線運動
D.兩個分運動的運動時間,一定與它們的合運動的運動時間相等
答案：ACD
3、一只船在靜水中的速度為3m/s，它要渡過一條寬度為30m的河，河水的流速為4m/s，則下列說法中正確的是（ ）
A．船不能垂直到達對岸
B．船渡河的速度一定為5m/s
C．船不能渡過河
D．船渡河的最短時間為6s
答案：A
4、我國自主研制的四代戰機殲-31在第十屆中國國際航空航天博覽會上實機表演，起飛后首先進行大角度爬升，運動軌跡如圖所示.若爬升過程速度大小保持不變，則這段時間戰機在水平方向的分運動是( )
A.勻速直線運動 B.加速直線運動
C.減速直線運動 D.先加速后減速運動
答案：C
5. （2024山東臨沂重點高中質檢）質點從P點到Q點做勻變速曲線運動，軌跡如圖所示，運動到N點時速度方向與加速度方向互相垂直。下列說法中正確的是（　　）
A. M點的速率比N點小
B. M點的加速度比N點小
C. P點的加速度方向與速度方向平行
D. 從P到Q的過程中加速度方向與速度方向的夾角一直減小
【答案】D
【解析】
由題意可知質點運動到N點時速度方向與加速度方向恰好互相垂直，速度沿N點軌跡的切線方向，則知加速度方向向左，合外力也向左，質點做勻變速曲線運動，合外力恒定不變，質點由M到N過程中，合外力使質點在M點的速度比N點速度大，故A錯誤；
質點做勻變速曲線運動，則有加速度不變，所以質點經過M點時的加速度與N點相同，故B錯誤；
P點的速度方向沿該點的切線方向，由上分析可知加速度方向向左，所以P點的加速度方向與速度方向不平行，故C錯誤；質點從P到Q的過程中加速度方向與速度方向的夾角一直減小，故D正確。
。
6. （2024廣東佛山重點高中質檢）中國著名科學家錢學森于20世紀40年代提出“助推—滑翔”彈道設想。這種彈道的特點是將兩種導彈的軌跡融合在一起，使之既有設突防性能力，又兼具靈活性。如圖所示，是分析導彈運行的軌跡示意圖，其中導彈在各點的速度v和所受合外力F關系可能正確的是（　　）
A. 目標點 B. 中段變軌點 C. 末端機動點 D. 導彈最高點
【答案】B
【解析】做曲線運動的物體的速度方向沿軌跡的切線方向，所受的合外力指向軌跡的凹側，由圖可知導彈在中段變軌點的速度v和所受合外力F關系正確。
6.（2023南昌二中開學質檢） 如圖所示為內燃機中輕質活塞和曲柄連桿結構的示意圖和簡圖。氣缸內高壓氣體推動活塞使其往復運動，某時刻活塞的速度為，連桿AO與活塞軸線BO垂直，氣缸中高壓氣體及外部大氣對活塞作用力的合力大小為F，已知，不計一切摩擦，則此刻（　　）
A. 活塞對連桿AB的作用力為2F
B. 氣缸壁對活塞的作用力為
C. 連桿AB的A端沿連桿AB方向的線速度為
D. 連桿OA的A端繞O點轉動的線速度為
【參考答案】BD
【名師解析】
連桿AO與活塞軸線BO垂直時，由幾何關系可知BA與BO之間的夾角
由于是輕質活塞，所以活塞所受合外力為零，活塞受連桿AB對其的推力、氣缸壁對其的彈力和高壓氣體及外部大氣對活塞的作用力作用，如圖所示
根據平衡條件可得
解得
故A錯誤，B正確；
．沿連桿AB方向和垂直于連桿AB方向分解，如圖所示
沿連桿AB方向的速度
連桿OA的A端繞O轉動的線速度
故C錯誤，D正確。
7. （2023山東煙臺期中）如圖，物體套在豎直桿上，經細繩通過定滑輪拉動物體在水平面上運動，開始時、間的細繩呈水平狀態，現由計算機控制物體的運動，使其恰好以速度沿桿勻速下滑（始終未與滑輪相碰），則（ ）
A. 繩與桿的夾角為時，的速率為
B. 繩與桿的夾角為時，的速率為
C. 物體也做勻速直線運動
D. 物體做勻加速直線運動
【答案】B
【解析】
將A物體的速度按圖示兩個方向分解，如圖所示，
由繩子速率v繩=vcosα；而繩子速率等于物體B的速率，則有物體B的速率vB=v繩=vcosα．故A錯誤，B正確；因α減小，則vB=v繩=vcosα增大，B物體加速運動，但不是勻加速運動，故CD錯誤；故選B．
點睛：對于運動的合成與分解問題，要知道分運動和合運動的運動特點，知道二者具有等時性和獨立性，能夠將合運動分解為兩個分運動，然后根據幾何關系求解速度或加速度之間的關系．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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