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中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
高中物理必修一素養(yǎng)提升學(xué)案
第四章 運(yùn)動(dòng)和力的關(guān)系
專題強(qiáng)化6　等時(shí)圓模型
【專題問題解讀】
“等時(shí)圓”描述了一個(gè)物體沿著位于同一豎直圓上的所有光滑細(xì)桿? ( https: / / m. / s word=%E5%85%89%E6%BB%91%E7%BB%86%E6%9D%86&sa=re_dqa_zy" \t "_self )（或光滑斜面）由靜止下滑，到達(dá)圓周的最低點(diǎn)（或從最高點(diǎn)到達(dá)同一圓周上各點(diǎn)）的時(shí)間相等，這個(gè)時(shí)間等于物體沿直徑做自由落體運(yùn)動(dòng)所用的時(shí)間。這個(gè)模型在物理計(jì)算中有著重要的應(yīng)用，特別是在研究物體的運(yùn)動(dòng)軌跡和時(shí)間關(guān)系時(shí)。
由2R·sin θ＝·gsin θ·t2，可推得t1＝t2＝t3。
“等時(shí)圓”模型的基本特性在于，它揭示了物體在不同路徑上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果路徑都在同一個(gè)豎直圓上，那么物體到達(dá)圓周最低點(diǎn)的時(shí)間是相等的。這一特性不僅適用于光滑細(xì)桿，也適用于光滑斜面。此外，如果物體的運(yùn)動(dòng)路徑的端點(diǎn)在圓外，那么質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間會(huì)長(zhǎng)一些；反之，如果端點(diǎn)在圓內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間則會(huì)短一些。
這個(gè)模型的應(yīng)用不僅限于物理學(xué)科，它也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)和物理之間的緊密聯(lián)系。通過“等時(shí)圓”模型，我們可以更好地理解物體在不同條件下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，以及這些規(guī)律如何影響物體的運(yùn)動(dòng)時(shí)間和路徑。
物體在“兩類”光滑斜面上的下滑時(shí)間的比較
第一類：等高斜面(如圖1所示)
由L＝at2，a＝gsin θ，L＝
可得t＝ ，
可知傾角越小，時(shí)間越長(zhǎng)，圖1中t1＞t2＞t3。
第二類：同底斜面(如圖2所示)
由L＝at2，a＝gsin θ，L＝
可得t＝ ，
可見θ＝45°時(shí)時(shí)間最短，圖2中t1＝t3＞t2。
【典例解析】
【典例】 (2023年7月浙江寧波期末). 滑滑梯是小朋友們愛玩的游戲現(xiàn)有直滑梯AB、AC、AD和BD，A、B、C、D在豎直平面內(nèi)的同一圓周上，且A為圓周的最高點(diǎn)，D為圓周的最低點(diǎn)，如圖所示，已知圓周半徑為R。在圓周所在的豎直平面內(nèi)有一位置P，距離A點(diǎn)為，且與A等高。各滑梯的摩擦均不計(jì)，已知重力加速度為g，則（ ）
A. 如果小朋友在A點(diǎn)沿滑梯AB、AC由靜止滑下，
B. 如果小朋友分別從A點(diǎn)和B點(diǎn)沿滑梯AC，BD由靜止滑下
C. 若設(shè)計(jì)一部上端在P點(diǎn)，下端在圓周上某點(diǎn)的直滑梯，則小朋友沿此滑梯由靜止滑下時(shí)，在滑梯上運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間是
D. 若設(shè)計(jì)一部上端在P點(diǎn)，下端在圓周上某點(diǎn)的直滑梯，則小朋友沿此滑梯由靜止滑下時(shí)，在滑梯上運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間是
【解析】
假設(shè)AB、AC與AD的夾角分別為、，則從AB、AC、BD下滑時(shí)有
解得
故AB錯(cuò)誤；
由AB項(xiàng)分析，畫出以P點(diǎn)為最高點(diǎn)的半徑為r的等時(shí)圓，如圖，
當(dāng)兩圓相切時(shí)時(shí)間最短，有
解得
所以最短時(shí)間為
故C正確，D錯(cuò)誤。
【針對(duì)性訓(xùn)練】
1. （2024江蘇泰州3月調(diào)研）如圖所示，半球形容器內(nèi)有三塊不同長(zhǎng)度的滑板、、，其下端都固定于容器底部點(diǎn)，上端擱在容器側(cè)壁上，已知三塊滑板的長(zhǎng)度。若三個(gè)滑塊同時(shí)從A、B、C處開始由靜止下滑（忽略阻力），則（　　）
A. A處滑塊最先到達(dá)點(diǎn) B. B處滑塊最先到達(dá)點(diǎn)
C. C處滑塊最先到達(dá)點(diǎn) D. 三個(gè)滑塊同時(shí)到達(dá)點(diǎn)
【參考答案】D
【名師解析】設(shè)半球形容器的半徑為R，滑板的傾角為θ，對(duì)滑塊進(jìn)行分析，根據(jù)牛頓第二定律有：，
滑塊沿傾斜下滑，設(shè)下滑時(shí)間為t，根據(jù)位移公式有，，解得 。由可知下滑時(shí)間t與滑板的傾角和板的長(zhǎng)度均無關(guān)，故三個(gè)滑塊同時(shí)到達(dá)點(diǎn)，D正確。
2．（2024吉林重點(diǎn)高中質(zhì)檢）如圖所示，在斜面上有四條光滑細(xì)桿，其中OA桿豎直放置，OB桿與OD桿等長(zhǎng)，OC桿與斜面垂直放置，每根桿上都套一個(gè)小滑環(huán)（圖中未畫出），四個(gè)環(huán)分別從O點(diǎn)由靜止釋放，沿OA、OB、OC、OD滑到斜面上所用的時(shí)間依次為。下列關(guān)系正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【參考答案】．BC
【名師解析】：以O(shè)A為直徑畫圓，如圖所示
若設(shè)桿與豎直方向的夾角為θ，對(duì)小滑環(huán)受力分析，由牛頓第二定律可得
解得
由幾何關(guān)系，小滑環(huán)沿弦下滑的位移
據(jù)
解得
即從圓上最高點(diǎn)沿任一條光滑弦滑到底所用的時(shí)間相同．則沿OA和OC滑到斜面的時(shí)間相同，有
OB不是一條完整的弦，時(shí)間最短；OD的長(zhǎng)度超過一條弦，時(shí)間最長(zhǎng)；綜上
故選BC。
3 . （2024江蘇新高考基地學(xué)校第三次大聯(lián)考） 如圖所示，為圓的豎直直徑，、為兩條粗糙軌道，其中過圓心。在A、C兩點(diǎn)由靜止釋放小滑塊，使其分別沿、和運(yùn)動(dòng)到圓上，小滑塊與軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)相同，則（ ）
A. 滑塊沿的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短 B. 滑塊沿的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短
C. 滑塊沿的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短 D. 滑塊沿三個(gè)路徑運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同
【參考答案】B
【名師解析】
設(shè)圓的直徑為d，滑塊沿CD運(yùn)動(dòng)時(shí)，有
解得
設(shè)AB與豎直方向的夾角為，滑塊沿AB運(yùn)動(dòng)時(shí)，有
解得
可知
設(shè)AD與豎直方向的夾角為，滑塊沿AD運(yùn)動(dòng)時(shí)，有
解得
可知
所以滑塊沿的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短。B正確。
4. （2024湖南省華南師范大學(xué)附中質(zhì)檢） 如圖所示，豎直的圓環(huán)置于水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，三個(gè)完全相同的帶正電的絕緣小球（未畫出）分別套在固定于AB、AC、AD的三根光滑細(xì)桿上，其中AB與豎直方向夾角為60°，AC經(jīng)過圓心，AD豎直。現(xiàn)將小球無初速度地從A端釋放，小球分別沿AB、AC、AD下滑到B、C、D三點(diǎn)。已知小球所受電場(chǎng)力大小與重力大小之比為，則小球在三根細(xì)桿上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間關(guān)系為（　　）
A. B.
C. D. 無法確定
【參考答案】B
【名師解析】
小球所受電場(chǎng)力大小與重力大小之比為，可知小球所受重力與電場(chǎng)力的合力F的方向恰好與平行，且由A指向B。延長(zhǎng)，作交于M，以為直徑畫一個(gè)圓（圖中虛線），與該圓交于N。
設(shè)，則小球沿桿運(yùn)動(dòng)的加速度為
位移為
由得
與無關(guān)，由等時(shí)圓模型知
而，，故
故選B。
5. （2024江蘇新高考基地學(xué)校第三次大聯(lián)考） 如圖所示，為圓的豎直直徑，、為兩條粗糙軌道，其中過圓心。在A、C兩點(diǎn)由靜止釋放小滑塊，使其分別沿、和運(yùn)動(dòng)到圓上，小滑塊與軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)相同，則（ ）
A. 滑塊沿的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短 B. 滑塊沿的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短
C. 滑塊沿的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短 D. 滑塊沿三個(gè)路徑運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同
【參考答案】B
【名師解析】
設(shè)圓的直徑為d，滑塊沿CD運(yùn)動(dòng)時(shí)，有
解得
設(shè)AB與豎直方向的夾角為，滑塊沿AB運(yùn)動(dòng)時(shí)，有
解得
可知
設(shè)AD與豎直方向的夾角為，滑塊沿AD運(yùn)動(dòng)時(shí)，有
解得
可知
所以滑塊沿的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短。B正確。
6．（2024吉林重點(diǎn)高中質(zhì)檢）如圖所示，在斜面上有四條光滑細(xì)桿，其中OA桿豎直放置，OB桿與OD桿等長(zhǎng)，OC桿與斜面垂直放置，每根桿上都套一個(gè)小滑環(huán)（圖中未畫出），四個(gè)環(huán)分別從O點(diǎn)由靜止釋放，沿OA、OB、OC、OD滑到斜面上所用的時(shí)間依次為。下列關(guān)系正確的是（　　）
A. B．
C． D．
【參考答案】．BC
【名師解析】：以O(shè)A為直徑畫圓，如圖所示
若設(shè)桿與豎直方向的夾角為θ，對(duì)小滑環(huán)受力分析，由牛頓第二定律可得
解得
由幾何關(guān)系，小滑環(huán)沿弦下滑的位移
據(jù)
解得
即從圓上最高點(diǎn)沿任一條光滑弦滑到底所用的時(shí)間相同．則沿OA和OC滑到斜面的時(shí)間相同，有
OB不是一條完整的弦，時(shí)間最短；OD的長(zhǎng)度超過一條弦，時(shí)間最長(zhǎng)；綜上
故選BC。
7 .(2004全國(guó)理綜卷2)如圖所示，ad、bd、cd是豎直面內(nèi)三根固定的光滑細(xì)桿，a、b、c、d 位于同一圓周上， a點(diǎn)為圓周的最高點(diǎn)，d點(diǎn)為最低點(diǎn)。每根桿上都套著一個(gè)小滑環(huán)（圖中未畫出），三個(gè)滑環(huán)分別從 a、b、c處釋放（初速為0），用t1、、、t2、、t3 依次表示各滑環(huán)到達(dá)d所用的時(shí)間，則
A．t1 、t2、>t3
C．t3 > t1、>t2、 D．t1=、t2、=t3
【參考答案】D
【名師解析】：設(shè)圓的直徑為s1，小滑環(huán)從a處下落，做自由落體運(yùn)動(dòng)，由s1=gt12，解得t1=；
設(shè)bd與ad的夾角為θ，小滑環(huán)從b處下滑，由牛頓第二定律可知mgcosθ=ma，加速度為a=gcosθ，由s2=gcosθ t22，s2= s1cosθ，解得t2=；
同理，小滑環(huán)從c處下滑，解得t3=.。
8. （2024重慶一中開學(xué)考試）如圖所示，ab、ac為豎直平面內(nèi)兩根固定的光滑細(xì)桿，a、b兩點(diǎn)恰為外接圓的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，兩個(gè)帶孔小球甲、乙分別從a處由靜止沿兩細(xì)桿滑到下端b、c時(shí)，動(dòng)能恰好相等，下列說法正確的是（　　）
A. 兩小球的質(zhì)量相等
B. 兩小球下滑的時(shí)間不相等
C. 此過程中兩小球所受重力的平均功率不相等
D. 兩小球在細(xì)桿下端bc時(shí)重力瞬時(shí)功率相等
【參考答案】D
【名師解析】
小球甲、乙分別從a處由靜止沿兩細(xì)桿滑到下端b、c時(shí)，動(dòng)能恰好相等，由動(dòng)能定理，則有
由于，則有，A錯(cuò)誤；
B．如圖所示，設(shè)C點(diǎn)到ab的垂直距離為x，ac的傾斜角為θ，對(duì)甲則有
對(duì)乙則有
解得
則有
B錯(cuò)誤；
C．重力做功為
兩小球的重力做功相等，時(shí)間相等，則有
因此兩小球所受重力的平均功率相等，C錯(cuò)誤；
D．兩小球都做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，對(duì)甲則有
因?yàn)?br/>則有
可得
在b點(diǎn)甲的瞬時(shí)功率
在c點(diǎn)乙的瞬時(shí)功率
則有，D正確。
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
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