資源簡介

2.5.1直線與圓的位置關系
課標解讀
1.掌握直線與圓的三種位置關系：相交、相切、相離．
2.會用代數法和幾何法來判斷直線與圓的三種位置關系．
3.會用直線與圓的位置關系解決一些實際問題．
學情分析：
學習過點到直線的距離公式，學習過一元二次方程根的個數與判別式的關系；
學習過聯立兩直線方程求解判斷兩直線的位置關系；
混淆圓外一點和圓上一點的切線方程
建立弦長公式和韋達定理之間的關系
重難點
重點：判斷直線與圓的位置關系
難點：直線和圓的方程解決一些簡單的數學問題與實際問題
溫故導新：
“海上生明月，天涯共此時。”，表達了詩人望月懷人的深厚情誼。在海天交于一線的天際,一輪明月慢慢升起,先是探出半個圓圓的小腦袋,然后冉冉上升,和天際線相連,再躍出海面,越來越高,展現著迷人的風采.
這個過程中,月亮看作一個圓,海天交線看作一條直線,月出的過程中也體現了直線與圓的三種位置關系:相交、相切和相離.
在平面幾何中，我們研究過直線與圓這兩類圖形的位置關系，前面我們學習了直線的方程，圓的方程，已經用方程研究兩條直線的位置關系，下面我們未必用方程研究兩條直線位置關系的方法，利用直線和圓的方程通過定量計算研究直線與圓的位置關系。
用筆思考
探究1 如果我們把太陽看成一個圓，地平線看成一條直線，觀察下面三幅太陽落山的圖片，結合初中平面幾何知識，思考：直線與圓有哪些位置關系？
提示　相交、相切與相離.
探究2 如何利用直線和圓的方程判斷它們之間的位置關系？
提示　轉化為判斷由它們的方程組成的方程組有無實數解、有幾個實數解．
探究3 如何利用圓心到直線的距離與半徑的關系判斷直線與圓的位置關系
探究4從圓上一點引圓的切線有幾條？從圓外呢？求切線方程的關鍵要素是什么？
提示　1條，2條，切線上的一點和切線斜率.
探究5 當直線與圓相交時，你能推導用交點坐標表示弦長的方法嗎？
主動講解：
如何利用代數法和幾何法判斷直線與圓的位置關系？
討論從圓上或圓外一點能引幾條切線？怎么求相應的切線方程？
雙師導學：
知識梳理一、直線與圓的三種位置關系
位置關系 交點個數
相交 有 公共點
相切 只有 公共點
相離 公共點
2.直線Ax＋By＋C＝0與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關系及判斷
位置關系 相交 相切 相離
公共點個數
判定方法 幾何法：設圓心到直線的距離d＝
代數法：由 消元得到一元二次方程的判別式Δ
(1)幾何法：由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關系判斷．
(2)代數法：根據直線與圓的方程組成的方程組解的個數來判斷．
(3)直線系法：若直線恒過定點，可通過判斷點與圓的位置關系判斷，但有一定的局限性，必須是過定點的直線系．
例1 已知直線方程mx－y－m－1＝0，圓的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.當m為何值時，圓與直線：
(1)有兩個公共點；
(2)只有一個公共點；
(3)沒有公共點．
知識梳理二、 圓的切線方程
(1)點在圓上時
求過圓上一點(x0，y0)的圓的切線方程：先求切點與圓心連線的斜率k，再由垂直關系得切線的斜率為－，由點斜式可得切線方程．如果斜率為零或不存在，則由圖形可直接得切線方程y＝y0或x＝x0.
(2)點在圓外時
①幾何法：設切線方程為y－y0＝k(x－x0)．由圓心到直線的距離等于半徑，可求得k，也就得切線方程．
②代數法：設切線方程為y－y0＝k(x－x0)，與圓的方程聯立，消去y后得到關于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切線方程．
提醒：切線的斜率不存在的情況，不要漏解．
例2 （1）求過圓x2＋y2－2x－4y＝0上一點P(3,3)的切線方程.
求過點P(2,3)且與圓(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直線的方程.
知識梳理三、求直線與圓相交時的弦長有三種方法
①交點法：將直線方程與圓的方程聯立，求出交點A，B的坐標，根據兩點間的距離公式 |AB|＝求解.
②弦長公式：
如圖所示，將直線方程與圓的方程聯立，設直線與圓的兩交點分別是A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝＝|x1－x2|＝ |y1－y2|(直線l的斜率k存在且不為0).
③幾何法：如圖，直線與圓C交于A，B兩點，設弦心距為d，圓的半徑為r，弦長為|AB|，則有2＋d2＝r2，即|AB|＝2.
通常采用幾何法較為簡便.
例3 (1)求直線l：3x＋y－6＝0被圓C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦長|AB|.
(2)過點(－4,0)作直線l與圓x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B兩點，如果|AB|＝8，求直線l的方程．
聚焦核心：
1.直線與圓的位置關系
2.圓的切線方程
2.圓的弦長公式
強化反饋：
1.直線3x+4y+12=0與圓(x-1)2+(y+1)2=9的位置關系是(　　)
A.過圓心 B.相切
C.相離 D.相交但不過圓心
2.若直線x+y+m=0與圓x2+y2=m相切,則m的值是(　　)
A.0或2 B.2 C. D.或2
3.經過點M(2,1)作圓x2+y2=5的切線,則切線的方程為　　　　　.
4.直線y=x+1與圓x2+y2+2y-3=0交于A,B兩點,則|AB|=　　　　　.
5．如圖所示,一座圓拱（圓的一部分）橋,當水面在圖位置m時,拱頂離水面2 m,水面寬 12 m,當水面下降1 m后,水面寬多少米
D
【解析】圓心(1,-1)到直線3x+4y+12=0的距離d=2.【解析】∵直線x+y+m=0與圓x2+y2=m相切,∴圓心O(0,0)到直線的距離,解得m=2(舍去0).故選B.
3. 2x+y-5=0
【解析】易知點M在圓上,所以M為切點,切點和圓心連線斜率k=,
則切線斜率為-2,切線方程為y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0.
4. 2
【解析】圓的方程可化為x2+(y+1)2=4,故圓心C(0,-1),半徑r=2,
圓心到直線y=x+1的距離d=,
所以弦長|AB|=2=2=2.
5．解：以圓拱拱頂為坐標原點,以過拱頂的豎直直線為y軸,建立直角坐標系,
設圓心為C,水面所在弦的端點為A、B,則由已知得A(6,-2).
設圓的半徑為r,則C(0,-r),即圓的方程為x2+(y+r)2=r2.①
將點A的坐標為(6,-2)代入方程①,解得r=10.
∴圓的方程為x2+(y+10)2=100.②
當水面下降1米后,可設點A′的坐標為(x0,-3)(x0＞3),
將A′的坐標(x0,-3)代入方程②,求得.
∴水面下降1米后,水面寬為

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