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第四章 曲線運動
2025年高考物理一輪基礎知識復習
拋體運動
目錄
平拋運動的基本規(guī)律
有關斜面、豎直面、圓弧面的平拋運動
類平拋運動與斜拋運動
壹
貳
叁
平拋運動的基本規(guī)律
壹
1.定義：將物體以一定的初速度沿水平方向拋出，物體只在 ______作用下的運動.
2.性質：平拋運動是加速度為 的 ________曲線運動，運動軌跡是拋物線.
3.研究方法：運動的合成與分解
（1）水平方向： ______直線運動.
（2）豎直方向： __________運動.
重力
勻變速
勻速
自由落體
4.基本規(guī)律
運動圖示

初速度 :水平位移
:豎直位移 :合位移
:速度偏轉角
位移偏轉角
水平方向 ____, ____
豎直方向 ____, _ _____
合速度 大小 = ____________
方向 與水平方向夾角的正切值 = ___
合位移 大小 =
方向 與水平方向夾角的正切值 = ____
軌跡方程 ______








續(xù)表
.兩條有用的推論
圖示 推論 證明
（1）做平拋運動的物體在時間 內的 速度偏轉角為 , 位移偏轉角為 ,則 _______ ，
， 故 ______


圖示 推論 證明
_ __，即（平拋運動一 段時間內）末速度的反向延長線與這 段時間內水平位移的中點相交 ,
,
,聯(lián)立得
___


續(xù)表
1.［多選］［魯科版必修二P48第4題情境變式］如圖所示，
足球運動員在離球門正前方水平距離 處頭球攻門，足球
在 高處被水平頂出，并恰好落在球門線上。足球視為
質點，不計空氣阻力，取 ，則此過程中( )
BC
A.球的運動時間為 B.球的水平初速度大小為
C.球落地前瞬間豎直方向的分速度大小為 D.球落地瞬間速度方向與水平地面間的夾角為
【解析】豎直方向上有 ，A錯誤
落地瞬間速度與水平地面間夾角 滿足，則 ，D錯誤。
2.［多選］［魯科版必修二P54第4題條件變式］如圖所示，從足夠高的1、2兩點水平拋出兩個
小球，之后兩球在空中的點相碰，測得從1、2兩點拋出的小球在 點時速度方向與水平方向的
夾角分別為 、 。已知1、2兩點在同一豎直線上，點到1、2兩點的水平距離為 ，
，重力加速度為 ，不計空氣阻力。下列說法正確的是( )
CD
A.從1、2兩點拋出的小球在空中運動的時間相等 B.從1、2兩點拋出的小球經過 點時的速度大小相等
C.從1、2兩點拋出的小球初速度大小之比為 D.1、2兩點的豎直高度差為
【解析】平拋運動在豎直方向上有，可得,因為，可知 ，A項錯誤；設從1、2兩點拋
出的球的初速度大小分別為、，球經過點時的速度大小分別為、 ，根據(jù)小球在水平方向做勻速直線運
動有，，由題意可知，，則 ，又因為
，，則 ，B項錯誤，C項正確；由平拋運動的推論，速度的反向延長線交于水平位
移的中點，有，，解得， ，則1、2兩點的豎直高度差
項正確。
3.[粵教版必修二P15第2題設問變式，2022全國甲卷]將一小球水平拋出,使用頻閃儀和
照相機對運動的小球進行拍攝,頻閃儀每隔 發(fā)出一次閃光。某次拍攝時,小球在
拋出瞬間頻閃儀恰好閃光,拍攝的照片編輯后如圖所示。圖中的第一個小球為拋出瞬
間的影像,每相鄰兩個球之間被刪去了3個影像,所標出的兩個線段的長度和 之比為
。重力加速度大小取 ,忽略空氣阻力。求在拋出瞬間小球速度的大小。
【答案】
【解析】 設對應的水平位移為，對應的豎直位移為，則根據(jù)平拋運動的特點可知，對應的水平位移也為 ，
對應的豎直位移為
有,,
解得
拋出瞬間小球的速度大小為
解得
有關斜面、豎直面、圓弧面的平拋運動
貳
①有關斜面的平拋運動
②有關豎直面、圓弧面的平拋運動
教材素材變式
變式1 與斜面有關的平拋運動
1.［多選］［人教版必修二P21第3題設問變式］如圖所示，將一個小球從點以速度 水
平拋出，小球垂直落在傾角為 的斜面上的點。若將小球從圖中的點以速度 水平拋
出，小球垂直落在斜面上的 點（圖中未標出），下列說法正確的是( )
AD
A.點在點上方 B.點可能與 點重合
C.點在點下方 D.水平初速度一定大于
第1題圖
【解析】小球兩次都垂直打在斜面上，則小球末速度方向與初速度方向之間夾角不變，
根據(jù)平拋運動的推論可知，第一次平拋運動位移平行于第二次平拋運動位移 ，
如圖所示，點在點上方，A正確， 錯誤；小球兩次都垂直打在斜面上，則
，，聯(lián)立可得 ，因，則 ，D正
確。
2.［人教版必修二P21第3題模型變式］如圖所示，將一小球從 點以某一初速度水平拋出，
小球恰好落到斜面底端點，若在點正上方與等高的 點將小球以相同大小的初速度
水平拋出，小球落在斜面上的點，、、、在同一豎直面上。則 等于( )
B
A. B. C. D.
第2題圖
【解析】如圖所示，設之間高度差為，之間高度差為，則， ，
解得，，斜面傾角的正切值，解得 ，所
以 。故選B。
3.［人教版必修二P20第7題拓展變式］近年來，國家大力開展冰雪運動進校園活動，目
前已有多所冰雪特色學校，蹬冰踏雪深受學生喜愛。如圖所示，兩名滑雪運動員（均視
為質點）從跳臺處先后沿水平方向向左飛出，其速度大小之比為 ，不計空
氣阻力，則兩名運動員從飛出至落到斜坡（可視為斜面）上的過程中，下列說法正確的
是( )
C
A.他們飛行時間之比為 B.他們飛行的水平位移之比為
C.他們速度變化之比為 D.他們在空中離坡面的最大距離之比為
【解析】運動員從跳臺處水平飛出，設初速度為，飛行時間為，斜坡的傾角為 ，運動員在空中做平拋運動，
落到斜坡上時有，解得，可得他們飛行時間之比為 ，A錯誤；運動
員飛行的水平位移為，他們飛行的水平位移之比為 ，B錯誤；兩運動員在水
平方向的速度不變，在豎直方向的速度變化為，因為他們飛行時間之比為 ，則有他們速度變
化之比為，C正確；運動員在空中離坡面的最大距離為 （【點撥】該時刻豎
直分速度與水平分速度的比值等于斜面傾角的正切值。），他們在空中離坡面的最大距離之比為
，D錯誤。
變式2 有關豎直面的拋體運動
4.［多選］［魯科版必修二P48第6題條件變式］如圖，某人從點對準正前方豎直靶上的
點，分別將兩支飛鏢水平擲出，飛鏢打在靶上、 兩點，且速度方向與豎直方向的夾角分
別為 、 ，忽略空氣阻力，則( )
CD
A.兩飛鏢離開手時，速度大小相同 B.兩飛鏢在空中運動時間相同
C.兩飛鏢擊中靶的速度大小相同 D.間距為 間距的3倍
【解析】飛鏢在豎直方向的分運動為自由落體運動，則有 ，兩飛鏢在空中下落的高度不同，可知在空中
運動時間不相同，B錯誤；水平方向做勻速直線運動，兩飛鏢在空中通過的水平位移相同，但運動時間不同，根據(jù)
，可知兩飛鏢離開手時，速度大小不相同，A錯誤；根據(jù)平拋運動推論，速度方向的反向延長線過水平位
移的中點可得，，聯(lián)立可得，D正確；飛鏢打在靶上 點時的豎直分速度大小為
，飛鏢打在靶上點時的速度大小為，飛鏢打在靶上 點時的豎直分速度大小
為，飛鏢打在靶上點時的速度大小為 ，C正確。
5.［粵教版必修二P22第5題設問變式］如圖所示，小球（視為質點）從斜面上的 點以
大小為的速度水平拋出，剛好落在斜面底端點。、兩點間的距離為 ，斜面傾角
為 ，點在豎直墻壁與水平地面的交線上，且、、 三點在同一豎直面內，水平
地面上、間的距離為。改變小球拋出的速度大小，小球落在墻壁上的 點（未畫
出），下列說法正確的是( )
D
A.若小球拋出的速度大小為，則點離地面的高度為
B.若小球拋出的速度大小為，則點離地面的高度為
C.若小球拋出的速度大小為，則小球剛好落在 點
D.若小球拋出的速度大小為，則點離地面的高度為
【解析】依題意，小球從斜面上的點以大小為的速度水平拋出，剛好落在斜面底端 點，根據(jù)平拋運動規(guī)律有
，。若小球拋出的速度大小為，小于 ，小球會落在斜面上，故A
錯誤；假定小球落在點時其水平拋出的初速度為，則有，，聯(lián)立解得 ，
可知小球拋出的速度大小為時，小球會落在點，故錯誤；由以上分析可知，當小球拋出的速度大小為
時，小球會落在墻壁上，根據(jù)平拋運動規(guī)律有，則點離地面的高度為 ，聯(lián)立解得
，故D正確。
變式3 有關圓弧面的平拋運動
6.［魯科版必修二P48第5題模型變式］如圖所示，斜面體 與圓弧軌道相接于
點，從點水平向右飛出的小球恰能從點沿圓弧切線方向進入軌道。 與豎
直方向的夾角為 ，若斜面體的高度為，忽略空氣阻力，則 的長度為
( )
B
A. B. C. D.
【解析】小球沿圓弧切線方向進入軌道，則由幾何關系可知小球在點時速度與水平方向的夾角為 ，由平
拋運動的推論可知速度與水平方向夾角的正切值等于位移與水平方向夾角正切值的兩倍，設斜面的傾角為 ，則
，的長度為，B正確， 錯誤。
7.［魯科版必修二P81第11題模型變式］如圖所示，半圓軌道固定在水平面上，一小球（可視為
質點）從半圓軌道上點沿切線斜向左上方拋出，到達半圓軌道左端 點正上方某處時小球的速
度剛好水平，為半圓軌道圓心，半圓軌道半徑為，與水平方向的夾角為 ，重力加速
度為，不計空氣阻力，則小球在 點正上方的水平速度為( )
A
A. B. C. D.
【解析】小球到達半圓軌道左端點正上方某處的速度剛好水平，所以逆向看是小球從一半圓軌道左端 點正上方
某處開始做平拋運動，運動過程中恰好與半圓軌道相切于 點，這樣就可以用平拋運動規(guī)律求解。因小球運動過程
中恰好與半圓軌道相切于點，則此刻速度與水平方向的夾角為 ，設位移與水平方向的夾角為 ，則
，因為，則豎直位移為，,又 ，解得 ，
故選A。
8.［粵教版必修二P23第11題角度變式］如圖所示為一固定的半圓形豎直軌道， 為水平
直徑，為圓心，同時從點水平拋出初速度分別為、 的甲、乙兩個小球，分別落在
、兩點。已知兩小球質量相等且均可視為質點，、兩點等高，、 與豎直方向
的夾角均為 。則( )
A
A.
B.甲、乙兩球從開始運動到落在軌道上的速度變化量不相同
C.若甲球以的初速度從點水平拋出，可打在 點的正下方
D.若調整乙球的速度大小，乙球可能垂直打在半圓形軌道上
【解析】根據(jù)可得，則甲、乙兩球下落時間相等，設圓形軌道的半徑為 ，則甲球的水平位移為
，乙球的水平位移，則，根據(jù)可知 ，
故A正確；小球從開始運動到落在軌道上速度的變化量 ，因為甲、乙兩球運動時間相同，所以速度變化量
相同，故B錯誤；若甲球以的初速度從點水平拋出，運動到連線時恰好落在 點正下方，接著會繼續(xù)向下運
動，落在 點的右下方，故C錯誤；假設乙球垂直打在軌道上，根據(jù)平拋運動的推論可知，乙球速度的反向延長線
過圓心，因為速度反向延長線過水平位移中點，所以乙球在水平方向上的位移等于半圓軌道的直徑，則假設不成
立，故D錯誤。
類平拋運動與斜拋運動
叁
類平拋運動
垂直于受力方向 以初速度v0做勻速直線運動
受力方向 初速度為0的勻加速運動
斜拋運動
斜拋運動的特點
如圖所示，物體被拋出后在水平方向上以水平分速度 做勻速直線運
動，在豎直方向上做初速度為 的豎直上拋運動.
（1）速度： = ________, = ____________.
（2）位移： , .
（3）射高、射程:物體能達到的最大高度（射高） ________;
物體在空中運動的時間 ;
從拋出點到落地點的水平距離（射程）
________.
（4）斜拋運動具有軌跡、速度、運動時間等的對稱性.




教材素材變式
變式1 斜拋運動
1.［多選］［魯科版必修二P52圖2-20情境變式］如圖甲所示，球狀煙花中有一部分做斜上拋運動，其中一火藥做
斜拋運動的軌跡如圖乙所示，圖乙中初速度和初速度與水平方向的夾角 均為已知量，重力加速度大小為 ，不
計空氣阻力，下列說法正確的是( )
圖甲
圖乙
A.該火藥的射高為
B.該火藥的射高為
C.若斜拋運動的初速度大小不變，拋射角 改變，則該火藥射程的最大值為
D.若斜拋運動的初速度大小不變，拋射角 改變，則該火藥射程的最大值為
√
√
【解析】由題圖乙可知，火藥的初速度在豎直方向的分量為 ，在豎直方向上，由勻變速直線運動規(guī)
律可得斜拋運動的射高 ，A正確，B錯誤；在豎直方向上，由勻變速直線運動規(guī)律可知斜拋運動的
時間為，初速度在水平方向的分量為 ，水平方向做勻速直線運動，斜拋運動的射程為
，聯(lián)立得，當 時，射程最大且為 ，C錯誤，D正確。
2.[魯科版必修二P56第11題情境變式，2023湖南卷]如圖（a）,我國某些農村地區(qū)人們用手拋撒谷粒進行水稻播種。
某次拋出的谷粒中有兩顆的運動軌跡如圖（b）所示，其軌跡在同一豎直平面內，拋出點均為,且軌跡交于 點,拋
出時谷粒1和谷粒2的初速度分別為和,其中方向水平， 方向斜向上。忽略空氣阻力，關于兩谷粒在空中的
運動，下列說法正確的是( )
B
圖（a）
圖（b）
A.谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度 B.谷粒2在最高點的速度小于
C.兩谷粒從到的運動時間相等 D.兩谷粒從到 的平均速度相等
【解析】
只受重力→兩谷粒加速度 ，A錯
從到位移相同→谷粒2先上升后下降，用時更長，即 ，C錯
從到 位移相同
谷粒2在最高點只有水平速度
，B對
谷粒合位移 ,D錯
豎直方向
水平方向
變式2 類平拋運動
3.［人教版必修二P4演示模型變式］如圖所示，一光滑斜面傾角為 ，高為 。現(xiàn)有一
小球在處貼著斜面以水平速度射出，最后從處離開斜面，重力加速度為 ，下列說
法正確的是( )
C
A.小球的運動軌跡不是拋物線 B.小球的加速度大小為
C.小球從點運動到點的時間為 D.、兩點間的距離為
【解析】對小球受力分析，小球受豎直向下的重力、垂直于斜面向上的支持力，其合力大小為 ，方
向沿斜面向下，依題意可知小球合力方向與初速度方向垂直，且為恒力，所以小球做類平拋運動，運動軌跡為拋
物線，故A錯誤；根據(jù)牛頓第二定律，可得 ，故B錯誤；把小球的運動分解為水平方向的勻速直線
運動和沿合力方向的初速度為零的勻加速直線運動，設小球到達點所用的時間為，可得 ，解得
，故C正確；小球沿水平方向的位移為，、兩點間的距離為 ，聯(lián)立可得
，故D錯誤。
謝謝

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