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習題課一　動量守恒定律的應用
動量守恒中的臨界問題
在動量守恒定律的應用中常遇到相互作用的兩物體相距最近、避免相碰和物體開始反向運動等臨界問題。
常見類型
(1)彈簧類：彈簧被壓縮到最短或拉伸到最長時，彈簧兩端的兩個物體的速度必然相等。
(2)斜面類：物體滑到斜面上最高點的臨界條件是：物體與斜面沿水平方向具有共同的速度，在豎直方向上的分速度等于零。
(3)子彈打木塊類：子彈剛好擊穿木塊的臨界條件為子彈穿出時的速度與木塊的速度相同，子彈位移為木塊位移與木塊長度之和。
1.如圖，一質量m1=0.45 kg的平板小車靜止在光滑的水平軌道上。車頂右端放一質量m2=0.5 kg的小物塊，小物塊可視為質點，小物塊與小車上表面之間的動摩擦因數μ=0.5。現有一質量的子彈以v0=100 m/s的水平速度射入小車左端，并留在車中，子彈與車相互作用時間很短，g取10 m/s2。
(1)求子彈剛剛射入小車時，小車的速度大小v1。
(2)要使小物塊不脫離小車，小車的長度至少為多少
答案:(1)10 m/s　(2)5 m
2.如圖，質量為m的半圓軌道小車靜止在光滑的水平地面上，其水平直徑AB長度為2R，現將質量也為m 的小球從距A點正上方h0高處由靜止釋放，然后由A點經過半圓軌道后從B點沖出，在空中能上升的最大高度為，不計空氣阻力。則下列說法正確的是(　　)
A. 小球和小車組成的系統動量守恒
B. 小車向左運動的最大距離為R
C. 小球從B點離開小車不會再落回軌道內
D. 小球從B點離開小車后又會從B點落回軌道，再次恰好到達A點時速度為零不會從A點沖出
答案:B
3.如圖，從A點以某一水平速度v0拋出質量的小物塊(可視為質點)，當物塊運動至B點時，恰好以的速度大小沿切線方向進入圓心角∠BOC=37°的固定光滑圓弧軌道BC，經圓弧軌道后滑上與C點等高、靜止在光滑水平面上的長木板，圓弧軌道C 端的切線水平。已知長木板的質量，A、B兩點距C點的高度分別為H=0.6 m、h=0.15 m，圓弧軌道半徑R=0.75 m，物塊與長木板間的動摩擦因數，g取10 m/s2， sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。
(1)求小物塊在A點時的速度大小v0;
(2)求小物塊滑至C點時，對圓弧軌道的壓力大小;
(3)長木板至少為多長，才能保證小物塊不滑出長木板。
答案:(1)4 m/s　(2)47.3 N　(3)1.6 m
4.如圖，A、B、C三個木塊的質量均為m，置于光滑的水平面上，B、C之間有一輕質彈簧，彈簧的兩端與木塊接觸但不固定，將彈簧壓緊到不能再壓縮時用細線把B、C緊連，使彈簧不能伸展，以至于B、C可視為一個整體。現A以初速度v0沿B、C的連線方向朝B運動，與B相碰并粘合在一起以后細線突然斷開，彈簧伸展，從而使C與A、B分離。已知C離開彈簧后的速度恰為v0，求彈簧釋放的勢能。
易錯點1：矢量的方向被忽略
1.如圖，兩個質量相等的物體從同一高度沿傾角不同的兩個光滑斜面由靜止自由滑下，到達斜面底端的過程中( )
A. 兩物體所受重力沖量相同
B. 兩物體所受合外力沖量相同
C. 兩物體到達斜面底端時動量相同
D. 兩物體到達斜面底端時動量不同
D
易錯點2：不理解沖量的概念
2.如圖，皮帶在電動機的帶動下保持的恒定速率沿順時針方向轉動。現將一質量的物體由靜止輕放在皮帶上，物體和皮帶間的動摩擦因數。設皮帶足夠長，取，在物體與皮帶發生相對滑動的過程中，皮帶對物體的沖量大小為( )
A. B. C. D. N s
D
易錯點3：動量守恒條件理解不準確
3.如圖，光滑水平地面上質量為M、半徑為R且內壁光滑的半圓槽左側靠豎直墻壁靜止。質量為m的小球可視為質點，從槽口A的正上方某高度處由靜止釋放，并從A點沿切線進入槽內，最后從C點離開半圓槽，B為半圓槽的最低點。關于小球與槽相互作用的過程，下列說法中正確的是( )
A. 小球在槽內從A運動到B的過程中，小球與槽組成的系統在水平方向動量不守恒
B. 小球在槽內從A運動到B的過程中，小球機械能不守恒
C. 小球在槽內從B運動到C 的過程中，小球與槽在水平方向上動量不守恒
D. 小球離開C點以后，將做豎直上拋運動
A
易錯點4：單純套用動量守恒定律的公式，而不考慮實際情況
4.如圖，在足夠長的固定斜面上有一質量為m的薄木板A，木板A獲得初速度v0后恰好能沿斜面勻速下滑。現有一質量也為m的小滑塊B無初速度輕放在木板A的上表面，對于滑塊B在木板A上滑動的過程(B始終未從A 的上表面滑出，B與A 間的動摩擦因數大于A與斜面間的動摩擦因數)，以下說法正確的是( )
A. A、B組成的系統動量和機械能都守恒
B. A、B組成的系統動量和機械能都不守恒
C. 當B的速度為時，A的速度為。
D. 當A的速度為時，B的速度為。
C
易錯點5 混淆相對速度和對地速度
5.如圖所示，質量為M 的小車上面站著一個質量為m的人，小車以v0的速度在光滑的水平面上前進。開始時人和小車相對靜止，現在人以相對于小車為u的速度水平向后跳出后，車速增加了多少
Δv =
一、流體微元法
對“連續”質點系發生持續作用的情況，選取很短時間內動量(或其他量)發生變化的那部分作為研究對象，建立“流體”模型，使問題變得直觀、容易理解。
1.使用高壓水槍作為切割機床的切刀具有獨特優勢，得到廣泛應用。如圖，若水柱橫截
面積為S，水流以速度v 垂直射到被切割的鋼板上，之后水速減為零，已知水的密度為，則水對鋼板的沖擊力大小為多少
二、臨界值法：以原理、定理或定律為依據，直接從臨界狀態和相應的臨界量入手，求所研究問題的特殊規律和特殊解。
2.如圖，豎直平面內的四分之一光滑圓弧軌道下端與光滑水平桌面相切，小滑塊B靜止在圓弧軌道的最低點。現將小滑塊A從圓弧軌道的最高點無初速度釋放，已知圓弧軌道半徑，小滑塊A、B的質量關系是重力加速度，則碰后小滑塊B的速度大小不可能是( )
A. 5 m/s
B. 4 m/s
C. 3 m/s
D. 2 m/s
A
三、程序法：程序法是依據事件發生的順序，對各物理過程分段研究的方法，多用于求解多過程問題。
3.如圖，光滑水平直軌道上有三個質量均為m的物塊A、B、C，B的左側固定一輕彈簧(彈簧左側的擋板質量不計)。設A以速度v0朝B運動，壓縮彈簧；當A、B速度相等時，B與C恰好相碰并粘接在一起，然后繼續運動。假設B和C碰撞過程時間極短。求從A開始壓縮彈簧直至與彈簧分離的過程中
(1)整個系統損失的機械能;
(2)彈簧被壓縮到最短時的彈性勢能。
（1） （2）
歷年高考真題體驗
8.(2022重慶，4)在測試汽車的安全氣囊對駕乘人員頭部防護作用的實驗中，某小組得到了假人頭部所受安全氣囊的作用力隨時間變化的曲線(如圖)。從碰撞開始到碰撞結束過程中，若假人頭部只受到安全氣囊的作用，則由曲線可知，假人頭部( )
A. 速度的變化量等于曲線與橫軸圍成的面積
B. 動量大小先增大后減小
C. 動能變化正比于曲線與橫軸圍成的面積
D. 加速度大小先增大后減小
D
9.(2021廣東，13)算盤是我國古老的計算工具，中心帶孔的相同算珠可在算盤的固定導桿上滑動，使用前算珠需要歸零。如圖，水平放置的算盤中有甲、乙兩顆算珠未在歸零位置,甲靠邊框b，甲、乙相隔s1=3.5×10-2m，乙與邊框a相隔 s2=2.0×10-2m，算珠與導桿間的動摩擦因數μ=0.1。現用手指將甲以0.4m/s的初速度撥出，甲、乙碰撞后甲的速度大小為0.1m/s，方向不變，碰撞時間極短且不計，重力加速度。
(1)通過計算，判斷乙算珠能否滑動到邊框a；
(2)求甲算珠從撥出到停下所需的時間。
（1）能
（2）0.2s
10.(2022廣東，13)某同學受自動雨傘開傘過程的啟發，設計了如圖的物理模型。豎直放置在水平桌面上的滑桿上套有一個滑塊，初始時它們處于靜止狀態。當滑塊從A處以初速度向上滑動時，受到滑桿的摩擦力。滑塊滑到B處與滑桿發生完全非彈性碰撞，帶動滑桿離開桌面一起豎直向上運動。已知滑塊的質量，滑桿的質量，A、B間的距離，重力加速度，不計空氣阻力。求:
(1)滑塊在靜止時和向上滑動的過程中，桌面對滑桿支持力的大小N1和N2;
(2)滑塊碰撞前瞬間的速度大小v;
(3)滑桿向上運動的最大高度h。
（1）8N 5N （2）8（3）0.2m
11.(2022北京，10)質量為m1和 m2的兩個物體在光滑水平面上正碰，其位置坐標x隨時間t變化的圖像如圖所示。下列說法正確的是( )
A.碰撞前 m2的速率大于m1的速率
B.碰撞后m2的速率大于m1的速率
C.碰撞后m2的動量大于m1的動量
D.碰撞后m2的動能小于m1的動能
C
12.(2023 天津，12)已知A、B兩物體mA=2 kg，mB=1 kg，A物體從h=1.2m處自由下落，且同時B物體從地面豎直上拋，經過相遇碰撞后，兩物體立刻粘在一起運動，已知重力加速度，求:
(1)碰撞時離地高度x;
(2)碰后速度v;
(3)碰撞損失機械能ΔE.
（1）1m （2）0 （3）12J
13.(2023廣東，15)如圖為某藥品自動傳送系統的示意圖。該系統由水平傳送帶、豎直螺旋滑槽和與滑槽平滑連接的平臺組成，滑槽高為3L，平臺高為L.藥品盒A、B依次被輕放
在以v0的速度勻速運動的傳送帶上，在與傳送帶達到共速后，從M點進入滑槽，A剛好滑
到平臺最右端N點停下，隨后滑下的B以2v0的速度與A發生正碰，碰撞時間極短，碰撞后
A、B恰好落在桌面上圓盤直徑的兩端。已知A、B的質量分別為m和2m，碰撞過程中損失的能量為碰撞前瞬間總動能的。A與傳送帶間的動摩擦因數為μ，重力加速度為g，A、B在滑至N點之前不發生碰撞，忽略空氣阻力和圓盤的高度，將藥品盒視為質點。求:
(1)A在傳送帶上由靜止加速到與傳送帶共速所用的時間t;
(2)B從M點滑至N點的過程中克服阻力做的功W；
(3)圓盤的圓心到平臺右端N點的水平距離s.
（1）（2）6mgL（3）
14.(2022 福建，14)如圖，L形滑板A靜置在粗糙水平面上，滑板右端固定一勁度系數為k的輕質彈簧，彈簧左端與一小物塊B相連，彈簧處于原長狀態。一小物塊C以初速度v0從滑板最左端滑入，滑行s0后與B發生完全非彈性碰撞(碰撞時間極短)，然后一起向右運
動；一段時間后，滑板A也開始運動。已知A、B、C的質量均為m，滑板與小物塊、滑板與地面之間的動摩擦因數均為μ，重力加速度大小為g；最大靜摩擦力近似等于滑動摩擦
力，彈簧始終處于彈性限度內。求:
(1)C在碰撞前瞬間的速度大小;
(2)C與B碰撞過程中損失的機械能;
(3)從C與B相碰后到A開始運動的過程中，C和B克服摩擦力所做的功。
（1） （2）m() （3）
15.(2022河北，13)如圖，光滑水平面上有兩個等高且足夠長的滑板A和B，質量分別為1kg和2kg，A右端和B左端分別放置物塊C和D，物塊質量均為1kg。A和C以相同速度
向右運動，B和D以相同速度kv0向左運動，在某時刻發生碰撞，作用時間極短，碰撞后C與D粘在一起形成一個新物塊，A與B粘在一起形成一個新滑板。物塊與滑板之間的動摩擦因數均為μ=0.1，重力加速度大小取。
(1)若，求碰撞后瞬間新物塊與新滑板各自速度的大小和方向;
(2)若，從碰撞后到新物塊與新滑板相對靜止時，求兩者相對位移的大小。
（1）5（1-k），方向水平向右
，方向水平向右
（2）1.875m

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