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專(zhuān)題5.1.認(rèn)識(shí)方程+5.2.等式的基本性質(zhì)+專(zhuān)題5.3.一元一次方程和它的解
1、掌握并理解方程的概念，并掌握方程、等式的區(qū)別與聯(lián)系；
2、掌握并理解一元一次方程的概念，及方程的解與解方程的區(qū)別與聯(lián)系；
3、理解并掌握等式的兩個(gè)基本性質(zhì)，并能利用等式的基本性質(zhì)解方程。
模塊1：知識(shí)梳理 2
模塊2：核心考點(diǎn) 2
考點(diǎn)1.方程與等式的辨別 2
考點(diǎn)2.根據(jù)實(shí)際背景列方程 3
考點(diǎn)3.方程的解 4
考點(diǎn)4.等式的基本性質(zhì) 5
考點(diǎn)5.等式的基本性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用 6
考點(diǎn)6.利用等式的基本性質(zhì)解方程 7
考點(diǎn)7.一元一次方程的辨別 9
考點(diǎn)8.根據(jù)一元一次方程的概念求參數(shù) 10
考點(diǎn)9.根據(jù)方程的解或解的情況求參數(shù) 11
模塊3：能力培優(yōu) 12
1.認(rèn)識(shí)方程
1）方程：含有未知數(shù)的等式。
如何判斷一個(gè)式子是不是方程，只需看兩點(diǎn)：一.是等式；二.是含有未知數(shù)。．
2）方程的解：使方程兩邊相等的未知數(shù)的值。
2.等式的基本性質(zhì)
性質(zhì)1：等式兩邊同加上（或同減去）同一個(gè)數(shù)或式，所得結(jié)果任是等式。
用字母可以表示為：如果，那么。
性質(zhì)2：等式兩邊都乘或都除以同一個(gè)數(shù)或式，（除數(shù)不能為零），所得結(jié)果任是等式。
用字母可以表示為：如果，那么或（c≠0）。
其他性質(zhì)：①對(duì)稱(chēng)性：若a=b，則b=a；②傳遞性：若a=b，b=c，則a=c。
3.一元一次方程和它的解
1）一元一次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)都是一次，且兩邊都是整式的方程。
如何判斷一元一次方程：
①整式方程；②只含一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的系數(shù)不為0；③未知數(shù)的次數(shù)為1.
2）一元一次方程的解：使一元一次方程兩邊相等的未知數(shù)的值，叫作一元一次方程的解，也叫方程的根。
3）解方程：求方程的解的過(guò)程叫作解方程。
考點(diǎn)1.方程與等式的辨別
例1．（23-24七年級(jí)上·浙江臺(tái)州·期中）下列四個(gè)式子中，是方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了方程的識(shí)別，理解并掌握方程的定義是解題關(guān)鍵．方程的定義：含有未知數(shù)的等式叫方程，據(jù)此即可獲得答案．
【詳解】解：A、 不含有未知數(shù)，故不是方程，不符合題意；
B、 是方程，符合題意；C、不是等式，故不是方程，不符合題意；
D、不含有未知數(shù)，故不是方程，不符合題意．故選：B．
變式1．（23-24七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）下列四個(gè)式子中，是方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)含有未知數(shù)的等式叫做方程，判斷選擇即可．
【詳解】A. ，不是等式，不是方程，不符合題意；
B. 是方程，符合題意；C. 不是等式，不符合題意；
D. 不含有未知數(shù)，不符合題意；故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了方程的定義，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．
變式2．（2024七年級(jí)上·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）下列關(guān)于x的方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，整式方程有 ．
【答案】②③④⑥
【分析】本題考查了整式方程的定義，判斷一個(gè)方程是否為整式方程，要看分母中是否含有未知數(shù)（注意：僅僅是字母不行，必須是表示未知數(shù)的字母）．根據(jù)整式方程的定義：分母中不含未知數(shù)的方程叫做整式方程進(jìn)行判斷．
【詳解】解：②0，③，④，⑥的分母中不含未知數(shù)，是整式方程；①和⑤分母中含未知數(shù)，是分式方程．
故答案為：②③④⑥．
考點(diǎn)2.根據(jù)實(shí)際背景列方程
例1．（24-25七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖，根據(jù)圖形中標(biāo)出的量及其滿足的關(guān)系，列出的方程，正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查列方程，根據(jù)三角形面積公式列出方程即可．
【詳解】解：根據(jù)題意直角三角形兩直角邊的邊長(zhǎng)分別為，面積為6，則，故選：D．
變式1．（23-24七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期中）根據(jù)條件“比的一半大3的數(shù)等于的7倍”中的數(shù)量關(guān)系列出方程為 ．
【答案】
【分析】本題考查了列方程，根據(jù)等量關(guān)系列出方程即可求解，理清題意，根據(jù)等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：依題意得：，故答案為：．
變式2．（23-24八年級(jí)上·陜西咸陽(yáng)·期中）蛋白質(zhì)和碳水化合物是我們?nèi)粘ｏ嬍持械膬蓚€(gè)重要組成部分，它們都是身體所需的營(yíng)養(yǎng)素，能夠?yàn)槲覀兲峁┠芰浚黄颗Ｄ痰臓I(yíng)養(yǎng)成分中，碳水化合物含量是蛋白質(zhì)的倍，碳水化合物，蛋白質(zhì)與脂肪的含量共．設(shè)蛋白質(zhì)的含量為，脂肪的含量為，可列出方程為 ．
【答案】
【分析】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程，根據(jù)碳水化合物、蛋白質(zhì)與脂肪的含量共列方程，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找出合適的等量關(guān)系，列出方程．
【詳解】解：設(shè)蛋白質(zhì)的含量為，脂肪的含量為，則碳水化合物含量為，依題意可列方程，，故答案為：．
考點(diǎn)3.方程的解
例1．（24-25七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）下列方程中，解為的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此題主要考查了一元一次方程的解．直接利用一元一次方程的解的意義分別判斷得出答案．
【詳解】解：A、當(dāng)時(shí)，，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、當(dāng)時(shí)，，故此選項(xiàng)符合題意；
C、當(dāng)時(shí)，，故此選項(xiàng)不符合題意；
D、當(dāng)時(shí)，，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：B．
變式1．（24-25七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）下列方程中，解是的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了一元一次方程的解，掌握方程的解能夠使方程兩邊左右相等是解題關(guān)鍵．將分別代入方程計(jì)算即可．
【詳解】解：A、，不符合題意；B、，符合題意；
C、，不符合題意；D、，不符合題意；故選：B．
變式2．（24-25七年級(jí)上·河南漯河·開(kāi)學(xué)考試）下列方程中，（ ）的解是．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了方程的解的定義，使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫方程的解，熟知方程的解的定義是解題關(guān)鍵．根據(jù)方程解的定義逐項(xiàng)代入即可判斷．
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，左邊，左邊右邊，所以不是原方程的解，故原選項(xiàng)不合題意；
當(dāng)時(shí)，左邊，左邊右邊，所以不是原方程的解，故原選項(xiàng)不符合題意；
當(dāng)時(shí)，左邊，左邊右邊，所以不是原方程的解，故原選項(xiàng)不合題意；
當(dāng)時(shí)，左邊，左邊右邊，所以是原方程的解，故原選項(xiàng)合題意．
故選：．
考點(diǎn)4.等式的基本性質(zhì)
例1．（23-24七年級(jí)上·江蘇蘇州·期中）已知 ，則下列變形不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此題主要考查了等式的性質(zhì)，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：（1）等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），結(jié)果仍得等式．（2）等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)或除以一個(gè)不為零的數(shù)，結(jié)果仍得等式．
根據(jù)等式的性質(zhì)逐項(xiàng)判定即可．
【詳解】解：A、，成立，故此選項(xiàng)正確，不符合題意；
B、，當(dāng)時(shí)，不成立，故此選項(xiàng)不正確，符合題意；
C、，成立，故此選項(xiàng)正確，不符合題意；
在、，成立，故此選項(xiàng)正確，不符合題意；故選：B．
變式1．（23-24七年級(jí)上·天津·期中）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（　　）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】B
【分析】本題考查了等式的基本性質(zhì)，根據(jù)等式的基本性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可求解，掌握等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：、∵，根據(jù)等式的基本性質(zhì)：“等式兩邊同時(shí)除以同一個(gè)不為的數(shù)，兩邊仍然相等”可得，∴正確，不符合題意；
、∵，當(dāng)時(shí)，根據(jù)等式的基本性質(zhì)：“等式兩邊同時(shí)除以同一個(gè)不為的數(shù)，兩邊仍然相等”，可得；當(dāng)時(shí)，，可得，∴或，∴錯(cuò)誤，符合題意；
、∵，根據(jù)等式的基本性質(zhì)：“等式兩邊減去同一個(gè)數(shù)，兩邊仍然相等”，可得，
∴正確，不符合題意；
、∵，根據(jù)等式的基本性質(zhì)：“等式兩邊乘以同一個(gè)數(shù)，兩邊仍然相等”，可得，
∴正確，不符合題意；故選：．
變式2．（24-25七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）運(yùn)用等式性質(zhì)進(jìn)行的變形，正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則
【答案】B
【分析】本題考查了等式的性質(zhì)，性質(zhì)1：等式兩邊同時(shí)加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等；性質(zhì)2：等式兩邊同時(shí)乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等，根據(jù)對(duì)應(yīng)性質(zhì)逐一判斷，即可得到答案．
【詳解】解：A、若，當(dāng)時(shí)，，原變形錯(cuò)誤，不符合題意；
B、若，則，原變形正確，符合題意；
C、若，則，原變形錯(cuò)誤，不符合題意；
D、若，則，原變形錯(cuò)誤，不符合題意；故選：B．
考點(diǎn)5.等式的基本性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用
例1．（23-24七年級(jí)上·河北廊坊·期中）天平托盤(pán)中形狀相同的物體質(zhì)量相等，能運(yùn)用等式的性質(zhì)說(shuō)明如圖所示的事實(shí)的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
【答案】A
【分析】本題考查了等式的性質(zhì)，掌握等式兩邊加或減去同一個(gè)數(shù)（或式子）結(jié)果仍得等式；等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)或除以一個(gè)不為零的數(shù)，結(jié)果仍得等式是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：觀察圖形，左圖得等式，右圖得等式，利用等式性質(zhì)1：等式兩邊加或減去同一個(gè)數(shù)（或式子）結(jié)果仍得等式；符合題意；故選：A．
變式1．（2024七年級(jí)上·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）已知〇、△、口分別代表不同物體，用天平比較它們的質(zhì)量，如圖所示．根據(jù)砝碼顯示的質(zhì)量，求〇 g，□= g．
【答案】
【分析】本題考查了等式的性質(zhì)，熟悉掌握并能靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
設(shè)1個(gè)〇重g，1個(gè)□重g，1個(gè)△重g，利用代數(shù)式可表達(dá)出，，，運(yùn)算求解即可．
【詳解】解：設(shè)1個(gè)〇重g，1個(gè)□重g，1個(gè)△重g．由題意可得：，，．
根據(jù)等式的基本性質(zhì)2，將的兩邊同除以2，得，
將的兩邊同除以5，得，將和代入，得，
根據(jù)等式的基本性質(zhì)1，將兩邊同時(shí)減，得，
根據(jù)等式的基本性質(zhì)2，將兩邊同時(shí)除以，得，
將代入，得，〇g，□g．故答案為：，．
變式2．（2023秋·浙江·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）有13個(gè)乒乓球，有12個(gè)質(zhì)量相同，另有一個(gè)較輕一點(diǎn)，如果用天平稱(chēng)，至少稱(chēng)（　　）次保證能找出這個(gè)乒乓球．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，首先要將13個(gè)乒乓球分成1、6、6三組，若一樣重，則拿出的那一個(gè)是次品；若不一樣重，再將輕的那6個(gè)分成3、3兩組，進(jìn)而再將輕的那3個(gè)分成1、1、1稱(chēng)量，即可求解．
【詳解】解：首先要將13個(gè)乒乓球分成1、6、6三組，先稱(chēng)量6、6兩組，若一樣重，則拿出的那一個(gè)是次品；若不一樣重，再將輕的那6個(gè)分成3、3兩組，進(jìn)而再將輕的那3個(gè)分成1、1、1稱(chēng)量，
從而可知至少需要3次才能找出次品．故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，等式的性質(zhì)，理解題意是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)6.利用等式的基本性質(zhì)解方程
例1．（23-24七年級(jí)上·天津?yàn)I海新·期中）利用等式性質(zhì)解方程
(1) (2) (3) (4)
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)
【分析】本題考查等式的基本性質(zhì)．等式性質(zhì)：1、等式的兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)或字母，等式仍成立；2、等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)不為0的數(shù)或字母，等式仍成立．
（1）兩邊同時(shí)加上4即可求解；（2）兩邊同時(shí)除以即可求解；
（3）方程兩邊同加上10，再除以5即可求解；（4）兩邊同時(shí)減去1，再除以3即可求解．
【詳解】（1）解：，
兩邊同時(shí)加上4，得；
（2）解：，
兩邊同時(shí)除以，得；
（3）解：，
方程兩邊同加上10，得，
兩邊同時(shí)除以5，得；
（4）解：，
兩邊同時(shí)減去1，得，
兩邊同時(shí)除以3，得．
變式1．（23-24七年級(jí)上·河南商丘·期中）利用等式的性質(zhì)解下列方程：
(1)；(2)．
【答案】(1)；(2)．
【分析】（）兩邊同時(shí)減即可求解；
（）兩邊同時(shí)加上，然后兩邊同時(shí)乘以，即可求解；,
本題考查了等式的基本性質(zhì)，解題的根據(jù)是正確理解等式性質(zhì)：、等式的兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)或字母，等式仍成立；、等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)不為數(shù)或字母，等式仍成立．
【詳解】（1）解：，
；
（2）解：，
，
，
．
變式2．（2024七年級(jí)上·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）回答下列問(wèn)題，并說(shuō)明變形的根據(jù)：(1)怎樣從等式得到等式？(2)怎樣從等式得到等式？(3)怎樣從等式得到等式？
【答案】(1)兩邊同時(shí)減去，(2)兩邊同時(shí)除以5；(3)見(jiàn)解析
【分析】本題考查了等式的性質(zhì)，性質(zhì)1、等式兩邊加同一個(gè)數(shù)（或式子）結(jié)果仍得等式；性質(zhì)2、等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)或除以一個(gè)不為零的數(shù)，結(jié)果仍得等式．（1）根據(jù)等式的性質(zhì)1可得到答案；
（2）根據(jù)等式的性質(zhì)2可得到答案；（3）根據(jù)等式的性質(zhì)2可得到答案；
【詳解】（1）解：兩邊同時(shí)減去，
等式得到；
（2）解：兩邊同時(shí)除以5，
等式得到；
（3）解：兩邊同時(shí)乘以8，
等式得到．
考點(diǎn)7.一元一次方程的辨別
例1．（23-24七年級(jí)上·江蘇淮安·期中）下列等式中是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查一元一次方程的定義，解題的關(guān)鍵是掌握一元一次方程的定義：只含一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)為次的整式方程，進(jìn)行解答，即可．
【詳解】A、不是整式方程，不符合題意；B、是一元一次方程，符合題意；
C、有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元一次方程，不符合題意；
D、不是等式，故選：B．
變式1．（23-24七年級(jí)上·貴州遵義·期中）下列方程是一元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了一元一次方程的定義，解題的關(guān)鍵是掌握判斷一元一次方程要分為兩步：（1）判斷是否是整式方程；（2）對(duì)整式方程化簡(jiǎn)，化簡(jiǎn)后判斷是否只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的指數(shù)是1只含有一個(gè)未知數(shù)．
【詳解】解：A．符合一元一次方程的定義，是一元一次方程，故正確，符合題意；
B．含有兩個(gè)未知數(shù)，是二元一次方程，故錯(cuò)誤，不符合題意；
C．未知數(shù)的最高次數(shù)是2，是一元二次方程，故錯(cuò)誤，不符合題意；
D．分母含有未知數(shù)，是分式方程，故錯(cuò)誤，不符合題意．故選：A．
變式2．（24-25七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）下列各式中，是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查一元一次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)（元），且未知數(shù)的次數(shù)是1，這樣的整式方程叫一元一次方程．根據(jù)定義即可求出答案．
【詳解】解：A、不是方程，不是一元一次方程，本選項(xiàng)不符合題意；
B、是一元一次方程，本選項(xiàng)符合題意；
C、未知數(shù)的最高次不是1，不是一元一次方程，本選項(xiàng)不符合題意；
D、有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元一次方程，本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．
考點(diǎn)8.根據(jù)一元一次方程的概念求參數(shù)
例1．（2024七年級(jí)上·北京·專(zhuān)題練習(xí)）如果關(guān)于的方程是一元一次方程．那么，應(yīng)滿足的條件是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【分析】本題考查了一元一次方程的定義，能根據(jù)一元一次方程的定義得出且是解此題的關(guān)鍵，注意：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是1的整式方程叫一元一次方程．
【詳解】解：關(guān)于的方程是一元一次方程，
且，且．故選：C
變式1．（2024七年級(jí)上·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）已知方程是關(guān)于的一元一次方程，則方程的解等于（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】D
【分析】本題考查的是解一元一次方程和一元一次方程的定義，掌握一元一次方程的定義與求解是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一元一次方程的定義，即含有1個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的整式方程是一元一次方程，據(jù)此求出的值，然后再求解方程即可．
【詳解】解：根據(jù)一元一次方程的定義可知，且，解得：，
原方程為：，解得：，故選：D
變式2．（24-25七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知是關(guān)于的一元一次方程，則的值是 ．
【答案】2
【分析】本題考查了一元一次方程的概念，根據(jù)一元一次方程的定義得到，求出m即可．
【詳解】解：根據(jù)題意得：，解得：，故答案為：2．
考點(diǎn)9.根據(jù)方程的解或解的情況求參數(shù)
例1．（23-24七年級(jí)上·陜西延安·階段練習(xí)）若方程的解是，則的值為（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【分析】將代入方程，進(jìn)行求解即可．掌握方程的解是使方程成立的未知數(shù)的值，是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵方程的解是，∴，解得：；故選A．
變式1．（23-24七年級(jí)上·江蘇徐州·期末）若是關(guān)于x的方程的解，則代數(shù)式 ．
【答案】5
【分析】本題考查一元一次方程，解題的關(guān)鍵是正確理解一元一次方程的解的概念，本題屬于基礎(chǔ)題型．將代入原方程即可求出，然后將其整體代入求值．
【詳解】解：將代入原方程可得：，
∴，故答案為：5
變式2．（23-24七年級(jí)上·江蘇南京·階段練習(xí)）已知關(guān)于的方程的解是，則的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了一元一次方程的解，把代入，計(jì)算即可作答．
【詳解】解：依題意，代入，
得解得故答案為：
全卷共25題 測(cè)試時(shí)間：70分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．（2024七年級(jí)上·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）下列式子中，方程的個(gè)數(shù)是（ ）
①；②；③；④；⑤；
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本題考查方程的定義，掌握含有未知數(shù)的等式叫做方程是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)方程的定義求解即可．
【詳解】解：①中不含有未知數(shù)，不是方程；
②不是等式，不是方程；③、④符合方程的定義；
⑤是代數(shù)式，不是等式，不是方程；綜上，方程有2個(gè)．故本題選：A．
2．（24-25七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）是下列方程（ ）的解．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了一元一次方程的解，將分別代入四個(gè)選項(xiàng)，能使得方程左邊等于右邊即為方程的解．
【詳解】解：把代入，A、左邊，右邊，因此不是的解，故不符合題意；
B、左邊，右邊，因此是的解，故符合題意；
C、左邊，右邊，因此不是的解，故不符合題意；
D、左邊，右邊，因此不是的解，故不符合題意；故選：B．
3．（24-25七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知關(guān)于的方程的解是，則的值為（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】B
【分析】本題考查方程的解，解一元一次方程．
把代入方程，得到關(guān)于a的方程，求解即可．
【詳解】解：∵關(guān)于的方程的解是，
∴，解得．故選：B
4．（24-25七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）下列運(yùn)用等式的性質(zhì)對(duì)等式進(jìn)行的變形中，不正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．，且，則
【答案】B
【分析】本題考查等式的性質(zhì)．等式兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)整式，或者等式兩邊同時(shí)乘或除以同一個(gè)不為0的整式，或是等式左右兩邊同時(shí)乘方，等式仍然成立．熟記相關(guān)結(jié)論是解題關(guān)鍵．
【詳解】解：若，因?yàn)榈仁絻蛇呁瑫r(shí)加上（或減去）同一個(gè)整式，等式仍然成立，
∴，故A正確，不符合題意；
若，當(dāng)時(shí)，不一定成立，故B錯(cuò)誤，符合題意；
若，因?yàn)榈仁絻蛇呁瑫r(shí)乘或除以同一個(gè)不為0的整式，等式仍然成立，
∴，故C正確，不符合題意；
若，且，因?yàn)榈仁絻蛇呁瑫r(shí)乘或除以同一個(gè)不為0的整式，等式仍然成立，
∴，故D正確，不符合題意；故選：B
5．（23-24七年級(jí)上·山東德州·期中）把等式變形為是根據(jù)（ ）．
A．等式左右兩端都加上 B．在等式左右兩端都加上
C．在等式左右兩端都加上 D．在等式左右兩端都加上
【答案】C
【分析】本題主要考查了等式的基本性質(zhì)，等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)（或字母），等式仍成立；等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)不為0的數(shù)（或字母），等式仍成立．利用等式的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：把等式變形為是根據(jù)在等式左右兩端都加上．故選：C．
6．（23-24七年級(jí)上·吉林·階段練習(xí)）等式就像平衡的天平，能與如圖的事實(shí)具有相同性質(zhì)的是（　　）

A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
【答案】C
【分析】本題考查了等式的基本性質(zhì)，利用等式的性質(zhì)對(duì)每個(gè)等式進(jìn)行判斷即可找出答案．解題的關(guān)鍵是掌握等式的基本性質(zhì)．
【詳解】解：觀察圖形，使等式的兩邊都加，得到，利用等式性質(zhì)1，所以成立．
故選：．
7．（24-25七年級(jí)上·廣東·期中）下列各式：①；②；③；④；⑤．其中，一元一次方程有（ ）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【答案】A
【分析】本題考查的是一元一次方程的定義，掌握一元一次方程的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一元一次方程的定義進(jìn)行判定．
【詳解】解：①是二元一次方程，不符合題意；②是一元二次方程，不符合題意；
③是一元一次方程，符合題意；④是分式方程，不符合題意；
⑤是代數(shù)式，不是方程，不符合題意．故選：A．
8．（2023七年級(jí)上·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）若方程是關(guān)于x的一元一次方程，則代數(shù)式的值為（ ）
A． B．1 C．2023 D．
【答案】B
【分析】本題考查了一元一次方程的定義，平方根，代數(shù)式求值；
根據(jù)一元一次方程的定義知，且，據(jù)此可求出，然后可求得代數(shù)式的值．
【詳解】解：將方程整理為：，
∵方程是關(guān)于x的一元一次方程，
∴，，解得：，∴，故選：B．
9．（23-24七年級(jí)上·四川綿陽(yáng)·期末）已知關(guān)于的方程的解，則的值為（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】本題考查了一元一次方程的解，熟練掌握方程的解法是解題關(guān)鍵．先根據(jù)方程的解定義可得，從而可得，再進(jìn)一步即可得答案．
【詳解】解：由題意得：，
∴，∴，∴，故選：A．
10．（23-24七年級(jí)下·四川宜賓·階段練習(xí)）關(guān)于的方程有解，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了一元一次方程的解，根據(jù)關(guān)于的方程有解，得出，然后求出結(jié)果即可．
【詳解】解：∵關(guān)于的方程有解，
∴，解得：，即的取值范圍是，故選：C．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在橫線上）
11．（24-25七年級(jí)上·山東·課后作業(yè)）如果，那么 ，其依據(jù)是 ．
【答案】 等式的基本性質(zhì)1
【分析】本題考查了等式的基本性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等式的基本性質(zhì)1，左右兩邊同時(shí)加上或者減去同一個(gè)數(shù)，等式仍然成立，進(jìn)行填空即可．
【詳解】解：
故答案為：，等式的基本性質(zhì)1
12．（23-24七年級(jí)上·廣東廣州·期中）如果，那么 ．
【答案】
【分析】本題考查等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握等式兩邊加同一個(gè)數(shù)（或式子）結(jié)果仍得等式．
【詳解】解：由題可知，，則，則，故答案為：．
13．（24-25七年級(jí)上·重慶·階段練習(xí)）若是關(guān)于x的一元一次方程，則的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了一元一次方程的定義，絕對(duì)值，以及代數(shù)式求值，熟記“只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是1的整式方程是一元一次方程”是解題關(guān)鍵．根據(jù)一元一次方程的定義，求出，再代入計(jì)算求值即可．
【詳解】解：是關(guān)于x的一元一次方程，，，，
，故答案為：．
14．（24-25七年級(jí)上·浙江·期中）寫(xiě)出一個(gè)滿足下列條件的一元一次方程：①未知數(shù)的系數(shù)是；②方程的解是2．這樣的方程是 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】只含有一個(gè)未知數(shù)（元），并且未知數(shù)的指數(shù)是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是，是常數(shù)且；根據(jù)題意只要求得即可求得方程．本題主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的指數(shù)是1，一次項(xiàng)系數(shù)不是0，這是這類(lèi)題目考查的重點(diǎn)．
【詳解】解：∵一元一次方程形式是，是常數(shù)且；由題意可知，．
則將與的值代入中得：，解得：，
所以該一元一次方程為：．故答案為：（答案不唯一）．
15．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）閱讀材料：整體代值是數(shù)學(xué)中常用的方法．例如“已知，求代數(shù)式的值．”可以這樣解：．根據(jù)閱讀材料，解決問(wèn)題：若是關(guān)于x的一元一次方程的解，則代數(shù)式的值是 ．
【答案】7
【分析】本題主要考查了一元一次方程的解的定義，代數(shù)式求值，先根據(jù)一元一次方程解的定義是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值得到，再根據(jù)進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵是關(guān)于x的一元一次方程的解，∴，
∴，故答案為：7．
16．（23-24七年級(jí)上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）整式的值隨x的取值不同而不同，下表是當(dāng)x取不同值時(shí)對(duì)應(yīng)的整式的值，則關(guān)于x的方程的解是 ．
x 0 1 2
7 5 3 1
【答案】2
【分析】此題考查了一元一次方程的解，以及代數(shù)式求值，熟練掌握各自的解法是解本題的關(guān)鍵．據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)可直接得出方程的解．
【詳解】解：根據(jù)表格得：當(dāng)時(shí)，，
故的的解為．故答案為：2．
17．（24-25七年級(jí)上·浙江·期中）已知a，b為定值，關(guān)于x的方程，無(wú)論k為何值，它的解總是1，則 ．
【答案】/
【分析】本題考查方程解的定義，熟練運(yùn)用方程解的定義及由k可以取任何值得到a和b的值是解題的關(guān)鍵．把代入已知等式，得到，整理為的形式，令，由此求得，進(jìn)而求得a、b的值，代入求值即可．
【詳解】解：把代入方程，得：
，即，整理得：，
無(wú)論k為何值，它的解總是1，，，解得：，，
則，故答案為：．
18．（23-24九年級(jí)下·浙江杭州·自主招生）已知，，，，是滿足條件的五個(gè)不同的整數(shù)，若是關(guān)于的方程的整數(shù)根，則的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查的是方程的整數(shù)根問(wèn)題，根據(jù)已知條件可知，，，，是五個(gè)不同的整數(shù)，再把分解成五個(gè)整數(shù)積的形式，再把，，，，五個(gè)整數(shù)相加可得它們的和，最后把代入計(jì)算即可求解，根據(jù)題意把分解成幾個(gè)整數(shù)積的形式是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵是關(guān)于的方程的整數(shù)根，
∴，
∵，且，，，，是五個(gè)不同的整數(shù)，
∴，，，，也是五個(gè)不同的整數(shù)，
∵，
∴，即，
∵，∴，∴，故答案為：．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
19．（23-24七年級(jí)上·浙江·課堂例題）判斷下列各式是不是方程，不是方程的說(shuō)明理由．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)不是方程，見(jiàn)解析
(2)是方程
(3)不是方程，見(jiàn)解析
(4)不是方程，見(jiàn)解析
(5)是方程
(6)不是方程，見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)方程的定義（含有未知數(shù)的等式叫做方程）即可得；
（2）根據(jù)方程的定義（含有未知數(shù)的等式叫做方程）即可得；
（3）根據(jù)方程的定義（含有未知數(shù)的等式叫做方程）即可得；
（4）根據(jù)方程的定義（含有未知數(shù)的等式叫做方程）即可得；
（5）根據(jù)方程的定義（含有未知數(shù)的等式叫做方程）即可得；
（6）根據(jù)方程的定義（含有未知數(shù)的等式叫做方程）即可得．
【詳解】（1）解：不是方程，理由是：不含未知數(shù)．
（2）解：是方程．
（3）解：不是方程，理由是：不是等式．
（4）解：不是方程，理由是：不是等式．
（5）解：是方程．
（6）解：不是方程，理由是：不含未知數(shù)．
【點(diǎn)睛】本題考查了方程，熟記方程的概念是解題關(guān)鍵．
20．（23-24七年級(jí)·海南儋州·階段練習(xí)）只列方程，不解方程
(1)某班有男生25人，比女生的2倍少15人，這個(gè)班女生有多少人？
(2)小明買(mǎi)蘋(píng)果和梨共5千克，用去21元，其中蘋(píng)果每千克5元，梨每千克4元，問(wèn)蘋(píng)果買(mǎi)了多少千克？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設(shè)這個(gè)班女生有人，根據(jù)有男生25人，比女生的2倍少15人列出方程即可；
（2）設(shè)小明蘋(píng)果買(mǎi)了千克，則梨買(mǎi)了千克，再根據(jù)蘋(píng)果和梨的價(jià)格、以及用去21元列出方程即可得．
【詳解】（1）解：設(shè)這個(gè)班女生有人，
由題意列方程為．
（2）設(shè)小明蘋(píng)果買(mǎi)了千克，則梨買(mǎi)了千克，
由題意列方程為．
【點(diǎn)睛】本題考查了列一元一次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．
21．（2024七年級(jí)上·北京·專(zhuān)題練習(xí)）已知是非零整數(shù)，關(guān)于的方程是一元一次方程，求的值．
【答案】4或或1
【分析】本題主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的指數(shù)是1，一次項(xiàng)系數(shù)不是0，這是這類(lèi)題目考查的重點(diǎn)．分情況討論，（1），，（2），，根據(jù)一元一次方程的定義求得、的值．
【詳解】解：分兩種情況：
（1），，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；
（2），，
解得，，；
當(dāng)時(shí)，，即；
當(dāng)時(shí)，由原方程，得，不符合題意．
22．（2024七年級(jí)上·浙江·專(zhuān)題練習(xí)）下列方程的變形是否正確？為什么？
(1)由，得．
(2)由，得．
(3)由，得．
(4)由，得．
【答案】(1)不正確，理由見(jiàn)解析
(2)不正確，理由見(jiàn)解析
(3)不正確，理由見(jiàn)解析
(4)不正確，理由見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)左邊減3，右邊加3，可得變形不正確；
（2）根據(jù)左邊除以7，右邊乘，可得變形不正確；
（3）根據(jù)左邊乘2，右邊加2，可得變形不正確；
（4）根據(jù)左邊加x減3，右邊減x減3，可得變形不正確．
【詳解】（1）解：由，得，不是，故原變形不正確，
∵方程左邊減3，右邊加3，
∴變形不正確；
（2）解：由，得，不是，故原變形不正確，
∵左邊除以7，右邊乘，
∴變形不正確；
（3）解：由，得，不是，故原變形不正確，
∵左邊乘2，右邊加2，
∴變形不正確；
（4）解：由，得，不是，故原變形不正確，
∵左邊加x減3，右邊減x減3，
∴變形不正確．
【點(diǎn)睛】本題考查了等式的性質(zhì)，等式的兩邊不是都加或都減同一個(gè)數(shù)，左右大小關(guān)系發(fā)生了變化，等式的兩邊不是都乘或都除同一個(gè)數(shù)（不為0），左右大小關(guān)系發(fā)生了變化．
23．（2024七年級(jí)上·浙江·專(zhuān)題練習(xí)）利用等式的基本性質(zhì)將方程化為的形式．
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本題考查的是方程的解法，等式的基本性質(zhì)的應(yīng)用；
（1）先化簡(jiǎn)方程，再根據(jù)等式的性質(zhì)，方程兩邊同時(shí)減去7，再同時(shí)減去，最后同時(shí)除以2即可；
（2）先按照比例的基本性質(zhì)變?yōu)椋倩?jiǎn)方程，最后根據(jù)等式的性質(zhì)，方程兩邊同時(shí)乘以3，再同時(shí)減去2即可；
（3）運(yùn)用乘法分配律化為，然后根據(jù)等式的性質(zhì)，在方程兩邊同時(shí)減去60，再在方程兩邊同時(shí)減去，最后在方程兩邊同時(shí)除以即可；
（4）根據(jù)等式的性質(zhì)，在方程兩邊同時(shí)乘6，再在方程兩邊同時(shí)加12，再在方程兩邊同時(shí)減去x，最后在方程兩邊同時(shí)除以5即可．
【詳解】（1）解：，
化簡(jiǎn)，得，
兩邊同時(shí)減去7，得，
即，
兩邊同時(shí)減去，得，
即，
兩邊同時(shí)除以2，得，
即；
（2）解：，
∴，
即，
兩邊同時(shí)乘3，得，
即，
兩邊同時(shí)減去2，得，
即；
（3）解：
化簡(jiǎn)，得，
兩邊同時(shí)減去60，得，
即，
兩邊同時(shí)減去，得
即，
兩邊同時(shí)除以，得，
即；
（4）解：，
兩邊同時(shí)乘以6，得，
化簡(jiǎn)，得，
兩邊同時(shí)加上12，得，
兩邊同時(shí)減去x，得，
兩邊同時(shí)除以5，得．
24．（23-24七年級(jí)上·山東·課堂例題）有一個(gè)愛(ài)思考的同學(xué)，他平時(shí)總喜歡思考問(wèn)題．有一天他對(duì)媽媽說(shuō)：“我發(fā)現(xiàn)2和5是可以一樣大的，我這里有一個(gè)方程．等式兩邊同時(shí)加2，得①，即．等式兩邊同時(shí)除以，得②．”你認(rèn)為這個(gè)同學(xué)的說(shuō)法正確嗎？如果正確，請(qǐng)說(shuō)明上述①②步的理由；如果不正確，請(qǐng)指出錯(cuò)在哪里，并加以改正．
【答案】不正確；詳見(jiàn)解析
【分析】根據(jù)等式的基本性質(zhì)進(jìn)行解答即可．
【詳解】解：不正確．
①正確，運(yùn)用了等式的性質(zhì)1；
②不正確，等式兩邊不能同時(shí)除以，因?yàn)榭赡転?．改正：由，等式兩邊同時(shí)減去，得；
等式兩邊同時(shí)除以3，得．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等式基本性質(zhì)，1、等式兩邊同時(shí)加上(或減去)同一個(gè)整式,等式仍然成立。 2、等式兩邊同時(shí)乘或除以同一個(gè)不為0的整式，等式仍然成立．
25．（23-24七年級(jí)上·浙江臺(tái)州·期中）若不論k取什么實(shí)數(shù)，關(guān)于x的方程(是常數(shù))的解總是，求的值．
【答案】
【分析】此題考查了一元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．
把代入方程計(jì)算，求出與的值，即可求出的值．
【詳解】解：把代入方程得：
去分母得：，
整理得：，
∵不論取什么實(shí)數(shù)，關(guān)于的方程(是常數(shù)的解總是，
∴，
解得：，
則．
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專(zhuān)題5.1.認(rèn)識(shí)方程+5.2.等式的基本性質(zhì)+專(zhuān)題5.3.一元一次方程和它的解
1、掌握并理解方程的概念，并掌握方程、等式的區(qū)別與聯(lián)系；
2、掌握并理解一元一次方程的概念，及方程的解與解方程的區(qū)別與聯(lián)系；
3、理解并掌握等式的兩個(gè)基本性質(zhì)，并能利用等式的基本性質(zhì)解方程。
模塊1：知識(shí)梳理 2
模塊2：核心考點(diǎn) 2
考點(diǎn)1.方程與等式的辨別 2
考點(diǎn)2.根據(jù)實(shí)際背景列方程 3
考點(diǎn)3.方程的解 4
考點(diǎn)4.等式的基本性質(zhì) 5
考點(diǎn)5.等式的基本性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用 6
考點(diǎn)6.利用等式的基本性質(zhì)解方程 7
考點(diǎn)7.一元一次方程的辨別 9
考點(diǎn)8.根據(jù)一元一次方程的概念求參數(shù) 10
考點(diǎn)9.根據(jù)方程的解或解的情況求參數(shù) 11
模塊3：能力培優(yōu) 12
1.認(rèn)識(shí)方程
1）方程：含有未知數(shù)的等式。
如何判斷一個(gè)式子是不是方程，只需看兩點(diǎn)：一.是等式；二.是含有未知數(shù)。．
2）方程的解：使方程兩邊相等的未知數(shù)的值。
2.等式的基本性質(zhì)
性質(zhì)1：等式兩邊同加上（或同減去）同一個(gè)數(shù)或式，所得結(jié)果任是等式。
用字母可以表示為：如果，那么。
性質(zhì)2：等式兩邊都乘或都除以同一個(gè)數(shù)或式，（除數(shù)不能為零），所得結(jié)果任是等式。
用字母可以表示為：如果，那么或（c≠0）。
其他性質(zhì)：①對(duì)稱(chēng)性：若a=b，則b=a；②傳遞性：若a=b，b=c，則a=c。
3.一元一次方程和它的解
1）一元一次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)都是一次，且兩邊都是整式的方程。
如何判斷一元一次方程：
①整式方程；②只含一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的系數(shù)不為0；③未知數(shù)的次數(shù)為1.
2）一元一次方程的解：使一元一次方程兩邊相等的未知數(shù)的值，叫作一元一次方程的解，也叫方程的根。
3）解方程：求方程的解的過(guò)程叫作解方程。
考點(diǎn)1.方程與等式的辨別
例1．（23-24七年級(jí)上·浙江臺(tái)州·期中）下列四個(gè)式子中，是方程的是（ ）
A． B． C． D．
變式1．（23-24七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）下列四個(gè)式子中，是方程的是（　　）
A． B． C． D．
變式2．（2024七年級(jí)上·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）下列關(guān)于x的方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，整式方程有 ．
考點(diǎn)2.根據(jù)實(shí)際背景列方程
例1．（24-25七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖，根據(jù)圖形中標(biāo)出的量及其滿足的關(guān)系，列出的方程，正確的是（ ）
A． B． C． D．
變式1．（23-24七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期中）根據(jù)條件“比的一半大3的數(shù)等于的7倍”中的數(shù)量關(guān)系列出方程為 ．
變式2．（23-24八年級(jí)上·陜西咸陽(yáng)·期中）蛋白質(zhì)和碳水化合物是我們?nèi)粘ｏ嬍持械膬蓚€(gè)重要組成部分，它們都是身體所需的營(yíng)養(yǎng)素，能夠?yàn)槲覀兲峁┠芰浚黄颗Ｄ痰臓I(yíng)養(yǎng)成分中，碳水化合物含量是蛋白質(zhì)的倍，碳水化合物，蛋白質(zhì)與脂肪的含量共．設(shè)蛋白質(zhì)的含量為，脂肪的含量為，可列出方程為 ．
考點(diǎn)3.方程的解
例1．（24-25七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）下列方程中，解為的是（ ）
A． B． C． D．
變式1．（24-25七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）下列方程中，解是的方程是（ ）
A． B． C． D．
變式2．（24-25七年級(jí)上·河南漯河·開(kāi)學(xué)考試）下列方程中，（ ）的解是．
A． B． C． D．
考點(diǎn)4.等式的基本性質(zhì)
例1．（23-24七年級(jí)上·江蘇蘇州·期中）已知 ，則下列變形不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
變式1．（23-24七年級(jí)上·天津·期中）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（　　）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
變式2．（24-25七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）運(yùn)用等式性質(zhì)進(jìn)行的變形，正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則
考點(diǎn)5.等式的基本性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用
例1．（23-24七年級(jí)上·河北廊坊·期中）天平托盤(pán)中形狀相同的物體質(zhì)量相等，能運(yùn)用等式的性質(zhì)說(shuō)明如圖所示的事實(shí)的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
變式1．（2024七年級(jí)上·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）已知〇、△、口分別代表不同物體，用天平比較它們的質(zhì)量，如圖所示．根據(jù)砝碼顯示的質(zhì)量，求〇 g，□= g．
變式2．（2023秋·浙江·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）有13個(gè)乒乓球，有12個(gè)質(zhì)量相同，另有一個(gè)較輕一點(diǎn)，如果用天平稱(chēng)，至少稱(chēng)（　　）次保證能找出這個(gè)乒乓球．
A．1 B．2 C．3 D．4
考點(diǎn)6.利用等式的基本性質(zhì)解方程
例1．（23-24七年級(jí)上·天津?yàn)I海新·期中）利用等式性質(zhì)解方程
(1) (2) (3) (4)
變式1．（23-24七年級(jí)上·河南商丘·期中）利用等式的性質(zhì)解下列方程：(1)；(2)．
變式2．（2024七年級(jí)上·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）回答下列問(wèn)題，并說(shuō)明變形的根據(jù)：(1)怎樣從等式得到等式？(2)怎樣從等式得到等式？(3)怎樣從等式得到等式？
考點(diǎn)7.一元一次方程的辨別
例1．（23-24七年級(jí)上·江蘇淮安·期中）下列等式中是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
變式1．（23-24七年級(jí)上·貴州遵義·期中）下列方程是一元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
變式2．（24-25七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）下列各式中，是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
考點(diǎn)8.根據(jù)一元一次方程的概念求參數(shù)
例1．（2024七年級(jí)上·北京·專(zhuān)題練習(xí)）如果關(guān)于的方程是一元一次方程．那么，應(yīng)滿足的條件是（ ）
A．， B．， C．， D．，
變式1．（2024七年級(jí)上·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）已知方程是關(guān)于的一元一次方程，則方程的解等于（ ）
A．1 B．0 C． D．
變式2．（24-25七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知是關(guān)于的一元一次方程，則的值是 ．
考點(diǎn)9.根據(jù)方程的解或解的情況求參數(shù)
例1．（23-24七年級(jí)上·陜西延安·階段練習(xí)）若方程的解是，則的值為（ ）
A． B．4 C． D．
變式1．（23-24七年級(jí)上·江蘇徐州·期末）若是關(guān)于x的方程的解，則代數(shù)式 ．
變式2．（23-24七年級(jí)上·江蘇南京·階段練習(xí)）已知關(guān)于的方程的解是，則的值為 ．
全卷共25題 測(cè)試時(shí)間：70分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．（2024七年級(jí)上·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）下列式子中，方程的個(gè)數(shù)是（ ）
①；②；③；④；⑤；
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（24-25七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）是下列方程（ ）的解．
A． B． C． D．
3．（24-25七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知關(guān)于的方程的解是，則的值為（ ）
A． B．3 C． D．
4．（24-25七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）下列運(yùn)用等式的性質(zhì)對(duì)等式進(jìn)行的變形中，不正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．，且，則
5．（23-24七年級(jí)上·山東德州·期中）把等式變形為是根據(jù)（ ）．
A．等式左右兩端都加上 B．在等式左右兩端都加上
C．在等式左右兩端都加上 D．在等式左右兩端都加上
6．（23-24七年級(jí)上·吉林·階段練習(xí)）等式就像平衡的天平，能與如圖的事實(shí)具有相同性質(zhì)的是（　　）

A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
7．（24-25七年級(jí)上·廣東·期中）下列各式：①；②；③；④；⑤．其中，一元一次方程有（ ）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
8．（2023七年級(jí)上·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）若方程是關(guān)于x的一元一次方程，則代數(shù)式的值為（ ）
A． B．1 C．2023 D．
9．（23-24七年級(jí)上·四川綿陽(yáng)·期末）已知關(guān)于的方程的解，則的值為（ ）
A． B． C．1 D．2
10．（23-24七年級(jí)下·四川宜賓·階段練習(xí)）關(guān)于的方程有解，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在橫線上）
11．（24-25七年級(jí)上·山東·課后作業(yè)）如果，那么 ，其依據(jù)是 ．
12．（23-24七年級(jí)上·廣東廣州·期中）如果，那么 ．
13．（24-25七年級(jí)上·重慶·階段練習(xí)）若是關(guān)于x的一元一次方程，則的值為 ．
14．（24-25七年級(jí)上·浙江·期中）寫(xiě)出一個(gè)滿足下列條件的一元一次方程：①未知數(shù)的系數(shù)是；②方程的解是2．這樣的方程是 ．
15．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）閱讀材料：整體代值是數(shù)學(xué)中常用的方法．例如“已知，求代數(shù)式的值．”可以這樣解：．根據(jù)閱讀材料，解決問(wèn)題：若是關(guān)于x的一元一次方程的解，則代數(shù)式的值是 ．
16．（23-24七年級(jí)上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）整式的值隨x的取值不同而不同，下表是當(dāng)x取不同值時(shí)對(duì)應(yīng)的整式的值，則關(guān)于x的方程的解是 ．
x 0 1 2
7 5 3 1
17．（24-25七年級(jí)上·浙江·期中）已知a，b為定值，關(guān)于x的方程，無(wú)論k為何值，它的解總是1，則 ．
18．（23-24九年級(jí)下·浙江杭州·自主招生）已知，，，，是滿足條件的五個(gè)不同的整數(shù)，若是關(guān)于的方程的整數(shù)根，則的值為 ．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
19．（23-24七年級(jí)上·浙江·課堂例題）判斷下列各式是不是方程，不是方程的說(shuō)明理由．
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．
20．（23-24七年級(jí)·海南儋州·階段練習(xí)）只列方程，不解方程
(1)某班有男生25人，比女生的2倍少15人，這個(gè)班女生有多少人？
(2)小明買(mǎi)蘋(píng)果和梨共5千克，用去21元，其中蘋(píng)果每千克5元，梨每千克4元，問(wèn)蘋(píng)果買(mǎi)了多少千克？
21．（2024七年級(jí)上·北京·專(zhuān)題練習(xí)）已知是非零整數(shù)，關(guān)于的方程是一元一次方程，求的值．
22．（2024七年級(jí)上·浙江·專(zhuān)題練習(xí)）下列方程的變形是否正確？為什么？
(1)由，得． (2)由，得．
(3)由，得．(4)由，得．
23．（2024七年級(jí)上·浙江·專(zhuān)題練習(xí)）利用等式的基本性質(zhì)將方程化為的形式．
(1) (2) (3) (4)
24．（23-24七年級(jí)上·山東·課堂例題）有一個(gè)愛(ài)思考的同學(xué)，他平時(shí)總喜歡思考問(wèn)題．有一天他對(duì)媽媽說(shuō)：“我發(fā)現(xiàn)2和5是可以一樣大的，我這里有一個(gè)方程．等式兩邊同時(shí)加2，得①，即．等式兩邊同時(shí)除以，得②．”你認(rèn)為這個(gè)同學(xué)的說(shuō)法正確嗎？如果正確，請(qǐng)說(shuō)明上述①②步的理由；如果不正確，請(qǐng)指出錯(cuò)在哪里，并加以改正．
25．（23-24七年級(jí)上·浙江臺(tái)州·期中）若不論k取什么實(shí)數(shù)，關(guān)于x的方程(是常數(shù))的解總是，求的值．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
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