資源簡介

/ 讓教學更有效 精品試卷 | 數學
專題5.5.一元一次方程的應用
1、體會直接或間接設未知數的解題思路，從而建立方程，解決實際問題；
2、借助立體或平面圖形（邊長、周長、面積、體積等）學會分析復雜問題中的數量和等量關系。
3、通過生活實例，了解成本、售價、利潤、利潤率之間的數量關系；
4、能在具體打折問題中找準等量關系，列出方程并求解。
5、借助“線段圖”分析復雜問題中的數量關系，從而建立方程，解決實際問題；
6、熟悉路程問題中的速度、路程、時間之間的關系，從而實、現從文字語言到圖形語言，從圖形語言到符號語言的轉化。
模塊1：知識梳理 2
模塊2：核心考點 3
考點1.行程問題 3
考點2.配套問題 4
考點3.工程問題 5
考點4.銷售（利潤）問題 8
考點5.比賽積分 10
考點6.方案優化與選擇 12
考點7.數字與日歷問題 15
考點8.分段計費問題 19
考點9.和差倍分問題 22
考點10.數學文化問題 24
考點11.幾何圖形問題 25
模塊3：核心考點 28
1.用一元一次方程解決實際問題的一般步驟
列方程解應用題的基本思路為：問題方程解答．
由此可得解決此類題的一般步驟為：審、設、列、解、檢驗、答．
2.建立書寫模型常見的數量關系
1）公式形數量關系
生活中許多數學應用情景涉及如周長、面積、體積等公式。在解決這類問題時，必須通過情景中的信息，準確聯想有關的公式，利用有關公式直接建立等式方程。
長方形面積=長×寬；長方形周長=2（長+寬）；正方形面積=邊長×邊長；正方形周長=4邊長。
2）約定型數量關系
利息問題，利潤問題，質量分數問題，比例尺問題等涉及的數量關系，像數學中的公式，但常常又不算數學公式。我們稱這類關系為約定型數量關系。
3）基本數量關系
在簡單應用情景中，與其他數量關系沒有什么差別，但在較復雜的應用情景中，應用方法就不同了。我么把這類數量關系稱為基本數量關系。
單價×數量=總價；速度×時間=路程；工作效率×時間=總工作量等。
3.分析數量關系的常用方法
1）直譯法分析數量關系
將題中關鍵性的數量關系的語句譯成含有未知數的代數式，并找出沒有公國的等量關系，翻譯成含有未知數的等式。
2）列表分析數量關系
當題目中條件較多，關系較復雜時，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格進行分析。這種方法的好處在于把已知量和未知量“對號入座”，便于正確理解各數量之間的關系。
3）圖解法分析數量關系
用圖形表示題目中的數量關系，這種方法能幫助我們透徹地理解題意，并可直觀形象的體會題意。在行程問題中，我們常常用此類方法。
考點1.行程問題
例1．（24-25七年級上·浙江·期中）老師帶著兩個學生到離校33千米的博物館參觀．老師騎摩托車速度為25千米/小時，這輛摩托車后座可以帶乘一名學生，帶人后速度為20千米/小時．如果學生步行，速度為5千米/小時．請你設計一種方案，使師生三人同時出發后用3小時同時到達博物館．
【答案】老師帶第一個學生走24千米后，該學生下車后步行到博物館，老師返回接第二個學生，整個過程在路上共計花了3個小時
【分析】本題考查了一元一次方程的應用－行程問題，包含相遇與追及問題，用線段圖來表示行程問題中的變化，可以使過程變得更清晰，是解決本題的關鍵，數形結合是數學中常用的一種數學思想．
如圖1中，千米，第一個學生在C點下車后步行到博物館，此時老師在C點，第二個學生步行到D點，段存在一個老師與第二個學生之間的相遇問題．從時間上產生等量關系，即：老師從C點單車返回到E點的時間+帶第二個學生從E點到B點的時間=第一個學生從C點步行到B點的時間．若設千米，則，用含x的代數式表示出該等量關系，即可得方程解出問題．
【詳解】解：如圖，
設第一個學生搭乘摩托車的路程為x千米，即，則， ，
對于段的相遇問題，可設老師與第二個學生相遇的時間為t小時，
于是得方程： ∴
∴∴
由時間關系，可得方程解方程得
則在路上共計用的時間為
即：老師帶第一個學生走24千米后，該學生下車后步行到博物館，老師返回接第二個學生，整個過程在路上共計花了3個小時．
變式1．（24-25七年級上·河北衡水·開學考試）一列客車和一列貨車分別從，兩地同時開出，經過小時后，客車剩余的距離還有全程的，貨車已到達超過兩地中點的千米處，已知客車比貨車每小時多行千米，求，兩地之間的距離是多少千米？
【答案】，兩地之間的距離是千米．
【分析】本題考查了一元一次方程的應用，設，兩地之間的距離是千米，根據題意列出方程，然后求解即可，正確理解題意，找出等量關系，列出方程是解題的關鍵．
【詳解】解：設，兩地之間的距離是千米，
根據題意得：，解得：，
答：，兩地之間的距離是千米．
變式2．（24-25七年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習）一艘船從甲碼頭到乙碼頭順水而行，用了；從乙碼頭返回甲碼頭逆水而行，用了．已知水流的速度是．
求：(1)船在靜水中的平均速度；(2)甲、乙兩地之間的距離．
【答案】(1)(2)
【分析】本題主要考查了一元一次方程的實際應用，熟練掌握航行問題的基本等量關系及找準題目中的等量關系進行列式求解是解決本題的關鍵．
（1）根據題意以甲碼頭到乙碼頭的路程是一定的為等量關系，設船在靜水中的速度為，進而列方程求解即可．（2）運用速度乘上時間等于距離列式計算，即可作答．
【詳解】（1）解：設船在靜水中的速度為，依題意得：
，解得，
∴船在靜水中的平均速度為；
（2）解：依題意，船在靜水中的平均速度為，
∴甲乙兩碼頭之間的距離為，
∴甲乙兩碼頭之間的距離．
考點2.配套問題
例1．（23-24七年級上·山西大同·階段練習）某工廠需要生產一批太空漫步器（如圖），每套設備由一個支架和兩套腳踏板組裝而成；工廠現共有45名工人，每人每天平均生產60個支架或96套腳踏板，應如何分配工人才能使每天生產的支架和腳踏板恰好配套？
【答案】安排20人生產支架，25人生產腳踏板正好配套，
【分析】本題主要考查了一元一次方程的應用．設安排x人生產支架，則安排人生產腳踏板，根據“每人每天平均生產60個支架或96套腳踏板”，即可求解．
【詳解】解：設安排x人生產支架，則安排人生產腳踏板，
由題意，得，解得，（人）．
答：安排20人生產支架，25人生產腳踏板正好配套，
變式1．（24-25七年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習）某車間有26名工人，每人每天可以生產800個螺栓或1000個螺母，1個螺栓需要配2個螺母，為使每天生產的螺栓和螺母剛好配套，設安排x名工人生產螺栓，則下面所列方程正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了一元一次方程的應用，理解題意，正確列方程是解題關鍵．設安排x名工人生產螺栓，則安排名工人生產螺母，根據“1個螺栓需要配2個螺母”列方程即可．
【詳解】解：設安排x名工人生產螺栓，則安排名工人生產螺母，
由題意得：，故選：C．
變式2．（24-25七年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習）某車間有27個工人生產甲、乙兩種零件，每3個甲種零件與2個乙種零件配成一套，已知每個工人每天能加工甲種零件12個或乙種零件16個，為使每天生產的兩種零件配套，則生產甲、乙零件的工人數各多少人？
【答案】應分配18人生產甲種零件，9人生產乙種零件才能使每天生產的甲種零件和乙種零件剛好配套．
【分析】本題考查了一元一次方程的應用．關鍵是設出生產甲和乙的人數，以配套的比例列方程求解．設應分配人生產甲種零件，人生產乙種零件才能使每天生產的甲種零件和乙種零件剛好配套，根據每人每天平均能生產甲種零件12個或乙種零件16個，可列方程求解．
【詳解】解：設應分配人生產甲種零件，則應分配人生產甲種零件，由題意得：
，解得，（人．
答：應分配18人生產甲種零件，9人生產乙種零件才能使每天生產的甲種零件和乙種零件剛好配套．
考點3.工程問題
例1．（2024七年級上·浙江·專題練習）某開發公司生產若干件某種新產品，需要精加工后才能投放市場，現有甲、乙兩個工廠都想加工這批產品．已知甲、乙兩個工廠每天分別能加工這種產品16件和24件，甲單獨加工這批產品比乙單獨加工這批產品要多用20天，且若由甲單獨做，公司需付甲每天的加工費用80元；若由乙單獨做，公司需付乙每天的加工費用120元．
(1)設甲單獨加工這批新產品要用x天，則乙單獨加工這批新產品要用_______天；
(2)在（1）的條件下，求這批新產品的件數；
(3)若公司董事會制定了如下方案：可以由每個工廠單獨完成，也可以由兩個工廠同時合作完成，但在加工過程中，公司需派一名工程師到工廠進行技術指導（若兩個工廠同時合作，只需派一名工程師到工廠指導），并由公司為其提供每天10元的午餐補助．請你幫助公司選擇一種既省時又省錢的加工方案，并通過計算說明理由．
【答案】(1)
(2)這批新產品的件數為960
(3)兩個工廠同時合作完成時，既省時又省錢，見解析
【分析】本題主要考查一元一次方程的應用，關鍵在于理解清楚題意，找出等量關系列出方程．對于要求最符合要求類型的題目，應將所有方案，列出來求出符合題意的那一個即可．
（1）根據“甲單獨加工這批產品比乙單獨加工這批產品要多用20天”列式 ；
（2）根據題意找出等量關系：總產品數相等，列出方程求解即可．
（3）應分為三種情況討論：①由甲廠單獨加工；②由乙廠單獨加工；③由兩場廠共同加工，分別比較三種情況下，所耗時間和花費金額，求出即省錢，又省時間的加工方案．
【詳解】（1）解：根據題意，得乙單獨加工這批新產品要用天，
故答案為：；
（2）解：設甲單獨加工這批產品用x天，
由題意得，，
解得：，
（件），
答：這個公司要加工960件新產品；
（3）解： ①由甲廠單獨加工：需要耗時為（天），需要費用為：（元）；
②由乙廠單獨加工：需要耗時為 （天），需要費用為：（元）；
③由兩家工廠共同加工：需要耗時為 （天），需要費用為：（元）．
因為，，
所以，甲、乙合作同時完成時，既省錢又省時間．
變式1．（23-24七年級·廣東·期中）完成某項工程，甲單獨做需天完成，乙單獨做需天完成.現在甲先做了天，乙再參加合做，求完成這項工程甲、乙合做了多少天若設完成此項工程甲、乙合做了天，則下列方程中正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了列一元一次方程解決實際問題，找準等量關系，正確建立方程是解題關鍵．
將這項工程的工程量看作為“1”，從而可得甲每天完成的工程量為，乙每天完成的工程量為，再根據題意列出方程即可得．
【詳解】解：將這項工程的工程量看成“1”，則甲每天完成的工程量為，乙每天完成的工程量為，
由題意得：故選：A．
變式2．（24-25七年級上·黑龍江哈爾濱·期中）哈爾濱亞冬會的某個比賽場館正在裝修，裝修后產生的建筑垃圾需要清理．計劃租用甲、乙兩車隊清理建筑垃圾，已知甲車隊單獨運完需要天，乙車隊單獨運完需要天．乙車隊先運了天，然后甲、乙兩車隊合作運完剩下的垃圾．
(1)甲、乙兩車隊合作還需要多少天運完垃圾？
(2)已知甲車隊每天的租金元，比乙車隊少元，運完垃圾后共需支付甲、乙兩車隊租金多少元？
【答案】(1)天
(2)元
【分析】本題主要考查了一元一次方程的實際應用，根據題意找出等量關系并列出方程是解題關鍵；
（1）根據題意首先可以得知甲車效率為每天運送，乙車效率為每天運送，據此設甲、乙兩車合作還需要天運完垃圾，然后進一步列出方程求解即可；
（2）根據甲車隊每天的租金元，比乙車隊少元，計算求解即可；
【詳解】（1）解：設甲、乙兩車合作還需要天運完垃圾，
根據題意得：，
解得：，
答：甲、乙兩車合作還需要天運完垃圾．
（2）解：乙隊一共工作了天，甲隊一共工作了天，
，
答：運完垃圾后共需支付甲、乙兩車隊租金元．
考點4.銷售（利潤）問題
例1．（24-25七年級上·江蘇鹽城·開學考試）小明的爸爸在工業區辦了一個工廠，投產后核算，產品的成本分兩部分，一部分是直接生產成本，每個需元，另一部分是管理、宣傳、營銷等與產品數量無關的費用，全部需元．如果此產品的定價為元，那么要使利潤達到營業額的，至少要生產多少個產品？
【答案】
【分析】本題考查了一元一次方程的應用（銷售盈虧），準確理解題意，列出方程并求解是解題的關鍵．
設至少生產個產品，則營業額為元，成本就是元，利潤為元，然后根據關系式：營業額成本利潤，列方程求解即可．
【詳解】解：設至少生產個產品，由題意可得：
，
即：，
解得：，
答：至少要生產個產品．
變式1．（23-24七年級上·江蘇鹽城·期中）某商場購進了A、B兩種商品，其中A種商品每件的進價比B種商品每件的進價多20元，購進A種商品3件與購進B種商品4件的進價相同．
(1)求A、B兩種商品每件的進價分別是多少元？
(2)該商場購進了A、B兩種商品共100件，所用資金為6900元，出售時，A種商品按標價出售每件的利潤率為25%，B種商品按標價出售每件可獲利10元．若按標價出售A、B兩種商品，則全部售完商場共可獲利多少元？
【答案】(1)A種商品每件的進價是80元，B種商品每件的進是60元；
(2)全部售完共可獲利1450元．
【分析】本題考查一元一次方程的應用，解題的關鍵是讀懂題意，列出一元一次方程解決問題．
（1）設A種商品每件的進價是x元，由購進A種商品3件與購進B種商品4件的進價相同得：，即可解得答案；
（2）設購進A種商品a件，則購進B商品件，由所用資金為6900元得 ，解出a的值，即可列式求出答案．
【詳解】（1）設A種商品每件的進價是x元，則B種商品每件的進價是元，
由題意得：，
解得，
∴（元），
答：A種商品每件的進價是80元，B種商品每件的進價是60元；
（2）設購進A種商品a件，則購進B商品件，
由題意得 ，
解得，
∴，
∴（元），
答：全部售完共可獲利1450元．
變式2．（24-25九年級上·重慶·階段練習）在2024年巴黎奧運會中，中國奧運健兒們斬獲44枚金牌完美收官，其中跳水小將全紅嬋表現出色，一共收獲了2枚金牌，某跳水愛好粉絲團，在女子雙人10米跳臺比賽前準備給全紅嬋送綠龜禮物，第一次采購了20個綠龜玩偶和20個綠龜掛件，共花費了1400元，已知玩偶的單價比掛件貴50元．
(1)第一次購買時，綠龜玩偶和綠龜掛件的單價分別是多少元？
(2)在第二場女子10米跳水比賽時，跳水愛好粉絲團又組織了一次購買，第二次購買在第一次購買的基礎上，掛件單價優惠了元，玩偶單價優惠了元，掛件和玩偶的購買費用依然不變，玩偶的個數也不變，但掛件比玩偶多出了一件，請求出的值．
【答案】(1)購買綠龜掛件的單價為10元，則綠龜玩偶的單價為元
(2)
【分析】本題主要考查一元一次方程的應用，解題的關鍵是理解題意；
（1）設購買綠龜掛件的單價為x元，則綠龜玩偶的單價為元，然后可得方程，進而求解即可；
（2）由（1）及題意易得掛件單價變為元，玩偶的單價變為元，然后可得方程，進而問題可求解．
【詳解】（1）解：設購買綠龜掛件的單價為x元，則綠龜玩偶的單價為元，由題意得：
解得：；
∴綠龜玩偶的單價為60元；
答：購買綠龜掛件的單價為10元，則綠龜玩偶的單價為元．
（2）解：由（1）及題意得掛件單價變為元，玩偶的單價變為元，則有：
解得：．
考點5.比賽積分
例1．（23-24七年級上·湖北武漢·階段練習）據了解第二屆“澳新杯”籃球賽在12月2日圓滿結束，看到運動場的宣傳欄中的部分信息（如下表）：
小明同學結合學習的知識設計了如下問題，請你幫忙完成下列問題：
(1)從表中可以看出，負一場積______分，勝一場積_______分；
(2)某班在比完12場的前提下，勝場總積分能等于其負場總積分的2倍嗎？請說明理由．
【答案】(1)1，2
(2)若該班在12場，勝了6場，則其勝場積分是負場積分的2倍．
【分析】本題考查了一元一次方程的應用．
（1）由表中最后一行的信息可知，12場全負積分為12分，由此可得負一場積1分；結合表中第一行的信息即可求得勝一場積2分；
（2）設該班勝了場，則該班負了場，勝的場次共積分，負的場次共積分，由題意可得方程：，解方程即可得到答案.
【詳解】（1）解：由表中最后一行的信息可知，某班12場全負積分為12分，
∴負一場的積分為：（分）；
設勝一場積分，則由表中第一行信息可得：，解得：，
∴勝一場積2分；故答案為：1，2；
（2）解：設該班勝了場，根據題意可得：
，解得：，
∴若某班賽完全部12場，勝了6場，則該班的勝場積分是負場積分的2倍．
答：若該班在12場，勝了6場，則其勝場積分是負場積分的2倍．
變式1．（2024·陜西咸陽·模擬預測）為豐富校園生活，推動“五育并舉”，減輕學生學習壓力，提高學生身體素質．某學校舉辦了春季籃球比賽．比賽規定勝1場得3分，平1場得1分，負1場扣1分．某隊在10場比賽中勝了6場，共得20分，問該隊負了幾場．
【答案】該隊負了1場
【分析】本題主要考查了一元一次方程的實際應用，設該隊平了x場，則負了場．再根據一共得20分列出方程求解即可．
【詳解】解：設該隊平了x場，則負了場．
由題意得
解得
則
答：該隊負了1場．
變式2．（23-24七年級上·陜西延安·階段練習）七（1）班組織生活小常識競賽，共設有20道選擇題，各題分值相同，每題必答．下表記錄了5位參賽者的得分情況，根據表中信息解答下列問題：
參賽者 答對題數 答錯題數 得分
①號 20 0 100
②號 19 1 94
③號 18 2 88
④號 16 4 76
⑤號 10 10 40
(1)如果參賽者⑥號得分為64分，那么他答錯了幾道題？
(2)如果參賽者⑦號說他的得分為60分，你認為可能嗎？請說明理由．
【答案】(1)參賽者得64分，他答錯了6道題；
(2)不可能；理由見解析．
【分析】本題主要考查了一元一次方程的應用：
（1）根據題意先求出答對一題的得分，答錯一題的扣分，然后設參賽者⑥號答對了道題，答錯了道題，根據“參賽者⑥號得分為64分，”列出方程，即可求解；
（2）假設他得60分可能，設參賽者⑦號答對了道題，答錯了道題，列出方程，即可求解．
【詳解】（1）解：由題意得，答對一題的得分是：，
答錯一題的扣分為：（分）．
設參賽者⑥號答對了道題，答錯了道題，
由題意，得，
解得，
，
答：參賽者得64分，他答錯了6道題；
（2）解：假設他得60分可能，
設參賽者⑦號答對了道題，答錯了道題，
由題意，得，
解得，
因為為正整數，
所以參賽者⑦號說他得60分，是不可能的．
考點6.方案優化與選擇
例1．（24-25七年級上·湖北恩施·階段練習）某游樂園有如表A，B，C三種購票方式：
種類 購票方式
A 一次性使用門票，每張15元
B 年票每張元，持票者每次進入游樂園無需再購買門票
C 年票每張80元，持票者進入游樂園時需每次再購買6元的門票
(1)某游客一年中進入該游樂園共有a次，分別求三種購票方式一年的費用．（用含a的代數式表示）
(2)某游客一年中進入該游樂園共有12次，選擇哪種購買方式比較優惠？請通過計算說明．
(3)已知甲、乙、丙三人分別按A，B，C三種方式購票，且他們一年中進入該游樂園的次數相同．一年中，若甲所花的費用與乙所花費用相等，求丙在這一年中進入該游樂園所花的費用．
【答案】(1)A種購票方式：元；B種購票方式：元；C種購票方式：元．
(2)選擇B種購買方式比較優惠
(3)元．
【分析】本題考查了列代數式以及代數式求值，一元一次方程的應用，正確理解題意是解題關鍵．
（1）根據表格給出的購票方式即可求解；
（2）將分別代入（1）中所得代數式即可求解；
（3）設他們一年中進入該游樂園的次數為x，根據甲所花的費用與乙所花費用相等列方程求出x，再利用C種購票方式的費用即可求出丙在這一年中進入該游樂園所花的費用．
【詳解】（1）解：A種購票方式：元；
B種購票方式：元；
C種購票方式：元．
（2）解：選擇B種購買方式比較優惠，理由如下：
當時，元；元．
而，
所以，選擇B種購買方式比較優惠．
（3）解：設他們一年中進入該游樂園的次數為x，根據題意得，
解之得，．
∴（元），
答：丙在這一年中進入該游樂園所花的費用為元．
變式1．（23-24七年級上·云南玉溪·期末）某服裝批發商促銷一種褲子和T恤，在促銷活動期間，褲子每件定價100元，T恤每件定價50元，并向客戶提供兩種優惠方案：
方案一：買一件褲子送一件T恤；
方案二：褲子和T恤都按定價的付款．
現某客戶要購買褲子30件，T恤x件（）：
(1)按方案一，購買褲子和T恤共需付款 ______（用含x的式子表示）；
(2)計算一下，購買多少件T恤時，兩種優惠方案付款一樣？
(3)若兩種優惠方案可同時使用，當時，你能給出一種更為省錢的購買方案嗎？
【答案】(1)
(2)購買90件T恤時，兩種優惠方案付款一樣
(3)能，用方案一購買褲子30件，送T恤30件，再用方案二購買10件T恤，共需付款3400元
【分析】本題考查了列代數式及一元一次方程的應用，解題的關鍵是讀懂題意，找出等量關系，列方程求解．
（1）根據題意“買一件褲子送一件T恤”，列出代數式即可；
（2）根據“兩種優惠方案付款一樣”，列方程求解即可得出答案；
（3）先用方案一購買褲子30件，送T恤30件，再用方案二購買10件T恤．
【詳解】（1）解：根據題意得，
故按方案一，購買褲子和T恤共需付款；
（2）按方案一，購買褲子和T恤共需付款，
根據題意得，，
解得，
答：購買90件T恤時，兩種優惠方案付款一樣；
（3）能，用方案一購買褲子30件，送T恤30件，再用方案二購買10件T恤，共需付款
（元），
共需付款3400元．
變式2．（23-24七年級上·浙江金華·期末）中國移動全球通有兩種通話計費方法（接聽全免，接聽時間不計入通話時間）：
計費方法A是每月收月租費48元，通話時間不超過50分鐘的部分免費，超過50分鐘的按每分鐘0.25元加收通話費；計費方法B是每月收取月租費88元，通話時間不超過200分鐘的部分免費，超過200分鐘的按每分鐘0.19元加收通話費．
(1)某使用計費方法A的用戶一個月通話時間為100分鐘，應付費用多少元？
(2)用計費方法B的用戶某個月累計費用107元，通話時間是多少分鐘？
(3)用計費方法B的用戶某個月累計費用126元，若改用計費方法A的方式，費用是增加還是減少？相差多少？
【答案】(1)某使用計費方法A的用戶一個月通話時間為100分鐘，應付費用60.5元
(2)用計費方法B的用戶某個月累計費用107元，通話時間是300分鐘
(3)若改用計費方法A的方式，費用增加了，相差9.5元
【分析】本題考查有理數的混合運算、一元一次方程的應用，理解兩種“計費方法”的意義是正確解答的關鍵．（1）根據計費方法A的計費標準進行計算即可；
（2）先估算通話時間，再利用計費方法B的解法標準進行計算即可；
（3）求出用計費方法B的用戶某個月累計費用126元的通話時間，再根據通話時間與計費方法A計算費用，比較得出答案．
【詳解】（1）解：當通話時間為100分鐘時，應付費（元），
答：某使用計費方法A的用戶一個月通話時間為100分鐘，應付費用60.5元；
（2）解：由于用計費方法B的用戶某個月累計費用107元大于88元，因此通話時間大于200分鐘，設通話時間是分鐘，
則，
解得，
答：用計費方法B的用戶某個月累計費用107元，通話時間是300分鐘；
（3）解：設通話時間是分鐘，由題意可得
，
解得，
當通話時間為400分鐘時，（元），
（元），
答：若改用計費方法A的方式，費用增加了，相差9.5元．
考點7.數字與日歷問題
例1．（24-25七年級上·湖北武漢·階段練習）觀察下列按一定規律排列的三行數：
第一行：，4，，16，…：
第二行：0，6，，18，…；
第三行：，2，，8，…
解答下列問題：
(1)每一行的第6個數依次是：___________，___________，_________．
(2)分別寫出第二行和第三行的第n個數_______，_________．
(3)第一行中是否存在某三個相鄰數的和為1536？若存在，求出這三個數；若不存在請說明理由．
【答案】(1)64；66；32
(2)；
(3)第一行不存在某三個相鄰數的和為1536，理由見解析
【分析】本題主要考查了數字類的規律探索，一元一次方程的應用：
（1）觀察可知，第一行的后面一個數是前面一個數的倍，第二行第n個數比第一行第n個數大2，第三行的后面一個數是前面一個數的倍，據此求解即可；
（2）根據（1）所求可得第一行第n個數為，第三行第n個數為，則第二行第n個數為；
（3）假設存在某三個相鄰數的和為1536，設最前面的那個數為x，則剩下兩個數為，則，解方程求出x的值，再驗證x的值是否是第一行的數即可得到結論．
【詳解】（1）解：觀察可知，第一行的后面一個數是前面一個數的倍，
∴第一行第6個數為；
觀察可知，第二行第n個數比第一行第n個數大2，
∴第二行第6個數為；
觀察可知，第三行的后面一個數是前面一個數的倍，
∴第三行第6個數為；
故答案為：64；66；32；
（2）解：由（1）可知第一行第n個數為，第三行第n個數為，
∴第二行第n個數為；
故答案為：；；
（3）解：第一行不存在某三個相鄰數的和為1536，理由如下：
假設存在某三個相鄰數的和為1536，
設最前面的那個數為x，則剩下兩個數為，
∴，
解得，
∵第一行第n個數為，
∴第一行第9個數為，
∴512不是第一行的數，
∴第一行不存在某三個相鄰數的和為1536．
變式1．（24-25七年級上·江蘇南京·期中）我國公民的“身份號碼”共有18位數字，它是由6位區域碼，8位出生日期碼，3位順序碼，1位校驗碼構成．例如，某公民的身份號碼如圖①所示，其中最后一位“X”不是英文字母，而是羅馬數字，表示10．
校驗碼是按照特定的算法得來的，計算方法為：
第一步：將身份號碼的前17位數字分別乘以各自對應的系數，如下表所示：
回答下列問題：
(1)某人身份號碼為“”，若A的值為4，則校驗碼B的值為_________；若校驗碼B的值為8，則A的值為_________．
(2)某人身份號碼為“”，已知D的值是C的值的2倍，請寫出最后的校驗碼E的值，并說明理由．
(3)如圖②，圖示中的身份號碼被磨損掉了兩個數字，若它們的差為1，請直接寫出被磨損掉的兩個數字．
【答案】(1)，；
(2)校驗碼E的值為7，理由見解析；
(3)被磨損掉的兩個數字分別為和或者和．
【分析】本題考查了有理數混合運算的應用，一元一次方程的應用，準確理解校驗碼的特定的算法是解題關鍵．
（1）根據校驗碼的特定的算法計算即可；
（2）設C的值是（為整數），則D的值是，根據校驗碼的特定的算法得出，即可得到答案；
（3）分兩種情況求解：①若磨損掉的第一個數字為，第二個數字為時；若磨損掉的第一個數字為，第二個數字為時，根據校驗碼的特定的算法，分別列方程求解即可．
【詳解】（1）解： ，
若A的值為4，則
校驗碼B的值為；
若校驗碼B的值為8，則17位數字和系數相乘的結果相加，再除以11，余數為，
或，
或，
或（舍），
故答案為：，；
（2）解：校驗碼E的值為7，理由如下：
設C的值是（為整數），則D的值是，
，，
，
，
，
校驗碼E的值為7；
（3）解：①若磨損掉的第一個數字為，第二個數字為時，
則，
校驗碼E的值為8，
，
解得：，
被磨損掉的兩個數字分別為和；
余數 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
校驗碼 1 0 X 9 8 7 6 5 4 3 2
②若磨損掉的第一個數字為，第二個數字為時，
則，
校驗碼E的值為8，
，
解得：，
被磨損掉的兩個數字分別為和；
綜上可知，被磨損掉的兩個數字分別為和或者和．
變式2．（24-25七年級上·北京·期中）下圖是2023年10月的月歷，觀察月歷，回答問題：
(1)小明國慶假期外出旅行三天，三天日期之和是12，小明是星期幾出發的？
(2)“S型”這個陰影圖形覆蓋四個方格，設“S型”陰影覆蓋的最小數字為m，四個數字之和為S，2023年是建國74周年，S的值能否等于74？若能，求m的值；若不能，說明理由；
【答案】(1)小明是星期二出發的
(2)的值不能等于74，理由見解析
【分析】本題主要考查了一元一次方程的應用：
（1）設小明出發的日期是10月的第x天，可得一元一次方程，然后解方程即可；
（2）根據月歷的特點可得另外三個數為，則解方程得到，由于10月15日在第一列，故此時不能出現“S型”，據此可得結論．
【詳解】（1）解：設小明出發的日期是10月的第x天，
根據題意得：，
解得，
∴小明出發的日期是10月的第3天，
由月歷表可知，10月3號為星期二，
答：小明是星期二出發的；
（2）解：的值不能等于74，理由如下：
∵“S型”陰影覆蓋的最小數字為m，
∴另外三個數為，
若，則，
∵10月15日在第一列，
∴此時不能出現“S型”
∴的值不能等于74．
考點8.分段計費問題
例1．（24-25七年級上·陜西榆林·期中）我市某小區居民使用自來水2024年標準繳費如下（水費按月繳納）：
用戶月用水量 單價
不超過12的部分 a元/
超過12但不超過20的部分 元/
超過20的部分 元/
(1)某戶4月份用了13的水，求該戶4月份應繳納的水費；（用含a的式子表示）
(2)設某戶月用水量為n，當，時，該戶應繳納的水費為多少元？（用含n的式子表示）
(3)當時，甲、乙兩戶一個月共用水32，已知甲戶繳納的水費超過了24元，設甲戶這個月用水x，試求甲，乙兩戶一個月共繳納的水費．（可用含x的式子表示）
【答案】(1)元 (2)元 (3)當時，甲、乙兩用戶一個月共繳納的水費為72元；當時，甲、乙兩用戶一個月共繳納的水費為元
【分析】(1) 根據費用=，列式計算即可．
(2)根據題意，得，費用=，得出的結論．
(3) 分和，兩種情況計算即可．
本題考查了一元一次方程的生活實際應用，正確理解分檔的界點是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：根據題意，得，當時，每費用為 元，當時，每費用為元，
故本月總費用為：（元） 故該用戶4月份應繳納的水費為元．
（2）解：根據題意，得，，故不超過12的部分費用為：（元）；
超過12但不超過20的部分費用為：（元）；
超過20的部分費用為：（元），
故該戶應繳納的水費為： (元)．答：應交電費元．
（3）解：根據題意，得，且元，
根據題意，得甲戶繳納的水費超過了24元，設甲戶這個月用水x，故；
當時，甲戶用水量超過12但不超過20，乙戶用水量不少于12但少于20，
所以甲、乙兩用戶一個月共繳納的水費為：
（元）．
當時，甲的用水量超過20乙的用水量不超過12，
所以甲、乙兩用戶一個月共繳納的水費為：
元．
綜上所述，當時，甲、乙兩用戶一個月共繳納的水費為72元；當時，甲、乙兩用戶一個月共繳納的水費為元．
變式1．（23-24七年級下·貴州貴陽·階段練習）某城市為了加強公民的節氣和用氣意識，按以下規定收取每月煤氣費：所用煤氣如果不超過50立方米，按每立方米0.8元收費；如果超過50立方米，超過部分按每立方米1.2元收費．設小麗家每月用氣量為x立方米，應交煤氣費為y元．
(1)若小麗家某月用煤氣量為80立方米，則小麗家該月應交煤氣費多少元？
(2)試寫出y與間的表達式；
(3)若小麗家4月份的煤氣費為88元，那么她家4月份所用煤氣為多少立方米？
【答案】(1)元
(2)
(3)立方米
【分析】本題主要考查有理數的混合運算，用代數式表示數量關系，
（1）根據題意，不超過部分的費用加上超過部分的費用即可；
（2）根據不超過部分費用加上超過部分的費用進行計算即可；
（3）根據題意，可得小麗家4月份的煤氣超過立方米，把代入（2）的式子計算即可．
【詳解】（1）解：不超過50立方米，按每立方米0.8元收費，則此部分的費用為：（元），超過50立方米，超過部分按每立方米1.2元收費，
∵小麗家某月用煤氣量為80立方米，
∴超過部分的費用為（元），
∴麗家該月應交煤氣費為（元）；
（2）解：∵每月用氣量為x立方米，應交煤氣費為y元，
∴；
（3）解：∵，
∴小麗家4月份的煤氣超過立方米，
把代入（2）中的式子得，，
解得，，
∴她家4月份所用煤氣為立方米．
變式2．（23-24七年級上·江蘇鹽城·階段練習）為響應國家節能減排的號召，鼓勵人們節約用電，保護能源，某市實施用電“階梯價格”收費制度．收費標準如表：
居民每月用電量 單價（元度）
不超過50度的部分
超過50度但不超過200度的部分
超過200度的部分
已知小智家上半年的用電情況如表（以200度為標準，超出200度記為正、低于200度記為負）
一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份
根據上述數據，解答下列問題：
(1)小智家用電量最多的是____月份，該月份應交納電費_____元；
(2)若小智家七月份應交納的電費元，則他家七月份的用電量是多少？
【答案】(1)五，；
(2)他家七月份的用電量是306度．
【分析】本題考查正數、負數的意義，一元一次方程的應用，理解分段計費的含義是正確解答的關鍵．
（1）根據超出的多少得出答案，根據用電量分段計算電費；
（2）判斷出用電量超過200度，設未知數列方程求解即可．
【詳解】（1）解：五月份超過200度36度，是最多的，共用電236度，
元，
（2）解：∵，
∴用電量大于200度，
設用電量為x度，由題意得，
，
解得：，
答：他家七月份的用電量是306度．
考點9.和差倍分問題
例1．（24-25六年級上·黑龍江哈爾濱·期中）在清冰雪工作中，某駐哈武警部隊出動兵力600人參加三條街路的清冰雪勞動，其中A街路清冰雪的人數占此次出動兵力總人數的，余下的人參加B街路和C街路的清冰雪勞動，并且參加B街路清冰雪的人數是參加C街路的清冰雪人數的．
(1)求參加A街路清冰雪勞動共有多少人？
(2)求參加B街路和C街路的清冰雪勞動各有多少人？
(3)在A街路清冰雪過程中，因有其它工作需要，調走了此處的兵力后，附近的居民主動參加勞動，此時在A街路清冰雪的武警官兵人數比居民人數的3倍少6人，求參加清冰雪勞動的居民有多少人？
【答案】(1)240人(2)B街路：144人；C街路：216人(3)72人
【分析】本題考查了一元一次方程的應用，解題關鍵是理解題意，找出相等關系．
（1）直接將計算即可；
（2）設未知數，利用總人數為600列出方程即可；
（3）根據在A街路清冰雪的武警官兵人數比居民人數的3倍少6人列出方程即可．
【詳解】（1）解：（人），
∴參加A街路清冰雪勞動共有240人；
（2）解：設參加C街路的清冰雪勞動有x人，
，
，
∴參加B街路的清冰雪勞動有144人，C街路的清冰雪勞動有216人；
（3）設參加清冰雪勞動的居民有y人，
，
，
∴參加清冰雪勞動的居民有72人．
變式1．（24-25七年級上·浙江·單元測試）某工廠有工人1200人，因工作需要，調走了男工人數的，又增加女工人30人，這時男、女工人數相等．這個工廠原有男工多少人？
【答案】656人
【分析】設這個工廠原有男工x人，列出方程解答即可．
本題考查了一元一次方程的應用，熟練掌握解方程是解題的關鍵．
【詳解】解：設這個工廠原有男工x人，
根據題意得：，
解得，
答：這個工廠原有男工656人．
考點10.數學文化問題
例1．（2024七年級上·浙江·專題練習）《直指算法統宗》中有這樣一道題，原文如下：“一百饅頭一百僧，大僧三個更無爭，小僧三人分一個，大小和尚得幾丁？”大意為：有個和尚分個饅頭，如果大和尚人分個，小和尚人分個，正好分完，大、小和尚各有多少人？請解答上述問題．
【答案】小和尚有人，大和尚有人．
【分析】本題考查了一元一次方程的實際應用，設小和尚有人，則大和尚有人，根據個饅頭列出方程即可求解，根據題意找到等量關系是解題的關鍵．
【詳解】解：設小和尚有人，則大和尚有人，
由題意得，，
解得，
（人），
答：小和尚有人，大和尚有人．
變式1．（2024·安徽六安·模擬預測）《孫子算經》中記載：“今有三人共車，二車空；二人共車，九人步．問人和車各幾何？”其大意是：“今有若干人乘車，每人乘一車，最終剩余輛空車；若每人同乘一車，最終剩下人因無車可乘而步行，問有多少人，多少輛車？”試求有多少人，多少輛車．
【答案】有人，輛車．
【分析】本題考查了一元一次方程的應用，設共有輛車，根據題意列出方程即可求解，根據題意找到等量關系是解題的關鍵．
【詳解】解：設共有輛車，
根據題意得，，
解得，
∴人，
答：有人，輛車．
變式2．（23-24七年級上·浙江·期中）某數學興趣小組研究我國古代《算法統宗》里這樣一首詩：我問開店李三公，眾客都來到店中，房客共六三，大比小多二一．后半部分的意思是：房客共有63人，大人比小孩多21人．
(1)求該房客大人，小孩各有多少人？
(2)假設店主李三公推出兩種訂房方案：
方案一：房客超過40人，超過的按原價八折優惠，
方案二：大人原價，小孩半價．
若詩中“眾客”再次一起入住，他們選擇哪種方案訂房更合算？
【答案】(1)房客中大人有人，小孩有人
(2)方案二
【分析】本題考查一元一次方程解實際應用題，最優方案選擇等知識，讀懂題意，列出方程求解，進而由方案計算費用比較大小是解決問題的關鍵．
（1）設房客中小孩有人，則大人有人，由總人數為人列一元一次方程求解即可得到答案；
（2）設每人收費相同，為元，根據兩種方案，求出費用比較大小即可得到答案．
【詳解】（1）解：設房客中小孩有人，則大人有人，
，解得，
則，
答：房客中大人有人，小孩有人；
（2）解：設每人收費相同，為元，
方案一費用：元；
方案二費用：元；
，
若詩中“眾客”再次一起入住，他們選擇方案二訂房更合算．
考點11.幾何圖形問題
例1.（2024·陜西·西安七年級期末）如圖，小明將一個正方形紙片剪去一個寬為5厘米的長條后，再從剩下的長方形紙片上剪去一個寬6厘米的長條，如果兩次剪下的長條面積正好相等，那么每一個長條的面積為多少？
【答案】每一個長條的面積為．
【分析】設原來正方形紙的邊長是，則第一次剪下的長條的長是，寬是，第二次剪下的長條的長是，寬是；再根據第一次剪下的長條的面積第二次剪下的長條的面積，列出方程，求出的值是多少，即可求出每一個長條面積為多少．
【詳解】解：設原來正方形紙的邊長是，則第一次剪下的長條的長是，寬是，第二次剪下的長條的長是，寬是，
由題意得：，解得：，則．
答：每一個長條的面積為．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，找準等量關系，解題的關鍵是正確列出一元一次方程．
變式1．（2023·浙江八年級期中）實驗室里，水平桌面上有甲、乙、丙三個圓柱形容器（容器足夠高），底面半徑之比為，用兩個相同的管子在容器的高度處（即管子底端離容器底）連通．現三個容器中，只有甲中有水，水位高，如圖所示、，若每分鐘同時向乙和丙注入等量的水，開始注水1分鐘，乙的水位上升，則注水___________分鐘后，甲與乙的水位高度之差是．
【答案】，
【分析】由題意得注水1分鐘，丙的水位上升，設開始注入t分鐘的水量后，甲與乙的水位高度之差為2cm，則可分：①當甲的水位低于乙的水位時，甲的水位不變時，②當甲的水位低于乙的水位時，乙的水位到達管子底部，甲的水位上升時，然后分類求解即可．
【詳解】解：∵甲、乙、丙三個圓柱形容器（容器足夠高），底面半徑之比為，且注水1分鐘，乙的水位上升，∴注水1分鐘，丙的水位上升，
設開始注入t分鐘的水量后，甲與乙的水位高度之差為2cm，則可分：
①當甲的水位低于乙的水位時，甲的水位不變時，則有：∴，解得：；
∵，∴此時丙容器已向乙容器溢水，
∵分鐘，cm，即經過分鐘丙容器的水達到管子底部，乙的水位上升cm，
∴，解得：；
②當甲的水位低于乙的水位時，乙的水位到達管子底部，甲的水位上升時，
∵乙的水位到達管子底部的時間為：分鐘，
∴，解得：；
綜上所述：開始注入，分鐘的水量后，甲乙的水位高度之差是2cm；故答案為，．
【點睛】本題主要考查一元一次方程的應用，熟練掌握一元一次方程的應用是解題的關鍵．
變式2．（2023·河北承德·七年級期末）如圖，在大長方形（是寬）中放入六個長、寬都相同的小長方形，尺寸如圖所示，求小長方形的寬．若設，分析思路描述正確的是（ ）
甲：我列的方程，找小長方形的長作為相等關系；
乙：我列的方程，找的是大長方形的長做相等關系．
A．甲對乙不完全對 B．甲不完全對乙對 C．甲乙都正確 D．甲乙都不對
【答案】A
【分析】根據小長方形的長作為相等關系，即可得出關于x的一元一次方程，此題得解．
【詳解】解：設，根據小長方形的長作為相等關系，得出，
根據大長方形的寬做相等關系可得，
∴甲對乙不完全對，故A正確．故選：A．
【點睛】本題主要考查了由實際問題抽象出一元一次方程，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．
全卷共25題 測試時間：70分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2024七年級上·浙江·專題練習）如圖，地面上釘著一個用一根彩繩圍成的直角三角形．若將直角三角形銳角頂點處的一個釘子去掉，并將這根彩繩釘成一個長方形，則釘成的長方形的面積是（ ）
A．32 B．36 C．32或36 D．24或48
【答案】C
【分析】本題主要考查了一元一次方程的應用，掌握分類討論思想成為解題的關鍵．
先求出直角三角形的周長，然后分去掉頂點A或頂點B的釘子兩種情況分別列方程求出長方形的長和寬，進而求得長方形的面積．
【詳解】解：三角形的周長為，分情況求解如下：
①當去掉頂點A的釘子時，為長方形的一條邊．設長方形另一條邊的長為．
由題意，得，解得，
所以該長方形的長和寬均為6，其面積為；
②當去掉頂點B的釘子時，為長方形的一條邊．設長方形另一條邊的長為y．
由題意，得，解得，
所以該長方形的長和寬分別為8，4，其面積為．
綜上，所釘成的長方形的面積為32或36．
2．（23-24七年級上·湖北武漢·期中）某制藥廠制造一批藥品，如用舊工藝，則廢水排量要比環保限制的最大量還多；如用新工藝，則廢水排量要比環保限制的最大量少，新舊工藝的廢水排量之比為2：5，若設環保限制的最大量為，則可列方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題考查的是一元一次方程的應用，本題先分別表示新工藝的廢水排量為，舊工藝的廢水排量為，再利用比值的含義建立方程即可；確定相等關系是解本題的關鍵．
【詳解】解：設環保限制的最大量為，則 ，故選：A．
3．（24-25七年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習）某茶具生產車間共有22名工人，每人每天可生產30個茶壺或者100只茶杯，一個茶壺與4只茶杯配套．為使每天生產的茶壺和茶杯剛好配套，需要有_________名工人生產茶壺（ ）
A．8 B．14 C．10 D．12
【答案】C
【分析】此題考查了一元一次方程的應用，解題的關鍵是建立等量關系．設分配x名工人生產茶壺，則人生產茶杯，由一個茶壺與4只茶杯配套可知茶杯的個數是茶壺個數的4倍從而得出等量關系，就可以列出方程求出即可．
【詳解】解：設分配x名工人生產茶壺，則人生產茶杯，根據題意得：
，即，解得：，
故需要有10名工人生產茶壺，故選：C．
4．（2024七年級上·山東·專題練習）某工程要求按期完成，甲隊單獨完成需40天，乙隊單獨完成需50天，現甲隊單獨做4天，后兩隊合作，則正好按期完工．問該工程的工期是幾天？設該工程的工期為x天．則方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了一元一次方程的應用；關系式為：甲4天的工作量甲乙合作天的工作量，把相關數值代入即可求解．找到工作量之間的等量關系解決本題的關鍵．
【詳解】解：甲4天的工作量為：；甲乙合作其余天數的工作量為：，
可列方程為：，故選：．
5．（23-24七年級上·云南紅河·期末）第十九屆亞洲運動會開幕式于年月日晚在浙江省杭州市隆重舉行．某球賽的比賽記分方法為：勝一場得分，平一場得分，負一場得分，一支球隊一共進行了場比賽，輸了場，得分．設該球隊勝了場，則下列所列方程正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此題主要考查了一元一次方程的應用，首先設該球隊勝了場，則平了場，根據題意得，讀懂題意，列出方程是解題關鍵．
【詳解】解：設該球隊勝了場，則平了場，
根據題意列方程為：，故選：．
6．（24-25七年級上·江蘇鹽城·期中）某市對市區主干道進行綠化，現有甲、乙兩個施工隊，甲施工隊有13位工人，乙施工隊有27位工人，現計劃有變，需要從乙施工隊借調名工人到甲施工隊，剛好甲施工隊人數是乙施工隊人數的3倍，則根據題意列出方程正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，根據兩隊原有人數及借調人數，可得出借調后甲施工隊有位工人，乙施工隊有位工人，結合借調后甲施工隊人數是乙施工隊人數的3倍，即可得出關于x的一元一次方程，此題得解．
【詳解】解：∵要從乙施工隊借調x名工人到甲施工隊，
∴借調后甲施工隊有位工人，乙施工隊有位工人．
根據題意得：．故選：B．
7．（24-25七年級上·安徽合肥·期中）安徽某中學開展校運動會，參加跳高的學生是參加立定跳遠的學生的2倍少3人，已知參與這兩項運動的人數共86人．設參加立定跳遠的學生有人，則下列方程中正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，設參加立定跳遠的學生有人，則參加跳高的學生有人，根據“參加跳高的學生是參加立定跳遠的學生的2倍少3人，已知參與這兩項運動的人數共86人”即可求解．解題的關鍵是找到正確的等量關系．
【詳解】解：設參加立定跳遠的學生有人，則參加跳高的學生有人，
由題意可得，，故選：D．
8．（24-25七年級上·福建廈門·期中）如圖，表中給出的是某月的月歷，任意選取某“H”型框中的7個數（表中陰影部分僅作“H”型框的例）．請你運用所學的數學知識分析任取的這7個數的和不可能是（ ）
A．63 B．98 C．126 D．161
【答案】C
【分析】本題主要考查了一元一次方程的應用，設最中間的數為x，根據題意列出方程求解即可判斷，
解題的關鍵是正確找出題中的等量關系．
【詳解】設最中間的數為x，
∴這7個數分別為、、、x、、、，
∴這7個數的和為：，
當時，此時，當時，此時，
當時，此時，當時，此時，
由圖可知，當時，右面沒有數字，∴時不符合題意，故選：C．
9．（24-25七年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習）我國古代著作《增刪算法統宗》中記載了一首古算詩：“庭前孩童鬧如簇，不知人數不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齊足，”其大意：“孩童們在庭院玩耍，不知有多少人和梨，每人分4個梨，多12個梨：每人分6個梨，恰好分完．”設梨有x個，則可列方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查由實際問題抽象出一元一次方程，理解題意，找到等量關系是解題關鍵．根據孩童人數不變列方程即可．
【詳解】解：由題意可列方程．故選B．
10．（24-25七年級上·云南昆明·階段練習）我國古代的《洛書》中記載了最早的幻方——九宮格，在一個的方格中填寫了9個數字，使得每行、每列、每條對角線上的三個數之和相等，得到的的方格稱為一個三階幻方、在金庸先生的武俠著作《射雕英雄傳》中的女主角黃蓉曾破解九宮格，口訣為：“二四為肩，六八為足，戴九服一，左七右三，五居中央”，如圖①就是這個幻方，圖②是一個未完成的幻方，請你類比圖①推算出圖②a處所對應的數字是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本題考查一元一次方程應用，涉及有理數的加法，根據表格，利用每行、每列、每條對角線上的三個數之和相等列方程是解題的關鍵．根據“每行、每列、每條對角線上的三個數之和相等”，列方程即可求出a的值，從而得到答案．
【詳解】解：根據題意：，解得：，故選：B．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（24-25七年級上·安徽蕪湖·開學考試）客、貨兩車同時從A、B兩地相向而行，在距A地100千米處第一次相遇，各自到達對方出發地后立即返回，途中又在距B地60千米處第二次相遇．A、B兩地相距 千米．
【答案】240
【分析】本題考查行程問題，設A ，B 兩地相距千米，根據客車走的路程進行列方程，解方程即可．
【詳解】解：設A，B 兩地相距千米，第一次相遇時客貨兩車走過一個x，其中客車走過100千米，第二次相遇時倆車共走過，其中客車走過千米，同時可知客車走過的路程為千米，
則解得，即A，B 兩地相距千米，故答案為：240．
12．（2024·山西長治·模擬預測）某木材加工廠制作桌子的車間有14名工人，每名工人每小時可以加工10張桌面或30條桌腿．1張桌面需要配4條桌腿，為使每小時加工的桌面和桌腿剛好配套，該車間應安排 名工人加工桌腿．
【答案】8
【分析】本題考查了一元一次方程的應用，設該車間應安排名工人加工桌腿，則安排名工人加工桌面，根據每小時加工桌腿的總數量等于加工桌面總數量的4倍，可列出關于的一元一次方程，解之即可得出結論．
【詳解】設該車間應安排名工人加工桌腿，則安排名工人加工桌面，
根據題意得：，解得：，
該車間應安排8名工人加工桌腿．故答案為：8．
13．（24-25七年級上·重慶·階段練習）10人參加智力競賽，每人必須回答24個問題，答對一題得5分，答錯一題扣3分．結果得分最低的人得8分．且每個人的得分都不相同．那么第一名至少得 分．
【答案】
【分析】本題考查一元一次方程的應用，先求出最低分做對的題目數，再推理第一名做對的題目數即可．
【詳解】設最低分做對的題目數題，則做錯題，
由題意得，，解得，∴低分做對的題目數10題，
∵每個人的得分都不相同，
∴所有另外9個同學的對題數最少是：11、12、13、14、15、16、17、18、19，
因此第一名至少得：（分），故答案為：．
14．（24-25七年級上·浙江寧波·階段練習）如圖，8張正方形泡沫板拼成一個長方形展板，其中最小的兩個正方形邊長均為1米，則長方形展板的面積是 平方米．
【答案】130
【分析】本題考查一元一次方程的應用，解答本題的關鍵是明確題意，先第二小的正方形的邊長是米，則五種正方形的邊長從小到大依次是1米，米，米，米，米，根據長方形展板上下對邊相等，列出相應的方程，從而可以求得x的值，然后即可計算出展板的長和寬，再根據長方形的面積長寬，代入數據計算即可．
【詳解】解：設第二小的正方形的邊長是米，則五種正方形的邊長從小到大依次是1米，米，米，米，米，
根據長方形展板上下對邊相等，得，解得，
展板的長是（米），展板的寬是（米），
長方形展板的面積是（平方米）．故答案為：130．
15．（24-25七年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習）如圖，在一張普通的月歷中，任意圈出一豎列上的相鄰的三個數，用方程的思想來研究，中間日期數為 時，三個日期數之和為69．
【答案】23
【分析】本題主要考查一元一次方程的應用，解題的關鍵是理解題意；設中間日期為x，則跟它相鄰的兩個數分別為和，然后根據題意可列方程進行求解．
【詳解】解：設中間日期為x，則跟它相鄰的兩個數分別為和，由題意得：
解得：；故答案為：23．
16．（23-24七年級上·江西撫州·階段練習）甲隊有工人272人，乙隊有工人196人，如果要求甲隊人數是乙隊的人數的3倍，應從乙隊調多少人去甲隊．如果設應從乙隊調x人到甲隊，列出的方程正確的是 ．
【答案】
【分析】本題考查了一元一次方程的應用，找出等量關系列出方程是本題的關鍵．應從乙處調x人到甲處，則甲處現有的工作人數為人，乙處現有的工作人數為人，根據甲處的人數是乙處人數的3倍，列出方程即可．
【詳解】解：設應從乙處調x人到甲處，則甲處現有的工作人數為人，乙處現有的工作人數為人．
根據“甲處的人數是乙處人數的3倍”列方程得：，
故答案為：．
17．（23-24七年級·上海徐匯·期中）2019年起我國個人所得稅起征點有新調整，公民月工資、薪金所得不超過5000元的部分不必納稅，超過5000元的部分為全月應納稅所得額．此項稅款按下表累加計算：（本題不計算規定中的抵扣部分）
全月應納稅所得額 稅率
不超過3000元的部分
超過3000元到12000元的部分
超過12000元到25000元的部分
（納稅款應納稅所得額對應的稅率）按此規定解答下列問題：
如果小麗的爸爸三月份應繳交所得稅款540元，那么他三月份的工資、薪金是 元．
【答案】12500
【分析】設他三月份的工資、薪金是x元，先通過計算判斷出小麗的爸爸三月份的應納稅所得額超過3000元而不超過12000元，則他三月份的納稅款為元，可列方程，解方程求出x的值即得到問題的答案．
【詳解】解：設他三月份的工資、薪金是x元，
∵（元），（元），
∴應納稅所得額為3000元、12000元時的納稅款分別為90元、990元，
∵90元＜540元＜990元，
∴小麗的爸爸三月份的應納稅所得額超過3000元而不超過12000元，
根據題意得，
解得，
∴他三月份的工資、薪金是12500元，
故答案為：12500．
【點睛】此題重點考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解應用題等知識與方法，正確地用代數式表示小麗的爸爸三月份的納稅款是解題的關鍵．
18．（23-24七年級上·陜西西安·階段練習）成語“朝三暮四”講述了一位老翁喂養猴子的故事，老翁為了限定猴子們的每天食量分早晚兩次喂食，早上的糧食是晚上的，猴子們對這個安排很不滿意，于是老翁進行了調整，從晚上的糧食中取2千克放在早上投食，這樣早上的糧食是晚上的，猴子們對這樣的安排非常滿意，那么老翁給猴子們限定的每天食量共 千克．
【答案】14
【分析】本題考查一元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出方程是解題的關鍵．設調整前晚上喂食千克，則早上喂食是千克，根據早上的糧食是晚上的列出一元一次方程求解．
【詳解】解：調整前晚上喂食千克，則早上喂食是千克，
根據題意得，解得，，故答案為：14．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（24-25七年級上·河北滄州·期中）一輛快車從A地勻速駛往B地，同時一輛慢車從B地勻速駛往A地，兩車行駛時相遇，相遇地點距B地．相遇后再行駛，快車到達B地，休息后立即以原速返回，駛往A地．
(1)快車的速度是_____，慢車的速度是_____；A、B兩地的距離是_____；
(2)從兩車出發直至慢車到達A地的過程中，經過幾小時兩車相距？
【答案】(1)120，60，360
(2)經過1小時或3小時或5小時兩車相距180km
【分析】本題考查一元一次方程在行程問題中的應用，有理數四則混合計算的實際應用：
（1）根據兩車同時出發，行駛2h時相遇，相遇地點距地，可知慢車的速度，再根據相遇后再行駛，快車到達地，可得快車的速度，則兩地距離可得；
（2）設從兩車出發直至慢車到達地的過程中，經過小時兩車相距，則分三種情況列方程求解即可：①兩車相遇前；②兩車相遇后；③快車到達地，休息后，此時快車再次駛向地，兩車有一個相距的時間，根據題意列方程求解即可；
明確行程問題的基本關系式并理清題中的數量關系是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：∵兩車同時出發，行駛時相遇，相遇地點距地，
∴慢車的行駛速度為：，
又∵相遇后再行駛，快車到達地，
∴快車行駛了，
∴快車的速度為，
∴、兩地的距離是：
故答案為：；；；
（2）解：設從兩車出發直至慢車到達地的過程中，經過小時兩車相距，則有三種情況：
①兩車相遇前：，
解得：；
②兩車相遇后：，
解得：；
③時，快車行駛了，
∴快車到達地，休息后，時，
此時兩車已經相距：，
∴，
解得：．
答：經過小時或小時或小時兩車相距．
20．（23-24七年級下·河北保定·期末）某快遞公司規定：寄件不超過1千克的部分按起步價計費；寄件超過1千克的部分按千克計費．小麗分別寄快遞到北京和上海，收費標準及實際收費如下表：
收費標準
目的地 起步價（元） 超過1千克的部分（元/千克）
北京 a b
上海
實際收費
目的地 質量（千克） 費用（元）
北京 2 9
上海 3 22
(1)求a，b的值；
(2)若小麗寄10千克的快遞到上海，則小麗需要付多少錢的快遞費？
【答案】(1)，；
(2)64元
【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．
（1）根據小麗分別寄快遞到上海和北京的快遞質量和費用，即可得出關于，的二元一次方程組，解之即可得出結論；
（2）由題意列式計算即可．
【詳解】（1）解：根據題意得：，
解得：．
答：的值為7，的值為2．
（2）解：由（1）得，，．
（元），
答：小麗需要付64元的快遞費．
21．（2024·山西·模擬預測）年月日，“世界水日”、“中國水周”山西省宣傳活動在太原啟動，本次活動，旨在調動全社會各方力量團結治水興水，吸引并推動社會公眾關心支持水利事業為貫徹落實本次活動精神，太原市現計劃修一條水渠便于引水用水．已知，甲工程隊活單獨修需天完成，乙工程隊單獨完成需要的天數比甲工程隊單獨完成天數的多少天．
(1)乙工程隊單獨完成需要多少天？
(2)若甲先單獨修天，之后甲乙合作修完這條水渠，求甲乙還需合作幾天才能修完這條水渠？
【答案】(1)天
(2)天
【分析】（）根據題意列出算式計算即可求解；
（）設甲乙還需合作天才能修完這條水渠，根據題意列出方程即可求解；
本題考查了一元一次方程的應用，根據題意正確列出方程是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：，
答：乙工程隊單獨完成需要天；
（2）解：設甲乙還需合作天才能修完這條水渠，
由題意得，，
解得，
答：甲乙還需合作天才能修完這條水渠．
22．（24-25七年級下·重慶渝北·自主招生）平價商場經銷甲、乙兩種商品，甲種商品每件進價40元，售價60元；乙種商品每件進價50元，利潤率為．
打折前一次性購物總金額 優惠措施
不超過380元 不優惠
超過380元，但不超過500元 售價打九折
超過500元 售價打八折
(1)若該商場同時購進甲、乙兩種商品共60件，恰好總進價為2600元，求購進甲乙兩種商品各多少件？
(2)在“元旦”期間，該商場只對甲乙兩種商品進行如表的優惠促銷活動：按上述優惠條件，若小聰第一天只購買乙種商品，實際付款320元，第二天只購買甲種商品實際付款432元，求小聰這兩天在該商場購買甲、乙兩種商品一共多少件？
【答案】(1)購進甲商品40件，乙商品20件
(2)小聰這兩天在該商場購買甲、乙兩種商品一共12或13件
【分析】本題考查了一元一次方程的應用，根據題意列出方程是解題的關鍵．
（1）設購進甲種商品件，則購進乙種商品件，然后根據題意列一元一次方程求解即可；
（2）根據利潤率等于利潤除以進價，直接算出乙的售價；設第一天購買乙種商品件，設第二天購買甲種商品件，然后分別列方程求得、，最后求和即可．
【詳解】（1）解：設購進甲種商品件，則購進乙種商品件，
由題意得，，
解得：，
則．
答：購進甲商品40件，乙商品20件．
（2）解：設第一天購買乙種商品件，
依題意得，或，
解得或（舍去），
所以第一天購買乙種商品5件．
元，
每件乙種商品售價為80元．
設第二天購買甲種商品件，
依題意得，或，
解得或9，
所以第二天購買甲種商品8或9件，
件或件．
答：小聰這兩天在該商場購買甲、乙兩種商品一共12或13件．
23．（24-25七年級上·山東·期中）如圖是年月份的月歷，請解決下列問題：
星期天 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
(1)豎排相鄰各數間有什么關系？橫排相鄰各數間有什么關系？
(2)從左上到右下的對角線上相鄰各數間有什么關系？從右上到左下的對角線上相鄰各數間有什么關系？
(3)暑假期間小明和家人外出游玩天，這天的日期之和是，小明是幾號出去玩的？
【答案】(1)豎排相鄰各數間相差，橫排相鄰各數間相差
(2)從左上到右下的對角線上相鄰各數間相差，從右上到左下的對角線上相鄰各數間相差
(3)號
【分析】（）觀察月歷即可求解；
（）觀察月歷即可求解；
（）設小明是號出去玩的，根據月歷橫排相鄰各數間的關系列出方程即可求解；
本題考查了一元一次方程的應用，找到月歷中相鄰各數間的關系是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：由月歷可得，豎排相鄰各數間相差，橫排相鄰各數間相差；
（2）解：由月歷可得，從左上到右下的對角線上相鄰各數間相差，從右上到左下的對角線上相鄰各數間相差；
（3）解：設小明是號出去玩的，
由題意得，，
解得，
答：小明是號出去玩的．
24．（23-24七年級上·云南紅河·期末）七年級某班因參加校園運動會為學生購置運動裝．經了解，某服裝店男款運動裝每套100元，女款運動裝每套120元，原價購買50套運動裝共需5520元．為吸引顧客，該店推出兩種優惠方案：
方案一：全部運動裝八五折銷售；
方案二：一次性購買40套運動裝（男女運動裝均可）及以上免費贈送10套男款運動裝，其余的按原價銷售．
(1)該班購買的男款運動裝和女款運動裝各多少套？
(2)請通過計算說明該班購買50套運動裝應選擇哪種優惠方案更合算？
【答案】(1)該班購買的男款運動裝套．
(2)按方案二購買更合算
【分析】本題考查了一元一次方程的應用，根據已知的等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．
（1）設該班購買的男款運動裝套，由總共需要5520元列方程，解出即可．
（2）按方案一購買需：（元）；按方案二可以購買14套男運動裝和26套女運動裝加贈送10套男款運動裝，費用為：（元），比較大小即可．
【詳解】（1）解：設該班購買的男款運動裝套，則購買的女款運動裝各多少套為套，根據題意得
答：該班購買的男款運動裝套．
（2）按方案一購買需：（元）
按方案二購買需：按原價購買14套男運動裝和26套女運動裝加贈送10套男款運動裝
（元）
∵
∴按方案二購買更合算．
25．（24-25七年級上·廣東佛山·階段練習）【閱讀思考】在一個的方格中寫9個數字，使得每行、每列、每條對角線上的三個數的和都相等，得到的的方格稱為三階幻方．例如圖1就是一個三階幻方．


(1)在圖2是的空格處填上合適的數字，使它構成一個三階幻方．
(2)如圖3是一個三階幻方，根據方格中已給的信息，得到________；
(3)如圖4是某月的日歷，將帶陰影的方框中的9個數（如圖所示）重新排列能否構成一個三隊幻方？ 如能，請在備用圖中構造三階幻方；如不能，請說明理由．
(4)如圖5，每個三角形的三個頂點上的數字之和都與中間正方形四個頂點上的數字之和相等， 構成一個“異幻方”，現將，，，2，3，4、6，7填入圖6構成“異幻方”，部分數據已填入，則 ________．
【答案】(1)見解析（答案）(2)3(3)能，見解析(4)或
【分析】本題考查一元一次方程的應用，數字類規律探究，解題的關鍵是讀懂題意，抓住幻方中每行、每列、每條對角線上的三個數之和相等．
（1）根據每行、每列、每條對角線上的三個數的和都相等解答即可；
（2）根據規則知，據此求解可得x的值；
（3）根據每行、每列、每條對角線上的三個數的和都相等解答即可；
（4）根據每個三角形的三個頂點上的數字之和都與中間正方形四個頂點上的數字之和，可得每個三角形的三個頂點上的數字之和都相等．圖中有四個三角形，四個三角形上的數字相加后，中間正方形四個頂點上的數字之和就多算了一遍，所以所給的8個數字的和除以3即可得到每個三角形三個頂點的數字之和，代入求解即可．
【詳解】（1）解：如下表：
6 1 2
3 7
4 5 0
（2）由題意知，解得，故答案為：3；
（3）解：∵，
∴只要使每行、每列、每條對角線上的三個數的和為33即可．
如下表：
12 3 18
17 11 5
4 19 10
（4）解：每個三角形的三個頂點上的數字之和都與中間正方形四個頂點上的數字之和相等，
每個三角形的三個頂點上的數字之和都相等，
每個三角形的三個頂點上的數字之和，
，，
，，，
所給的數剩下7，6，3，2，，，
，，，或，，，，
或，
或
故答案為∶或．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)/ 讓教學更有效 精品試卷 | 數學
專題5.5.一元一次方程的應用
1、體會直接或間接設未知數的解題思路，從而建立方程，解決實際問題；
2、借助立體或平面圖形（邊長、周長、面積、體積等）學會分析復雜問題中的數量和等量關系。
3、通過生活實例，了解成本、售價、利潤、利潤率之間的數量關系；
4、能在具體打折問題中找準等量關系，列出方程并求解。
5、借助“線段圖”分析復雜問題中的數量關系，從而建立方程，解決實際問題；
6、熟悉路程問題中的速度、路程、時間之間的關系，從而實、現從文字語言到圖形語言，從圖形語言到符號語言的轉化。
模塊1：知識梳理 2
模塊2：核心考點 3
考點1.行程問題 3
考點2.配套問題 4
考點3.工程問題 4
考點4.銷售（利潤）問題 5
考點5.比賽積分 6
考點6.方案優化與選擇 7
考點7.數字與日歷問題 9
考點8.分段計費問題 10
考點9.和差倍分問題 12
考點10.數學文化問題 12
考點11.幾何圖形問題 13
模塊3：能力培優 15
1.用一元一次方程解決實際問題的一般步驟
列方程解應用題的基本思路為：問題方程解答．
由此可得解決此類題的一般步驟為：審、設、列、解、檢驗、答．
2.建立書寫模型常見的數量關系
1）公式形數量關系
生活中許多數學應用情景涉及如周長、面積、體積等公式。在解決這類問題時，必須通過情景中的信息，準確聯想有關的公式，利用有關公式直接建立等式方程。
長方形面積=長×寬；長方形周長=2（長+寬）；正方形面積=邊長×邊長；正方形周長=4邊長。
2）約定型數量關系
利息問題，利潤問題，質量分數問題，比例尺問題等涉及的數量關系，像數學中的公式，但常常又不算數學公式。我們稱這類關系為約定型數量關系。
3）基本數量關系
在簡單應用情景中，與其他數量關系沒有什么差別，但在較復雜的應用情景中，應用方法就不同了。我么把這類數量關系稱為基本數量關系。
單價×數量=總價；速度×時間=路程；工作效率×時間=總工作量等。
3.分析數量關系的常用方法
1）直譯法分析數量關系
將題中關鍵性的數量關系的語句譯成含有未知數的代數式，并找出沒有公國的等量關系，翻譯成含有未知數的等式。
2）列表分析數量關系
當題目中條件較多，關系較復雜時，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格進行分析。這種方法的好處在于把已知量和未知量“對號入座”，便于正確理解各數量之間的關系。
3）圖解法分析數量關系
用圖形表示題目中的數量關系，這種方法能幫助我們透徹地理解題意，并可直觀形象的體會題意。在行程問題中，我們常常用此類方法。
考點1.行程問題
例1．（24-25七年級上·浙江·期中）老師帶著兩個學生到離校33千米的博物館參觀．老師騎摩托車速度為25千米/小時，這輛摩托車后座可以帶乘一名學生，帶人后速度為20千米/小時．如果學生步行，速度為5千米/小時．請你設計一種方案，使師生三人同時出發后用3小時同時到達博物館．
變式1．（24-25七年級上·河北衡水·開學考試）一列客車和一列貨車分別從，兩地同時開出，經過小時后，客車剩余的距離還有全程的，貨車已到達超過兩地中點的千米處，已知客車比貨車每小時多行千米，求，兩地之間的距離是多少千米？
變式2．（24-25七年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習）一艘船從甲碼頭到乙碼頭順水而行，用了；從乙碼頭返回甲碼頭逆水而行，用了．已知水流的速度是．
求：(1)船在靜水中的平均速度；(2)甲、乙兩地之間的距離．
考點2.配套問題
例1．（23-24七年級上·山西大同·階段練習）某工廠需要生產一批太空漫步器（如圖），每套設備由一個支架和兩套腳踏板組裝而成；工廠現共有45名工人，每人每天平均生產60個支架或96套腳踏板，應如何分配工人才能使每天生產的支架和腳踏板恰好配套？
變式1．（24-25七年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習）某車間有26名工人，每人每天可以生產800個螺栓或1000個螺母，1個螺栓需要配2個螺母，為使每天生產的螺栓和螺母剛好配套，設安排x名工人生產螺栓，則下面所列方程正確的是（ ）
A． B． C． D．
變式2．（24-25七年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習）某車間有27個工人生產甲、乙兩種零件，每3個甲種零件與2個乙種零件配成一套，已知每個工人每天能加工甲種零件12個或乙種零件16個，為使每天生產的兩種零件配套，則生產甲、乙零件的工人數各多少人？
考點3.工程問題
例1．（2024七年級上·浙江·專題練習）某開發公司生產若干件某種新產品，需要精加工后才能投放市場，現有甲、乙兩個工廠都想加工這批產品．已知甲、乙兩個工廠每天分別能加工這種產品16件和24件，甲單獨加工這批產品比乙單獨加工這批產品要多用20天，且若由甲單獨做，公司需付甲每天的加工費用80元；若由乙單獨做，公司需付乙每天的加工費用120元．
(1)設甲單獨加工這批新產品要用x天，則乙單獨加工這批新產品要用_______天；
(2)在（1）的條件下，求這批新產品的件數；(3)若公司董事會制定了如下方案：可以由每個工廠單獨完成，也可以由兩個工廠同時合作完成，但在加工過程中，公司需派一名工程師到工廠進行技術指導（若兩個工廠同時合作，只需派一名工程師到工廠指導），并由公司為其提供每天10元的午餐補助．請你幫助公司選擇一種既省時又省錢的加工方案，并通過計算說明理由．
變式1．（23-24七年級·廣東·期中）完成某項工程，甲單獨做需天完成，乙單獨做需天完成.現在甲先做了天，乙再參加合做，求完成這項工程甲、乙合做了多少天若設完成此項工程甲、乙合做了天，則下列方程中正確的是（ ）
A． B． C． D．
變式2．（24-25七年級上·黑龍江哈爾濱·期中）哈爾濱亞冬會的某個比賽場館正在裝修，裝修后產生的建筑垃圾需要清理．計劃租用甲、乙兩車隊清理建筑垃圾，已知甲車隊單獨運完需要天，乙車隊單獨運完需要天．乙車隊先運了天，然后甲、乙兩車隊合作運完剩下的垃圾．(1)甲、乙兩車隊合作還需要多少天運完垃圾？(2)已知甲車隊每天的租金元，比乙車隊少元，運完垃圾后共需支付甲、乙兩車隊租金多少元？
考點4.銷售（利潤）問題
例1．（24-25七年級上·江蘇鹽城·開學考試）小明的爸爸在工業區辦了一個工廠，投產后核算，產品的成本分兩部分，一部分是直接生產成本，每個需元，另一部分是管理、宣傳、營銷等與產品數量無關的費用，全部需元．如果此產品的定價為元，那么要使利潤達到營業額的，至少要生產多少個產品？
變式1．（23-24七年級上·江蘇鹽城·期中）某商場購進了A、B兩種商品，其中A種商品每件的進價比B種商品每件的進價多20元，購進A種商品3件與購進B種商品4件的進價相同．
(1)求A、B兩種商品每件的進價分別是多少元？(2)該商場購進了A、B兩種商品共100件，所用資金為6900元，出售時，A種商品按標價出售每件的利潤率為25%，B種商品按標價出售每件可獲利10元．若按標價出售A、B兩種商品，則全部售完商場共可獲利多少元？
變式2．（24-25九年級上·重慶·階段練習）在2024年巴黎奧運會中，中國奧運健兒們斬獲44枚金牌完美收官，其中跳水小將全紅嬋表現出色，一共收獲了2枚金牌，某跳水愛好粉絲團，在女子雙人10米跳臺比賽前準備給全紅嬋送綠龜禮物，第一次采購了20個綠龜玩偶和20個綠龜掛件，共花費了1400元，已知玩偶的單價比掛件貴50元．(1)第一次購買時，綠龜玩偶和綠龜掛件的單價分別是多少元？(2)在第二場女子10米跳水比賽時，跳水愛好粉絲團又組織了一次購買，第二次購買在第一次購買的基礎上，掛件單價優惠了元，玩偶單價優惠了元，掛件和玩偶的購買費用依然不變，玩偶的個數也不變，但掛件比玩偶多出了一件，請求出的值．
考點5.比賽積分
例1．（23-24七年級上·湖北武漢·階段練習）據了解第二屆“澳新杯”籃球賽在12月2日圓滿結束，看到運動場的宣傳欄中的部分信息（如下表）：
小明同學結合學習的知識設計了如下問題，請你幫忙完成下列問題：
(1)從表中可以看出，負一場積______分，勝一場積_______分；
(2)某班在比完12場的前提下，勝場總積分能等于其負場總積分的2倍嗎？請說明理由．
變式1．（2024·陜西咸陽·模擬預測）為豐富校園生活，推動“五育并舉”，減輕學生學習壓力，提高學生身體素質．某學校舉辦了春季籃球比賽．比賽規定勝1場得3分，平1場得1分，負1場扣1分．某隊在10場比賽中勝了6場，共得20分，問該隊負了幾場．
變式2．（23-24七年級上·陜西延安·階段練習）七（1）班組織生活小常識競賽，共設有20道選擇題，各題分值相同，每題必答．下表記錄了5位參賽者的得分情況，根據表中信息解答下列問題：
參賽者 答對題數 答錯題數 得分
①號 20 0 100
②號 19 1 94
③號 18 2 88
④號 16 4 76
⑤號 10 10 40
(1)如果參賽者⑥號得分為64分，那么他答錯了幾道題？
(2)如果參賽者⑦號說他的得分為60分，你認為可能嗎？請說明理由．
考點6.方案優化與選擇
例1．（24-25七年級上·湖北恩施·階段練習）某游樂園有如表A，B，C三種購票方式：
種類 購票方式
A 一次性使用門票，每張15元
B 年票每張元，持票者每次進入游樂園無需再購買門票
C 年票每張80元，持票者進入游樂園時需每次再購買6元的門票
(1)某游客一年中進入該游樂園共有a次，分別求三種購票方式一年的費用．（用含a的代數式表示）
(2)某游客一年中進入該游樂園共有12次，選擇哪種購買方式比較優惠？請通過計算說明．
(3)已知甲、乙、丙三人分別按A，B，C三種方式購票，且他們一年中進入該游樂園的次數相同．一年中，若甲所花的費用與乙所花費用相等，求丙在這一年中進入該游樂園所花的費用．
變式1．（23-24七年級上·云南玉溪·期末）某服裝批發商促銷一種褲子和T恤，在促銷活動期間，褲子每件定價100元，T恤每件定價50元，并向客戶提供兩種優惠方案：
方案一：買一件褲子送一件T恤；
方案二：褲子和T恤都按定價的付款．
現某客戶要購買褲子30件，T恤x件（）：
(1)按方案一，購買褲子和T恤共需付款 ______（用含x的式子表示）；
(2)計算一下，購買多少件T恤時，兩種優惠方案付款一樣？
(3)若兩種優惠方案可同時使用，當時，你能給出一種更為省錢的購買方案嗎？
變式2．（23-24七年級上·浙江金華·期末）中國移動全球通有兩種通話計費方法（接聽全免，接聽時間不計入通話時間）：
計費方法A是每月收月租費48元，通話時間不超過50分鐘的部分免費，超過50分鐘的按每分鐘0.25元加收通話費；計費方法B是每月收取月租費88元，通話時間不超過200分鐘的部分免費，超過200分鐘的按每分鐘0.19元加收通話費．
(1)某使用計費方法A的用戶一個月通話時間為100分鐘，應付費用多少元？
(2)用計費方法B的用戶某個月累計費用107元，通話時間是多少分鐘？
(3)用計費方法B的用戶某個月累計費用126元，若改用計費方法A的方式，費用是增加還是減少？相差多少？
考點7.數字與日歷問題
例1．（24-25七年級上·湖北武漢·階段練習）觀察下列按一定規律排列的三行數：
第一行：，4，，16，…：
第二行：0，6，，18，…；
第三行：，2，，8，…
解答下列問題：(1)每一行的第6個數依次是：___________，___________，_________．
(2)分別寫出第二行和第三行的第n個數_______，_________．
(3)第一行中是否存在某三個相鄰數的和為1536？若存在，求出這三個數；若不存在請說明理由．
變式1．（24-25七年級上·江蘇南京·期中）我國公民的“身份號碼”共有18位數字，它是由6位區域碼，8位出生日期碼，3位順序碼，1位校驗碼構成．例如，某公民的身份號碼如圖①所示，其中最后一位“X”不是英文字母，而是羅馬數字，表示10．
校驗碼是按照特定的算法得來的，計算方法為：
第一步：將身份號碼的前17位數字分別乘以各自對應的系數，如下表所示：
回答下列問題：
(1)某人身份號碼為“”，若A的值為4，則校驗碼B的值為_________；若校驗碼B的值為8，則A的值為_________．
(2)某人身份號碼為“”，已知D的值是C的值的2倍，請寫出最后的校驗碼E的值，并說明理由．
(3)如圖②，圖示中的身份號碼被磨損掉了兩個數字，若它們的差為1，請直接寫出被磨損掉的兩個數字．
余數 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
校驗碼 1 0 X 9 8 7 6 5 4 3 2
變式2．（24-25七年級上·北京·期中）下圖是2023年10月的月歷，觀察月歷，回答問題：
(1)小明國慶假期外出旅行三天，三天日期之和是12，小明是星期幾出發的？
(2)“S型”這個陰影圖形覆蓋四個方格，設“S型”陰影覆蓋的最小數字為m，四個數字之和為S，2023年是建國74周年，S的值能否等于74？若能，求m的值；若不能，說明理由；
考點8.分段計費問題
例1．（24-25七年級上·陜西榆林·期中）我市某小區居民使用自來水2024年標準繳費如下（水費按月繳納）：
用戶月用水量 單價
不超過12的部分 a元/
超過12但不超過20的部分 元/
超過20的部分 元/
(1)某戶4月份用了13的水，求該戶4月份應繳納的水費；（用含a的式子表示）
(2)設某戶月用水量為n，當，時，該戶應繳納的水費為多少元？（用含n的式子表示）
(3)當時，甲、乙兩戶一個月共用水32，已知甲戶繳納的水費超過了24元，設甲戶這個月用水x，試求甲，乙兩戶一個月共繳納的水費．（可用含x的式子表示）
變式1．（23-24七年級下·貴州貴陽·階段練習）某城市為了加強公民的節氣和用氣意識，按以下規定收取每月煤氣費：所用煤氣如果不超過50立方米，按每立方米0.8元收費；如果超過50立方米，超過部分按每立方米1.2元收費．設小麗家每月用氣量為x立方米，應交煤氣費為y元．
(1)若小麗家某月用煤氣量為80立方米，則小麗家該月應交煤氣費多少元？
(2)試寫出y與間的表達式；
(3)若小麗家4月份的煤氣費為88元，那么她家4月份所用煤氣為多少立方米？
變式2．（23-24七年級上·江蘇鹽城·階段練習）為響應國家節能減排的號召，鼓勵人們節約用電，保護能源，某市實施用電“階梯價格”收費制度．收費標準如表：
居民每月用電量 單價（元度）
不超過50度的部分
超過50度但不超過200度的部分
超過200度的部分
已知小智家上半年的用電情況如表（以200度為標準，超出200度記為正、低于200度記為負）
一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份
根據上述數據，解答下列問題：
(1)小智家用電量最多的是____月份，該月份應交納電費_____元；
(2)若小智家七月份應交納的電費元，則他家七月份的用電量是多少？
考點9.和差倍分問題
例1．（24-25六年級上·黑龍江哈爾濱·期中）在清冰雪工作中，某駐哈武警部隊出動兵力600人參加三條街路的清冰雪勞動，其中A街路清冰雪的人數占此次出動兵力總人數的，余下的人參加B街路和C街路的清冰雪勞動，并且參加B街路清冰雪的人數是參加C街路的清冰雪人數的．
(1)求參加A街路清冰雪勞動共有多少人？
(2)求參加B街路和C街路的清冰雪勞動各有多少人？
(3)在A街路清冰雪過程中，因有其它工作需要，調走了此處的兵力后，附近的居民主動參加勞動，此時在A街路清冰雪的武警官兵人數比居民人數的3倍少6人，求參加清冰雪勞動的居民有多少人？
變式1．（24-25七年級上·浙江·單元測試）某工廠有工人1200人，因工作需要，調走了男工人數的，又增加女工人30人，這時男、女工人數相等．這個工廠原有男工多少人？
考點10.數學文化問題
例1．（2024七年級上·浙江·專題練習）《直指算法統宗》中有這樣一道題，原文如下：“一百饅頭一百僧，大僧三個更無爭，小僧三人分一個，大小和尚得幾丁？”大意為：有個和尚分個饅頭，如果大和尚人分個，小和尚人分個，正好分完，大、小和尚各有多少人？請解答上述問題．
變式1．（2024·安徽六安·模擬預測）《孫子算經》中記載：“今有三人共車，二車空；二人共車，九人步．問人和車各幾何？”其大意是：“今有若干人乘車，每人乘一車，最終剩余輛空車；若每人同乘一車，最終剩下人因無車可乘而步行，問有多少人，多少輛車？”試求有多少人，多少輛車．
變式2．（23-24七年級上·浙江·期中）某數學興趣小組研究我國古代《算法統宗》里這樣一首詩：我問開店李三公，眾客都來到店中，房客共六三，大比小多二一．后半部分的意思是：房客共有63人，大人比小孩多21人．(1)求該房客大人，小孩各有多少人？(2)假設店主李三公推出兩種訂房方案：
方案一：房客超過40人，超過的按原價八折優惠，
方案二：大人原價，小孩半價．
若詩中“眾客”再次一起入住，他們選擇哪種方案訂房更合算？
考點11.幾何圖形問題
例1.（2024·陜西·西安七年級期末）如圖，小明將一個正方形紙片剪去一個寬為5厘米的長條后，再從剩下的長方形紙片上剪去一個寬6厘米的長條，如果兩次剪下的長條面積正好相等，那么每一個長條的面積為多少？
變式1．（2023·浙江八年級期中）實驗室里，水平桌面上有甲、乙、丙三個圓柱形容器（容器足夠高），底面半徑之比為，用兩個相同的管子在容器的高度處（即管子底端離容器底）連通．現三個容器中，只有甲中有水，水位高，如圖所示、，若每分鐘同時向乙和丙注入等量的水，開始注水1分鐘，乙的水位上升，則注水___________分鐘后，甲與乙的水位高度之差是．
變式2．（2023·河北承德·七年級期末）如圖，在大長方形（是寬）中放入六個長、寬都相同的小長方形，尺寸如圖所示，求小長方形的寬．若設，分析思路描述正確的是（ ）
甲：我列的方程，找小長方形的長作為相等關系；
乙：我列的方程，找的是大長方形的長做相等關系．
A．甲對乙不完全對 B．甲不完全對乙對 C．甲乙都正確 D．甲乙都不對
全卷共25題 測試時間：70分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2024七年級上·浙江·專題練習）如圖，地面上釘著一個用一根彩繩圍成的直角三角形．若將直角三角形銳角頂點處的一個釘子去掉，并將這根彩繩釘成一個長方形，則釘成的長方形的面積是（ ）
A．32 B．36 C．32或36 D．24或48
2．（23-24七年級上·湖北武漢·期中）某制藥廠制造一批藥品，如用舊工藝，則廢水排量要比環保限制的最大量還多；如用新工藝，則廢水排量要比環保限制的最大量少，新舊工藝的廢水排量之比為2：5，若設環保限制的最大量為，則可列方程為（ ）
A． B．C． D．
3．（24-25七年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習）某茶具生產車間共有22名工人，每人每天可生產30個茶壺或者100只茶杯，一個茶壺與4只茶杯配套．為使每天生產的茶壺和茶杯剛好配套，需要有_________名工人生產茶壺（ ）
A．8 B．14 C．10 D．12
4．（2024七年級上·山東·專題練習）某工程要求按期完成，甲隊單獨完成需40天，乙隊單獨完成需50天，現甲隊單獨做4天，后兩隊合作，則正好按期完工．問該工程的工期是幾天？設該工程的工期為x天．則方程為（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24七年級上·云南紅河·期末）第十九屆亞洲運動會開幕式于年月日晚在浙江省杭州市隆重舉行．某球賽的比賽記分方法為：勝一場得分，平一場得分，負一場得分，一支球隊一共進行了場比賽，輸了場，得分．設該球隊勝了場，則下列所列方程正確的是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25七年級上·江蘇鹽城·期中）某市對市區主干道進行綠化，現有甲、乙兩個施工隊，甲施工隊有13位工人，乙施工隊有27位工人，現計劃有變，需要從乙施工隊借調名工人到甲施工隊，剛好甲施工隊人數是乙施工隊人數的3倍，則根據題意列出方程正確的是（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25七年級上·安徽合肥·期中）安徽某中學開展校運動會，參加跳高的學生是參加立定跳遠的學生的2倍少3人，已知參與這兩項運動的人數共86人．設參加立定跳遠的學生有人，則下列方程中正確的是（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25七年級上·福建廈門·期中）如圖，表中給出的是某月的月歷，任意選取某“H”型框中的7個數（表中陰影部分僅作“H”型框的例）．請你運用所學的數學知識分析任取的這7個數的和不可能是（ ）
A．63 B．98 C．126 D．161
9．（24-25七年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習）我國古代著作《增刪算法統宗》中記載了一首古算詩：“庭前孩童鬧如簇，不知人數不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齊足，”其大意：“孩童們在庭院玩耍，不知有多少人和梨，每人分4個梨，多12個梨：每人分6個梨，恰好分完．”設梨有x個，則可列方程為（ ）
A． B． C． D．
10．（24-25七年級上·云南昆明·階段練習）我國古代的《洛書》中記載了最早的幻方——九宮格，在一個的方格中填寫了9個數字，使得每行、每列、每條對角線上的三個數之和相等，得到的的方格稱為一個三階幻方、在金庸先生的武俠著作《射雕英雄傳》中的女主角黃蓉曾破解九宮格，口訣為：“二四為肩，六八為足，戴九服一，左七右三，五居中央”，如圖①就是這個幻方，圖②是一個未完成的幻方，請你類比圖①推算出圖②a處所對應的數字是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（24-25七年級上·安徽蕪湖·開學考試）客、貨兩車同時從A、B兩地相向而行，在距A地100千米處第一次相遇，各自到達對方出發地后立即返回，途中又在距B地60千米處第二次相遇．A、B兩地相距 千米．
12．（2024·山西長治·模擬預測）某木材加工廠制作桌子的車間有14名工人，每名工人每小時可以加工10張桌面或30條桌腿．1張桌面需要配4條桌腿，為使每小時加工的桌面和桌腿剛好配套，該車間應安排 名工人加工桌腿．
13．（24-25七年級上·重慶·階段練習）10人參加智力競賽，每人必須回答24個問題，答對一題得5分，答錯一題扣3分．結果得分最低的人得8分．且每個人的得分都不相同．那么第一名至少得 分．
14．（24-25七年級上·浙江寧波·階段練習）如圖，8張正方形泡沫板拼成一個長方形展板，其中最小的兩個正方形邊長均為1米，則長方形展板的面積是 平方米．
15．（24-25七年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習）如圖，在一張普通的月歷中，任意圈出一豎列上的相鄰的三個數，用方程的思想來研究，中間日期數為 時，三個日期數之和為69．
16．（23-24七年級上·江西撫州·階段練習）甲隊有工人272人，乙隊有工人196人，如果要求甲隊人數是乙隊的人數的3倍，應從乙隊調多少人去甲隊．如果設應從乙隊調x人到甲隊，列出的方程正確的是 ．
17．（23-24七年級·上海徐匯·期中）2019年起我國個人所得稅起征點有新調整，公民月工資、薪金所得不超過5000元的部分不必納稅，超過5000元的部分為全月應納稅所得額．此項稅款按下表累加計算：（本題不計算規定中的抵扣部分）
全月應納稅所得額 稅率
不超過3000元的部分
超過3000元到12000元的部分
超過12000元到25000元的部分
（納稅款應納稅所得額對應的稅率）按此規定解答下列問題：
如果小麗的爸爸三月份應繳交所得稅款540元，那么他三月份的工資、薪金是 元．
18．（23-24七年級上·陜西西安·階段練習）成語“朝三暮四”講述了一位老翁喂養猴子的故事，老翁為了限定猴子們的每天食量分早晚兩次喂食，早上的糧食是晚上的，猴子們對這個安排很不滿意，于是老翁進行了調整，從晚上的糧食中取2千克放在早上投食，這樣早上的糧食是晚上的，猴子們對這樣的安排非常滿意，那么老翁給猴子們限定的每天食量共 千克．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（24-25七年級上·河北滄州·期中）一輛快車從A地勻速駛往B地，同時一輛慢車從B地勻速駛往A地，兩車行駛時相遇，相遇地點距B地．相遇后再行駛，快車到達B地，休息后立即以原速返回，駛往A地．
(1)快車的速度是_____，慢車的速度是_____；A、B兩地的距離是_____；
(2)從兩車出發直至慢車到達A地的過程中，經過幾小時兩車相距？
20．（23-24七年級下·河北保定·期末）某快遞公司規定：寄件不超過1千克的部分按起步價計費；寄件超過1千克的部分按千克計費．小麗分別寄快遞到北京和上海，收費標準及實際收費如下表：
收費標準
目的地 起步價（元） 超過1千克的部分（元/千克）
北京 a b
上海
實際收費
目的地 質量（千克） 費用（元）
北京 2 9
上海 3 22
(1)求a，b的值；(2)若小麗寄10千克的快遞到上海，則小麗需要付多少錢的快遞費？
21．（2024·山西·模擬預測）年月日，“世界水日”、“中國水周”山西省宣傳活動在太原啟動，本次活動，旨在調動全社會各方力量團結治水興水，吸引并推動社會公眾關心支持水利事業為貫徹落實本次活動精神，太原市現計劃修一條水渠便于引水用水．已知，甲工程隊活單獨修需天完成，乙工程隊單獨完成需要的天數比甲工程隊單獨完成天數的多少天．(1)乙工程隊單獨完成需要多少天？
(2)若甲先單獨修天，之后甲乙合作修完這條水渠，求甲乙還需合作幾天才能修完這條水渠？
22．（24-25七年級下·重慶渝北·自主招生）平價商場經銷甲、乙兩種商品，甲種商品每件進價40元，售價60元；乙種商品每件進價50元，利潤率為．
打折前一次性購物總金額 優惠措施
不超過380元 不優惠
超過380元，但不超過500元 售價打九折
超過500元 售價打八折
(1)若該商場同時購進甲、乙兩種商品共60件，恰好總進價為2600元，求購進甲乙兩種商品各多少件？
(2)在“元旦”期間，該商場只對甲乙兩種商品進行如表的優惠促銷活動：按上述優惠條件，若小聰第一天只購買乙種商品，實際付款320元，第二天只購買甲種商品實際付款432元，求小聰這兩天在該商場購買甲、乙兩種商品一共多少件？
23．（24-25七年級上·山東·期中）如圖是年月份的月歷，請解決下列問題：
星期天 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
(1)豎排相鄰各數間有什么關系？橫排相鄰各數間有什么關系？
(2)從左上到右下的對角線上相鄰各數間有什么關系？從右上到左下的對角線上相鄰各數間有什么關系？
(3)暑假期間小明和家人外出游玩天，這天的日期之和是，小明是幾號出去玩的？
24．（23-24七年級上·云南紅河·期末）七年級某班因參加校園運動會為學生購置運動裝．經了解，某服裝店男款運動裝每套100元，女款運動裝每套120元，原價購買50套運動裝共需5520元．為吸引顧客，該店推出兩種優惠方案：方案一：全部運動裝八五折銷售；方案二：一次性購買40套運動裝（男女運動裝均可）及以上免費贈送10套男款運動裝，其余的按原價銷售．
(1)該班購買的男款運動裝和女款運動裝各多少套？
(2)請通過計算說明該班購買50套運動裝應選擇哪種優惠方案更合算？
25．（24-25七年級上·廣東佛山·階段練習）【閱讀思考】在一個的方格中寫9個數字，使得每行、每列、每條對角線上的三個數的和都相等，得到的的方格稱為三階幻方．例如圖1就是一個三階幻方．


(1)在圖2是的空格處填上合適的數字，使它構成一個三階幻方．
(2)如圖3是一個三階幻方，根據方格中已給的信息，得到________；
(3)如圖4是某月的日歷，將帶陰影的方框中的9個數（如圖所示）重新排列能否構成一個三隊幻方？ 如能，請在備用圖中構造三階幻方；如不能，請說明理由．
(4)如圖5，每個三角形的三個頂點上的數字之和都與中間正方形四個頂點上的數字之和相等， 構成一個“異幻方”，現將，，，2，3，4、6，7填入圖6構成“異幻方”，部分數據已填入，則 ________．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑