資源簡介

/ 讓教學更有效 精品試卷 | 數(shù)學
專題5.4.一元一次方程的解法
1、掌握移項法則的依據(jù)，會在解方程的過程中正確運用；
2、正確理解和使用去括號法則，并能解含括號的一元一次方程；
3、掌握解一元一次方程中“去分母”的方法，掌握含分母的一元一次方程的解法，并歸納解一元一次方程的步驟。
模塊1：知識梳理 2
模塊2：核心考點 3
考點1.解一元一次方程（1）--移項與合并同類項 2
考點2.解一元一次方程（2）--去括號 4
考點3.解一元一次方程（3）--去分母 5
考點4.一元一次方程中的同解問題 7
考點5.一元一次方程中的錯解與遮擋問題 8
考點6.一元一次方程中的整體換元問題 10
考點7.一元一次方程的新定義問題 11
考點8.根據(jù)解的情況求參數(shù)值 14
模塊3：能力培優(yōu) 16
1.移項：一般地，把方程中的項改變符號后，從方程的一邊移到另一邊，這種變形叫作移項。
注意：整體移動，整體變號。
2.去括號
去括號：在解方程的過程中，將方程中含有的括號去掉的過程。
順序：先去小括號，再去中括號，最后去大括號（由內(nèi)向外，有時為了簡化計算，可視情況而定）。
去括號原則：括號前是“—”號時，去括號后，括號里面的每一項都要變號。
3.去分母
1）兩邊同乘最小公倍數(shù)，以去分母。
2）步驟：①確定最小公倍數(shù)；②兩邊同乘最小公倍數(shù)，去分母。
3）去分母原則：等式兩邊同乘分母的最小公倍數(shù)，必須保證每一項都乘最小公倍數(shù)（包括整數(shù)項）。
4.解一元一次方程的步驟
①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤將未知數(shù)的系數(shù)化為1。
注意：去分母、去括號、移項和合并同類項在方程變形中經(jīng)常用到，去分母時注意方程的每項都要成分母的最小公倍數(shù)；去括號時注意括號前面時“－”時注意變號；移項時應注意改變項的符號。
考點1.解一元一次方程（1）--移項與合并同類項
例1．（23-24七年級上·廣東韶關·期中） 解方程：
(1) (2)
變式1．（24-25七年級上·廣西桂林·期中）下列各式的變形中，屬于移項的是（　　）
A．由變形為 B．由變形為
C．由變形為 D．由變形為
變式2．（2024七年級上·浙江·專題練習）如下表示解方程的流程，其中第3步的依據(jù)是 ．
變式3．（24-25七年級上·黑龍江綏化·期中）解方程(1) (2)
考點2.解一元一次方程（2）--去括號
例1．（24-25七年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習）解方程：(1)； (2)；
變式1．（24-25八年級上·廣東·開學考試）研究下面解方程的過程：
去括號，得，①
移項，得，②
合并同類項，得，③
兩邊都除以6，得．④
以上解題過程中，最先出現(xiàn)錯誤的步驟是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
變式2．（23-24七年級上·安徽阜陽·階段練習）在解方程的過程中，下列去括號正確的是（　　）
A． B． C． D．
變式3．（24-25七年級上·江蘇泰州·期中）解下列方程：(1)；(2)．
考點3.解一元一次方程（3）--去分母
例1．（24-25七年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習）解方程：
(1)；(2)．
變式1．（24-25七年級上·黑龍江哈爾濱·期中）下列解方程變形錯誤的是（ ）
A．由得 B．由得
C．由得 D．由去分母得
變式2．（23-24七年級上·河北唐山·階段練習）把方程的分母化為整數(shù)的方程是（ ）
A． B． C． D．
考點4.一元一次方程中的同解問題
例1．（24-25七年級上·浙江·階段練習）已知方程與關于x的方程的解相同．(1)求a的值；(2)若a、b在數(shù)軸上對應的點在原點的兩側，且到原點的距離相等，c是最大的負整數(shù)，求的值．
變式1．（24-25七年級上·北京·期中）若方程的解與關于x的方程的解相同，確定字母a的值．
變式2．（23-24七年級上·湖南長沙·期末）方程與方程的解相同，求代數(shù)式的值．
考點5.一元一次方程中的錯解與遮擋問題
例1．（23-24七年級上·河北廊坊·期中）嘉淇在進行解一元一次方程的練習時，發(fā)現(xiàn)有一個方程“■”中的常數(shù)被“■”遮擋．
(1)嘉淇猜想“■”遮擋的常數(shù)是1，請你算一算x的值；
(2)老師說此方程的解與方程的解相同，請你算一算“■”遮擋的常數(shù)是多少？
變式1．（24-25七年級上·遼寧沈陽·階段練習）小明在計算有規(guī)律的算式時，不小心把一個運算符號寫錯了（“”錯寫成“”或“”錯寫成“”），結果算成了，則原式從左到右數(shù)，寫錯的運算符號是（ ）
A．第5個 B．第8個 C．第10個 D．第12個
變式2．（24-25七年級上·江蘇鹽城·期中）方程，■處是被墨水蓋住的常數(shù)，已知方程的解是，那么■處的常數(shù)是 ．
考點6.一元一次方程中的整體換元問題
例1．（2024·河南駐馬店·七年級期中）已知關于的一元一次方程的解是，那么關于的一元一次方程的解是_________．
變式1．（2024·江西景德鎮(zhèn)·七年級期末）若是關于的方程的解，則關于的方程的解為______．
變式2．（2024·山西忻州市·七年級期末）閱讀材料，完成任務．
七年級同學在學完解一元一次方程后，已掌握了一元一次方程的一般解法，有同學發(fā)現(xiàn)在一元一次方程的部分習題和練習題中，存在著許多解題技巧，只要在解題中注重研究其結構特點和特殊規(guī)律，巧妙地運用某些基本性質(zhì)、法則，就可以達成“一點通”的效果．小明是一名喜歡動腦筋的學生，在解方程時，不是直接給方程去括號，而是假設，然后把方程變形為：
，
，
．
，
解，得．
上面的問題中利用新的未知量來代替原來的未知量，求出新的未知量后，再利用其替代原來的未知量，從而得以求解，這種解方程的方法叫做換元法．
任務：參照材料中的解題方法解方程．
考點7.一元一次方程的新定義問題
例1．（24-25七年級上·廣東·期中）一般情況下不成立，但有些數(shù)可以使得它成立，例如：．我們稱使得成立的一對數(shù)m，n為“神奇數(shù)對”，記為．
（1）若是“神奇數(shù)對”，則n的值為 ；
（2）若此時關于x的方程與的解相等，則k的值為 ．
變式1．（23-24七年級上·江蘇無錫·期末）定義一種新運算：，，則方程的解是（ ）
A． B． C． D．
變式2．（24-25七年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習）解一元一次方程時，發(fā)現(xiàn)這樣一種特殊情況：的解為，恰巧，我們將這種類型的方程做如下定義：如果一個方程的解滿足，則稱它為“巧合方程”，請解決以下問題．
(1)請判斷方程是否是巧合方程：______（直接寫“是”或“不是”）；
(2)已知方程是巧合方程，請求出b的值；
(3)若和都是巧合方程，請求出的值．
考點8.根據(jù)解的情況求參數(shù)值
例8．（2024·上海楊浦·八年級期中）當m取___ 時，關于 x的方程mx+m＝2x無解．
變式1．（2024·上海市八年級期中）如果關于的方程有解，那么實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
變式2．（2024·江陰市七年級月考）已知方程（a＋1）x＋2＝0的解是正整數(shù)時，整數(shù)a取值為______.
變式3．（2023·沙坪壩·重慶一中）已知關于x的方程的解為偶數(shù)，則整數(shù)a的所有可能的取值的和為（ ）
A．8 B．4 C．7 D．-2
全卷共25題 測試時間：70分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（23-24七年級上·江西新余·階段練習）下列方程變形正確的是（ ）
A．方程移項得 B．方程化成
C．若，則 D．方程，去括號，得
2.（2023·重慶七年級課時練習）解方程：，步驟如下：
①去括號，得．②移項，得．
③合并同類項，得．④系數(shù)化為1，得．
經(jīng)檢驗，不是原方程的解，說明解題過程有錯誤，其中做錯的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
3．（2024·重慶市七年級月考）解方程，去分母，得（ ）
A． B． C． D．
4．（2024七年級上·上海·專題練習）已知關于的方程的解滿足，則的值是（　　）
A． B． C． D．
5．（24-25七年級上·黑龍江哈爾濱·期中）關于x的方程與的解相同，則m等于（ ）
A．5 B．4 C． D．
6．（24-25七年級上·江蘇南京·階段練習）“”表示一種運算，已知，，，按此規(guī)則，若，則的值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（23-24八年級上·黑龍江哈爾濱·期中）小明在解方程 (x為未知數(shù))時，誤將看作，得方程的解為，則原方程的解為( )
A． B． C． D．
8．（2024·浙江）某同學在解關于x的方程時，誤將看成了，得到方程的解為，則a的值為（ ）
A．3 B． C．2 D．1
9．（2024·河南鄭州·七年級期末）軒軒在數(shù)學學習中遇到一個有神奇魔力的“數(shù)值轉換機”，按如圖所示的程序計算，若開始輸入的值x為正整數(shù)，最后輸出的結果為41，則滿足條件的x值最多有（ ）個．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2024·重慶巴南·七年級期中）從，，，1，2，4中選一個數(shù)作為的值，使得關于的方程的解為整數(shù)，則所有滿足條件的的值的積為（ ）
A． B． C．32 D．64
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（23-24七年級上·湖北襄陽·階段練習）由得，這種變形屬于 ，其依據(jù)是 ．
12．（2024七年級上·山東·專題練習）小明同學在做作業(yè)時，發(fā)現(xiàn)自己不小心將方程的一個常數(shù)涂黑看不清了，詢問王老師后，王老師告訴他，這個方程的解是，則這個被涂黑的常數(shù)是 ．
13．（23-24七年級上·安徽阜陽·階段練習）若有理數(shù)m滿足，則m的值是 ．
14．（23-24七年級上·湖南湘西·階段練習）已知，例如，若，那么 ．
15．（2024·河南）已知關于x的一元一次方程x﹣3＝2x+b的解為x＝999，那么關于y的一元一次方程（y﹣1）﹣3＝2（y﹣1）+b的解為y＝_____．
16．（2024·山東濟南·七年級專題練習）對于三個互不相等的有理數(shù)a，b，c，我們規(guī)定符號表示a，b，c三個數(shù)中較大的數(shù)，例如.按照這個規(guī)定則方程的解為______．
17．（2024·浙江杭州市·七年級期中）已知關于x的一元一次方程點①與關于y的一元一次方程②，若方程①的解為，則方程②的解為______．
18．（2024·福建仙游·初一月考）已知關于x的方程2a(x－1)＝(3－a)x+3b有無數(shù)多個解，那么ab＝________
三、解答題（本大題共7小題，共66分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（24-25七年級上·廣東深圳·期中）解方程：
(1)； (2)．
20．（23-24七年級上·重慶九龍坡·階段練習）解方程：
(1) (2) (3) (4)
21．（24-25七年級上·北京·期中）下面是小龍同學解方程的過程，請認真閱讀并完成相應任務．
．
解：…第一步
…第二步
…第三步
…第四步
…第五步
任務一：填空
（1）以上解題過程中，第一步是依據(jù) 進行變形的；
（2）第 步開始出現(xiàn)錯誤，這一步的錯誤的原因是 ；
任務二：請你求出方程正確的解．
22．（23-24七年級上·江蘇鹽城·期中）已知關于x的方程和方程的解相同，求：(1)m的值；(2)求方程的解．
23．（2024·河南許昌·七年級期末）如果關于x的方程的解與關于x的方程的解互為相反數(shù)，求a的值．
24．（2024·河南南陽·七年級期中）在做解方程練習時，有一個方程“”題中●處不清晰，李明問老師，老師只是說：“●是一個有理數(shù)，該方程的解與方程的解相同”依據(jù)老師的提示，請你幫李明求出方程的解，并找到這個有理數(shù)．
25．（24-25七年級上·黑龍江哈爾濱·期中）定義：如果兩個一元一次方程的解之和為，我們就稱這兩個方程互為“成雙方程”．
例如：判斷方程和，是否互為“成雙方程”．
解：方程和是互為“成雙方程”，理由如下：
解方程，解得．解方程，解得．
，方程和互為“成雙方程”．
(1)請判斷方程與方程是否互為“成雙方程”，并說明理由；
(2)若關于的方程與方程互為“成雙方程”，求的值．
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專題5.4.一元一次方程的解法
1、掌握移項法則的依據(jù)，會在解方程的過程中正確運用；
2、正確理解和使用去括號法則，并能解含括號的一元一次方程；
3、掌握解一元一次方程中“去分母”的方法，掌握含分母的一元一次方程的解法，并歸納解一元一次方程的步驟。
模塊1：知識梳理 2
模塊2：核心考點 3
考點1.解一元一次方程（1）--移項與合并同類項 2
考點2.解一元一次方程（2）--去括號 4
考點3.解一元一次方程（3）--去分母 5
考點4.一元一次方程中的同解問題 7
考點5.一元一次方程中的錯解與遮擋問題 8
考點6.一元一次方程中的整體換元問題 10
考點7.一元一次方程的新定義問題 11
考點8.根據(jù)解的情況求參數(shù)值 14
模塊3：能力培優(yōu) 16
1.移項：一般地，把方程中的項改變符號后，從方程的一邊移到另一邊，這種變形叫作移項。
注意：整體移動，整體變號。
2.去括號
去括號：在解方程的過程中，將方程中含有的括號去掉的過程。
順序：先去小括號，再去中括號，最后去大括號（由內(nèi)向外，有時為了簡化計算，可視情況而定）。
去括號原則：括號前是“—”號時，去括號后，括號里面的每一項都要變號。
3.去分母
1）兩邊同乘最小公倍數(shù)，以去分母。
2）步驟：①確定最小公倍數(shù)；②兩邊同乘最小公倍數(shù)，去分母。
3）去分母原則：等式兩邊同乘分母的最小公倍數(shù)，必須保證每一項都乘最小公倍數(shù)（包括整數(shù)項）。
4.解一元一次方程的步驟
①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤將未知數(shù)的系數(shù)化為1。
注意：去分母、去括號、移項和合并同類項在方程變形中經(jīng)常用到，去分母時注意方程的每項都要成分母的最小公倍數(shù)；去括號時注意括號前面時“－”時注意變號；移項時應注意改變項的符號。
考點1.解一元一次方程（1）--移項與合并同類項
例1．（23-24七年級上·廣東韶關·期中） 解方程：
(1) (2)
【答案】(1)(2)
【分析】本題考查了解一元一次方程，熟練掌握運算方法是解此題的關鍵．
（1）先移項，再合并同類項，最后系數(shù)化為1即可得解；
（2）方程整理后，先移項，再合并同類項，最后系數(shù)化為1即可得解．
【詳解】（1）解：移項得：，
合并同類項得：，
系數(shù)化為1得：
（2）解：整理得：，
移項得：，
合并同類項得：，
系數(shù)化為1得：．
變式1．（24-25七年級上·廣西桂林·期中）下列各式的變形中，屬于移項的是（　　）
A．由變形為 B．由變形為
C．由變形為 D．由變形為
【答案】D
【分析】此題考查了等式的性質(zhì)，一元一次方程的解法-移項，直接利用移項的定義分析得出答案，正確掌握移項定義是解題關鍵．
【詳解】解：A、由變形為，不屬于移項，故選項不符合題意；
B、由變形為，不屬于移項，故選項不符合題意；
C、由變形為，不屬于移項，故選項不符合題意；
D、由變形為，屬于移項，故選項符合題意；故選：D．
變式2．（2024七年級上·浙江·專題練習）如下表示解方程的流程，其中第3步的依據(jù)是 ．
【答案】等式的性質(zhì)2
【分析】本題主要考查了解一元一次方程，解題時要熟練掌握并能靈活運用是關鍵．
依據(jù)題意，第3步，，由兩邊除以5，可得，進而可以判斷得解．
【詳解】解：由題意，第3步，，兩邊除以5，．
第3步的依據(jù)是等式的性質(zhì)2．故答案為：等式的性質(zhì)2．
變式3．（24-25七年級上·黑龍江綏化·期中）解方程(1) (2)
【答案】(1)(2)
【分析】本題考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的一般步驟是解題的關鍵．
（1）合并同類項、系數(shù)化為一即可解答．
（2）移項、合并同類項、系數(shù)化為一即可解答．
【詳解】（1）解：
合并同類項得：，
系數(shù)化為一得：；
（2）解：
移項得：，
合并同類項得：，
系數(shù)化為一得：．
考點2.解一元一次方程（2）--去括號
例1．（24-25七年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習）解方程：(1)； (2)；
【答案】(1)； (2)；
【分析】本題考查了解一元一次方程，正確掌握相關性質(zhì)內(nèi)容是解題的關鍵．
（1）先去括號，再移項，然后去括號，合并同類項，最后系數(shù)化1，據(jù)此即可作答．
（2）先去括號，再移項，然后去括號，合并同類項，最后系數(shù)化1，據(jù)此即可作答．
【詳解】（1）解：，
去括號，，
移項，，
合并同類項，，
系數(shù)化1，；
（2）解：，
去括號，，
移項，，
合并同類項，，
系數(shù)化1，；
變式1．（24-25八年級上·廣東·開學考試）研究下面解方程的過程：
去括號，得，①
移項，得，②
合并同類項，得，③
兩邊都除以6，得．④
以上解題過程中，最先出現(xiàn)錯誤的步驟是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【分析】本題考查了一元一次方程的求解．熟練掌握解一元一次方程的方法和步驟是解題的關鍵，注意：括號前是負號去括號時括號中各項都變號．
根據(jù)解方程的方法和步驟即可判斷，括號前是負號去括號時括號中各項都變號．
【詳解】去括號，得，①變形錯誤．故選：A．
變式2．（23-24七年級上·安徽阜陽·階段練習）在解方程的過程中，下列去括號正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查解一元一次方程—去括號．根據(jù)去括號的法則，進行求解即可．
【詳解】解：，去括號，得：；故選D．
變式3．（24-25七年級上·江蘇泰州·期中）解下列方程：(1)；(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題主要考查了解一元一次方程，解題的關鍵是熟練掌握解一元一次方程的基本步驟，“先去分母、再去括號，然后移項合并同類項，最后系數(shù)化為1”，準確計算．
（1）先移項合并同類項，再系數(shù)化為1即可；
（2）先去括號，然后移項合并同類項，最后系數(shù)化為1即可．
【詳解】（1）解：，
移項合并同類項得：，
系數(shù)化為1得：．
（2）解：，
去括號得：，
移項，合并同類項得：，
系數(shù)化為1得：．
考點3.解一元一次方程（3）--去分母
65．（24-25七年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習）解方程：
(1)；(2)．
【答案】(1)；(2)．
【分析】本題考查了解一元一次方程，正確掌握相關性質(zhì)內(nèi)容是解題的關鍵．
（1）先去分母，再括號，再移項，然后去括號，合并同類項，最后系數(shù)化1，據(jù)此即可作答．
（2）先去分母，再括號，再移項，然后去括號，合并同類項，最后系數(shù)化1，據(jù)此即可作答．
【詳解】（1）解：，
去分母，，
去括號，，
移項，，
合并同類項，，
系數(shù)化1，；
（2）解：，
去分母，，
去括號，，
移項，，
合并同類項，，
系數(shù)化1，．
變式1．（24-25七年級上·黑龍江哈爾濱·期中）下列解方程變形錯誤的是（ ）
A．由得 B．由得
C．由得 D．由去分母得
【答案】D
【分析】本題主要考查了一元一次方程，熟練掌握一元一次方程的解法是解題的關鍵．根據(jù)一元一次方程的解法判斷即可．
【詳解】解：A、由得，故選項A不符合題意；
B、由得，故選項B不符合題意；
C、由得，故選項C不符合題意；
D、由去分母得，故選項D符合題意；故選：D．
變式2．（23-24七年級上·河北唐山·階段練習）把方程的分母化為整數(shù)的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此題考查了解一元一次方程，方程利用分數(shù)的基本性質(zhì)化簡，整理即可得到結果．
【詳解】解：把方程的分母化為整數(shù)的方程是，故選：D．
考點4.一元一次方程中的同解問題
例1．（24-25七年級上·浙江·階段練習）已知方程與關于x的方程的解相同．(1)求a的值；(2)若a、b在數(shù)軸上對應的點在原點的兩側，且到原點的距離相等，c是最大的負整數(shù)，求的值．
【答案】(1)(2)1
【分析】本題考查同解方程，有理數(shù)的乘方運算：
（1）先求出方程的解，再把解代入方程中，進行求解即可；
（2）易得互為相反數(shù)，，然后根據(jù)有理數(shù)的運算法則進行計算即可．
【詳解】（1）解：，
，
解得：，
把代入，得：，
解得：；
（2）∵a、b在數(shù)軸上對應的點在原點的兩側，且到原點的距離相等，
∴，
∵c是最大的負整數(shù)，
∴，
∴．
變式1．（24-25七年級上·北京·期中）若方程的解與關于x的方程的解相同，確定字母a的值．
【答案】．
【分析】本題主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定義，先解方程得到，再由題意可得是關于x的方程的解，則，解方程即可得到答案．
【詳解】解：
去括號得：，
解得，
∵方程的解與關于x的方程的解相同，
∴是關于x的方程的解，
∴，
∴，
解得．
變式2．（23-24七年級上·湖南長沙·期末）方程與方程的解相同，求代數(shù)式的值．
【答案】
【分析】本題主要考查了同解方程，代數(shù)式求值，先解，把代入，求出k的值，然后再代入代數(shù)式求值即可．
【詳解】解：
又∵方程與方程的解相同
∴
考點5.一元一次方程中的錯解與遮擋問題
例1．（23-24七年級上·河北廊坊·期中）嘉淇在進行解一元一次方程的練習時，發(fā)現(xiàn)有一個方程“■”中的常數(shù)被“■”遮擋．
(1)嘉淇猜想“■”遮擋的常數(shù)是1，請你算一算x的值；
(2)老師說此方程的解與方程的解相同，請你算一算“■”遮擋的常數(shù)是多少？
【答案】(1)
(2)遮擋的常數(shù)是19
【分析】本題主要考查了解一元一次方程；
（1）根據(jù)題意得出方程，然后解方程即可；
（2）先解方程得出，設遮擋的常數(shù)為a，然后把代入方程得，求出a的值即可．
解題的關鍵是熟練掌握解一元一次方程的一般方法，準確計算．
【詳解】（1）解：由題意得，
移項，得，
合并同類項，得，
系數(shù)化為1，得．
（2）解：，
移項，得，
合并同類項，得，
系數(shù)化為1，得，
設遮擋的常數(shù)為a，把代入方程得，解得．故遮擋的常數(shù)是19．
變式1．（24-25七年級上·遼寧沈陽·階段練習）小明在計算有規(guī)律的算式時，不小心把一個運算符號寫錯了（“”錯寫成“”或“”錯寫成“”），結果算成了，則原式從左到右數(shù)，寫錯的運算符號是（ ）
A．第5個 B．第8個 C．第10個 D．第12個
【答案】B
【分析】本題考查了有理數(shù)的加減，通過計算確定寫錯的符號，再根據(jù)計算的特點列出方程是解題的關鍵．
先求出這列數(shù)的和為，再由題意可知是“”錯寫成“”，設寫錯符合的數(shù)是，則，解得，即可確定寫出的運算符號是第8個．
【詳解】解：，
運算結果比小， “”錯寫成“”，
設寫錯符號的數(shù)是，，解得，
寫錯的運算符號是第8個，故選：．
變式2．（24-25七年級上·江蘇鹽城·期中）方程，■處是被墨水蓋住的常數(shù)，已知方程的解是，那么■處的常數(shù)是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查的是一元一次方程的解的定義，熟練掌握方程的解就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是解題的關鍵．將，代入方程中，求出■的值即可．
【詳解】將，代入方程中，
得，解得，故答案為：．
考點6.一元一次方程中的整體換元問題
例1．（2024·河南駐馬店·七年級期中）已知關于的一元一次方程的解是，那么關于的一元一次方程的解是_________．
【答案】
【分析】根據(jù)兩個方程的特點，第二個方程中的y+1相當于第一個方程中的x，據(jù)此即可求解．
【詳解】∵，
∴．
∵關于x的一元一次方程的解是x=71，
∴關于(y+1)的一元一次方程的解為：y+1=71，
解得：y=70，故答案為：y=70．
【點睛】本題考查了一元一次方程的解，理解兩個方程之間的特點是解題的關鍵．
變式1．（2024·江西景德鎮(zhèn)·七年級期末）若是關于的方程的解，則關于的方程的解為______．
【答案】
【分析】將代入方程 可得，進而代入即可得到，根據(jù)等式的性質(zhì)即可求得答案．
【詳解】解：將代入方程，
，整理得，
則，
，解得，
故答案為．
【點睛】本題考查了一元一次方程的解及等式的性質(zhì)，熟練掌握等式兩邊相同未知數(shù)前面系數(shù)相等是解題的關鍵．
變式2．（2024·山西忻州市·七年級期末）閱讀材料，完成任務．
七年級同學在學完解一元一次方程后，已掌握了一元一次方程的一般解法，有同學發(fā)現(xiàn)在一元一次方程的部分習題和練習題中，存在著許多解題技巧，只要在解題中注重研究其結構特點和特殊規(guī)律，巧妙地運用某些基本性質(zhì)、法則，就可以達成“一點通”的效果．小明是一名喜歡動腦筋的學生，在解方程時，不是直接給方程去括號，而是假設，然后把方程變形為：
，
，
．
，
解，得．
上面的問題中利用新的未知量來代替原來的未知量，求出新的未知量后，再利用其替代原來的未知量，從而得以求解，這種解方程的方法叫做換元法．
任務：參照材料中的解題方法解方程．
【答案】x=-4
【分析】根據(jù)題示的方法，設7-2x=a，將原方程轉化為關于a的方程求解即可．
【詳解】解：
設7-2x=a，則原方程變形為：
∴
解得，a=15
即7-2x=15，
解得，x=-4
【點睛】本題考查了換元法解方程．換元法的一般步驟為：設元，換元，解元，還原．
考點7.一元一次方程的新定義問題
例1．（24-25七年級上·廣東·期中）一般情況下不成立，但有些數(shù)可以使得它成立，例如：．我們稱使得成立的一對數(shù)m，n為“神奇數(shù)對”，記為．
（1）若是“神奇數(shù)對”，則n的值為 ；
（2）若此時關于x的方程與的解相等，則k的值為 ．
【答案】 9 3
【分析】本題主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定義，新定義：
（1）根據(jù)新定義可得方程，解方程即可得到答案；
（2）根據(jù)（1）所求得到關于x的方程即為關于x的方程，解方程得到，再把把代入中求出k的值即可得到答案．
【詳解】解：（1）∵是“神奇數(shù)對”，
∴，∴，∴，故答案為：；
（2）由（1）得，∴關于x的方程即為關于x的方程，解方程得，
∵關于x的方程與的解相等，
∴把代入中得，解得，答案為：3．
變式1．（23-24七年級上·江蘇無錫·期末）定義一種新運算：，，則方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查解一元一次方程、有理數(shù)的混合運算．根據(jù)，，可以求得題目中方程的解．
【詳解】解：∵，，，
∴，整理得，解得：；故選：C．
變式2．（24-25七年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習）解一元一次方程時，發(fā)現(xiàn)這樣一種特殊情況：的解為，恰巧，我們將這種類型的方程做如下定義：如果一個方程的解滿足，則稱它為“巧合方程”，請解決以下問題．
(1)請判斷方程是否是巧合方程：______（直接寫“是”或“不是”）；
(2)已知方程是巧合方程，請求出b的值；
(3)若和都是巧合方程，請求出的值．
【答案】(1)是(2)(3)
【分析】本題考查一元一次方程的解，本題是閱讀型題目，理解題干中的新定義并熟練應用是解題的關鍵．
（1）解原方程，利用“巧合方程”的定義進行驗證即可；
（2）先解方程，再根據(jù)“巧合方程”定義，建立關于b的方程求解即可；
（3）同理（2）求出，n的值，代入計算即可．
【詳解】（1）解：
，
，
是巧合方程；
（2）解：
，
方程是巧合方程，
；
（3）解：
，
方程是巧合方程，
，即，
解得：；
解得：，
方程是巧合方程，
，
，
，
，
解得：，
．
考點8.根據(jù)解的情況求參數(shù)值
例8．（2024·上海楊浦·八年級期中）當m取___ 時，關于 x的方程mx+m＝2x無解．
【答案】2
【分析】由一元一次方程無解的條件確定出a的值，先移項、合并同類項，最后再依據(jù)未知數(shù)的系數(shù)為0求解即可．
【詳解】解：移項得：mx﹣2x＝﹣m，合并同類項得：（m﹣2）x＝﹣m．
∵關于 x的方程mx+m＝2x無解，∴m﹣2＝0．解得：m＝2．答案為：2．
【點睛】此題考查了一元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．
變式1．（2024·上海市八年級期中）如果關于的方程有解，那么實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)方程有解確定出a的范圍即可．
【詳解】解：∵關于的方程有解，∴，∴；故選：D．
【點睛】此題考查了一元一次方程的解，弄清方程有解的條件是解本題的關鍵．
變式2．（2024·江陰市七年級月考）已知方程（a＋1）x＋2＝0的解是正整數(shù)時，整數(shù)a取值為______.
【答案】-2或-3
【分析】先解含a的方程，用a表示x，根據(jù)方程的解是正整數(shù)，求出a的值.
【詳解】解：（a＋1）x＋2＝0 x= ，
∵方程的解是正整數(shù)，∴-(a+1)=1或-(a+1)=2，∴a=-2或a=-3故答案為：-2或-3
【點睛】本題考查的是利用方程解的條件確定字母系數(shù)的取值問題，根據(jù)解的特征得到含a的方程是解答此題的關鍵.
變式3．（2023·沙坪壩·重慶一中）已知關于x的方程的解為偶數(shù)，則整數(shù)a的所有可能的取值的和為（ ）
A．8 B．4 C．7 D．-2
【答案】A
【分析】首先將該方程的解表示出來，然后根據(jù)該方程的解為偶數(shù)，分情況進行討論即可．
【詳解】系數(shù)化1得，，移項得，，
合并同類項得，，解得，，
∵該方程的解為偶數(shù)，∴為偶數(shù)，∵，∴或，
①當時，，，，，，，
②當時，，，，，，，
綜上所述，可取3,1，7，-3，∴a的所有可能的取值的和為，3+1+7-3=8，故選：A．
【點睛】本題考查了解一元一次方程，偶數(shù)的概念等知識，解題的關鍵是分或兩種情況進行討論．
全卷共25題 測試時間：70分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（23-24七年級上·江西新余·階段練習）下列方程變形正確的是（ ）
A．方程移項得 B．方程化成
C．若，則 D．方程，去括號，得
【答案】B
【分析】本題主要考查了解一元一次方程，其步驟為：去分母，去括號，移項合并，把未知數(shù)系數(shù)化為1，將各項中方程變形得到結果，即可做出判斷．
【詳解】解：．方程，移項得：，原表述錯誤，故本選項不符合題意；
．方程化成，原表述正確，故本選項符合題意；
．，若，則不一定等于y，原表述錯誤，故本選項不符合題意；
．方程，去括號，得，原表述錯誤，故本選項不符合題意；故選：B．
2.（2023·重慶七年級課時練習）解方程：，步驟如下：
①去括號，得．②移項，得．
③合并同類項，得．④系數(shù)化為1，得．
經(jīng)檢驗，不是原方程的解，說明解題過程有錯誤，其中做錯的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【分析】根據(jù)解一元一次方程的方法找出錯誤的過程即可．
【解析】第②步2x從方程右邊移到左邊時沒有變號，錯誤．故選B．
【點睛】本題考查了解一元一次方程的問題，掌握解一元一次方程的方法是解題的關鍵．
3．（2024·重慶市七年級月考）解方程，去分母，得（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】去分母的方法是方程左右兩邊同時乘以分母的最小公倍數(shù)，注意分數(shù)線的括號的作用，并注意不能漏乘．
【詳解】解：方程兩邊同時乘以6得．故選：D．
【點睛】本題考查了解一元一次方程，解方程的過程就是一個方程變形的過程，變形的依據(jù)是等式的基本性質(zhì)，變形的目的是變化成x=a的形式．在去分母的過程中注意分數(shù)線起到括號的作用，并注意不能漏乘沒有分母的項．
4．（2024七年級上·上海·專題練習）已知關于的方程的解滿足，則的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，解題的關鍵是熟練掌握方程的解，即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．先求出方程的解；再把求出的解代入方程，求關于的一元一次方程即可．
【詳解】解：，解得：，
將代入方程得：，解得：，故選：B．
5．（24-25七年級上·黑龍江哈爾濱·期中）關于x的方程與的解相同，則m等于（ ）
A．5 B．4 C． D．
【答案】A
【分析】本題考查方程的解，解一元一次方程，先求出的解，代入得到關于m的一元一次方程，再解方程即可．
【詳解】解：解，得：，將代入，得：，解得，故選A．
6．（24-25七年級上·江蘇南京·階段練習）“”表示一種運算，已知，，，按此規(guī)則，若，則的值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本題主要考查了數(shù)字類規(guī)律的探索，解一元一次方程，觀察所給三個式子可得“”運算表示的是，從“”前面的數(shù)開始的連續(xù)的整數(shù)求和，“”后面的數(shù)表示的是有多少個整數(shù)求和，據(jù)此可得，解方程即可得到答案．
【詳解】解：，，，……，
以此類推可知，“”運算表示的是，從“”前面的數(shù)開始的連續(xù)的整數(shù)求和，“”后面的數(shù)表示的是有多少個整數(shù)求和，∵，∴，∴，故選：B．
7．（23-24八年級上·黑龍江哈爾濱·期中）小明在解方程 (x為未知數(shù))時，誤將看作，得方程的解為，則原方程的解為( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，掌握一元一次方程的解的概念，正確解一元一次方程是關鍵；由題意知是方程的解，把解代入此方程則可求得a的值；再a的值代入中并解方程即可．
【詳解】解：由題意知，是方程的解，所以，解得：，
把代入，得，解得：；故選：C．
8．（2024·浙江）某同學在解關于x的方程時，誤將看成了，得到方程的解為，則a的值為（ ）
A．3 B． C．2 D．1
【答案】B
【分析】把x＝2代入看錯的方程計算即可求出a的值．
【詳解】解：把x＝2代入方程5a＋x＝13得：5a+2＝13，解得：a＝，故選：B．
【點睛】此題考查了解一元一次方程，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
9．（2024·河南鄭州·七年級期末）軒軒在數(shù)學學習中遇到一個有神奇魔力的“數(shù)值轉換機”，按如圖所示的程序計算，若開始輸入的值x為正整數(shù)，最后輸出的結果為41，則滿足條件的x值最多有（ ）個．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根據(jù)題意可知，若輸入x，則輸出3x－1，又分兩種情況考慮，大于20，輸出答案；否則重新輸入，根據(jù)題意可建立方程求得結果．
【詳解】解：根據(jù)題意知，輸入x，則直接輸出3x－1，則
當3x－1＝41時，x＝14；當3x－1＝14時，x＝5；當3x－1＝5時，x＝2；當3x－1＝2時，x＝1．
∵x為正整數(shù)，因此符合條件的一共有4個數(shù)，分別是14，5，2，1．故選：D．
【點睛】此題考查了一元一次方程的解法，根據(jù)題意，列出相應的方程并掌握一元一次方程的解
法是解題的關鍵．
10．（2024·重慶巴南·七年級期中）從，，，1，2，4中選一個數(shù)作為的值，使得關于的方程的解為整數(shù)，則所有滿足條件的的值的積為（ ）
A． B． C．32 D．64
【答案】D
【分析】通過去分母，移項，合并同類項，未知數(shù)系數(shù)化為1，用含k的式子表示x，再根據(jù)條件，得到滿足條件的k值，進而即可求解．
【詳解】由，解得：，
∵關于的方程的解為整數(shù)，
∴滿足條件的的值可以為：，，2，4，∴()×()×2×4=64，故選D．
【點睛】本題主要考查一元一次方程的解法，把k看作常數(shù)，掌握解一元一次方程的步驟，是解
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（23-24七年級上·湖北襄陽·階段練習）由得，這種變形屬于 ，其依據(jù)是 ．
【答案】 移項 等式的基本性質(zhì)
【分析】一元一次方程中的移項是將含有未知數(shù)的移動到等號的左邊，不含未知數(shù)的項移動到等號右邊，根據(jù)等式的性質(zhì)，移項要變號．
【詳解】解：由得，這種變形屬于移項，其依據(jù)是等式的基本性質(zhì)，
故答案為：移項；等式的基本性質(zhì)．
12．（2024七年級上·山東·專題練習）小明同學在做作業(yè)時，發(fā)現(xiàn)自己不小心將方程的一個常數(shù)涂黑看不清了，詢問王老師后，王老師告訴他，這個方程的解是，則這個被涂黑的常數(shù)是 ．
【答案】12
【分析】此題考查了一元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．設被污染的常數(shù)是a，把代入計算即可求出a的值．
【詳解】解：設被污染的常數(shù)是a，
把代入得：，
整理得：，
解得：
故答案為：12．
13．（23-24七年級上·安徽阜陽·階段練習）若有理數(shù)m滿足，則m的值是 ．
【答案】20
【分析】本題考查解一元一次方程，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化1，求出m的值即可．
【詳解】解：，
∴，
∴，
∴；
故答案為：20．
14．（23-24七年級上·湖南湘西·階段練習）已知，例如，若，那么 ．
【答案】15
【分析】本題考查解一元一次方程．根據(jù)新運算的法則，列出方程，進行求解即可．
【詳解】解：由題意，得：，
∴，
∴；
故答案為：15．
15．（2024·河南）已知關于x的一元一次方程x﹣3＝2x+b的解為x＝999，那么關于y的一元一次方程（y﹣1）﹣3＝2（y﹣1）+b的解為y＝_____．
【答案】1000
【分析】根據(jù)兩個方程的關系：第二個方程中的y+1相當于第一個方程中的x，據(jù)此即可求解．
【詳解】解：∵關于x的一元一次方程x﹣3＝2x+b的解為x＝999，
∴關于y的一元一次方程（y﹣1）﹣3＝2（y﹣1）+b中y﹣1＝999，解得：y＝1000，故答案為：1000．
【點睛】此題考查解一元一次方程，利用整體思想，將第二個方程中的y+1看作第一個方程中的x是解題的關鍵．
16．（2024·山東濟南·七年級專題練習）對于三個互不相等的有理數(shù)a，b，c，我們規(guī)定符號表示a，b，c三個數(shù)中較大的數(shù)，例如.按照這個規(guī)定則方程的解為__________．
【答案】
【分析】分時，時和時三種情況討論，列出方程求解即可．
【詳解】解：當時，，
即，解得（不符合題意，舍去）；
當時，，即，解得，
當時，，即，解得（不符合題意，舍去），
綜上所述，，故答案為：．
【點睛】本題考查解一元一次方程．能結合的定義分情況討論是解題關鍵．
17．（2024·浙江杭州市·七年級期中）已知關于x的一元一次方程點①與關于y的一元一次方程②，若方程①的解為，則方程②的解為______．
【答案】y=-673
【分析】根據(jù)題意得出-（3y-2）的值，進而得出答案．
【詳解】解：∵關于x的一元一次方程①的解為x=2021，
∴關于y的一元一次方程②中-（3y-2）=2021，
解得：y=-673，故答案為：y=-673．
【點睛】此題主要考查了一元一次方程的解，正確得出-（3y-2）的值是解題關鍵．
18．（2024·福建仙游·初一月考）已知關于x的方程2a(x－1)＝(3－a)x+3b有無數(shù)多個解，那么ab＝________
【答案】
【解析】去括號，得：2ax-2a=（3-a）x+3b，移項、合并同類項得：（3a-3）x=2a+3b，
根據(jù)方程有無數(shù)多解，可得： ，解得：a=1，b=-，因此ab=-．故答案為：-.
三、解答題（本大題共7小題，共66分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（24-25七年級上·廣東深圳·期中）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）先去括號，移項，再合并同類項，然后化系數(shù)為1即可求出；
（2）先去分母，去括號，移項，再合并同類項，然后化系數(shù)為1即可求出；
本題主要考查解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的方法是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：去括號，得，
移項，得，
合并同類項，得，
化系數(shù)為1，得；
（2）去分母，得
去括號，得，
移項，得，
合并同類項，得，
化系數(shù)為1，得．
20．（23-24七年級上·重慶九龍坡·階段練習）解方程：
(1) (2)
(3) (4)
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】本題考查了解一元一次方程
（1）方程移項合并，將系數(shù)化為1，即可求出解；
（2）方程去括號，移項合并，將系數(shù)化為1，即可求出解；
（3）方程去分母，去括號，移項合并，將系數(shù)化為1，即可求出解；
（4）先利用分數(shù)性質(zhì)把分母變成整數(shù)，方程去分母，去括號，移項合并，將系數(shù)化為1，即可求出解．
【詳解】（1）解：，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
；
（3）解：，
，
，
，
，
；
（4）解：，
，
，
，
，
，
；
21．（24-25七年級上·北京·期中）下面是小龍同學解方程的過程，請認真閱讀并完成相應任務．
．
解：…第一步
…第二步
…第三步
…第四步
…第五步
任務一：填空
（1）以上解題過程中，第一步是依據(jù) 進行變形的；
（2）第 步開始出現(xiàn)錯誤，這一步的錯誤的原因是 ；
任務二：請你求出方程正確的解．
【答案】任務一：（1）等式的性質(zhì)2；（2）二，括號前面是減號，去括號時括號里的符號沒變號；任務二：見解析
【分析】本題考查了解一元一次方程，能正確根據(jù)等式的性質(zhì)進行變形是解此題的關鍵．
任務一：（1）根據(jù)等式的性質(zhì)判斷即可；
（2）根據(jù)去括號法則即可判斷解方程中的錯誤處；
任務二：根據(jù)等式的性質(zhì)（去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化成1）求解即可．
【詳解】解：（1）以上解題過程中，第一步是依據(jù)等式的性質(zhì)2進行變形的；
（2）第二步開始出現(xiàn)錯誤，這一步的錯誤的原因是：括號前面是減號，去括號時括號里的符號沒變號，
正確解法為：
解：．
去分母，得，
去括號，得，
移項，得，
合并同類項，得，
系數(shù)化成1，得．
22．（23-24七年級上·江蘇鹽城·期中）已知關于x的方程和方程的解相同，求：(1)m的值；(2)求方程的解．
【答案】(1)(2)
【分析】本題考查了同解方程，本題解決的關鍵是能夠求解關于m的方程，要正確理解方程解的含義．
（1）解出兩個方程的解，根據(jù)兩解相等，得到關于m的方程，從而可以求出m的值；
（2）將代入或，求解即可得答案．
【詳解】（1）解：由，解得，
由，解得，
∵關于x的方程和方程的解相同，
∴，解得：．
（2）解：當時，代入得，
故方程的解為．
23．（2024·河南許昌·七年級期末）如果關于x的方程的解與關于x的方程的解互為相反數(shù)，求a的值．
【答案】
【分析】分別求出每個方程的解，然后根據(jù)相反數(shù)的性質(zhì)得到關于a的一元一次方程，求解即可．
【詳解】解：解方程，得，
解方程，得，
因為兩個方程的解互為相反數(shù)，所以，
解得．
【點睛】本題考查了一元一次方程的解，根據(jù)相反數(shù)的性質(zhì)得到新的方程是解題的關鍵．
24．（2024·河南南陽·七年級期中）在做解方程練習時，有一個方程“”題中●處不清晰，李明問老師，老師只是說：“●是一個有理數(shù)，該方程的解與方程的解相同”依據(jù)老師的提示，請你幫李明求出方程的解，并找到這個有理數(shù)．
【答案】方程的解是x=，這個有理數(shù)為
【分析】設■為a，先解出方程的解，代入，即可求出a的值，就是要求的有理數(shù)．
【詳解】解：∵，
解得：x=，
∴y=x=，
■為a，則方程“”變?yōu)椤啊保?br/>把y=代入得：，
解得：a=，
∴方程的解是x=，這個有理數(shù)為．
【點睛】本題考查了同解方程，理解同解方程的意義是解決問題的關鍵．
25．（24-25七年級上·黑龍江哈爾濱·期中）定義：如果兩個一元一次方程的解之和為，我們就稱這兩個方程互為“成雙方程”．
例如：判斷方程和，是否互為“成雙方程”．
解：方程和是互為“成雙方程”，理由如下：
解方程，解得．解方程，解得．
，方程和互為“成雙方程”．
(1)請判斷方程與方程是否互為“成雙方程”，并說明理由；
(2)若關于的方程與方程互為“成雙方程”，求的值．
【答案】(1)不是，理由見解析
(2)
【分析】本題主要考查了解一元一次方程，有理數(shù)加法運算等知識點，準確理解并運用題目新定義，熟練掌握一元一次方程的解法是解題的關鍵．
（1）分別解兩個方程，然后根據(jù)“成雙方程”的定義進行判斷即可；
（2）先求出兩個方程的解分別為，，再根據(jù)關于的方程與方程互為“成雙方程”得出，解關于的一元一次方程即可．
【詳解】（1）解：不是，理由如下：
解方程，
解得：，
解方程，
解得：，
，
方程與方程不是“成雙方程”；
（2）解：解關于的方程，
解得：，
解方程，
解得：，
關于的方程與方程互為“成雙方程”，
，
解得：．
21世紀教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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