資源簡介

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5.5一次函數的簡單應用十一大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：已知直線與坐標軸的交點求方程的解
【經典例題1】如圖，直線分別與x的負半軸和y的正半軸交于點A和點B，若，，則關于x的方程的解為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了一次函數與一元一次方程的關系：關于x的方程的解，是直線與x軸交點的橫坐標，理解這一關系是解題的關鍵；由題意得點A的坐標，從而可求得方程的解．
【詳解】解：由題意知，直線與x的負半軸交點點A，且，
∴，
∴關于x的方程的解為；
故選：B．
【變式訓練1-1】若直線與x軸交于點，則方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了一次函數的與方程的解的關系．根據題意可得當時，，即可求解．
【詳解】解：∵直線與x軸交于點，
∴當時，，
∴方程的解是．
故選：B
【變式訓練1-2】如圖，若一次函數的圖象經過、兩點．則方程的解為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此題主要考查了一次函數與一元一次方程，正確數形結合分析是解題關鍵．直接利用圖象得出答案即可．
【詳解】解：如圖所示：
不等式的解為：．
故選：A．
【變式訓練1-3】如圖，一次函數的圖象經過點A．方程的解是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了一次函數與一元一次方程：任何一元一次方程都可以轉化為，為常數，的形式，所以解一元一次方程可以轉化為：當某個一次函數的值為0時，求相應的自變量的值．從圖象上看，相當于已知直線確定它與軸的交點的橫坐標的值．觀察圖象找到當時的值即為本題的答案．
【詳解】解：觀察函數的圖象知：的圖象經過點，
即當時，
所以關于的方程的解為，
故答案為：．
【變式訓練1-4】直線與軸交于點，則關于的方程的解為 ．
【答案】
【分析】本題考查一次函數與一元一次方程，根據方程與一次函數的關系即可解決問題．
【詳解】解：由題知，方程的解可看成一次函數的圖象與軸交點的橫坐標，
因為直線與軸交于點，
所以的解為．
故答案為：．
【變式訓練1-5】若關于x的方程的解為，則直線一定經過點（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了一元一次方程解的定義，一次函數的性質，先把代入方程中得到，進而得到當時，，據此可得答案．
【詳解】解：∵關于x的方程的解是，
∴，
∴，
∴直線解析式為，
∴當時，，即直線一定經過點，
故選：A．
題型二：由一元一次方程的解判斷直線與x軸的交點
【經典例題2】若是方程的解， 則直線的圖象與x軸交點的坐標為 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了一次函數與一元一次方程，關鍵是掌握方程的解就是一次函數與軸交點的橫坐標值．根據一次函數與一元一次方程的關系：由于任何一元一次方程都可以轉化為（，為常數，）的形式，所以解一元一次方程可以轉化為：當某個一次函數的值為時，求相應的自變量的值，從圖象上看，這相當于已知直線確定它與軸交點的橫坐標即可得答案．
【詳解】解：一元一次方程的解是，
當時，，
故直線的圖像與x軸的交點坐標是．
故選：A．
【變式訓練2-1】已知方程的解為，則一次函數的圖象與軸交點的坐標為( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】關于的一元一次方程的根是，即時，函數值為，所以直線過點，于是得到一次函數的圖象與軸交點的坐標．
【詳解】解：方程的解為，則一次函數的圖象與軸交點的坐標為，
故選：D．
【點睛】本題主要考查了一次函數與一元一次方程：任何一元一次方程都可以轉化為 ，為常數，的形式，所以解一元一次方程可以轉化為：當某個一次函數的值為時，求相應的自變量的值．從圖象上看，相當于已知直線確定它與軸的交點的橫坐標的值．
【變式訓練2-2】已知關于x的方程ax﹣b＝1的解為x＝﹣2，則一次函數y＝ax﹣b﹣1的圖象與x軸交點的坐標為 ．
【答案】（ 2，0）
【分析】當y＝0時，ax b 1＝0，可得ax b＝1，根據題意可得圖象與x軸的交點坐標．
【詳解】解：當y＝0時，ax b 1＝0，
∴ax b＝1，
∵關于x的方程ax b＝1的解為x＝ 2，
∴一次函數的圖象與x軸的交點坐標為（ 2，0），
故答案為：（ 2，0）．
【點睛】本題考查了一次函數與一元一次方程的關系，熟練掌握一次函數圖象上點的坐標特征是解題的關鍵．
【變式訓練2-3】若關于x的方程的解是，則直線一定經過點（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查的是一次函數與一元一次方程的關系，掌握一次函數與一元一次方程的關系是解題的關鍵；根據方程可知當時， ，從而可判斷直線經過點即可．
【詳解】解：由方程的解可知：當時，，即當時，，
直線一定經過點，
故選：C．
題型三：利用圖像法解方程或不等式
【經典例題3】畫出函數圖象．
(1)利用圖象求方程的解；
(2)利用圖象求不等式的解集；
(3)如果值在的范圍內，求相應的的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題考查一次函數圖象與性質、一次函數與不等式、一次函數與一元一次方程的解，熟練掌握一次函數的圖象與性質是解題的關鍵．
（1）利用一次函數圖象的特殊點作圖即可，根據一次函數與x軸的交點求得方程的解；
（2）根據時，一次函數圖象位于x軸的下方，即可求得不等式的解集；
（3）根據一次函數的圖象即可求得x的取值范圍．
【詳解】（1）解：當時，，當時，，
，
作直線，如圖所示．
當時，，所以方程的解為；
（2）解：當時，，所以不等式的解集為；
（3）解：值在的范圍內，相應的的取值范圍是．
【變式訓練3-1】綜合與實踐
同學，還記得學習研究一次函數的路徑嗎？請結合一次函數的學習經驗探究函數的圖象．
(1)列表：
x … 0 1 2 …
y … 3 m n 3 …
表格中_____________，_____________；
(2)在下面的平面直角坐標系中畫出該函數的圖象；

(3)觀察（2）中所畫函數的圖象，寫出關于該函數的兩條結論．
結論1：_____________；
結論2：_____________；
(4)寫出關于的方程的解，并簡單說明此方程的解是如何得到的．
【答案】(1)1；1
(2)見解析
(3)函數有最小值，最小值為；函數的圖象關于直線對稱
(4)，理由見解析
【分析】本題主要考查了一次函數的圖像與性質，掌握畫一次函數圖像的方法，理解一次函數交點坐標的意義是解題的關鍵．
（1）分別把和代入函數解析式，即可求解；
（2）根據表格選取點，點作射線，選取點，點作射線，即可解答；
（3）觀察（2）中的函數圖象，從最小值，對稱性，增減性等方面總結即可；
（4）畫出函數和的圖象，由兩個函數圖象的交點坐標即可求解．
【詳解】（1）解：；
故答案為：1；1
（2）解：如圖，

（3）解：根據題意得：
結論1：函數有最小值，最小值為；
結論21：函數的圖象關于直線對稱；
（4）解：方程的解為：，理由如下：
畫出函數和的圖象，如圖所示：

函數和的圖象交點坐標分別為，
∴關于的方程的解為：．
【變式訓練3-2】請根據學習“一次函數”時積累的經驗和方法研究函數的圖象和性質，并解決問題．
(1)填空：①當時， ．
②當時， ．
③當時， ．
(2)在平面直角坐標系中作出函數的圖象
(3)進一步探究函數圖象發現：
①函數圖象與x軸有_____個交點，方程有____個解：
②方程有_____個解：
③若關于x的方程無解，則a的取值范圍是 ．
【答案】(1)①；②；③
(2)見解析
(3)①2，2；②1；③
【分析】此題主要考查了一次函數的圖象和性質，一次函數與方程的關系，正確數形結合分析是解題關鍵．
（1）直接利用絕對值的性質進而化簡得出答案；
（2）直接利用（1）中所求得出函數函數解析式，即可畫出圖象；
（3）直接利用函數圖象得出答案．
【詳解】（1）解：①當時，；
②當時，；
③當時，；
故答案為：；，；
（2）解：函數的圖象，如圖所示：
（3）解：從函數圖象得到：
①函數圖象與軸有2個交點，方程有2個解；
②方程有1個解；
③若關于的方程無解，則的取值范圍是．
故答案為：2，2；1；．
【變式訓練3-3】如圖，數軸上點A表示的數是．點B是數軸上一動點，若它表示的數是x，與點A之間的距離為y．
(1)填寫下表，畫出y關于x的函數圖像；
x … 0 1 2 …
y … …
(2)x是y的函數嗎？______（填“是”或者“不是”）；
(3)觀察圖像，
①寫出該函數的兩條不同類型的性質；
②若，則對應的x的值是______．
若，則對應的x的取值范圍是______．
(4)關于x的方程(k為常數，)，請利用函數圖像，根據方程解的個數寫出對應k的值或取值范圍．
當_____________時，方程有兩個解；
當________________時，方程有一個解；
當____________________時，方程沒有解
【答案】(1)見詳解
(2)不是
(3)①見詳解；②或1；或
(4)當時，方程有兩個解；當或或時，方程有一個解；當時，方程沒有解
【分析】本題是一次函數綜合題，考查一次函數的性質、一次函數的圖象，解答本題的關鍵是明確題意，利用一次函數的性質和數形結合的思想解答．
（1）根據兩點間距離公式可得，代入相應的的值，求得的值填表即可；找出具體的點畫出函數圖象即可；
（2）根據函數的定義進行判斷其不是函數關系；
（3）①觀察函數圖象可得結論；②觀察函數圖象可得結論；
（4）由題可知，作出的圖象，觀察得知兩函數圖象交點的橫坐標即可；
【詳解】（1）解：表示與點之間的距離，所以，，
填表可得：
x … 0 1 2 …
y … 2 1 0 1 2 3 4 …
函數圖象如下：
（2）解：不是；
例如：當時，可以取或，不滿足函數的定義，給定一個的值，都應該有唯一的的值與之對應；
（3）解：①寫出該函數的兩條不同類型的性質；根據圖象可得：
當時，隨的增大而增大，當時，隨的增大而減小；
關于經過且垂直于軸的直線對稱；
②根據圖象可得：若，則對應的x的值是或1．
若，則對應的x的取值范圍是或．
（4）解：如圖，
∵關于的方程(為常數，，
令，則圖象過點，
當過點時，，
∴，此時，關于的方程（為常數，有一個解；
當直線平行于時，，
∴時，關于的方程（為常數，有一個解；
當直線平行于時，，
∴時，關于的方程（為常數，有一個解；
∴當時，方程有兩個解；
當或或時，方程有一個解；
當時，方程沒有解．
【變式訓練3-4】請根據學習“一次函數”時積累的經驗和方法研究函數的圖象和性質，并解決問題．
(1)填空：
①當時，_____；
②當時，_____；
③當時，_____；
(2)在平面直角坐標系中作出函數的圖象；
(3)觀察函數圖象，寫出關于這個函數的兩條結論；
(4)進一步探究函數圖象發現：若關于的方程無解，則的取值范圍是_____．
【答案】(1)；，；
(2)見解析
(3)①函數圖象關于軸對稱；②當時，有最小值．（答案不唯一）；
(4)
【分析】此題主要考查了一次函數的圖象和性質，一次函數與方程的關系，正確數形結合分析是解題關鍵．
（1）直接利用絕對值的性質進而化簡得出答案；
（2）直接利用（1）中所求得出函數圖象；
（3）根據圖象即可求得；
（4）直接利用函數圖象得出答案．
【詳解】（1）解：①當時，；
②當時，；
③當時，；
故答案為：；，；
（2）函數的圖象，如圖所示：
（3）由圖象可知：
①函數圖象關于軸對稱；
②當時，有最小值．（答案不唯一）；
（4）若關于的方程無解，則函數圖象與直線沒有交點，則的取值范圍是．
故答案為：．
【變式訓練3-5】在函數學習過程中，我們知道可以通過列表、描點、連線，畫出函數的圖象來研究函數的性質．請同學們利用函數的圖象來探究其性質，并解決問題．
(1)列表：
______ ______
①請在上述表格中填寫相應的數據，補全表格；
②請在平面直角坐標系中作出函數的圖象；
(2)觀察函數圖象，寫出關于這個函數的一條性質；
(3)進一步探究函數圖象發現；
①方程有_____個解；
②若關于x的方程無解，則a的取值范圍是_____．
【答案】(1)①，；②見解析
(2)函數的最小值是，函數圖象最低點的坐標是，函數圖象關于直線成軸對稱，當時y的值隨著x的增大而增大，當時y的值隨著x的增大而減小等；
(3)①2；②
【分析】（1）①將x的值代入對應的解析式即可求得；
②根據描點法畫出函數圖象即可；
（2）根據函數圖象可以寫出該函數圖象的一條性質
（3）①根據圖象即可得出結論；
②根據關于x的方程無解，得出函數的圖象與無交點，然后觀察圖象即可得出結論．
【詳解】（1）①解：①∵，
∴當時，；
當時，；
②函數圖象如圖，
（2）函數的最小值是，函數圖象最低點的坐標是，函數圖象關于直線成軸對稱，當時y的值隨著x的增大而增大，當時y的值隨著x的增大而減小等；
（3）解：①觀察圖形可知， 方程有1個解；
②關于x的方程無解，
則函數的圖象與無交點，
觀察圖形可知，此時．
【點睛】本題主要考查了一次函數的圖象上點的坐標的特征，一次函數的圖象和性質．畫出函數的圖象，利用數形結合法是解題的關鍵．
題型四：由直線與坐標軸的交點求不等式的解集
【經典例題4】如圖，在直線交坐標軸于、兩點，則不等式的解集為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了一次函數與不等式的解集，數形結合是解題的關鍵．根據圖象解答即可．
【詳解】解：∵直線交坐標軸于，
∴不等式的解集為．
故選D．
【變式訓練4-1】如圖，一次函數的圖象分別與x軸，y軸交于點，，則關于x的不等式的解集為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了一次函數與一元一次不等式．一次函數的圖象落在軸及其上方的部分對應的自變量的取值范圍即為不等式的解集．
【詳解】解：一次函數的圖象分別與軸，軸交于點，，
關于的不等式的解集為．
故選：A．
【變式訓練4-2】如圖，函數和的圖象相交于點，則關于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了一次函數與一元一次不等式，以交點橫坐標分界，再結合圖象即可求解，掌握知識點的應用是解題的關鍵．
【詳解】解：由不等式得，
∴不等式的解集是指函數的圖象在函數的圖象下方時，的取值范圍，
由圖象可知，當時，函數的圖象在函數的圖象下方，
∴不等式的解集為，
故選：．
【變式訓練4-3】如圖，一次函數與x軸、y軸分別交于A、B兩點，、，那么不等式的解集為 ．

【答案】
【分析】本題主要考查了一次函數與不等式，掌握數形結合思想成為解題的關鍵．
根據函數圖像直接寫出不等式的解集即可．
【詳解】解：由函數圖像可知：不等式的解集為．
故答案為：．
【變式訓練4-4】如圖，一次函數的圖象與軸的交點坐標為，則下列說法：①，；②隨的增大而減小；③關于的一元一次方程的解為；④當時，．其中正確的是（ ）
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
【答案】B
【分析】本題考查一次函數的圖像與性質、一次函數與一元一次不等式、一次函數圖象與系數的關系，熟練掌握一次函數圖像和性質，利用數形結合的思想解答是解題關鍵．根據一次函數圖像所在象限及與坐標軸的交點可判斷①②錯誤，③正確，根據一次函數圖像在軸上方時與軸交點橫坐標可判斷④正確，綜上即可得答案．
【詳解】解：∵一次函數的圖象經過一、二、三象限，
∴，，隨的增大而增大，故①②錯誤，
∵一次函數與軸交于點，
∴關于的一元一次方程的解為，當時，，故③④正確，
故選：B．
【變式訓練4-5】已知函數的圖象，利用圖象回答下列問題：
(1)直接寫出方程的解；
(2)直接寫出不等式的解集；
(3)若，直接寫出的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題主要考查一次函數圖象的性質，一次函數圖象解不等式，
（1）根據圖示，時，，結合圖象可求解；
（2）根據圖示，當時，圖象在軸上方，由此即可求解；
（3）根據圖示，結合（2）的結果，當時，滿足條件，即可求解．
【詳解】（1）解：如圖所示，當時，，
∴的解為；
（2）解：根據圖示，當時，圖象在軸上方，即，
∴不等式的解集為；
（3）解：由（2）可得，當時，，當時，，
∴時，．
題型五：根據兩條直線的交點求不等式的解集
【經典例題5】已知一次函數與的圖象如圖所示，下列結論：
①；②；③關于x的方程的解是；④當時，．
其中正確的個數是（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】本題考查一次函數與一元一次方程、一次函數與一元一次不等式、一次函數圖象與系數的關系．根據一次函數的圖象和性質對①②進行判斷；利用一次函數與一元一次方程的關系對③進行判斷；利用函數圖象，當時，一次函數在直線的上方，則可對④進行判斷．
【詳解】解：∵一次函數經過第一、二、四象限，
∴，，故①正確；
∵直線的圖象與y軸的交點在x軸下方，
∴，故②錯誤；
∵一次函數與的圖象的交點的橫坐標為3，
∴時，，故③正確；
當時，的圖象在圖象的上方，
∴，故④正確．
故選：B．
【變式訓練5-1】如圖，直線與分別交x軸于點，，則不等式的解集為 ．
【答案】或
【分析】本題主要考查一次函數和一元一次不等式．本題是借助一次函數的圖象解一元一次不等式，兩個圖象的“交點”是兩個函數值大小關系的“分界點”，在“分界點”處函數值的大小發生了改變．
【詳解】解：直線與直線分別交x軸于點、，
∵，
∴一個正數和一個負數的積為負數，
∴不等式的解集為或，
故答案為：或．
【變式訓練5-2】如圖，函數和的圖象相交于點，則不等式的解集為 ．
【答案】
【分析】本題考查了根據兩條直線的交點求不等式的解集，找到函數的圖象在函數的圖象下方的部分即可求解；
【詳解】解：∵當時，函數的圖象在函數的圖象下方，
∴不等式的解集為，
故答案為：
【變式訓練5-3】如圖，函數和的圖象相交于點，則關于x的不等式的解集為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查一次函數與一元一次不等式，熟練掌握一次函數與一元一次不等式的關系是解題的關鍵，先把點A的坐標代入中求解m的值，然后根據一次函數與不等式的關系可進行求解．
【詳解】解：把代入．
得．
解得．
即A點坐標為．
∵當時，，
∴．
∴關于x的不等式的解集為．
故答案為：．
【變式訓練5-4】一次函數和的圖像如圖所示，且，．
(1)關于的方程的解為_________；關于的不等式的解集為_________；
(2)若不等式的解集是，求點的坐標．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本題考查一次函數與一元一次不等式、一次函數的圖象，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數形結合的思想解答．
（1）根據觀察函數圖象，即可求解；
（2）先求出，再由不等式的解集是，可得點的橫坐標為，即可求解．
【詳解】（1）解：∵，
∴當時，，
即關于的方程的解為；
∵，
∴當時，，
∴不等式的解集為；
故答案為：4；
（2）解：把點代入，得：
，解得，
∴，
∵不等式的解集是，
∴點的橫坐標為，
∴當時，，
∴點的坐標為．
【變式訓練5-5】如圖，已知直線與軸相交于點，與軸相交于點，直線與直線相交于點．
(1)求m的值及直線的函數表達式；
(2)根據圖象，直接寫出關于的不等式的解．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本題考查了一次函數與一元一次不等式：利用數形結合的思想，通過比較兩函數圖象的高低確定不等式的解集．也考查了待定系數法求一次函數解析式．
（1）把代入直線中可得到的值，然后利用待定系數法求直線的解析式；
（2）結合函數圖象，找出直線在直線的上方所對應的自變量的范圍即可．
【詳解】（1）解：把代入直線得，
解得；
把，代入直線得，
解得，，
直線的函數表達式為；
（2）當時，，
關于的不等式的解集為．
題型六：兩直線的交點與二元一次方程組
【經典例題6】二元一次方程組的解為，則一次函數與的圖象的交點坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查的是一次函數與二元一次方程（組）的關系，方程組的解就是使方程組中兩個方程同時成立的一對未知數的值，而這一對未知數的值也同時滿足兩個相應的一次函數式，因此方程組的解就是兩個相應的一次函數圖象的交點坐標．
由于函數圖象交點坐標為兩函數解析式組成的方程組的解，結合本題，那么兩個一次函數的圖象交點的坐標就是方程組的解，據此即可解答．
【詳解】解：∵二元一次方程組的解為，
∴一次函數與的交點坐標為．
故選：A．
【變式訓練6-1】若方程組的解為，則函數和圖象的交點為 ．
【答案】
【分析】本題考查一次函數與二元一次方程組，根據兩條直線的交點的橫縱坐標即為對應的二元一次方程組的解，即可得出結果．
【詳解】解：∵方程組的解為，
∴函數和圖象的交點為；
故答案為：．
【變式訓練6-2】如圖，已知函數和的圖象交于點P，則二元一次方程組的解是 ．
【答案】
【分析】此題主要考查了一次函數與二元一次方程組，關鍵是掌握二元一次方程（組）與一次函數的關系．由于函數圖象交點坐標為兩函數解析式組成的方程組的解，因此所求方程組的解就是兩個一次函數圖象的交點的橫縱坐標．
【詳解】解：由圖知：函數和的圖象交于點，
則，同時滿足兩個函數的解析式，
是二元一次方程組的解．
故答案為：．
【變式訓練6-3】如圖，平面直角坐標系中，直線：和直線 ：相交于點 B，若直線 上一點M 到直線 的距離是 5 ，則點M 的坐標為 ．
【答案】或
【分析】如圖，記直線與軸的交點為，直線與軸的交點為，可求，，聯立，可求，由，可得是直角三角形，，即，由直線 上一點M 到直線 的距離是 5，可得，設，則，計算求解，進而可求坐標．
【詳解】解：如圖，記直線與軸的交點為，直線與軸的交點為，
當時，，
解得，，
∴，
當時，，
解得，，
∴，
聯立，
解得，，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，即，
∵直線 上一點M 到直線 的距離是 5，
∴，
設，則，
解得，，
∴或，
故答案為：或．
【點睛】本題考查了直線交點，勾股定理，勾股定理逆定理，點到直線的距離等知識．熟練掌握直線交點，勾股定理，勾股定理逆定理，點到直線的距離是解題的關鍵．
【變式訓練6-4】如圖，直線：與直線：相交于點．
(1)求的值；
(2)寫出方程組的解；
(3)寫出時，的取值范圍．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】本題主要考查了求一次函數圖象上的點的坐標，一次函數與二元一次方程組，數形結合思想，對于（1），將點代入可得答案；
對于（2），根據兩條直線的交點即為對應方程組的解解答；
對于（3），觀察圖象，從交點向右，且在x軸上方，即符合題意．
【詳解】（1）∵點在直線上，
∴，
解得；
（2）觀察圖象可知，
方程組的解是；
（3）當時，．
【變式訓練6-5】如圖，已知直線：與坐標軸交于，兩點，直線：與坐標軸交于B、D兩點，兩直線的交點為P點．
(1)求的表達式．
(2)求點P的坐標．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題主要考查一次函數的解析式，兩直線交點問題．
（1）運用待定系數法即可求解；
（2）根據函數圖像，聯立方程即可求解出點的坐標．
【詳解】（1）解：將代入，得
，
解得，，
∴的表達式為；
（2）解：由兩條直線相交，聯立方程組得，
解得，
∴．
題型七：求直線圍成的面積
【經典例題7】如圖，已知正比例函數的圖像經過點A，點A在第四象限，過A作軸，垂足為，點的橫坐標為4，且的面積為6.
(1)求正比例函數的解析式；
(2)求經過點．把面積分為1：2的直線解析式．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本題考查了一次函數圖象的性質、待定系數法求一次函數的解析式．
（1）根據題意求得點A的坐標，然后利用待定系數法求得正比例函數的解析式；
（2）分交點在線段上和交點在線段上兩種情況，利用三角形的面積公式求得點的坐標，然后利用待定系數法求函數解析式即可．
【詳解】（1）設點A的坐標為，則，，
∴，
解得：，
∴正比例函數的解析式為；
（2）解：當交點在線段上時，設過點的直線交于點C，設點C的坐標為，
∴，
又∵，或，
∴或，
解得：或（舍去），
∴點C的坐標為，
設直線的解析式為，代入得：
，解得，
∴直線的解析式為；
當交點在線段上時，設過點的直線交于點D，設點D的坐標為，
∴，
又∵，或，
∴或，
解得：或（舍去），
∴點D的坐標為，
設直線的解析式為，代入得：
，解得，
∴直線的解析式為；
∴直線解析式為或．
【變式訓練7-1】如圖，在平面直角坐標系中，直線與直線交點A的橫坐標為2，將直線沿軸向下平移4個單位長度，得到直線，直線與軸交于點B，與直線交于點C，點C的縱坐標為．直線與軸交于點D．
(1)求點A與點C的坐標；
(2)求的面積．
【答案】(1)A的坐標為，點C的坐標為
(2)16
【分析】（1）把點A的橫坐標代入中，求得點A的縱坐標，得到點A的坐標；由平移得的解析式，則可求得直線與y軸的交點B的坐標，將點C的縱坐標代入中求得x的值，從而求得點C的坐標；
（2）待定系數法求出直線的解析式為，則可求得點D的坐標，根據點B的坐標得，由三角形面積公式即可求解．
【詳解】（1）解：把代入，得，
∴A的坐標為．
∵將直線沿y軸向下平移4個單位長度，得到直線，
∴直線的解析式為，
∴時，，
∴．
將代入，得，
∴點C的坐標為．
（2）解：設直線的解析式為，
∵直線過、，
∴，解得，
∴直線的解析式為；
∵，
∴時，，
∴．
∵，
∴，
∴的面積．
【點睛】本題考查了待定系數法求一次函數解析式，直線與坐標軸的交點，直線上點的坐標特征，求直線圍成的圖形面積，一次函數圖象的平移等知識．正確求出直線的解析式是解題的關鍵．
【變式訓練7-2】如圖，直線與直線相交于一點，其坐標為，直線過點，
(1)求直線的解析式；
(2)求直線，與軸圍成的三角形的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了待定系數法求一次函數的解析式，一次函數圖象上點的坐標特征，三角形的面積，待定系數法求函數的解析式是解題的關鍵．
（1）利用待定系數法即可求得；
（2）求得兩直線與軸的交點，然后根據三角形面積公式求得即可．
【詳解】（1）解：設直線的解析式為，
直線過點，，
，解得，
直線的解析式為；
（2）解：由直線可知直線與軸的交點為，，由直線可知直線與軸的交點為，
直線，與軸圍成的三角形的面積是：．
【變式訓練7-3】如圖，一次函數 與正比例函數 的圖象交于點 M．
(1)求正比例函數和一次函數的表達式．
(2)根據圖象，寫出關于x的不等式的解集．
(3)求 的面積．
【答案】(1)一次函數解析式為，正比例函數解析式為
(2)
(3)1
【分析】本題考查了一次函數與一元一次不等式：從函數的角度看，就是尋求使一次函數的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數圖象的角度看，就是確定直線在x軸上（或下）方部分所有的點的橫坐標所構成的集合．也考查了待定系數法求一次函數解析式．
（1）先利用待定系數法求出一次函數解析式，再利用一次函數解析式確定M點的坐標，然后根據待定系數法求出正比例函數解析式；
（2）結合圖象寫出正比例函數圖象在直線的上方所對應的自變量的范圍即可；
（3）先利用一次函數解析式求出P點坐標，然后利用三角形面積公式．
【詳解】（1）解：∵經過和，
∴
解得，
∴一次函數表達式為．
∵ 點 M 在該一次函數圖象上，
∴，則M點坐標為，
又∵M在函數圖象上，
∴，
解得，
∴正比例函數的表達式為．
（2）解：由圖象可知，時，．
（3）解：當時，，解得，則，
所以，．
【變式訓練7-4】如圖，直線經過點，且與直線交于點，直線與，軸分別交于點，，直線交軸于點．
(1)求的值及直線的表達式．
(2)計算四邊形的面積．
(3)是直線上一點，若，求點的坐標．
【答案】(1)，
(2)9
(3)點的坐標為或
【分析】本題主要考查一次函數與幾何圖形的綜合運用，
（1）把點在直線上，可得，在運用待定系數法，將，代入直線的表達式為，即可求解；
（2）由（1）可得，，，則，根據，代入求值即可；
（3）設，根據，，且，分別代入求值即可．
【詳解】（1）解：∵點在直線上，
∴．即，
設直線的表達式為，將，代入，
得，
解得，
∴直線的表達式為．
（2）解：由（1）可得，，
直線，令，可得，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）解：設，
∵，
∴，
∵，
∴．
解得或11，
∴點的坐標為或．
【變式訓練7-5】如圖，一次函數的圖像與x軸，y軸分別交于點A，點B．
(1)求A，B兩點的坐標．
(2)過點B作直線交x軸于點C，若，求的面積．
【答案】(1)；
(2)或
【分析】本題主要考查了一次函數的綜合，一次函數與坐標軸的交點問題，直線圍成的三角形面積，解題的關鍵是數形結合，注意進行分類討論．
（1）把，分別代入函數解析式，求出點A、B的坐標即可；
（2）先根據，得出，分兩種情況討論：當點C在點A左側時，當點C在點A右側時，分別求出的面積即可．
【詳解】（1）解：把代入得，
∴點B的坐標為；
把代入得，
解得：，
∴點A的坐標為．
（2）解：∵點A的坐標為，
∴，
∵，
∴，
當點C在點A左側時，，
∴；
當點C在點A右側時，，
∴；
綜上分析可知：的面積為或．
題型八：一次函數實際應用之分配方案問題
【經典例題8】甲、乙兩商場出售相同的某種商品，每件售價均為3000元，并且多買都有一定的優惠．甲商場的優惠條件是：第一件按原價收費，其余每件優惠；乙商場的優惠條件是：每件優惠．設所買商品為件，甲商場收費為元，乙商場收費為元．
(1)分別求出，與x之間的關系式；
(2)當所買商品為5件時，選擇哪家商場更優惠？請說明理由．
【答案】(1)，
(2)乙商場更優惠；理由見解析
【分析】（1）由兩家商場的優惠方案分別列式整理即可；
（2）由函數解析式分別求出x=5時的函數值，即可得解
本題考查了一次函數的應用和最優方案問題，讀懂題目信息，理解兩家商場的優惠方案是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：由題意得：，
；
（2）解：當時，，，
∴，
∴當所買商品為5件時，選擇乙商場更優惠．
【變式訓練8-1】峨眉山特級（靜心）竹葉青是竹葉青的一種中端產品，每年在采摘加工前，茶商們都會針對二級經銷商群體推出兩種預售方式，方式一：繳納5000元購買鉆石會員，二級經銷商可以1600元的價格購買；方式二：繳納2000元購買鉑金會員，二級經銷商可以1800元的價格購買．某竹葉青二級經銷商此次購買茶葉，按方式一購買茶葉的總費用為元，按方式二購買茶葉的總費用為元．
(1)請直接寫出，關于x的函數解析式；
(2)若按方式一購買茶葉的總費用和按方式二購買茶葉的總費用相同，求該二級經銷商此次購買茶葉的質量；
(3)此次二級經銷商購買茶葉的總預算為65000元，則按哪種方式購買可以獲得更多的茶葉？
【答案】(1)
(2)
(3)按方式一購買可以獲得更多的茶葉
【分析】本題考查的是列函數關系式，一次函數的應用，理解題意，確定函數關系式與相等關系建立方程是解本題的關鍵．
（1）根據兩種方式分別求出購買茶葉的總費用即可；
（2）令求解即可；
（3）令兩種總費用為65000元，分別求出購買茶葉質量，再比較大小即可．
【詳解】（1）解：根據題意，得；
（2）解：當時，，
解得：，
若按方式一購買茶葉的總費用和按方式二購買茶葉的總費用相同，該二級經銷商此次購買茶葉的質量為；
（3）解：當時，即，
解得：，
當時，即，
解得：，
，
按方式一購買可以獲得更多的茶葉．
【變式訓練8-2】為響應國家關于推動各級各類生產設備、服務設備更新和技術改造的號召，某公司計劃將辦公電腦全部更新為國產某品牌，市場調研發現，品牌的電腦單價比品牌電腦的單價少元，通過預算得知，用萬元購買品牌電腦比購買品牌電腦多臺．
(1)試求，兩種品牌電腦的單價分別是多少元；
(2)該公司計劃購買，兩種品牌的電腦一共臺，且購買品牌電腦的數量不少于品牌電腦的，試求出該公司費用最少的購買方案．
【答案】(1)品牌電腦的單價是元，品牌電腦的單價是元；
(2)該公司費用最少的購買方案為購買臺電腦，購買臺電腦，最少需要元．
【分析】本題考查了分式方程的應用、一元一次不等式的應用以及一次函數的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出分式方程；（）根據各數量之間的關系，找出關于的函數關系式．
（1）設品牌電腦的單價是萬元，則品牌電腦的單價是萬元，利用數量總價單價，結合“用萬元購買品牌電腦比購買品牌電腦多臺”，可列出關于的分式方程，解之檢驗后，可得出品牌電腦的單價，再將其代入即可求出品牌電腦的單價；
（2）設購買臺品牌電腦，則購買臺品牌電腦，根據買品牌電腦的數量不少于品牌電腦的，可列出關于的一元一次不等式，解之可得出的取值范圍，設學校購買這些電腦需要元，利用總價單價數量，可找出關于的函數關系式，再利用一次函數的性質，即可解決最值問題．
【詳解】（1）解：設品牌電腦的單價是萬元，則品牌電腦的單價是萬元，根據題意得：，
化簡得
解得：，（舍去），
經檢驗，是所列方程的解，且符合題意，
∴品牌電腦的單價是萬元元，則品牌電腦的單價是萬元即元．
答：品牌電腦的單價是元，品牌電腦的單價是元；
（2）解：設購買臺品牌電腦，則購買臺品牌電腦，
根據題意得：，
解得：．
設學校購買這些電腦需要元，則，
即，
，
隨的增大而減小，
當時，取得最小值，最小值為（元）．此時，
∴該公司費用最少的購買方案為購買臺電腦，購買臺電腦，最少需要元．
【變式訓練8-3】為健全高考考務工作制度，規范考試管理，保障高考的正常實施，維護高考的公平性、嚴肅性、權威性，按照教育部高考考務工作規定：高考只能在縣級及以上設立考區．因而我縣高考全部安排在祥云一中進行，執行統的考試操作流程和規則，確保考試公平和公正．據悉，今年祥云四中參加高考的學生及帶隊教師約人，經過研究，學校決定租用A、B兩種型號共輛客車作為交通工具將師生載至目的地．下表是租車公司提供給學校有關兩種型號客車的載客量和租金信息：（注：載客量指的是每輛客車最多可載該校師生的人數）
型號 載客量 租金單價
A 人/輛 元/輛
B 人/輛 元/輛
(1)設租用型號客車輛，租車總費用為元，求與的函數解析式及自變量x的取值范圍；
(2)請你幫忙設計出一種最省錢的租車方案，并求出最低費用．
【答案】(1)（，且x為整數）
(2)當租用型號客車輛，型號客車輛時，租車費用最低，最低費用為元
【分析】本題考查一次函數的實際應用，一元一次一不等式組，根據題意列出函數關系式以及熟練掌握一次函數增減性是解題的關鍵，
（1）根據題意，可得函數關系式，根據，即可求自變量取值范圍；
（2）在自變量取值范圍內根據一次函數增減性即可求出最低費用及其方案．
【詳解】（1）解：設租用型號客車輛，則租用型號客車輛，
由題意得：，
即與的函數解析式為：，
由題意得：，解得：，
即自變量的取值范圍為，且x為整數；
（2）解：由（1）得：費用為（，且x為整數）
∵，
∴隨的增大而增大，
∴當時，費用最小，
最低為（元），
答：當租用型號客車輛，型號客車輛時，租車費用最低，最低費用元．
【變式訓練8-4】某蔬菜加工廠承擔出口蔬菜加工任務，有一批蔬菜需要裝入某一規格的紙箱．供應這種紙箱有兩種方案可供選擇：
方案一：從紙箱廠購買，每個紙箱價格為4元．
方案二：由蔬菜加工廠租賃機器自己加工制作這種紙箱，機器租賃費按生產紙箱數收取．工廠需要一次性投入機器安裝費16000元，每加工一個紙箱還需成本費元．
(1)若需要這種規格的紙箱x個，請分別寫出兩種方案中所需費用y(元)與x(個)之間的函數表達式；
(2)在同一直角坐標系中作出它們的圖象；
(3)假設你是決策者，你認為應該選擇哪種方案？
【答案】(1)方案一：；方案二：
(2)見解析
(3)當時，兩種方案所需的費用相同，兩種方案都可以；當時，從紙箱廠購買紙箱所需的費用低，選擇方案一；當時，蔬菜加工廠自己加工紙箱所需的費用低，選擇方案二．
【分析】本題考查一次函數的應用，關鍵是列出函數解析式．
（1）由已知條件可以得出兩個方案的解析式；
（2）根據函數關系式畫出圖形即可；
（2）列出方程，解得，討論的取值范圍來比較來比較兩個方案．
【詳解】（1）
解：方案一：，
方案二：．
（2）解：如圖．
（3）解：由題意得：，
得，，
解得，
由圖象，可知當，時，兩種方案所需的費用相同，兩種方案都可以；
當時，從紙箱廠購買紙箱所需的費用低，選擇方案一；
當時，蔬菜加工廠自己加工紙箱所需的費用低，選擇方案二．
【變式訓練8-5】為了響應“足球進校園”的號召，更好地開展足球運動，某學校計劃購買一批足球，已知購買4個A品牌足球和3個B品牌足球共需440元；購買2個A品牌足球和1個B品牌足球共需180元．
(1)求A，B兩種品牌足球的單價；
(2)若學校準備購買A，B兩種品牌的足球共60個，且B品牌足球數不少于A品牌足球數的2倍，設購買兩種品牌足球所需總費用為y元，A品牌足球x個，求y與x之間的函數關系式，并設計一種購買方案，使所需總費用最低，并求出最低總費用．
【答案】(1)A品牌足球單價為50元，B品牌足球單價為80元
(2)，y取得最小值4200元，此時A品牌足球購買了20個，B品牌足球購買了40個
【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，一元一次不等式，一次函數的應用，掌握相關知識是解題的關鍵．
（1）根據題意，列二元一次方程組即可；
（2）根據題意，得一元一次不等式，解不等式，表示出總費用y，根據一次函數的增減性計算y最小值即可．
【詳解】（1）解：設A，B兩種品牌足球的單價分別為a元，b元，
根據題意，得，
解得：，
∴A品牌足球單價為50元，B品牌足球單價為80元．
（2）解：根據題意可知，B品牌足球個，
∵B品牌足球不少于a品牌數的2倍，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴y隨x的增大而減小，
∴當時，y最小，此時．
綜上，，y取得最小值4200元，此時A品牌足球購買了20個，B品牌足球購買了40個．
題型九：一次函數實際應用之最大利潤問題
【經典例題9】某山區不僅有美麗風光，也有許多令人喜愛的土特產，為實現脫貧奔小康，某村組織村民加工包裝土特產銷售給游客，以增加村民收入．已知某種土特產每袋成本10元，試銷階段每袋的銷售價（元）與該土特產的日銷售量（袋）之間的關系如表：
（元） 20 25 30 …
（袋） 20 15 10 …
若日銷售量是銷售價的一次函數，試求：
(1)日銷售量（袋）與銷售價（元）的函數關系式；
(2)假設后續銷售情況與試銷階段效果相同，要使這種土特產每日銷售的利潤最大，每袋的銷售價應定為多少元？每日銷售的最大利潤是多少元？
【答案】(1)
(2)每袋的銷售價應定為25元，每日銷售的最大利潤是225元
【分析】本題考查了二次函數的性質在實際生活中的應用，根據每天的利潤一件的利潤銷售件數，建立函數關系式，此題為數學建模題，借助二次函數解決實際問題；
（1）根據表格中的數據，利用待定系數法，求出日銷售量（袋）與銷售價（元）的函數關系式即可
（2）利用每件利潤總銷量總利潤，進而求出二次函數最值即可．
【詳解】（1）解：設日銷售量（袋）與銷售價（元）的函數關系式為，
由題意得，
解得．
所求函數關系式為：；
（2）解：依題意，設利潤為元，得
整理得
當時，取得最大值，最大值為225
每袋的銷售價應定為25元，每日銷售的最大利潤是225元．
【變式訓練9-1】為了慶祝中華人民共和國成立75周年，某商場購進甲、乙兩種裝飾物對商場進行布置．已知每件甲種裝飾物的價格比每件乙種裝飾物的價格貴4元，用400元購買甲種裝飾物的件數恰好與用240元購買乙種裝飾物的件數相同．
(1)求該商場購進甲、乙兩種裝飾物的單價各是多少元；
(2)當商場裝飾完工后，發現還剩余甲種裝飾物和乙種裝飾物共400件，且購入成本不超過3000元．為了降低裝飾成本，商場決定將甲種裝飾物以每件13元，乙種裝飾物以每件8元的價格對外出售．如果將剩余的這400件裝飾物全都售完，剩余甲、乙裝飾物的數量分別為多少時，商場獲得的利潤最大？最大利潤是多少？
【答案】(1)每件甲種裝飾物的價格為10元，每件乙種裝飾物的價格為6元；
(2)剩余甲種裝飾物150件，則剩余乙種裝飾物250件，商場獲得的利潤最大，最大利潤為950元．
【分析】本題考查了分式方程的應用、一次函數的應用以及一元一次不等式的應用．
（1）設每件乙種裝飾物的價格為x元，則每件甲種裝飾物的價格為元，根據“用400元購買甲種裝飾物的件數恰好與用240元購買乙種裝飾物的件數相同”，即可得出關于x的分式方程，解之經檢驗后即可得出結論；
（2）設剩余甲種裝飾物m件，則剩余乙種裝飾物件，商場獲得的利潤為元，根據“購入成本不超過3000元”可得出關于m的一元一次不等式，求得，再根據得到關于m的一次函數，利用二次函數的性質即可得出結論；
【詳解】（1）解：設每件乙種裝飾物的價格為x元，則每件甲種裝飾物的價格為元，
依題意，得：，
解得：，
經檢驗，是原方程的解，且符合題意，
∴．
答：每件甲種裝飾物的價格為10元，每件乙種裝飾物的價格為6元；
（2）解：設剩余甲種裝飾物m件，則剩余乙種裝飾物件，商場獲得的利潤為元，
根據題意得，
解得，
則，
∵，
∴隨m的增大而增大，
∴當時，有最大值，最大值為，
此時，
答：剩余甲種裝飾物150件，則剩余乙種裝飾物250件，商場獲得的利潤最大，最大利潤為950元．
【變式訓練9-2】某玩具廠計劃生產一種玩具熊貓，每日最高產量為120只，且每日產出的產品全部售出已知生產x只玩具熊貓的支出成本為R（元），銷售收入為P（元），利潤為y（元），且R，P關于x的函數表達式分別為，．
(1)求y關于x的函數表達式，并畫出函數圖象．
(2)根據圖象解決下列問題：
①該玩具廠至少應生產多少只玩具，才能保證不虧損？
②當日產量為多少時，每日獲得的利潤為1750元？（提示：利潤=銷售收入-支出成本）
【答案】(1)，圖象見解析
(2)①該玩具廠至少應生產20只玩具，才能保證不虧損②當日產量為90只時，每日獲得的利潤為1750元
【分析】此題主要考查了一次函數的應用，利用數形結合得出是解題關鍵．
（1）利用，進而得出函數解析式即可，進而利用兩點法畫出直線即可；
（2）①利用函數圖象得出時，的取值范圍即可；②將代入解析式求出即可．
【詳解】（1）解：由題意可得：
如圖所示：

（2）解：①當時能保證不虧損，
∴，
解之：；
∴該玩具廠至少應生產20只玩具，才能保證不虧損；
②當時，，
解之：，
∴ 當日產量為90只時，每日獲得的利潤為1750元
【變式訓練9-3】【任務】如何確定化橘紅銷售單價及如何進貨才能獲得最大利潤．
①化州某大藥房購進李橘園、寶橘園兩種型號的橘紅，進貨價分別是40元每克、65元每克．
②大藥房對寶橘園橘紅的標價是李橘園橘紅標價的2倍，若顧客分別用1000元按標價購進李橘園橘紅重量比寶橘園橘紅重量多10克．
③大藥房準備用不超過30000元購進兩園橘紅共500克，且從李橘園進貨不多于150克，它們都按標價銷售．
【問題解決】
(1)求李橘園、寶橘園兩種型號的橘紅的標價．
(2)探究李橘園、寶橘園兩種型號的橘紅的進貨方案一共有多少種？（注：進貨重量克取正整數）
(3)確定大藥房如何進貨才能獲得最大利潤？
【答案】(1)李橘園橘紅標價為50元，則寶橘園橘紅的標價為100元
(2)進貨方案一共有51種
(3)從李橘園進貨100克，則從寶橘園進貨400克，才能獲得最大利潤
【分析】本題考查分式方程，不等式組，一次函數解決實際問題，讀懂題意，找準等量關系是解題的關鍵．
（1）李橘園橘紅標價為x元，由任務②中的“大藥房對寶橘園橘紅的標價是李橘園橘紅標價的2倍”得到寶橘園橘紅的標價為元，進而根據“顧客分別用1000元按標價購進李橘園橘紅重量比寶橘園橘紅重量多10克”即可列出方程，求解并檢驗即可；
（2）設從李橘園進貨n克，則從寶橘園進貨克，根據“大藥房準備用不超過30000元購進兩園橘紅共500克，且從李橘園進貨不多于150克”即可列出不等式組，求解即可解答；
（3）設從李橘園進貨n克，則從寶橘園進貨克，所獲利潤為W元，列出W關于m的函數解析式，進而根據函數的增減性即可解答．
【詳解】（1）解：設李橘園橘紅標價為x元，則寶橘園橘紅的標價為元．根據題意，得
，
解得：，
經檢驗，是該方程的解，且符合題意．
∴，
答：李橘園橘紅標價為50元，則寶橘園橘紅的標價為100元．
（2）解：設從李橘園進貨n克，則從寶橘園進貨克，根據題意，得
，
解得
∵n取整數，
∴，
答：進貨方案一共有51種．
（3）解：設從李橘園進貨n克，則從寶橘園進貨克，所獲利潤為W元，則
，
∵，
∴隨著n的增大而減小，
由（2）有，
∴當時，W有最大值，此時，
答：從李橘園進貨100克，則從寶橘園進貨400克，才能獲得最大利潤．
【變式訓練9-4】某水產品市場管理部門規劃建造面積為的集貿大棚，大棚內設種類型和種類型的店面共80間，每間種類型的店面的平均面積為，月租為400元．每間種類型的店面的平均面積為，月租為360元，全部店面的建造面積不低于大棚總面積的，又不能超過大棚總面積的．
(1)試確定種類型的店面的數量范圍；
(2)通過了解業主的租賃意向得知，種類型店面的出租率為，種類型店面的出租率為．為使店面的總月租最高，應建造種類型的店面多少間？并求出最高租金．
【答案】(1)種類型店面的數量為，且為整數
(2)應建造種類型的店面40間，最高租金24960
【分析】本題考查一元一次不等式組的應用，一次函數的應用，解決本題的關鍵是讀懂題意，找到符合題意的不等關系式組，及所求量的等量關系．注意本題的不等關系為：建造面積不低于大棚總面積的，又不能超過大棚總面積的；并會根據函數的單調性求最值問題．
（1）關鍵描述語為：全部店面的建造面積不低于大棚總面積的，又不能超過大棚總面積的．關系式為：種類型店面面積種類型店面面積；種類型店面面積種類型店面面積，進而列出不等式組求解即可；
（2）店面的月租費種類型店面間數種類型店面間數，然后按取值范圍來求解．
【詳解】（1）解：設種類型店面的數量為間，則種類型店面的數量為間，
根據題意得，
解之得，
種類型店面的數量為，且為整數；
（2）設應建造種類型的店面間，則店面的月租費為
，
又，
∴時，W最大為．
為使店面的月租費最高，應建造種類型的店面40間，最高租金24960．
【變式訓練9-5】無人機制造商“大疆創新科技”享譽全球．該公司旗下無人機配件銷售部現有和兩種配件，它們的進價和售價如表．用元可購進產品件和產品件．（利潤售價進價）
種類 種配件 種配件
進價（元/件）
售價（元/件）
(1)求種配件進價的值．
(2)若該配件銷售部購進種配件和種配件共件，據市場銷售分析，種配件進貨件數不低于種配件件數的倍．如何進貨才能使本次銷售獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？
【答案】(1)260
(2)當購進種配件件，種配件件時，本次銷售獲得的利潤最大，最大利潤是元
【分析】本題考查了一元一次方程的應用，一元一次不等式的應用，一次函數的應用，理解題意并正確列式是解題關鍵．
（1）根據“用元可購進產品件和產品件”列方程求解即可；
（2）設購進種配件件，則購進種配件件，根據“種配件進貨件數不低于種配件件數的倍”列不等式，得出（為正整數），再設兩種配件全部售出后獲得的總利潤為元，根據“利潤售價進價”列函數關系式，根據一次函數的增減性求解即可．
【詳解】（1）解：依題意得：，
解得：，
答：的值為；
（2）解：設購進種配件件，則購進種配件件，
依題意得：，
解得：，
∴（為正整數），
設兩種配件全部售出后獲得的總利潤為元，
∴，
∵，
∴隨的增大而增大，
∴當時，取得最大值，最大值為：，
此時，
答：當購進種配件件，種配件件時，本次銷售獲得的利潤最大，最大利潤是元．
題型十：一次函數實際應用之行程問題
【經典例題10】如圖，甲、乙兩地相距，現有一輛貨車從乙地出發，以的速度向丙地行駛．設（時）表示貨車行駛的時間，表示貨車與甲地的距離．
(1)寫出與之間的關系式，并判斷是否為的一次函數；
(2)當貨車行駛2.5小時的時候，貨車離甲地的距離是多少？
【答案】(1)，y是x的一次函數
(2)貨車離甲地的距離是
【分析】本題主要考查一次函數的應用，解題的關鍵理解題意；
（1）根據路程=速度×時間可進行求解函數關系式，然后根據函數關系式可判斷是否是一次函數；
（2）根據（1）中函數關系式可進行求解．
【詳解】（1）解：由題意得：
與之間的關系式是，
∴y是x的一次函數；
（2）解：由（1）得：把代入，則有：
；
答：貨車離甲地的距離是．
【變式訓練10-1】、兩地相距，甲、乙兩人從兩地出發相向而行，甲先出發．圖中，表示兩人離地的距離與時間的關系，結合圖象回答下列問題：
(1)表示乙離地的距離與時間關系圖象是 （填或）；
甲的速度是 ；
乙的速度是 ；
(2)甲出發多少小時兩人恰好相距？
【答案】(1)，45，30
(2)甲出發后或時兩人恰好相距．
【分析】本題考查一次函數的應用，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數形結合的思想解答．
（1）根據題意和圖象可以解答本題；
（2）根據圖象可以分別求得甲乙對應的函數解析式，由題意可知相遇前和相遇后兩種情況相距，從而可以解答本題．
【詳解】（1）解：甲先出發，乙后出發，
表示乙離地的距離與時間關系的圖象是，
甲的速度是：，
乙的速度是：，
故答案為：，45，30；
（2）解：設甲對應的函數解析式為，
，得，
甲對應的函數解析式為，
設乙對應的函數解析式為，
，得，
即乙對應的函數解析式為，
，
解得，，，
答：甲出發后或時兩人恰好相距．
【變式訓練10-2】快車和慢車均從甲地出發勻速行駛至乙地，在整個行駛過程中，快車和慢車離開甲地的距離與慢車行駛時間之間的函數關系如圖所示，根據圖象提供的信息解決下列問題．
(1)甲、乙兩地相距多少千米？
(2)分別求快車和慢車離開甲地的距離與的關系式
(3)快車出發后幾小時追上慢車？ 追上時距離乙地還有多遠？
(4)慢車出發幾小時，兩車相距？
【答案】(1)600千米
(2)快車：；慢車：
(3)2小時，
(4)小時；小時；小時；小時
【分析】本題考查一次函數的應用，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數形結合的思想解答．
（1）根據函數圖象可以解答本題；
（2）根據圖象中的信息分別求出兩車對應的函數解析式，
（3）根據（2）聯立兩車對應的函數解析式，求解二元一次方程組，即可解答本題；
（4）根據（2）中的函數解析式，分四種情況：當快車出發前；當快車出發后，追上慢車前；當快車追上慢車后，到達乙地前；當快車到達乙地后，慢車到達乙地前；兩車相距，列方程求解即可解答本題．
【詳解】（1）解：由圖可知，
甲、乙兩地相距600千米．
（2）解：設慢車對應的函數解析式為：，
把代入，得
，
解得：，
∴慢車對應的函數解析式為：；
設快車對應的函數解析式為，
把，代入，得
，
解得：，
∴快車對應的函數解析式為．
（3）解：聯立，得，
解得：，
，
，
答：快車出發后2小時追上慢車，追上時距離乙地還有．
（4）解：由題意可得，
當快車出發前兩車相距，則，
解得：；
當快車出發后，追上慢車前，兩車相距，則，
解得：；
當快車追上慢車后，到達乙地前，兩車相距，則
解得：；
當快車到達乙地后，慢車到達乙地前，兩車相距，則，
解得：；
綜上，慢車出發小時或小時或小時或小時，兩車相距．
【變式訓練10-2】小玲和弟弟小東分別從家和圖書館同時出發，沿同一條路相向而行．小玲剛開始跑步前行，中途改為步行，到達圖書館恰好用了．小東騎自行車以的速度直接回家，兩人離家的路程（單位：）與各自離開出發地的時間（單位：）之間的函數圖象如圖所示．
(1)家與圖書館之間的路程為多少米？小玲步行的速度為多少？
(2)求小東離家的路程關于時間的函數表達式，并寫出自變量的取值范圍；
(3)求兩人相遇時小東離家的距離．
【答案】(1)，
(2)（）
(3)兩人相遇時小東離家的距離為
【分析】本題考查了一次函數的應用，解決本題的關鍵是能從函數的圖象中獲取相關信息.
（1）認真分析圖象得到家與圖書館之間路程與時間數據，再根據路程除時間等于速度即可求解；
（2）采用方程思想，列出小東離家路程與時間之間的函數關系式，標明自變量的取值范圍即可；
（3）兩人相遇實際上是函數圖象求交點，先算出小玲跑步的速度，令，可得相遇時間，再將時間代入函數關系式即可求解．
【詳解】（1）解：結合題意和圖象可知，家與圖書館之間路程為，
小玲步行的速度為．
（2）∵小東從離家處的圖書館以的速度返回家中，
∴他離家的路程y關于時間x的函數表達式為，
自變量的取值范圍為．
（3）由圖象可知，兩人相遇是在小玲跑步前行時，
小玲跑步的速度為，
，
解得，
∴兩人相遇時間為各自出發后，
此時小東離家的距離為．
【變式訓練10-4】碧麟灣位于陜西省榆林市神木市，是集觀光旅游、休閑度假、研學拓展、近郊游樂、康養度假等多種功能為一體的綜合性級景區，設水上、陸地、高空三大板塊．玥玥一家周末從家出發，前往碧麟灣景區游玩，如圖表示玥玥一家離家的距離（千米）與行駛時間（小時）之間的函數關系，請根據圖中信息，解答下列問題：
(1)求圖中段與之間的函數關系式；
(2)求玥玥一家行駛多久時，離家的距離為110千米？
【答案】(1)；
(2)小時
【分析】本題考查了待定系數法求一次函數解析式，一次函數的應用，利用待定系數法求出一次函數解析式是解題的關鍵．
（1）利用待定系數法即可求解；
（2）把代入（）中所求的函數解析式計算即可求解．
【詳解】（1）解：設圖中段y與x之間的函數關系式為，
∵圖象經過、兩點，
∴，
解得，
∴圖中段y與x之間的函數關系式為；
（2）解：當時，，
解得，
∴玥玥一家行駛小時，離家的距離為110千米．
【變式訓練10-5】在“看圖說故事”活動中，某學習小組設計了一個問題情境：小明從家跑步去體育場，在那里鍛煉了一陣后又走到文具店買圓規，然后散步走回家．小明離家的距離y（）與他所用的時間x（）的關系如圖所示：
(1)小明家離體育場的距離為______，小明跑步的平均速度為______；
(2)當時，求y關于x的函數表達式；
(3)當小明離家時，直接寫出他離開家所用的時間．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本題考查一次函數的實際應用，從函數圖象中有效的獲取信息，是解題的關鍵：
（1）從函數圖象獲取信息，利用速度等于路程除以時間進行計算即可；
（2）待定系數法求出函數解析式即可；
（3）分和兩種情況討論求解即可．
【詳解】（1）解：由圖象可知，小明家離體育場的距離為，跑步的平均速度為：；
故答案為：；
（2）當時，設，
把代入函數解析式，得：
，解得：，
∴；
（3）當時，；
當時，，解得：；
答：當小明離家時，他離開家所用的時間為或．
題型十一：一次函數實際應用之幾何問題
【經典例題11】如圖，直線與x，y軸分別交于A，B兩點．
(1)求點A的坐標．
(2)在x軸上有一點M，線段上有一點N，當是以為斜邊的等腰直角三角形時，求點M的坐標．
【答案】(1)點A的坐標為
(2)
【分析】本題考查了一次函數的圖象與性質，等腰直角三角形的定義，熟練掌握一次函數的圖象與性質是解答本題的關鍵．
（1）根據題意得：時，，由此得到答案．
（2）根據題意得：是以為斜邊的等腰直角三角形，點在軸正半軸上，設，，由，得到點的坐標，由此得到答案．
【詳解】（1）根據題意得：
直線與x，y軸分別交于A，B兩點
時，
解得：，
點A的坐標為；
（2）根據題意得：
是以為斜邊的等腰直角三角形，
如圖所示，是等腰直角三角形，
，
設，，
解得：，
即，
【變式訓練11-1】如圖，已知函數的圖象與軸交于點，一次函數的圖象經過點，與軸以及的圖象分別交于點，且點的坐標為．
(1)則_________，_________；
(2)關于的不等式的解集是_________；
(3)四邊形的面積_________；
(4)在平面內是否存在點，使得以點為頂點的三角形是以為腰的等腰直角三角形，若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)3，
(2)
(3)
(4)，，，
【分析】（1）把點的坐標為代入得，從而得到點的坐標，將點、的坐標代入，可求得到，；
（2）要使得函數的值大于函數的函數值，只需函數的圖象在函數上方，由此直接根據函數圖象即可得到答案；
（3）連接，由函數解析式求得、坐標，再根據即可求解；
（4）分四種情況：當，，點在右側時，當，，點在左側時，當，，點在右側時，當，，點在左側時，構造全等三角形，根據，兩點坐標求出相應邊的長度，進而求得點的坐標．
【詳解】（1）解：把點的坐標為代入得：，
∴，即：點的坐標為，
將點，點代入得：，
解得：；
（2）解：由（1）得點的坐標為，要使得函數的值大于函數的函數值，只需函數的圖象在函數上方，
∴由圖象可得：當時，函數的函數值大于函數的函數值，
∴關于的不等式的解集是：；
（3）解：由（1）可知：直線的解析式為，，，
當時，，得，
∴點的坐標為，
∵函數的圖象與軸交于點，
則當時，，即：，
連接，
∴；
（4）當，，點在右側時，如圖，
過點作軸，過點作，
則，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，，則，
∴，
∴，
則點坐標為；
當，，點在左側時，如圖，
過點作軸，過點，點作，，
同上可得：點坐標為；
當，，點在右側時，如圖，
過點，點作，，
同上可得：點坐標為；
當，，點在左側時，如圖，
過點，點作，，
同上可得：點坐標為；
綜上：坐標為或或或．
【點睛】此題考查了一次函數與幾何的綜合應用，涉及了勾股定理、等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定及性質，解題的關鍵是熟練掌握相關基本性質，利用分類討論和數形結合思想方法求解．
【變式訓練11-2】如圖，已知一次函數的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B，點M為線段的中點．
(1)點M的坐標為____________________；
(2)y軸上有一動點Q，連接，求周長的最小值及此時點Q的坐標；
(3)在（2）的條件下，當的周長最小時，若x軸上有一點F，過點F作直線軸，交直線于點G，交直線于點H，若的長為3，求點F的坐標．
【答案】(1)
(2)周長的最小值為；
(3)或
【分析】本題主要考查了一次函數綜合，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．
（1）令，得；令，得，可得點、的坐標，再由中點坐標公式可得出點的坐標；
（2）因為A和M坐標知道，所以長度為定值，要求周長的最小值，實則是求的最小值，即的長；
（3）運用待定系數法求出直線的解析式，設點的坐標為，得出，，根據列方程求出的得解．
【詳解】（1）解：對于，
令，得；
令，得，
解得：，
∴，
∵點M為線段AB的中點，
∴，即，
（2）解：作點關于軸的對稱點，連接交軸于點，連接，如圖，
則，
∴,
∵,
∴，
∵點是固定點，
∴，
∴周長的最小值為,
又,
∴
∴,
∴周長的最小值為；
設直線的解析式為，
把代入，得，
，
解得，，
∴直線的解析式為，
當時，，
∴；
（3）解：設直線的解析式為，
把代入，得：
，
解得，，
∴直線的解析式為，
設點的坐標為
又過點的直線與交于點，
∴，
又直線和解析式與直線交于點，
∴，
∵,
∴，
整理得，，
解得，，或，
∴點的坐標為：或．
【變式訓練11-3】已知一次函數的圖象與軸，軸的交點分別為，．
(1)直接寫出點，點的坐標；
(2)求的面積；
(3)如果點在一次函數的圖象上，且的面積為3，求點的坐標．
【答案】(1)，
(2)9
(3)或
【分析】本題考查了一次函數的應用，熟練掌握一次函數的圖象與性質是解題關鍵．
（1）分別求出時，的值和時，的值，由此即可得；
（2）先求出的長，再利用直角三角形的面積公式求解即可得；
（3）設點的坐標為，則點到軸的距離為，根據三角形的面積公式求出的值，由此即可得．
【詳解】（1）解：對于一次函數，
當時，，解得，
當時，，
∵一次函數的圖象與軸，軸的交點分別為，，
∴點的坐標為，點的坐標為．
（2）解：由題意，畫出圖形如下：
∵，，
∴，
∴的面積為．
（3）解：由題意，畫出圖形如下：
設點的坐標為，則點到軸的距離為，
∵的面積為3，，
∴，即，
解得或，
當時，，
當時，，
綜上，點的坐標為或．
【變式訓練11-4】已知一次函數的圖象經過點和點且點在正比例函數的圖象上．
(1)求一次函數的解析式；
(2)若點的坐標為，求的面積；
(3)點為軸上一動點，若，求點的坐標．
【答案】(1)一次函數的解析式為：
(2)
(3)或
【分析】（1）根據待定系數法求出一次函數解析式即可；
（2）根據格點坐標可求三角形的面積；
（3）設點，根據已知條件得到代入面積計算公式即可得到值，繼而得到點的坐標．
本題考查了待定系數法求一次函數解析式，熟練掌握三角形面積的計算是解答本題的關鍵．
【詳解】（1）解：點在正比例函數的圖象上，
，解得，
，
點和點在一次函數的圖象上，
，解得，
一次函數的解析式為：；
（2）解：，
；
（3）解：如圖直線交軸于點，
，，
，
點的坐標為，
點在直線上，
在一次函數中，令，，
，
設，則，
，
即，
，，
解得或1，
或．
【變式訓練11-5】如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象與x軸交于點，與y軸交于點B，且與正比例函數的圖象交點為．求：
(1)求正比例函數與一次函數的關系式；
(2)在x軸上是否存在一點M使周長最小，若存在，求出點M的坐標；
(3)在x軸上求一點Q使為等腰三角形，請求出所有符合條件的點Q的坐標．
【答案】(1)，
(2)
(3)或或
【分析】本題考查一次函數的綜合應用，坐標與軸對稱，正確的求出函數解析式，利用數形結合和分類討論的思想進行求解，是解題的關鍵：
（1）待定系數法求出函數解析式即可；
（2）作點關于軸的對稱點，連接，與軸的交點即為點，求出的解析式，進而求出點的坐標即可；
（3）分三種情況，進行討論求解即可．
【詳解】（1）解：由題意，得，直線過點，，
∴，解得：，
；
∵過，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴當時，，
∴，
∵，且為定值，
∴當最小時，的周長最小，
作作點關于軸的對稱點，連接，則，，
∴當三點共線時，的值最小為的長，
同（1）可得：直線的解析式為：，
∴當時，，
∴．
（3）∵，
∴，
設，則：，，
當為等腰三角形時，
①，則：，
∴，
∴；
②當時，，解得：，
∴；
③當時，，
，
∴，
∴（舍去）或，
∴；
綜上：或或．
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5.5一次函數的簡單應用十一大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：已知直線與坐標軸的交點求方程的解
【經典例題1】如圖，直線分別與x的負半軸和y的正半軸交于點A和點B，若，，則關于x的方程的解為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-1】若直線與x軸交于點，則方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-2】如圖，若一次函數的圖象經過、兩點．則方程的解為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-3】如圖，一次函數的圖象經過點A．方程的解是 ．
【變式訓練1-4】直線與軸交于點，則關于的方程的解為 ．
【變式訓練1-5】若關于x的方程的解為，則直線一定經過點（ ）
A． B． C． D．
題型二：由一元一次方程的解判斷直線與x軸的交點
【經典例題2】若是方程的解， 則直線的圖象與x軸交點的坐標為 （ ）
A． B． C． D．
【變式訓練2-1】已知方程的解為，則一次函數的圖象與軸交點的坐標為( )
A． B． C． D．
【變式訓練2-2】已知關于x的方程ax﹣b＝1的解為x＝﹣2，則一次函數y＝ax﹣b﹣1的圖象與x軸交點的坐標為 ．
【變式訓練2-3】若關于x的方程的解是，則直線一定經過點（ ）
A． B． C． D．
題型三：利用圖像法解方程或不等式
【經典例題3】畫出函數圖象．
(1)利用圖象求方程的解；
(2)利用圖象求不等式的解集；
(3)如果值在的范圍內，求相應的的取值范圍．
【變式訓練3-1】綜合與實踐
同學，還記得學習研究一次函數的路徑嗎？請結合一次函數的學習經驗探究函數的圖象．
(1)列表：
x … 0 1 2 …
y … 3 m n 3 …
表格中_____________，_____________；
(2)在下面的平面直角坐標系中畫出該函數的圖象；

(3)觀察（2）中所畫函數的圖象，寫出關于該函數的兩條結論．
結論1：_____________；
結論2：_____________；
(4)寫出關于的方程的解，并簡單說明此方程的解是如何得到的．
【變式訓練3-2】請根據學習“一次函數”時積累的經驗和方法研究函數的圖象和性質，并解決問題．
(1)填空：①當時， ．
②當時， ．
③當時， ．
(2)在平面直角坐標系中作出函數的圖象
(3)進一步探究函數圖象發現：
①函數圖象與x軸有_____個交點，方程有____個解：
②方程有_____個解：
③若關于x的方程無解，則a的取值范圍是 ．
【變式訓練3-3】如圖，數軸上點A表示的數是．點B是數軸上一動點，若它表示的數是x，與點A之間的距離為y．
(1)填寫下表，畫出y關于x的函數圖像；
x … 0 1 2 …
y … …
(2)x是y的函數嗎？______（填“是”或者“不是”）；
(3)觀察圖像，
①寫出該函數的兩條不同類型的性質；
②若，則對應的x的值是______．
若，則對應的x的取值范圍是______．
(4)關于x的方程(k為常數，)，請利用函數圖像，根據方程解的個數寫出對應k的值或取值范圍．
當_____________時，方程有兩個解；
當________________時，方程有一個解；
當____________________時，方程沒有解
【變式訓練3-4】請根據學習“一次函數”時積累的經驗和方法研究函數的圖象和性質，并解決問題．
(1)填空：
①當時，_____；
②當時，_____；
③當時，_____；
(2)在平面直角坐標系中作出函數的圖象；
(3)觀察函數圖象，寫出關于這個函數的兩條結論；
(4)進一步探究函數圖象發現：若關于的方程無解，則的取值范圍是_____．
【變式訓練3-5】在函數學習過程中，我們知道可以通過列表、描點、連線，畫出函數的圖象來研究函數的性質．請同學們利用函數的圖象來探究其性質，并解決問題．
(1)列表：
______ ______
①請在上述表格中填寫相應的數據，補全表格；
②請在平面直角坐標系中作出函數的圖象；
(2)觀察函數圖象，寫出關于這個函數的一條性質；
(3)進一步探究函數圖象發現；
①方程有_____個解；
②若關于x的方程無解，則a的取值范圍是_____．
題型四：由直線與坐標軸的交點求不等式的解集
【經典例題4】如圖，在直線交坐標軸于、兩點，則不等式的解集為（　　）
A． B． C． D．
【變式訓練4-1】如圖，一次函數的圖象分別與x軸，y軸交于點，，則關于x的不等式的解集為（ ）

A． B． C． D．
【變式訓練4-2】如圖，函數和的圖象相交于點，則關于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練4-3】如圖，一次函數與x軸、y軸分別交于A、B兩點，、，那么不等式的解集為 ．

【變式訓練4-4】如圖，一次函數的圖象與軸的交點坐標為，則下列說法：①，；②隨的增大而減小；③關于的一元一次方程的解為；④當時，．其中正確的是（ ）
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
【變式訓練4-5】已知函數的圖象，利用圖象回答下列問題：
(1)直接寫出方程的解；
(2)直接寫出不等式的解集；
(3)若，直接寫出的取值范圍．
題型五：根據兩條直線的交點求不等式的解集
【經典例題5】已知一次函數與的圖象如圖所示，下列結論：
①；②；③關于x的方程的解是；④當時，．
其中正確的個數是（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1
【變式訓練5-1】如圖，直線與分別交x軸于點，，則不等式的解集為 ．
【變式訓練5-2】如圖，函數和的圖象相交于點，則不等式的解集為 ．
【變式訓練5-3】如圖，函數和的圖象相交于點，則關于x的不等式的解集為 ．
【變式訓練5-4】一次函數和的圖像如圖所示，且，．
(1)關于的方程的解為_________；關于的不等式的解集為_________；
(2)若不等式的解集是，求點的坐標．
【變式訓練5-5】如圖，已知直線與軸相交于點，與軸相交于點，直線與直線相交于點．
(1)求m的值及直線的函數表達式；
(2)根據圖象，直接寫出關于的不等式的解．
題型六：兩直線的交點與二元一次方程組
【經典例題6】二元一次方程組的解為，則一次函數與的圖象的交點坐標為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練6-1】若方程組的解為，則函數和圖象的交點為 ．
【變式訓練6-2】如圖，已知函數和的圖象交于點P，則二元一次方程組的解是 ．
【變式訓練6-3】如圖，平面直角坐標系中，直線：和直線 ：相交于點 B，若直線 上一點M 到直線 的距離是 5 ，則點M 的坐標為 ．
【變式訓練6-4】如圖，直線：與直線：相交于點．
(1)求的值；
(2)寫出方程組的解；
(3)寫出時，的取值范圍．
【變式訓練6-5】如圖，已知直線：與坐標軸交于，兩點，直線：與坐標軸交于B、D兩點，兩直線的交點為P點．
(1)求的表達式．
(2)求點P的坐標．
題型七：求直線圍成的面積
【經典例題7】如圖，已知正比例函數的圖像經過點A，點A在第四象限，過A作軸，垂足為，點的橫坐標為4，且的面積為6.
(1)求正比例函數的解析式；
(2)求經過點．把面積分為1：2的直線解析式．
【變式訓練7-1】如圖，在平面直角坐標系中，直線與直線交點A的橫坐標為2，將直線沿軸向下平移4個單位長度，得到直線，直線與軸交于點B，與直線交于點C，點C的縱坐標為．直線與軸交于點D．
(1)求點A與點C的坐標；
(2)求的面積．
【變式訓練7-2】如圖，直線與直線相交于一點，其坐標為，直線過點，
(1)求直線的解析式；
(2)求直線，與軸圍成的三角形的面積．
【變式訓練7-3】如圖，一次函數 與正比例函數 的圖象交于點 M．
(1)求正比例函數和一次函數的表達式．
(2)根據圖象，寫出關于x的不等式的解集．
(3)求 的面積．
【變式訓練7-4】如圖，直線經過點，且與直線交于點，直線與，軸分別交于點，，直線交軸于點．
(1)求的值及直線的表達式．
(2)計算四邊形的面積．
(3)是直線上一點，若，求點的坐標．
【變式訓練7-5】如圖，一次函數的圖像與x軸，y軸分別交于點A，點B．
(1)求A，B兩點的坐標．
(2)過點B作直線交x軸于點C，若，求的面積．
題型八：一次函數實際應用之分配方案問題
【經典例題8】甲、乙兩商場出售相同的某種商品，每件售價均為3000元，并且多買都有一定的優惠．甲商場的優惠條件是：第一件按原價收費，其余每件優惠；乙商場的優惠條件是：每件優惠．設所買商品為件，甲商場收費為元，乙商場收費為元．
(1)分別求出，與x之間的關系式；
(2)當所買商品為5件時，選擇哪家商場更優惠？請說明理由．
【變式訓練8-1】峨眉山特級（靜心）竹葉青是竹葉青的一種中端產品，每年在采摘加工前，茶商們都會針對二級經銷商群體推出兩種預售方式，方式一：繳納5000元購買鉆石會員，二級經銷商可以1600元的價格購買；方式二：繳納2000元購買鉑金會員，二級經銷商可以1800元的價格購買．某竹葉青二級經銷商此次購買茶葉，按方式一購買茶葉的總費用為元，按方式二購買茶葉的總費用為元．
(1)請直接寫出，關于x的函數解析式；
(2)若按方式一購買茶葉的總費用和按方式二購買茶葉的總費用相同，求該二級經銷商此次購買茶葉的質量；
(3)此次二級經銷商購買茶葉的總預算為65000元，則按哪種方式購買可以獲得更多的茶葉？
【變式訓練8-2】為響應國家關于推動各級各類生產設備、服務設備更新和技術改造的號召，某公司計劃將辦公電腦全部更新為國產某品牌，市場調研發現，品牌的電腦單價比品牌電腦的單價少元，通過預算得知，用萬元購買品牌電腦比購買品牌電腦多臺．
(1)試求，兩種品牌電腦的單價分別是多少元；
(2)該公司計劃購買，兩種品牌的電腦一共臺，且購買品牌電腦的數量不少于品牌電腦的，試求出該公司費用最少的購買方案．
【變式訓練8-3】為健全高考考務工作制度，規范考試管理，保障高考的正常實施，維護高考的公平性、嚴肅性、權威性，按照教育部高考考務工作規定：高考只能在縣級及以上設立考區．因而我縣高考全部安排在祥云一中進行，執行統的考試操作流程和規則，確保考試公平和公正．據悉，今年祥云四中參加高考的學生及帶隊教師約人，經過研究，學校決定租用A、B兩種型號共輛客車作為交通工具將師生載至目的地．下表是租車公司提供給學校有關兩種型號客車的載客量和租金信息：（注：載客量指的是每輛客車最多可載該校師生的人數）
型號 載客量 租金單價
A 人/輛 元/輛
B 人/輛 元/輛
(1)設租用型號客車輛，租車總費用為元，求與的函數解析式及自變量x的取值范圍；
(2)請你幫忙設計出一種最省錢的租車方案，并求出最低費用．
【變式訓練8-4】某蔬菜加工廠承擔出口蔬菜加工任務，有一批蔬菜需要裝入某一規格的紙箱．供應這種紙箱有兩種方案可供選擇：
方案一：從紙箱廠購買，每個紙箱價格為4元．
方案二：由蔬菜加工廠租賃機器自己加工制作這種紙箱，機器租賃費按生產紙箱數收取．工廠需要一次性投入機器安裝費16000元，每加工一個紙箱還需成本費元．
(1)若需要這種規格的紙箱x個，請分別寫出兩種方案中所需費用y(元)與x(個)之間的函數表達式；
(2)在同一直角坐標系中作出它們的圖象；
(3)假設你是決策者，你認為應該選擇哪種方案？
【變式訓練8-5】為了響應“足球進校園”的號召，更好地開展足球運動，某學校計劃購買一批足球，已知購買4個A品牌足球和3個B品牌足球共需440元；購買2個A品牌足球和1個B品牌足球共需180元．
(1)求A，B兩種品牌足球的單價；
(2)若學校準備購買A，B兩種品牌的足球共60個，且B品牌足球數不少于A品牌足球數的2倍，設購買兩種品牌足球所需總費用為y元，A品牌足球x個，求y與x之間的函數關系式，并設計一種購買方案，使所需總費用最低，并求出最低總費用．
題型九：一次函數實際應用之最大利潤問題
【經典例題9】某山區不僅有美麗風光，也有許多令人喜愛的土特產，為實現脫貧奔小康，某村組織村民加工包裝土特產銷售給游客，以增加村民收入．已知某種土特產每袋成本10元，試銷階段每袋的銷售價（元）與該土特產的日銷售量（袋）之間的關系如表：
（元） 20 25 30 …
（袋） 20 15 10 …
若日銷售量是銷售價的一次函數，試求：
(1)日銷售量（袋）與銷售價（元）的函數關系式；
(2)假設后續銷售情況與試銷階段效果相同，要使這種土特產每日銷售的利潤最大，每袋的銷售價應定為多少元？每日銷售的最大利潤是多少元？
【變式訓練9-1】為了慶祝中華人民共和國成立75周年，某商場購進甲、乙兩種裝飾物對商場進行布置．已知每件甲種裝飾物的價格比每件乙種裝飾物的價格貴4元，用400元購買甲種裝飾物的件數恰好與用240元購買乙種裝飾物的件數相同．
(1)求該商場購進甲、乙兩種裝飾物的單價各是多少元；
(2)當商場裝飾完工后，發現還剩余甲種裝飾物和乙種裝飾物共400件，且購入成本不超過3000元．為了降低裝飾成本，商場決定將甲種裝飾物以每件13元，乙種裝飾物以每件8元的價格對外出售．如果將剩余的這400件裝飾物全都售完，剩余甲、乙裝飾物的數量分別為多少時，商場獲得的利潤最大？最大利潤是多少？
【變式訓練9-2】某玩具廠計劃生產一種玩具熊貓，每日最高產量為120只，且每日產出的產品全部售出已知生產x只玩具熊貓的支出成本為R（元），銷售收入為P（元），利潤為y（元），且R，P關于x的函數表達式分別為，．
(1)求y關于x的函數表達式，并畫出函數圖象．
(2)根據圖象解決下列問題：
①該玩具廠至少應生產多少只玩具，才能保證不虧損？
②當日產量為多少時，每日獲得的利潤為1750元？（提示：利潤=銷售收入-支出成本）
【變式訓練9-3】【任務】如何確定化橘紅銷售單價及如何進貨才能獲得最大利潤．
①化州某大藥房購進李橘園、寶橘園兩種型號的橘紅，進貨價分別是40元每克、65元每克．
②大藥房對寶橘園橘紅的標價是李橘園橘紅標價的2倍，若顧客分別用1000元按標價購進李橘園橘紅重量比寶橘園橘紅重量多10克．
③大藥房準備用不超過30000元購進兩園橘紅共500克，且從李橘園進貨不多于150克，它們都按標價銷售．
【問題解決】
(1)求李橘園、寶橘園兩種型號的橘紅的標價．
(2)探究李橘園、寶橘園兩種型號的橘紅的進貨方案一共有多少種？（注：進貨重量克取正整數）
(3)確定大藥房如何進貨才能獲得最大利潤？
【變式訓練9-4】某水產品市場管理部門規劃建造面積為的集貿大棚，大棚內設種類型和種類型的店面共80間，每間種類型的店面的平均面積為，月租為400元．每間種類型的店面的平均面積為，月租為360元，全部店面的建造面積不低于大棚總面積的，又不能超過大棚總面積的．
(1)試確定種類型的店面的數量范圍；
(2)通過了解業主的租賃意向得知，種類型店面的出租率為，種類型店面的出租率為．為使店面的總月租最高，應建造種類型的店面多少間？并求出最高租金．
【變式訓練9-5】無人機制造商“大疆創新科技”享譽全球．該公司旗下無人機配件銷售部現有和兩種配件，它們的進價和售價如表．用元可購進產品件和產品件．（利潤售價進價）
種類 種配件 種配件
進價（元/件）
售價（元/件）
(1)求種配件進價的值．
(2)若該配件銷售部購進種配件和種配件共件，據市場銷售分析，種配件進貨件數不低于種配件件數的倍．如何進貨才能使本次銷售獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？
題型十：一次函數實際應用之行程問題
【經典例題10】如圖，甲、乙兩地相距，現有一輛貨車從乙地出發，以的速度向丙地行駛．設（時）表示貨車行駛的時間，表示貨車與甲地的距離．
(1)寫出與之間的關系式，并判斷是否為的一次函數；
(2)當貨車行駛2.5小時的時候，貨車離甲地的距離是多少？
【變式訓練10-1】、兩地相距，甲、乙兩人從兩地出發相向而行，甲先出發．圖中，表示兩人離地的距離與時間的關系，結合圖象回答下列問題：
(1)表示乙離地的距離與時間關系圖象是 （填或）；
甲的速度是 ；
乙的速度是 ；
(2)甲出發多少小時兩人恰好相距？
【變式訓練10-2】快車和慢車均從甲地出發勻速行駛至乙地，在整個行駛過程中，快車和慢車離開甲地的距離與慢車行駛時間之間的函數關系如圖所示，根據圖象提供的信息解決下列問題．
(1)甲、乙兩地相距多少千米？
(2)分別求快車和慢車離開甲地的距離與的關系式
(3)快車出發后幾小時追上慢車？ 追上時距離乙地還有多遠？
(4)慢車出發幾小時，兩車相距？
【變式訓練10-2】小玲和弟弟小東分別從家和圖書館同時出發，沿同一條路相向而行．小玲剛開始跑步前行，中途改為步行，到達圖書館恰好用了．小東騎自行車以的速度直接回家，兩人離家的路程（單位：）與各自離開出發地的時間（單位：）之間的函數圖象如圖所示．
(1)家與圖書館之間的路程為多少米？小玲步行的速度為多少？
(2)求小東離家的路程關于時間的函數表達式，并寫出自變量的取值范圍；
(3)求兩人相遇時小東離家的距離．
【變式訓練10-4】碧麟灣位于陜西省榆林市神木市，是集觀光旅游、休閑度假、研學拓展、近郊游樂、康養度假等多種功能為一體的綜合性級景區，設水上、陸地、高空三大板塊．玥玥一家周末從家出發，前往碧麟灣景區游玩，如圖表示玥玥一家離家的距離（千米）與行駛時間（小時）之間的函數關系，請根據圖中信息，解答下列問題：
(1)求圖中段與之間的函數關系式；
(2)求玥玥一家行駛多久時，離家的距離為110千米？
【變式訓練10-5】在“看圖說故事”活動中，某學習小組設計了一個問題情境：小明從家跑步去體育場，在那里鍛煉了一陣后又走到文具店買圓規，然后散步走回家．小明離家的距離y（）與他所用的時間x（）的關系如圖所示：
(1)小明家離體育場的距離為______，小明跑步的平均速度為______；
(2)當時，求y關于x的函數表達式；
(3)當小明離家時，直接寫出他離開家所用的時間．
題型十一：一次函數實際應用之幾何問題
【經典例題11】如圖，直線與x，y軸分別交于A，B兩點．
(1)求點A的坐標．
(2)在x軸上有一點M，線段上有一點N，當是以為斜邊的等腰直角三角形時，求點M的坐標．
【變式訓練11-1】如圖，已知函數的圖象與軸交于點，一次函數的圖象經過點，與軸以及的圖象分別交于點，且點的坐標為．
(1)則_________，_________；
(2)關于的不等式的解集是_________；
(3)四邊形的面積_________；
(4)在平面內是否存在點，使得以點為頂點的三角形是以為腰的等腰直角三角形，若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【變式訓練11-2】如圖，已知一次函數的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B，點M為線段的中點．
(1)點M的坐標為____________________；
(2)y軸上有一動點Q，連接，求周長的最小值及此時點Q的坐標；
(3)在（2）的條件下，當的周長最小時，若x軸上有一點F，過點F作直線軸，交直線于點G，交直線于點H，若的長為3，求點F的坐標．
【變式訓練11-3】已知一次函數的圖象與軸，軸的交點分別為，．
(1)直接寫出點，點的坐標；
(2)求的面積；
(3)如果點在一次函數的圖象上，且的面積為3，求點的坐標．
【變式訓練11-4】已知一次函數的圖象經過點和點且點在正比例函數的圖象上．
(1)求一次函數的解析式；
(2)若點的坐標為，求的面積；
(3)點為軸上一動點，若，求點的坐標．
【變式訓練11-5】如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象與x軸交于點，與y軸交于點B，且與正比例函數的圖象交點為．求：
(1)求正比例函數與一次函數的關系式；
(2)在x軸上是否存在一點M使周長最小，若存在，求出點M的坐標；
(3)在x軸上求一點Q使為等腰三角形，請求出所有符合條件的點Q的坐標．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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