資源簡介

(共63張PPT)
第 4 章
4.3　對數
人教A版2019必修第一冊
4.3.2 對數的運算
學習目標
1.掌握積、商、冪的對數運算性質，理解其推導過程和成立的條件．
2.能熟練運用對數的運算性質進行化簡求值．
3.掌握換底公式及其推論．
4.能熟練運用對數的運算性質進行化簡求值．
目錄
CATALOG
01.對數的運算性質
03.題型強化訓練
02.利用對數的運算性質化簡、求值
04.小結及隨堂練習
01
對數的運算性質
4.3.2 對數的運算
導入新知
在引入對數之后，自然應研究對數的運算性質。你認為可以怎樣研究？
探究：
我們知道了對數與指數間的關系，能否利用指數冪運算性質得出相應的對數運算性質呢？
探究：
通過了對對數概念的學習，我們掌握了指數式和對數式的互化，那么我們能否利用指數冪運算性質，得出相應的對數運算性質呢？
如我們知道aman = am+n ，那么 m+n如何表示，能用對數式運算嗎？
根據指數和對數之間的關系，可得：
設 ， ，
所以：
這樣我們就得到了對數的一個運算性質：
同底對數相加，底數不變，真數相乘。
提問：你能根據指數的性質am÷an =am-n,(am)n =amn, 按照以上的方法推出對數的其它運算性質嗎？
同底對數相減，底數不變，
真數相除。
對數的運算性質：
同底對數相加,底數不變,真數相乘;
特別注意
同底對數相減,底數不變,真數相除。
logaM＋logaN
logaM－logaN
nlogaM
1
02
利用對數的運算性質化簡、求值
4.3.2 對數的運算
例3求下列各式的值
【答案】（1）4；（2）27；（3）-2；（4）2；（5）；（6）1
【知識點】指數冪的化簡、求值、對數的運算、運用換底公式化簡計算
【解析】
（1）直接根據指數冪的運算性質進行運算；
（2）直接根據指數冪的運算性質進行運算；
（3）直接根據對數的運算性質進行運算；
（4）先用換底公式化為同底的對數，再根據對數的運算性質進行運算；
（5）先用換底公式化為同底的對數，再根據對數的運算性質進行運算；
（6）直接根據換底公式進行運算．
數學史上，人們經過大量的努力，制作了常用對數表和自然對數表，只要通過查表就能求出任意正數的常用對數或自然對數．現在，利用計算工具，也可以直接求出任意正數的常用對數或自然對數．這樣，如果能將其他底的對數轉換為以10或e為底的對數，就能方便地求出這些對數．
探究：
根據對數的定義，你能用logca和logcb表示logab（其中a，c均大于0且不等于1，b大于0）嗎？
我們把上式叫做對數換底公式.
提問：你能用對數換底公式證明以下等式嗎？
（其中a,b,c均大于0且不等于1）
提問：你能用對數換底公式證明以下等式嗎？
（其中a,b,c均大于0且不等于1）
提問：你能用對數換底公式證明以下等式嗎？
（其中a,b,c均大于0且不等于1）
1
由此可得，大約經過7年，B地景區的游客人次就達到2001年的2倍．類似地，可以求出游客人次是2001年的3倍，4倍，…所需要的年數．
例5 盡管目前人類還無法準確預報地震，但科學家通過研究，已經對地震有所了解，例如，地震時釋放出的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級M之間的關系為
2011年3月11日，日本東北部海域發生里氏9.0級地震，它所釋放出來的能量是2008年5月12日我國汶川發生里氏8.0級地震的多少倍（精確到1）？
雖然里氏9.0級地震與里氏8.0級地震僅相差1級，但前者釋放出來的能量卻是后者的約32倍．
想一想，為什么兩次地震的里氏震級僅差1級，而釋放的能量卻相差那么多呢？
03
題型強化訓練
4.3.2 對數的運算
能力提升
題型一　對數運算性質的應用
能力提升
題型一　對數運算性質的應用
【感悟提升】　對數式化簡與求值的策略
“合”：將同底的兩對數的和(差)合并成積(商)的對數，即公式逆用．
“拆”：將積(商)的對數拆成同底的兩對數的和(差)，即公式的正用．
“湊”：將同底數的對數湊成特殊值，如利用lg2＋lg5＝1，進行化簡與求值．
能力提升
題型二　換底公式的應用
【答案】BCD
能力提升
題型二　換底公式的應用
能力提升
題型二　換底公式的應用
【感悟提升】利用換底公式進行化簡求值的原則和技巧
能力提升
題型三　對數運算的綜合應用
能力提升
題型三　對數運算的綜合應用
能力提升
題型三　對數運算的綜合應用
【感悟提升】
1．應用對數的運算性質解對數方程的三種方法
(1)定義法：解形如b＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的方程時，常借助對數的定義等價轉化為f(x)＝ab求解．
能力提升
題型三　對數運算的綜合應用
【感悟提升】
2．對數式、指數式綜合運算的技巧
(1)在對數式、指數式的互化運算中，要注意靈活運用定義、性質和運算法則，尤其要注意條件和結論之間的關系，進行正確的相互轉化．
(2)對于連等式可令其等于k(k>0)，然后將指數式用對數式表示，再由換底公式可將指數的倒數化為同底的對數，從而使問題得解．
能力提升
題型四　實際問題中的對數運算
能力提升
題型四　實際問題中的對數運算
能力提升
題型四　實際問題中的對數運算
【感悟提升】解決對數應用題的一般步驟
04
小結及隨堂練習
4.3.2 對數的運算
1.知識清單：(1)對數的運算性質．(2)對數運算性質的運用．(3)利用對數的運算性質化簡、求值．
2.方法歸納：
轉化法．
3.常見誤區：
要注意對數的運算性質的結構形式，易混淆，且不可自創運算法則．
1. 對數運算性質：
2. 對數換底公式：
3. 對數換底公式導出的三個性質：
作業
4.3.2 對數的運算
教科書第140 141頁習題4. 4第3、5、9、10、12、13題.
D
C
8．某地GDP的年平均增長率為6.5%，按此增長率，多少年后該地GDP會翻兩番？
10．酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為．為了保障交通安全，根據國家有關規定：100mL血液中酒精含量達到20～79mg的駕駛員即為酒后駕車，80mg及以上認定為醉酒駕車．假設某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1 mg/mL．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量會以每小時30%的速度減少，那么他至少經過幾個小時才能駕駛？
人教A版2019必修第一冊
THANKS
感謝您的聆聽恩施市第二中學校本課程 課型：新授課 編制人：馮仁橋 高一年級 班 姓名
（1） lg 5 100； （2） log2 47 25
4.3 4.3.2 對數的運算 導學案
【變式】求下列各式的值：
學習目標：1.掌握積、商、冪的對數運算性質，理解其推導過程和成立的條件．2.能熟練運用
對數的運算性質進行化簡求值．3.掌握換底公式及其推論．4.能熟練運用對數的運算性質進行 2 5 4
化簡求值． （1）83； （2）3333 ； （3） log2 0.25； （4） log2 20 log4 25；
重點：1.掌握積、商、冪的對數運算性質，理解其推導過程和成立的條件.2.能用換底公式進
行求值、化簡．
難點：1.理解和掌握對數的性質；2.掌握對數式與指數式的關系 ,學會對數式與指數式的互化
（5） log2 3 log27125； （6） log3 2 log2 5 log5 3.
一、 導入新知
同學們，數學運算的發展可謂是貫穿了整個人類進化史，人類的祖先，從數手
指開始，逐漸積累經驗，堆石子、數貝殼、樹枝、竹片，而后有刻痕計數、結繩計數
ln x
2 y
例4 用 lnx, ln y, ln z表示 ．
等，后來創造文字、數字及計數用具，如算盤、計算器等．從人們對天文、航天、航 3 z
海感興趣開始，發現數太大了，再多的手指頭也算不過來了，怎么辦？比如天文學家
x2 y 2 3 2 3 1 1
開普勒利用他的對數表簡化了行星軌道的復雜計算，對數被譽為“用縮短計算時間而 解： ln ln x y ln z ln x ln y ln z 2ln x ln y ln z3 z 2 3 ．
使天文學家延長壽命”，對整個科學的發展起到了重要作用．
已知 lg6＝a, lg15＝b，試用 a，b表示 lg24和 lg120.
一、對數的運算性質 【變式】
問題 1 將指數式M＝ap ＋，N＝aq化為對數式，結合指數運算性質MN＝apaq＝ap q能
否將其化為對數式？它們之間有何聯系(用一個等式表示)
例5 盡管目前人類還無法準確預報地震，但科學家通過研究，已經對地震有所
M ap
問題 2 －結合問題 1，若 ＝ ＝ap qq ，又能得到什么結論？N a 了解，例如，地震時釋放出的能量 E（單位：焦耳）與地震里氏震級M 之間的關系為
lg E 4.8 1.5M ．
問題 3 結合問題 1，若Mn＝(ap)n＝anp(n∈R)，又能有何結果？
2011年3月11日，日本東北部海域發生里氏9.0級地震，它所釋放出來的能量是
二、應用新知
2008年5月12日我國汶川發生里氏8.0級地震的多少倍（精確到1）？
例3 求下列各式的值：
第 1 頁 共 2 頁
恩施市第二中學校本課程 課型：新授課 編制人：馮仁橋 高一年級 班 姓名
【變式】科學家研究發現，地震時釋放出的能量 E（單位：焦耳）與地震里氏震級M A．5.2 B．6.6 C．7.1 D．8.3
之間的關系是 lgE 4.8 1.5M .據中國地震臺網測定，2022年 1月 8日，11時 24分在智利
練習（第 126頁）
中部沿岸近海發生 5.9級地震，1時 45分在中國青海海北州門源縣發生 6.9級地震，
E2
設智利中部沿岸近海地震所釋放的能量為 E1，門源縣地震所釋放的能量為E2，則 的 1．求下列各式的值：E1
近似值為（ ）
（1） log3(27 92)； （2） lg5 lg 2； （3） ln 3 ln
1
； （4）log3 5 log315．3
A．15 B．20 C．32 D．35
三、 能力提升
題型一 對數運算性質的應用
【練習 1】下列計算正確的是（ ） 2．用 lg x， lg y， lg z表示下列各式：
A． a3 2 a9 B． log2 6 log2 3 1 xy21 2 3 xy
3 x
1 1 （ ） lg(xyz) ； （ ） lg ； （ ） lg ； （4） lg ．2 2
C． z z y za 2 a 2 0 D． log3 4 2log3 4
題型二 換底公式的應用
【練習 2】(多選題）已知2x 3，3y 4，則（ ）
1 1
A． x 3 B． x y C． xy 2 D． 22 x y
題型三 對數運算的綜合應用 3．化簡下列各式：
3
1 3x 1
【例題 】若 f x a ln a
1 3x 3x 1
為偶函數，則 （ ）
（1） log2 3 log3 4 log4 5 log5 2 ； （2）2(log4 3 log8 3)(log3 2 log9 2)．
A．1 B 1．0 C． 1 D． 2
題型四 實際問題中的對數運算
【例題 4】一種放射性元素最初的質量為500g，按每年10%衰減．則這種放射性元素的
半衰期為（ ）年.（注：剩余質量為最初質量的一半，所需的時間叫做半衰期），（結
習題 4.3（P126--127）
果精確到0.1，已知 lg 2 0.3010， lg3 0.4771）
第 2 頁 共 2 頁

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