資源簡介

(共42張PPT)
第 4 章
4.2.1 指數函數的概念
人教A版2019必修第一冊
指數函數的概念
學習目標
1.理解指數函數的概念，了解對底數的限制條件的合理性.
2.了解指數增長型和指數衰減型在實際問題中的應用．
3.通過具體實例，了解指數函數的實際意義，理解指數函數的概念.
目錄
CATALOG
01.指數函數的概念
03.題型強化訓練
02.指數函數在實際問題中的應用
04.小結及隨堂練習
01
指數函數的概念
4.2.1 指數函數的概念
第1天，杰米支出1分錢，收入10萬元。
第2天，杰米支出2分錢，收入10萬元。
第3天，杰米支出4分錢，收入10萬元。
第10天，杰米支出512分錢(5.12元)，收入10萬元；共得100萬元。
指數的故事-與百萬富翁的交易
杰米是百萬富翁。一天，他碰到上一件奇怪的事。一個叫韋伯的人對他說：“我想和你訂個合同，我將在整整一個月中每天給你10萬元，而你第一天只需給我1分錢，以后你每天給我的錢是前一天的兩倍。”杰米說：“真的？你說話算數？”合同開始生效了，杰米欣喜若狂。
1
1×2
1×2×2
1×29
到了第20天，杰米共得200萬元，而韋伯才得5千多(219)元。
杰米想：要是合同訂兩三個月該多好！可從24天起，情況發生了轉變。
第24天，杰米支出8萬多(223)元，收入10萬元。
第28天，杰米支出134萬多(227)元，收入10萬元。
結果，杰米在一個月(31天)得到310萬元的同時，共給韋伯2100多萬元！杰米破產了。
一個人永遠賺不到認知之外的錢。憑運氣得來的錢，也會憑實力輸掉。
導入新知
指數的故事-折紙問題
導入新知
假設一層紙的厚度為0.1mm，
對折1次，共2層。
對折2次，共4層。
對折3次，共8層。
以此類推，對折24次，共_____層；厚度為1600多米；
21×2=22
21
22×2=23
224
對折39次，厚度達54975多千米，超過地球赤道長度；
對折42次，厚度達4398多萬千米，超過地球至月球的距離；
對折51次厚度達22億千米，超過地球至太陽的距離；
對折82次厚度為51113光年，超過銀河系半徑的長度。
不過，只是一個不符合實際的數學理論推理數字。
在現實生活中，一張紙究竟能折多少次呢？
美國德克薩斯州圣馬克中學師生們將一張長達1.3萬英尺(接近4km)的廁紙對折了13次，一舉打破了2002年創下的舊記錄——12次。
為了放下如此一長卷的廁紙，數學老師、折紙天才James Tanton和他的十五位學生借用了麻省理工學院長度達250米的無盡走廊(Infinite Corridor)。集體折騰了四個多小時，總算是大功告成。在這里折紙，主要是不用擔心被風吹散。
最終對折13次的廁紙已經有了213＝8192層，縮成了不怎么好看的一大團，而且無法長時間保持這種形狀。
指數的故事-國王與棋盤
導入新知
古印度有個叫錫塔的大臣發明了一種棋子，國王百玩不厭，決定重賞錫塔。
錫塔說：“陛下，我只要一點麥子。請您讓人將麥子放在我發明的棋盤的64個格子內，第1格放1粒，第2格放2粒，第3格放4粒，第4格放8粒，第5格放16粒……照這樣放下去，每格麥粒數是前1格的2倍，直到把64個棋格放滿就行。”
國王聽了哈哈大笑，他覺得錫塔這個人真是有趣，放著金銀財寶不要，反而提出這個“笨”要求，谷倉里的麥子多著呢，填完64個棋格實在是小意思。
便傳令糧食大臣：“答應錫塔的要求，現在就從糧庫
把麥子拉過來。”在場每個人都認為一小袋麥子就能
填滿棋盤上的十幾個方格，一些人甚至忍不住笑起來。
往第16格上放米粒時，就需要拿出1公斤的大米，
到了第20格時，則需要滿滿一推車的米。
若1000粒米有1g重，折算一下，第64格就需要放92 2337 2036噸米。
冪函數的概念
對于冪ax(a>0)，我們已經把指數的范圍拓展到了任意實數，通過函數性質的學習和對冪函數的研究，我們掌握了研究函數的一般方法：
背景
概念
圖像與性質
應用
這節課開始，我們將繼續研究其他類型的基本初等函數.
問題１　隨著中國經濟高速增長，人民生活水平不斷提高，旅游成了越來越多家庭的重要生活方式.由于旅游人數不斷增加，Ａ，Ｂ兩地景區自2001年起采取了不同的應對措施，Ａ地提高了景區門票價格，而Ｂ地則取消了景區門票．
下表給出了Ａ，Ｂ兩地景區2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量．
時間／年 Ａ地景區 Ｂ地景區 人次／萬次 年增加量／萬次 人次／萬次 年增加量／萬次
2001 600 278
2002 609 9 309 31
2003 620 11 344 35
2004 631 11 383 39
2005 641 10 427 44
2006 650 9 475 48
2007 661 11 528 60
2008 671 10 588 60
2009 681 10 655 67
2010 691 10 729 74
2011 702 11 811 82
2012 711 9 903 92
2013 721 10 1005 102
2014 732 11 1118 113
2015 743 11 1244 126
比較兩地景區游客人次的變化情況，你發現了怎樣的變化規律？
為了有利于觀察規律，根據表4.2-1，分別畫出A，B
兩地景區采取不同措施后的15年游客人次的圖象（圖4.2-1和圖4.2-2）．
為了便于觀察，可以先根據表格中的數據描點，然后用光滑的曲線將離散的點連起來。
觀察圖象和表格，可以發現，A地景區的游客人次近似于直線上升（線性增長），年增加量大致相等（約為10萬次）；B地景區的游客人次則是非線性增長，年增加量越來越大，但從圖象和年增加量都難以看出變化規律．
探究
我們知道，年增長量是對相鄰兩年的游客人次做減法得到的．能否通過對地景區每年的游客人次做其他運算發現游客人次的變化規律呢？請你試一試．
像這樣，增長率為常數的變化方式，我們稱為指數增長．因此，B地景區的游客人次近似于指數增長．
問題２ 當生物死亡后，它機體內原有的碳14含量會按確定的比率衰減（稱為衰減率），大約每經過5730年衰減為原來的一半，這個時間 稱為“半衰期”.按照上述變化規律，生物體內碳14含量與死亡年數之間有怎樣的關系？
設死亡生物體內碳14含量的年衰減率為p，把剛死亡的生物體內碳14含量看成1個單位，則：
··· ··· ··· ···
常數
這也是一個函數，其中其中底數是一個常數，指數x是自變量.
如果生物死亡年數為x，死亡生物體內碳14含量為y，那么:
如果用字母a代替上面兩式中的底數1.11和 ，那么都可以表示
為：y=ax的形式,其中指數x是自變量,底數a是一個大于0且不等于1的常量．
一般地，形如y=ax(a>0,且a≠1)的函數叫做指數函數，其中指數x是自變量，定義域為R.
①底數a為常數，a>0且a≠1；系數為1；
②指數x為自變量，定義域為___.
1.指數函數：形如y=ax(a>0且a≠1)的函數.
探究：指數函數定義中為什么規定a大于0且不等于1
R
③形如y=k·ax(k∈R且k≠1,a>0且a≠1)的函數屬于指數型函數. 如：y=－4x，y=3x+2=9·3x，
倍增模型
02
指數函數在實際
問題中的應用
4.2.1 指數函數的概念
【感悟提升】　求指數函數解析式的步驟
(1)設指數函數的解析式為f(x)＝ax(a>0，且a≠1)；
(2)利用已知條件求底數a；
(3)寫出指數函數的解析式．
例2 （1）在問題1中，如果平均每位游客出游一次可給當地帶來1000元門票之外的收入，A地景區的門票價格為150元，比較這15年間A，B兩地旅游收入變化情況．
（2）在問題2中，某生物死亡10000年后，它體內碳14的含量衰減為原來的百分之幾？
（2）在問題2中，某生物死亡10000年后，它體內碳14的含量衰減為原來的百分之幾？
所以，生物死亡10 000年后，它體內碳14含量衰減為原來的約30%
【感悟提升】　常見的幾類函數模型
(1)指數增長模型
設原有量為N，每次的增長率為p，則經過x次增長，該量增長到y，則y＝N(1＋p)x(x∈N)．
(2)指數減少模型
設原有量為N，每次的減少率為p，則經過x次減少，該量減少到y，則y＝N(1－p)x(x∈N)．
(3)指數型函數
把形如y＝kax(k≠0，a>0，且a≠1)的函數稱為指數型函數，這是非常有用的函數模型．
03
題型強化訓練
4.2.1 指數函數的概念
能力提升
題型一：指數函數的概念
【感悟提升】判斷指數函數的關鍵：
(1)指數函數的定義域是實數集R；
(2)指數函數的自變量必須位于指數的位置上，且指數位置只能有x這一項；
(3)底數a只能有一項，且其系數必須為1；
(4)底數是大于0且不等于1的常數，底數.a的范圍是a>0且a≠1
能力提升
題型二　指數函數的解析式及應用
【感悟提升】求指數函數解析式的步驟
(1)設指數函數的解析式為f(x)＝ax(a>0，且a≠1)；
(2)利用已知條件求底數a；
(3)寫出指數函數的解析式．
能力提升
題型三　指數型函數的實際應用
能力提升
題型三　指數型函數的實際應用
04
小結及隨堂練習
4.2.1 指數函數的概念
1.指數函數的概念：
一般地，形如y=ax(a>0,且a≠1)的函數叫做指數函數，其中指數x是自變量，定義域為R．
2.指數函數需要注意的幾個點：
①指數函數的定義域是實數集；
②自變量是指數，且指數位置只能有這一項；
③底數只能有一項，且其系數必須為1；
④底數的范圍是且.
(3)冪函數與指數函數的區別.
作業
1.課本P115的練習1——3題；
2.課本P119習題4.2的練習2、4、5、7、8題.
4.2.1 指數函數的概念
C
3．在某個時期，某湖泊中的藍藻每天以6.25%的增長率呈指數增長，那么經過30天，該湖泊的藍藻會變為原來的多少倍？（可以使用計算工具）
所以該湖泊的藍藻變為原來的6.16倍．
人教A版2019必修第一冊
THANKS
感謝您的聆聽恩施市第二中學校本課程 課型：新授課 編制人：馮仁橋 高一年級 班 姓名
4.2.1 指數函數的概念 導學案 【變式 2】按復利計算利息的一種儲蓄，本金為 a（單位：元），每期利率為 r，本利
學習目標：理解指數函數的概念，了解對底數的限制條件的合理性.了解指數增長型 和為 y（單位：元），存期數為 x.
和指數衰減型在實際問題中的應用．通過具體實例，了解指數函數的實際意義，理解 （1）寫出本利和 y 關于存期數 x 的函數解析式；
指數函數的概念. （2）如果存入本金 1000元，每期利率為 2.25%，試計算 5期后的本利和.
重點： 理解指數函數的概念與意義，掌握指數函數的定義域、值域.
難點： 理解指數函數增長變化迅速的特點.、；指數增長（衰減）規律的發現，用函
二、 能力提升
數圖象和指數運算的方法研究指數函數.
P111 問題1 比較兩地景區游客人次的變化情況，你發現了怎樣的變化規律？ 題型一 指數函數的概念
2
【練習 1】函數 y a 3a 3 ax是指數函數，則有（ ）
2 a 1 a 1 a 1問題 當生物死亡后，它機體內原有的碳14含量會按確定的比率衰減（稱為衰 A． 或a 2 B． C．a 2 D． ，且a 2
題型二 指數函數的解析式及應用
減率），大約每經過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”．按照上述變
【練習 2】若指數函數 f x 的圖象經過點 2,9 ，求 f x ．
化規律，生物體內碳14含量與死亡年數之間有怎樣的關系？
題型三 指數型函數的實際應用
一、應用新知 【練習 3】我國工農業總產值從1997年到2017年的20年間翻了兩番，設平均每年的增
1 f (x) ax (a 0 長率為
x，則有（ ）
例 已知指數函數 ，且a 1)， f (3) ，求 f (0)， f (1)， f ( 3)的值．
19 20 20 20
x
【變式】已知函數 f (x) a b(a 0
A． 1 x 4 B． 1 x 3 C． 1 x 2 D． 1 x 4
，且 a 1），其圖象像經過點（-1，5），（0，4），則 f ( 2)
的值為 . 三、總結
例2 （1）在問題1中，如果平均每位游客出游一次可給當地帶來1000元門票之外
1.指數函數的概念：
的收入，A地景區的門票價格為150元，比較這15年間A，B兩地旅游收入變化情況．
一般地，函數 f(x)＝ax(a>0，且 a≠1)叫做指數函數，其中指數 x是自變量，
（2）在問題2中，某生物死亡10000年后，它體內碳14的含量衰減為原來的百分之幾？
定義域是 R.
2.指數函數需要注意的幾個點：
①指數函數的定義域是實數集 R；②自變量是指數 x，且指數位置只能有 x這一項；
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恩施市第二中學校本課程 課型：新授課 編制人：馮仁橋 高一年級 班 姓名
③底數 a只能有一項，且其系數必須為 1；④底數 a的范圍是 a>0且 a≠1. 練習（第115頁）
(3)冪函數與指數函數的區別. 1．下列函數中，有可能表示指數函數的是（ ）
2．已知函數 y f (x), x R ，且 f (0) 3, f (0.5) 2, f (1) 2, , f (0.5n) 2, n N ，求函
f (0) f (0.2) f (0.5(n 1))
數 y f (x)的一個解析式．
3．在某個時期，某湖泊中的藍藻每天以6.25%的增長率呈指數增長，那么經過30天，
該湖泊的藍藻會變為原來的多少倍？（可以使用計算工具）
四、作業設計
1.課本 P115的練習 1,2,3.題；
2.完成教材第 119頁習題 4. 2第 2題，第 4題.
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