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專題四　代數推理題(2024年新增題型)
人教版七年級下冊數學課本第58頁的“閱讀與思考”:為什么說不是有理數
(1)【閱讀與思考】
假設是有理數,那么存在兩個互質的正整數p和q,使得=,
兩邊平方得2=,
即p2=　　　　.①
故p2是偶數,因為只有偶數的平方才是偶數,所以p也是偶數.
設p=2s,代入①中,得　　　　,
即q2=　　　　,
所以q也是偶數,則p和q都是偶數,不互質,這與假設p和q互質矛盾.
這個矛盾說明,不能寫成分數的形式,即不是有理數.
(2)【運用并解決】
類比上述的閱讀與思考,推理說明不是有理數.
1.數學興趣小組開展探究活動,研究了“正整數N能否表示為x2-y2(x,y均為自然數)”的問題.
(1)指導教師將學生的發現進行整理,部分信息如下(n為正整數):
N 奇數 4的倍數
表示結果 1=12-02 3=22-12 5=32-22 7=42-32 9=52-42 …… 4=22-02 8=32-12 12=42-22 16=52-32 20=62-42 ……
一般結論 2n-1=n2-(n-1)2 4n=　　　　
按上表規律,完成下列問題:
①24=(　　　　)2-(　　　　)2;
②4n=　　　　.
(2)興趣小組還猜測:像2,6,10,14,…這些形如4n-2(n為正整數)的正整數N不能表示為x2-y2(x,y均為自然數).師生一起研討,分析過程如下:
假設4n-2=x2-y2,其中x,y均為自然數. 分下列三種情形分析: ①若x,y均為偶數,設x=2k,y=2m,其中k,m均為自然數,則x2-y2=(2k)2-(2m)2=4(k2-m2)為4的倍數,而4n-2不是4的倍數,矛盾.故x,y不可能均為偶數; ②若x,y均為奇數,設x=2k+1,y=2m+1,其中k,m均為自然數, 則x2-y2=(2k+1)2-(2m+1)2=　　　　為4的倍數,而4n-2不是4的倍數,矛盾.故x,y不可能均為奇數; ③若x,y一個是奇數一個是偶數,則x2-y2為奇數. 而4n-2是偶數,矛盾.故x,y不可能一個是奇數一個是偶數. 由①②③可知,猜測正確.
閱讀以上內容,請在情形②的橫線上填寫所缺內容.
用代數推理的方法證明下列兩個結論:
(1)設是一個四位數,若a+b+c+d可以被3整除,則這個數可以被3整除.
(2)已知函數y=x2.求證:當x>0時,y隨x的增大而增大.
2.對于任意一個三位正整數,十位上的數字減去個位上的數字之差恰好等于百位上的數字,則稱這個三位數為“極差數”.例如:對于三位數451,5-1=4,則451是“極差數”;對于三位數110,1-0=1,則110是“極差數”.求證:任意一個“極差數”一定能被11整除.
3.一個十位上的數字不為0的三位數m,若將m的百位數字與十位數字相加,所得和的個位數字放在m的個位數字右邊,與m一起組成一個新的四位數,則把這個新四位數稱為m的“生成數”.若再將m的“生成數”的任意一個數位上的數字去掉,可以得到四個三位數,則把這四個三位數之和記為S(m).例如:m=558,∵5+5=10,∴558的“生成數”是5580.將5580的任意一個數位上的數字去掉后得到的四個三位數是580,580,550,558,則S(m)=580+580+550+558=2268.
(1)寫出123的“生成數”,并求S(123)的值.
(2)說明S(m)一定能被3整除.
參考答案
例1　解析:(1)2q2;4s2=2q2;2s2.
提示:假設是有理數,那么存在兩個互質的正整數p和q,使得=,
兩邊平方得2=,
即p2=2q2.①
故p2是偶數,因為只有偶數的平方才是偶數,所以p也是偶數.
設p=2s,代入①中,得4s2=2q2,
即q2=2s2.
所以q也是偶數,則p和q都是偶數,不互質,這與假設p和q互質矛盾.
這個矛盾說明,不能寫成分數的形式,即不是有理數.
(2)假設是有理數,那么存在兩個互質的正整數p和q,使得=,
兩邊立方得2=,
即p3=2q3.①
故p3是偶數,因為只有偶數的立方才是偶數,所以p也是偶數.
設p=2s,代入①中,得8s3=2q3.
即q3=4s3,
所以q也是偶數,則p和q都是偶數,不互質,這與假設p和q互質矛盾.
這個矛盾說明,不能寫成分數的形式,即不是有理數.
針對訓練　1.解析:(1)①7;5.
②(n+1)2-(n-1)2.
(2)4(k2-m2+k-m).
例2　解析:(1)=1000a+100b+10c+d
=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d)
=3(333a+33b+3c)+(a+b+c+d).
顯然3(333a+33b+3c)能被3整除,因此,如果(a+b+c+d)能被3整除,那么就能被3整除.
(2)設x1>x2>0,則y1=,y2=,
y1-y2=-=(x1+x2)(x1-x2).
∵x1>x2>0,
∴x1+x2>0,x1-x2>0,
∴(x1+x2)(x1-x2)>0,
∴y1>y2,即當x>0時,y隨x的增大而增大.
針對訓練　2.證明:設任意一個“極差數”的百位數字是a,十位數字是b,個位數字是c,
∵a=b-c,
∴100a+10b+c=100b-100c+10b+c=110b-99c=11(10b-9c),
∴100a+10b+c能被11整除,
∴任意一個“極差數”一定能被11整除
針對訓練　3.解析:(1)依題意123的“生成數”為1233,
得另四個三位數:233,133,123,123,
∴S(123)=233+133+123+123=612.
(2)設m的百位數字、十位數字、個位數字分別為a,b,c(都是整數),
由題意得2≤a+b≤18.
當2≤a+b≤9時,
由m的“生成數”得到四個三位數為100b+10c+a+b,100a+10c+a+b,100a+10b+a+b,100a+10b+c,
∴S(m)=303a+123b+21c=3(101a+41b+7c),
即S(m)能被3整除.
當10≤a+b≤18時,由m的“生成數”得到四個三位數為100b+10c+a+b-10,100a+10c+a+b-10,100a+10b+a+b-10,100a+10b+c,
∴S(m)=303a+123b+21c-30,
即S(m)=3(101a+41b+7c-10),
∴S(m)也能被3整除.
綜上所述,S(m)一定能被3整除.

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