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專題三　閱讀與思考
閱讀與思考
下面是博學小組研究性學習報告的部分內容,請認真閱讀,并完成相應任務.
關于“等邊半正多邊形”的研究報告 博學小組 研究對象: 等邊半正多邊形 研究思路: 類比三角形、四邊形,按“概念-性質-判定”的路徑,由一般到特殊進行研究. 研究方法: 觀察(測量、實驗)-猜想-推理證明 研究內容: 【一般概念】對于一個凸多邊形(邊數為偶數),若其各邊都相等,且相間的角相等、 相鄰的角不相等,我們稱這個凸多邊形為等邊半正多邊形. 如圖1,我們學習過的菱形(正方形除外)就是等邊半正四邊形, 類似地,還有等邊半正六邊形、等邊半正八邊形…… 【特例研究】根據等邊半正多邊形的定義,對等邊半正六邊形研究如下: 概念理解: 如圖2,如果六邊形ABCDEF是等邊半正六邊形,那么AB=BC=CD=DE=EF=FA,∠A=∠C=∠E,∠B=∠D=∠F,且∠A≠∠B. 性質探索: 根據定義,探索等邊半正六邊形的性質,得到如下結論: 內角:等邊半正六邊形相鄰兩個內角的和為▲°. 對角線:……
任務:
(1)直接寫出研究報告中“▲”處空缺的內容:　　　　.
(2)如圖3,六邊形ABCDEF是等邊半正六邊形.連接對角線AD,猜想∠BAD與∠FAD的數量關系,并說明理由.
(3)如圖4,△ACE是正三角形,☉O是它的外接圓.請在圖4中作一個等邊半正六邊形ABCDEF.(要求:尺規作圖,保留作圖痕跡,不寫作法)
1.閱讀材料:
如圖1,四邊形ABCD是矩形,△AEF是等腰直角三角形,記∠BAE為α,∠FAD為β,若tan α=,則tanβ=.
圖1
證明:設BE=k.
∵tan α=,∴AB=2k.
易證△AEB≌△EFC(AAS),∴EC=2k,CF=k,
∴FD=k,AD=3k,∴tan β===.
若α+β=45°,則當tan α=時,tan β=,
同理,若α+β=45°,則當tan α=時,tan β=.
根據上述材料,完成下列問題:
如圖2,直線y=3x-9與反比例函數y=(x>0)的圖象交于點A,與x軸交于點B.將直線AB繞點A順時針旋轉45°后的直線與y軸交于點E,過點A作AM⊥x軸于點M,過點A作AN⊥y軸于點N,已知OA=5.
圖2
(1)求反比例函數的解析式.
(2)求tan∠BAM,tan∠NAE的值.
(3)求直線AE的解析式.
2.閱讀與思考
數學是一個不斷觀察,不斷歸納和不斷思考的過程.下面是小明五一游玩后,寫在日記中的一個數學小片段. 圖1為某游樂場摩天輪.五一休息之際,小明媽媽帶著小明和小剛乘坐摩天輪,圖2和圖3是摩天輪的平面示意圖,小明乘坐A車廂,小剛乘坐B車廂,∠AOB=90°,媽媽站在摩天輪正下方C處(人的身高忽略不計),OC⊥MN于點C.當摩天輪轉動后到達圖2的位置,媽媽發現,A,B兩處車廂剛好在同一視線上,此時仰角∠ACN=60°;當摩天輪轉動到圖3的位置時,媽媽看小明的視線CA剛好與☉O相切于點A,且CA平分∠OCM.點M,N,O,A,B,C在同一平面內. 圖1 圖2 圖3 在圖2中,小明發現OC=OB. 理由:如圖,過點O作OH⊥AB于點H, ∴∠OHB=90°. ∵OA=OB,∠OHC=90°,∴AH=BH(依據1). ∵∠AOB=90°,∴OH=AB(依據2). 在Rt△OAB中,由勾股定理,得AB==OB. ∵OC⊥MN于點C,∠NCA=60°, ∴∠OCA=∠NCO-∠NCA=30°. 在Rt△OCH中,sin∠OCH=, ∴OH=OC,∴OC=AB,∴OC=OB.
(1)任務一:直接寫出小明推理中的依據1和依據2.
(2)任務二:若摩天輪的半徑為80 m,求圖3中小明與媽媽之間的距離AC.
參考答案
例　解析:(1)240.
(2)∠BAD=∠FAD.
理由:如圖1,連接BD,FD.
∵六邊形ABCDEF是等邊半正六邊形,
∴AB=BC=CD=DE=EF=FA,∠C=∠E,
∴△BCD≌△FED,∴BD=FD.
在△ABD和△AFD 中,
∴△BAD≌△FAD,∴∠BAD=∠FAD.
(3)答案不唯一,
作法一(如圖2):
作法二(如圖3):
如圖,六邊形ABCDEF即所求.
針對訓練　1.解析:(1)設A(t,3t-9),∴OM=t,AM=3t-9.
∵OA=5,∴t2+(3t-9)2=52,解得t=4或t=1.4,
∴A(4,3)或(1.4,-4.8)(此時A在第四象限,不符合題意,舍去),
把A(4,3)代入y=(x>0),得3=,解得m=12,
∴反比例函數的解析式為y=(x>0).
(2)在y=3x-9中,令y=0,得0=3x-9,解得x=3,∴B(3,0),∴OB=3.
由(1)知A(4,3),∴OM=4,AM=3,
∴BM=OM-OB=4-3=1,
∴tan∠BAM==.
∵∠ANO=∠NOM=∠OMA=90°,∴∠MAN=90°.
∵∠BAE=45°,∴∠BAM+∠NAE=45°.
由若α+β=45°,當tan α=時,則tan β=可得tan∠NAE=.
(3)由(2)知tan∠NAE=,∴=.
∵A(4,3),∴AN=4,ON=3,∴=,∴NE=2,
∴OE=ON-NE=3-2=1,∴E(0,1).
設直線AE的解析式為y=kx+b.
把A(4,3),E(0,1)代入,得解得
∴直線AE的解析式為y=x+1.
針對訓練　2.解析:(1)依據1:垂徑定理.
依據2:直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.
(2)如圖,連接AC.
∵AC與☉O相切于點A,∴∠OAC=90°.
∵OC⊥MN,∴∠OCM=90°.
∵CA平分∠OCM,
∴∠OCA=ACM=45°,
∴∠AOC=45°,∴AC=OA=80 m,
∴小明與媽媽之間的距離AC是80 m.

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