資源簡介

類型一　與切線相關的證明與計算
(2024·龍巖模擬)如圖,在銳角∠MON內部取一點A,過點A分別作AB⊥OM于點B,作AC⊥ON于點C,以AB為直徑作☉P,CA的延長線與☉P交于點D,連接BD.
(1)求證:∠MON+∠ABD=90°.
(2)若OB=BD,點D在OP的延長線上,求證:ON是☉P的切線.
(3)當tan∠MON=1時,連接OA,若CP⊥OA于點F,求的值.
1.如圖,AB是☉O的直徑,P是弦AC上一動點(不與點A,C重合),過點P作PE⊥AB,垂足為E,射線EP交弧AC于點F,交過點C的切線于點D.
(1)求證:DC=DP.
(2)若∠CAB=30°,AB=4,F是弧AC的中點,求CP的長.
2.如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的☉O分別交AC,BC于點D,E,點F在AC的延長線上,且BF是☉O的切線.
(1)求證:∠BAC=2∠CBF.
(2)若☉O的半徑為5,sin∠CBF=,求CD的長.
類型二　圓的綜合探究
(2024·福建)如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,以AB為直徑的☉O交BC于
點D,AE⊥OC,垂足為E,BE的延長線交于點F.
(1)求的值.
(2)求證:△AEB∽△BEC.
(3)求證:AD與EF互相平分.
3.(原創)已知△ABC內接于☉O,D是的中點,連接AD,CD,BD,AD與BC交于點P.
　 　 　
圖1 圖2
(1)如圖1,若∠DBC=28°,∠ACB=74°,求∠APB和∠ABC的度數.
(2)如圖2,當AB為☉O的直徑時,過點D的切線與AB的延長線交于點E,若CD∥AB,求∠BDE的度數.
4.已知四邊形ABCD內接于☉O,AC⊥BD,垂足為E,CF⊥AB,垂足為F,交BD于點G,連接AG.
　 　
圖1 圖2
(1)求證:CG=CD.
(2)如圖1,若AG=4,BC=10,求☉O的半徑.
(3)如圖2,連接DF,交AC于點H,若∠ABD=30°,CH=6,試判斷+是不是定值.若是,求出該定值;若不是,說明理由.
5.如圖,AB是☉O的直徑,C,D為☉O上不同于A,B的兩點,并且點C,D位于直徑AB的兩側,CA=CD.
　 　 　
圖1 圖2
(1)如圖1,連接BD,求證:∠ABD=2∠BDC.
(2)如圖2,AB,CD交于點E,過點E作EF⊥DB于點F,延長FE交AC于點M,求證:CE=CM.
(3)在(2)的條件下,若tan∠CDB=,EB=5,求線段CE的長.
6.【問題呈現】阿基米德折弦定理:阿基米德(Archimedes,公元前287-公元前212年,古希臘)是有史以來最偉大的數學家之一,他與牛頓、高斯并稱為三大數學王子.如圖1,AB和BC是☉O的兩條弦(即折線ABC是圓的一條折弦),BC>AB,M是的中點,則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點,即CD=DB+BA.下面是運用“截長法”證明CD=DB+BA的部分證明過程.
證明:如圖2,在CD上截取CG=AB,連接MA、MB、MC和MG.
圖2
∵M是的中點,∴MA=MC.
又∵∠A=∠C,BA=GC,
∴△MAB≌△MCG,∴MB=MG.
又∵MD⊥BC,∴BD=DG,
∴AB+BD=CG+DG,即CD=DB+BA.
【理解運用】如圖1,AB、BC是☉O的兩條弦,AB=4,BC=6,M是的中點,MD⊥BC于點D,則BD的長為 .
圖1
【針對訓練探究】如圖3,若點M是的中點,【問題呈現】中的其他條件不變,判斷CD、DB與BA之間存在怎樣的數量關系,并加以證明.
圖3
【實踐應用】如圖4,BC是☉O的直徑,A為圓上一定點,D為圓上一動點,且滿足∠DAC=45°,若AB=6,☉O的半徑為5,則AD的長為 .
圖4
參考答案
例1　解析:(1)證明:∵AB是☉P的直徑,
∴∠ADB=90°,即AD⊥BD.
∵CD⊥ON,
∴BD∥ON,
∴∠MON=∠MBD.
∵AB⊥OM,
∴∠ABD+∠MBD=90°,
∴∠MON+∠ABD=90°.
(2)證明:如圖1,連接OD,則點P在OD上,過點P作PE⊥ON于點E.
∵OB=BD,
∴∠1=∠2,
∴∠MBD=∠1+∠2=2∠1.
由(1)可知∠MON=∠MBD=2∠1,
∴OP平分∠MON.
∵PE⊥ON,PB⊥OM,
∴PE=PB,
∴ON是☉P的切線.
(3)解法一:如圖2,過點P作PH⊥AD于點H,過點B作BR⊥ON于點R,
則AH=DH,∠PHC=∠CRB=90°.
設AH=x,AC=y.
由(1)得∠OCD=∠CDB=90°,
∠COB=∠BAD,
∴四邊形CDBR是矩形.
∴BR=CD=
2x+y.
∵tan∠MON=1,
∴tan∠PAH=1,
∴PH=x,BD=CR=2x,OR=BR=2x+y.
∵CP⊥OA于點F,
∴∠CFO=∠PHC=90°,
∴∠3+∠5=90°.
∵AC⊥OC,
∴∠4+∠5=90°,
∴∠3=∠4,
∴△OCA∽△CHP,
∴=,即=,
∴y=2x,
∴OA===2x,
CP===x,
∴CF===x,
∴PF=x,∴=.
解法二:∵∠ACO=∠AFC=90°,
cos∠CAO==,∴AC2=AF·AO.
∵∠ABO=∠AFP=90°,
cos∠BAO==,∴AP·AB=AF·AO,
∴AC2=AP·AB.
∵AB=2AP,∴AC2=2AP2,∴AC=AP.
如圖3,過點P作PH⊥AD于點H.
設PA=r,AC=r,
∵tan∠MON=1,∴∠MON=45°.
由(1)可知∠BAD=45°,在Rt△APH中,AH=PH=r,
∴CH=AC+AH=r,PC==r.
∵△CAF∽△CPH,
∴=,∴=,CF=r,
PF=CP-CF=r-r=r,
∴==.
針對訓練　1.解析:
(1)證明:如圖,連接OC.
∵DC切☉O于點C,∴半徑OC⊥DC,∴∠DCP+∠ACO=90°.
∵PE⊥AB,
∴∠OAC+∠APE=90°.
∵∠DPC=∠APE,∴∠OAC+∠DPC=90°.
∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,
∴∠DCP=∠DPC,∴CD=PD.
(2)如圖,連接OF,CF.
∵∠CAB=30°,∴∠BOC=2∠CAB=60°,
∴∠AOC=120°.
∵F是的中點,∴∠FOC=∠FOA=60°.
∵OF=OC,∴△OFC是等邊三角形,∴FC=OC=2.
∵∠APE=90°-∠BAC=60°,∴∠DPC=∠APE=60°.
∵DP=DC,∴△DPC是等邊三角形.
∵∠CFO=∠AOF=60°,∴CF∥BE.
∵BE⊥DE,∴CF⊥DP.
∵sin∠CPF==,FC=2,∴PC=.
針對訓練　2.解析:
(1)證明:如圖,連接AE.
∵AB為☉O的直徑,∴∠AEB=90°,∴∠BAE+∠ABE=90°.
∵AB=AC,∴∠BAE=∠CAE=∠BAC.
∵BF是☉O的切線,∴∠CBF+∠ABE=90°,
∴∠CBF=∠BAE=∠BAC,∴∠BAC=2∠CBF.
(2)如圖,連接BD.
∵AB=AC=2OB=10,sin∠CBF=,
∴sin∠BAE=,∴BE=4,∴BC=2BE=8.
設CD=x,則AD=10-x.
∵AB是☉O的直徑,∴∠ADB=90°,∴∠BDC=90°,
∴82-x2=102-(10-x)2,解得x=,∴CD=.
例2　解析:(1)∵AB=AC,且AB是☉O的直徑,
∴AC=2AO,
∵∠BAC=90°,
在Rt△AOC 中,tan∠AOC==2.
∵AE⊥OC,
在Rt△AOE 中,tan∠AOC=,
∴=2,
∴=.
(2)證明:如圖1,過點B作 BM∥AE,交EO延長線于點M,
∴∠BAE=∠ABM,∠AEO=∠BMO=90°.
∵AO=BO,
∴△AOE≌△BOM(AAS),
∴AE=BM,OE=OM.
∵=,
∴BM=2OE=EM,
∴∠MEB=∠MBE=45°,
∠AEB=∠AEO+∠MEB=135°,
∠BEC=180°-∠MEB=135°,
∴∠AEB=∠BEC.
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠ABC=45°,
∴∠ABM=∠CBE,
∴∠BAE=∠CBE,
∴△AEB∽△BEC.
(3)證明:如圖2,連接DE,DF.
∵AB是☉O的直徑,
∴∠ADB=∠AFB=90°,AB=2AO.
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴BC=2BD,∠DAB=45°.
由(2)知,△AEB∽△BEC,
===,∠EAO=∠EBD,
∴△AOE∽△BDE,
∴∠BED=∠AEO=90°,
∴∠DEF=90°,
∴∠AFB=∠DEF,
∴AF∥DE,
由(2)知,∠AEB=135°,
∴∠AEF=180°-∠AEB=45°.
∵∠DFB=∠DAB=45°,
∴∠DFB=∠AEF,
∴AE∥FD,
∴四邊形AEDF是平行四邊形,
∴AD與EF互相平分.
針對訓練　3.解析:(1)∵∠DBC=28°,∴∠CAD=28°,
∴∠APB=∠CAD+∠ACB=28°+74°=102°.
∵D是的中點,∴=,
∴∠DAB=∠CBD=28°.
在△ABP中,∠DAB=28°,∠APB=102°,
∴∠ABC=180°-∠DAB-∠APB=50°,
∴∠APB=102°,∠ABC=50°.
(2)如圖,連接OD.
∵CD∥AB,
∴∠DCB=∠ABC.
∵D是的中點,
∴=,∴∠DCB=∠DBC=∠DAB.
∵AB為☉O的直徑,∴∠ADB=90°,
∴∠DAB+∠ABC+∠DBC=90°,∴∠DAO=30°.
∵DE為☉O的切線,∴OD⊥DE,
∴∠BDE+∠ODB=90°.
∵∠ADO+∠ODB=90°,∴∠BDE=∠ADO.
∵OD=OA,∴∠ADO=∠DAO,
∴∠BDE=∠DAO=30°.
針對訓練　4.解析:(1)證明:如圖1.
圖1
∵AC⊥BD,CF⊥AB,
∴∠AEB=∠AFC=90°,
∴∠2+∠BAC=90°,∠1+∠BAC=90°,
∴∠1=∠2.
∵∠1=∠3,
∴∠2=∠3.
∵∠DEC=∠GEC=90°,
∴∠3+∠CDE=90°,∠2+∠CGE=90°,
∴∠CDE=∠CGE,
∴CG=CD.
(2)如圖2,連接CO并延長交☉O于點Q,連接BQ,
圖2
由(1)知,CG=CD,∠2=∠3,
∴AC是DG的中垂線,
∴AG=AD.
∵AC⊥BD,
∴∠CED=90°,
∴∠CDE+∠ECD=90°.
∵CQ為☉O的直徑,
∴∠CBQ=90°,
∴∠CQB+∠QCB=90°.
∵∠CQB=∠CDB,
∴∠QCB=∠3,
∴BQ=AD,
∴BQ=AD=AG=4.
在Rt△CQB中,根據勾股定理得CQ==2,
∴☉O的半徑為.
(3)+的值是定值.
如圖3,過點H作HM∥CD交CF于點M,
圖3
∴∠CHM=∠3.
由(1)知,∠2=∠3,
∴∠CHM=∠2,
∴CM=HM.
∵HM∥CD,
∴△FMH∽△FCD,
∴==.
∵+==1,
∴+=1,
∴+=,
過點M作MN⊥CH于點N,則CN=CH=3.
在Rt△CMN中,cos∠2==.
∵∠ABD=30°,
∴∠1=∠2=∠3=30°,
∴CM==2,
∴+=.
針對訓練　5.解析:(1)證明:如圖1,連接OC,OD.
圖1
在△OCA和△OCD中,
∴△OCA≌△OCD(SSS),
∴∠ACO=∠DCO.
∵OA=OC,
∴∠A=∠ACO.
∵∠A=∠CDB,
∴∠CDB=∠OCD,
∴OC∥DB,
∴∠ABD=∠BOC.
∵∠BOC=2∠BDC,
∴∠ABD=2∠BDC.
(2)證明:如圖2,連接AD.
圖2
∵MF⊥BD,
∴∠MFB=90°.
∵AB是☉O的直徑,
∴∠ADB=90°,
∴∠EFB=∠ADB,
∴MF∥AD,
∴∠CME=∠CAD,∠CEM=∠CDA.
∵CA=CD,
∴∠CAD=∠CDA,
∴∠CME=∠CEM,
∴CM=CE.
(3)如圖3,連接AD,BC,CO,延長CO交AD于點H,
圖3
由(1)知,∠ACO=∠DCO.
∵CA=CD,
∴CH⊥AD,AH=DH.
∵∠CDB=∠CAO=∠ACH,
∴tan∠CDB=tan∠CAO=
tan∠ACH=,設BC=2a,則AC=4a,AB=2a,AH=a,CH=a,
∴OH=CH-OC=a,
∴tan∠OAH===.
∵EF∥AD,
∴∠BEF=∠OAH,
∴tan∠BEF=.
∵EB=5,
∴BF=3,EF=4.
∵tan∠EDF==,
∴DF=8,DE=4,BD=11,
∴AD=×11=,AB=×11=,
∴AE=AB-EB=.
∵∠ECB=∠EAD,∠EBC=∠EDA,
∴△ECB∽△EAD,
∴=,
∴=,
∴CE=.
針對訓練　6.解析:【理解運用】由題意可得CD=DB+BA,即CD=6-CD+AB,
∴CD=6-CD+4,∴CD=5,
∴BD=BC-CD=6-5=1.
故答案為1.
【針對訓練探究】DB=CD+BA.
證明:如圖1,在DB上截取BG=BA,連接MA,MB,MC,MG.
圖1
∵M是弧AC的中點,∴=,∴AM=MC,∠MBA=∠MBG.
∵MB=MB,∴△MAB≌△MGB(SAS),∴MA=MG,∴MC=MG.
∵DM⊥BC,∴DC=DG,∴AB+DC=BG+DG,即DB=CD+BA.
【實踐應用】
如圖2,當點D1在BC下方時,過點D1作D1G1⊥AC于點G1.
圖2
∵BC是☉O的直徑,∴∠BAC=90°.
∵AB=6,☉O的半徑為5,∴AC=8.
∵∠D1AC=45°,∴CG1+AB=AG1,∴AG1=(6+8)=7,∴AD1=7.
當點D2在BC上方時,∠D2AC=45°,同理易得AD2=.
綜上所述,AD的長為7或.
故答案為7或.

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