資源簡介 類型一 直接(指令性)基本作圖如圖,線段AC,BD相交于點O, 且AB∥CD,AE⊥BD于點E.(1)尺規作圖:過點C作BD的垂線,垂足為F,連接AF,CE.(不寫作法,保留作圖痕跡,并標明相應的字母)(2)若AB=CD,請判斷四邊形AECF的形狀,并說明理由.(若前問未完成,可畫草圖完成此問)1.如圖,根據△ABC中尺規作圖的痕跡,下列說法不一定正確的是 ( )A.AF=BF B.AE=ACC.∠DBF+∠DFB=90° D.∠BAF=∠EBC2.如圖,在△ABC中,∠ABC的平分線交AC于點F.(1)用尺規作圖法在直線BC上求作點E,使AE∥BF,不寫作法,保留作圖痕跡.(2)若AB=4,BC=5,AC=6,求AF的長.3.如圖,在△ABC中,點P,Q分別在邊BC及CB的延長線上,且BQ=CP.(1)實踐與探索:利用尺規按下列要求作圖(不寫作法,保留作圖痕跡).①作∠PQM=∠CBA,且點M在QC的上方;②在QM上截取QR=BA;③連接PR.猜想與驗證:試猜想線段AC和RP的數量關系,并證明你的猜想.類型二 選擇規則性(理解性、應用性)尺規作圖如圖,在△ABC中,I是△ABC的內心.(1)求作過點I且平行于BC的直線,與AB,AC分別相交于點D,E.(要求:尺規作圖,不寫作法,保留作圖痕跡)(2)若AB=6,AC=8,DE=,求BC的長.4.求證:三角形的中位線平行于三角形的第三邊,并且等于第三邊的一半.已知:如圖,D,E分別是△ABC的邊AB,AC的中點,連接DE.求證:DE∥BC,且DE=BC.(要求:尺規作圖畫出點D和點E,只保留作圖痕跡,不寫作法)5.如圖,已知Rt△MON,∠MON=90°,OM=ON,A為斜邊MN上一點.(1)求作:以點O為中心,A為一個頂點的正方形ABCD(點A,B,C,D按順時針排列).(要求:尺規作圖,不寫作法,保留作圖痕跡)(2)在(1)的條件下,連接DN,求證:DN⊥MN.6.如圖,在△ABC中,點D在邊AC上,且AD=AB.(1)請用無刻度的直尺和圓規作出∠A的平分線(保留作圖痕跡,不寫作法).(2)若(1)中所作的角平分線與邊BC交于點E,連接DE.求證:DE=BE類型三 尺規作圖與證明(計算)如圖,在等邊△ABC中,D為BC邊上一點,DC(1)在圖中求作四邊形BCEF,使得點F在邊AB上,且BF=2DC,點E與點D關于AC對稱.(要求:尺規作圖,不寫作法,保留作圖痕跡)(2)在(1)的條件下,設EF與AD交于點G,求∠DGE的度數.7.如圖,在△ABC中,∠C=90°.(1)求作☉O分別與AC,BC相切,使得圓心O落在AB上.(要求:尺規作圖,不寫作法,保留作圖痕跡)(2)在(1)的條件下,已知OA=1,OB=2,求tanB的值.8.(原創)如圖,在△ABC中,AB=AC,且AB>BC.(1)求作△EDC≌△ABC,使得點D在線段AB上,點E在直線AC右側.(要求:尺規作圖,不寫作法,保留作圖痕跡)(2)在(1)的條件下,延長CB至點P,使得BP=BC,連接DP,若AD=BD,求證:P,D,E三點共線.9.如圖,已知∠PAQ及AP邊上一點C.(1)用無刻度直尺和圓規在射線AQ上求作點O,使得∠COQ=2∠CAQ.(保留作圖痕跡,不寫作法)(2)在(1)的條件下,以點O為圓心,以OA的長為半徑的圓交射線AQ于點B,用無刻度直尺和圓規在射線CP上求作點M,使點M到點C的距離與點M到射線AQ的距離相等.(保留作圖痕跡,不寫作法)(3)在(1)(2)的條件下,若sinA=,CM=12,求BM的長.10.如圖,在△ABC中,AB=AC.(1)在線段AC上求作點D,使點D到AB和BC的距離相等.(要求:尺規作圖,不寫作法,保留作圖痕跡)(2)在(1)所作的圖形中,連接BD,若AD=BD,求∠A的度數.11.如圖,在Rt△ABC中,∠BCA=90°,AD平分∠BAC交BC于點D.(1)尺規作圖:求作☉O,使得圓心O在AB上,且☉O經過A,D兩點.(2)求證:直線BC是☉O的切線.參考答案例1 解析:(1)下圖即所求.(2)四邊形AECF是平行四邊形.理由如下:∵AB∥CD,∴∠B=∠D,∠OAB=∠OCD.又∵AB=CD,∴△ABO≌△CDO(ASA),∴OA=OC.∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴AE∥CF,∠AEO=∠CFO=90°.又∵∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF(AAS),∴AE=CF,∴四邊形AECF是平行四邊形.針對訓練 1.B針對訓練 2.解析:(1)如圖,點E即所求.(2)∵BF∥AE,∴∠AEB=∠FBC,∠EAB=∠ABF.∵BF是∠ABC的平分線,∴∠FBC=∠ABF,∴∠AEB=∠EAB,∴BE=AB=4.根據平行線分線段成比例定理可知===,∴AF=AC=×6=.針對訓練 3.解析:(1)下圖即所求.(2)AC=RP.理由:∵BQ=CP,∴BQ+BP=CP+BP,∴QP=BC.由作圖過程可知∠PQM=∠CBA,QR=AB,∴△PQR≌△CBA(SAS),∴AC=RP.例2 解析:(1)如圖,連接BI,作∠DIB=∠IBC,直線ID交AC于點E,則直線DE為所求.(2)如圖,連接CI.∵I是△ABC的內心,∴BI平分∠ABC,CI平分∠ACB,∴∠DBI=∠CBI,∠ECI=∠BCI.∵DE∥BC,∴∠DIB=∠CBI,∠EIC=∠BCI,∴∠DIB=∠DBI,∠EIC=∠ECI,∴DB=DI,EI=EC.設BD=x,則DI=x,CE=EI=-x.∵DE∥BC,∴BD∶BA=CE∶CA,即x∶6=-x∶8,解得x=2,∴AD=AB-BD=4.∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴DE∶BC=AD∶AB,即∶BC=4∶6,解得BC=7,即BC的長為7.針對訓練 4.解析:分別作線段AB和線段AC的垂直平分線,交點分別為D和E,延長DE到點F,使EF=DE,連接FC,如圖所示.∵D,E分別是AB,AC的中點,∴AD=BD,AE=CE.在△ADE和△CFE中,∴△ADE≌△CFE(SAS),∴∠ADE=∠F,AD=CF,∴CF∥AB,CF=BD,∴四邊形BCFD是平行四邊形,∴DF=BC,DF∥BC,∴DE=DF=BC.針對訓練 5.解析:(1)如圖,四邊形ABCD即所作.(2)證明:∵∠MON=90°,OM=ON,∴∠OMN=∠ONM=45°.由作圖可得OA=OD,∠AOD=90°=∠MON,∴∠MOA=∠NOD,∴△OAM≌△ODN,∴∠OND=∠OMA=45°,∴∠AND=∠OND+∠ONM=45°+45°=90°,∴DN⊥MN.針對訓練 6.解析:(1)如圖,AE即所求.(2)證明:∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠DAE.∵AB=AD,AE=AE,∴△BAE≌△DAE(SAS),∴DE=BE.例3 解析:(1)如圖1,四邊形BCEF即所求.圖1(2)如圖2,取BF的中點T,連接CT,TE,設AD交CT于點J.圖2∵∠ACB=∠ACE=∠CAB=60°,CD=CE,∴AB∥CE.∵FT=CD,∴EC=FT,∴四邊形ECTF是平行四邊形,∴EF∥CT,∴∠DGE=∠CJD.∵△ABC是等邊三角形,∴AC=BC,∠B=∠ACD=60°.∵BF=2CD,BT=TF,∴BT=CD.在△ACD和△CBT中,∴△ACD≌△CBT(SAS),∴∠CAD=∠BCT,∴∠CJD=∠CAD+∠ACJ=∠BCT+∠ACJ=60°,∴∠DGE=∠CJD=60°.針對訓練 7.解析:(1)如圖,作∠ACB的平分線CO,交AB于點O,過點O作BC的垂線,垂足為N,以點O為圓心,ON的長為半徑畫圓,作OM⊥AC于點M,由作圖可得BC是☉O的切線,由角平分線的性質可得OM=ON,∴AC是☉O的切線,∴☉O即所求.(2)由(1)得OM⊥AC,ON⊥BC,OM=ON.∵∠ACB=90°,又∵OA=1,OB=2,∴===,∴tanB==.針對訓練 8.解析:(1)如圖1,△EDC即所求.圖1(2)證明:如圖2,連接AE,PE,設PE與AB交于點D'.圖2∵△ABC≌△EDC,∴AC=EC,∠ACB=∠ECD,∴∠BCD=∠ACE.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,AB=EC,∴∠BAC=180°-2∠ABC.∵CB=CD,∴∠CBD=∠CDB,∴∠BCD=180°-2∠CBD,∴∠BAC=∠BCD,∴∠BAC=∠ACE.又∵AC=CA,∴△BAC≌△ECA(SAS),∴∠ACB=∠CAE,BC=AE,∴AE∥BC,∴∠AED'=∠P,∠EAD'=∠PBD'.∵BP=BC,BC=AE,∴AE=BP,∴△AD'E≌△BD'P(ASA),∴AD'=BD',∴D'是線段AB的中點.∵D是線段AB的中點,∴D',D為同一個點,∴P,D,E三點共線.針對訓練 9.解析:(1)(作法不唯一)如圖1,∴∠COQ=2∠CAQ;點O即所求(2)如圖2,連接BC,以點B為圓心,以BC的長為半徑畫弧交AQ于點B1,以點B1為圓心,以任意長為半徑畫弧交AQ于點C1,D1,分別以點C1,D1為圓心,以大于C1D1的長為半徑畫弧,交于點F1,連接B1F1并延長交AP于點M.∵AB是直徑,∴∠ACB=90°,即BC⊥AP,根據作圖可得B1C1=B1D1,C1F1=D1F1,∴MB1⊥AQ,即∠MB1B=90°,MB1是點M到AQ的距離.∵BC=BB1,∴Rt△BCM≌Rt△BB1M(HL),∴CM=B1M,點M即所求.(3)如圖3,根據作圖可得∠COQ=2∠CAQ,MC=MW=12,MW⊥AQ,連接BC,∴在Rt△AMW中,sinA==,∴AM===20,∴AC=AM-CM=20-12=8.∵AB是直徑,∴∠ACB=90°,∴sinA==,設BC=3x,則AB=5x,∴在Rt△ABC中,(5x)2=(3x)2+82,解得x=2(負值舍去),∴BC=3x=6,在Rt△BCM中,BM===6.針對訓練 10.解析:(1)如圖,作∠ABC的平分線交AC于點D,點D即所求.(2)∵AB=AC,∴∠ABC=∠C.∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD.∵AD=BD,∴∠A=∠ABD,∴∠ABC=∠C=2∠A.∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∴∠A+2∠A+2∠A=180°,∴∠A=36°.針對訓練 11.解析:(1)如圖,☉O即所求.(2)證明:如圖,連接OD.∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA.∵AD平分∠CAB,∴∠CAD=∠DAO,∴∠CAD=∠ADO,∴AC∥OD,∴∠ODB=∠C=90°,∴OD⊥BC.∵OD是半徑,∴BC是☉O的切線. 展開更多...... 收起↑ 資源預覽 縮略圖、資源來源于二一教育資源庫