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      專題二 尺規作圖 學案(含答案)2025年中考數學人教版一輪復習考點探究

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      1. 二一教育資源

      專題二 尺規作圖 學案(含答案)2025年中考數學人教版一輪復習考點探究

      資源簡介

      類型一 直接(指令性)基本作圖
      如圖,線段AC,BD相交于點O, 且AB∥CD,AE⊥BD于點E.
      (1)尺規作圖:過點C作BD的垂線,垂足為F,連接AF,CE.(不寫作法,保留作圖痕跡,并標明相應的字母)
      (2)若AB=CD,請判斷四邊形AECF的形狀,并說明理由.(若前問未完成,可畫草圖完成此問)
      1.如圖,根據△ABC中尺規作圖的痕跡,下列說法不一定正確的是 ( )
      A.AF=BF B.AE=AC
      C.∠DBF+∠DFB=90° D.∠BAF=∠EBC
      2.如圖,在△ABC中,∠ABC的平分線交AC于點F.
      (1)用尺規作圖法在直線BC上求作點E,使AE∥BF,不寫作法,保留作圖痕跡.
      (2)若AB=4,BC=5,AC=6,求AF的長.
      3.如圖,在△ABC中,點P,Q分別在邊BC及CB的延長線上,且BQ=CP.
      (1)實踐與探索:利用尺規按下列要求作圖(不寫作法,保留作圖痕跡).
      ①作∠PQM=∠CBA,且點M在QC的上方;
      ②在QM上截取QR=BA;
      ③連接PR.
      猜想與驗證:試猜想線段AC和RP的數量關系,并證明你的猜想.
      類型二 選擇規則性(理解性、應用性)尺規作圖
      如圖,在△ABC中,I是△ABC的內心.
      (1)求作過點I且平行于BC的直線,與AB,AC分別相交于點D,E.(要求:尺規作圖,不寫作法,保留作圖痕跡)
      (2)若AB=6,AC=8,DE=,求BC的長.
      4.求證:三角形的中位線平行于三角形的第三邊,并且等于第三邊的一半.
      已知:如圖,D,E分別是△ABC的邊AB,AC的中點,連接DE.
      求證:DE∥BC,且DE=BC.
      (要求:尺規作圖畫出點D和點E,只保留作圖痕跡,不寫作法)
      5.如圖,已知Rt△MON,∠MON=90°,OM=ON,A為斜邊MN上一點.
      (1)求作:以點O為中心,A為一個頂點的正方形ABCD(點A,B,C,D按順時針排列).(要求:尺規作圖,不寫作法,保留作圖痕跡)
      (2)在(1)的條件下,連接DN,求證:DN⊥MN.
      6.如圖,在△ABC中,點D在邊AC上,且AD=AB.
      (1)請用無刻度的直尺和圓規作出∠A的平分線(保留作圖痕跡,不寫作法).
      (2)若(1)中所作的角平分線與邊BC交于點E,連接DE.求證:DE=BE
      類型三 尺規作圖與證明(計算)
      如圖,在等邊△ABC中,D為BC邊上一點,DC(1)在圖中求作四邊形BCEF,使得點F在邊AB上,且BF=2DC,點E與點D關于AC對稱.(要求:尺規作圖,不寫作法,保留作圖痕跡)
      (2)在(1)的條件下,設EF與AD交于點G,求∠DGE的度數.
      7.如圖,在△ABC中,∠C=90°.
      (1)求作☉O分別與AC,BC相切,使得圓心O落在AB上.(要求:尺規作圖,不寫作法,保留作圖痕跡)
      (2)在(1)的條件下,已知OA=1,OB=2,求tanB的值.
      8.(原創)如圖,在△ABC中,AB=AC,且AB>BC.
      (1)求作△EDC≌△ABC,使得點D在線段AB上,點E在直線AC右側.(要求:尺規作圖,不寫作法,保留作圖痕跡)
      (2)在(1)的條件下,延長CB至點P,使得BP=BC,連接DP,若AD=BD,求證:P,D,E三點共線.
      9.如圖,已知∠PAQ及AP邊上一點C.
      (1)用無刻度直尺和圓規在射線AQ上求作點O,使得∠COQ=2∠CAQ.(保留作圖痕跡,不寫作法)
      (2)在(1)的條件下,以點O為圓心,以OA的長為半徑的圓交射線AQ于點B,用無刻度直尺和圓規在射線CP上求作點M,使點M到點C的距離與點M到射線AQ的距離相等.(保留作圖痕跡,不寫作法)
      (3)在(1)(2)的條件下,若sinA=,CM=12,求BM的長.
      10.如圖,在△ABC中,AB=AC.
      (1)在線段AC上求作點D,使點D到AB和BC的距離相等.(要求:尺規作圖,不寫作法,保留作圖痕跡)
      (2)在(1)所作的圖形中,連接BD,若AD=BD,求∠A的度數.
      11.如圖,在Rt△ABC中,∠BCA=90°,AD平分∠BAC交BC于點D.
      (1)尺規作圖:求作☉O,使得圓心O在AB上,且☉O經過A,D兩點.
      (2)求證:直線BC是☉O的切線.
      參考答案
      例1 解析:(1)下圖即所求.
      (2)四邊形AECF是平行四邊形.理由如下:
      ∵AB∥CD,
      ∴∠B=∠D,∠OAB=∠OCD.
      又∵AB=CD,
      ∴△ABO≌△CDO(ASA),
      ∴OA=OC.
      ∵AE⊥BD,CF⊥BD,
      ∴AE∥CF,∠AEO=∠CFO=90°.
      又∵∠AOE=∠COF,
      ∴△AOE≌△COF(AAS),
      ∴AE=CF,
      ∴四邊形AECF是平行四邊形.
      針對訓練 1.B
      針對訓練 2.解析:(1)如圖,點E即所求.
      (2)∵BF∥AE,
      ∴∠AEB=∠FBC,∠EAB=∠ABF.
      ∵BF是∠ABC的平分線,
      ∴∠FBC=∠ABF,
      ∴∠AEB=∠EAB,
      ∴BE=AB=4.
      根據平行線分線段成比例定理可知===,
      ∴AF=AC=×6=.
      針對訓練 3.解析:(1)下圖即所求.
      (2)AC=RP.
      理由:∵BQ=CP,∴BQ+BP=CP+BP,∴QP=BC.
      由作圖過程可知∠PQM=∠CBA,QR=AB,
      ∴△PQR≌△CBA(SAS),∴AC=RP.
      例2 解析:(1)如圖,連接BI,作∠DIB=∠IBC,直線ID交AC于點E,則直線DE為所求.
      (2)如圖,連接CI.
      ∵I是△ABC的內心,
      ∴BI平分∠ABC,CI平分∠ACB,
      ∴∠DBI=∠CBI,∠ECI=∠BCI.
      ∵DE∥BC,∴∠DIB=∠CBI,∠EIC=∠BCI,
      ∴∠DIB=∠DBI,∠EIC=∠ECI,
      ∴DB=DI,EI=EC.
      設BD=x,則DI=x,CE=EI=-x.
      ∵DE∥BC,∴BD∶BA=CE∶CA,即x∶6=-x∶8,解得x=2,
      ∴AD=AB-BD=4.
      ∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴DE∶BC=AD∶AB,即∶BC=4∶6,
      解得BC=7,即BC的長為7.
      針對訓練 4.解析:分別作線段AB和線段AC的垂直平分線,交點分別為D和E,延長DE到點F,使EF=DE,連接FC,如圖所示.
      ∵D,E分別是AB,AC的中點,
      ∴AD=BD,AE=CE.
      在△ADE和△CFE中,
      ∴△ADE≌△CFE(SAS),
      ∴∠ADE=∠F,AD=CF,
      ∴CF∥AB,CF=BD,
      ∴四邊形BCFD是平行四邊形,
      ∴DF=BC,DF∥BC,
      ∴DE=DF=BC.
      針對訓練 5.解析:(1)如圖,四邊形ABCD即所作.
      (2)證明:∵∠MON=90°,OM=ON,
      ∴∠OMN=∠ONM=45°.
      由作圖可得OA=OD,∠AOD=90°=∠MON,
      ∴∠MOA=∠NOD,
      ∴△OAM≌△ODN,
      ∴∠OND=∠OMA=45°,
      ∴∠AND=∠OND+∠ONM=45°+45°=90°,
      ∴DN⊥MN.
      針對訓練 6.解析:(1)如圖,AE即所求.
      (2)證明:∵AE平分∠BAC,
      ∴∠BAE=∠DAE.
      ∵AB=AD,AE=AE,
      ∴△BAE≌△DAE(SAS),
      ∴DE=BE.
      例3 解析:(1)如圖1,四邊形BCEF即所求.
      圖1
      (2)如圖2,取BF的中點T,連接CT,TE,設AD交CT于點J.
      圖2
      ∵∠ACB=∠ACE=∠CAB=60°,CD=CE,
      ∴AB∥CE.
      ∵FT=CD,
      ∴EC=FT,
      ∴四邊形ECTF是平行四邊形,
      ∴EF∥CT,
      ∴∠DGE=∠CJD.
      ∵△ABC是等邊三角形,
      ∴AC=BC,∠B=∠ACD=60°.
      ∵BF=2CD,BT=TF,
      ∴BT=CD.
      在△ACD和△CBT中,
      ∴△ACD≌△CBT(SAS),
      ∴∠CAD=∠BCT,
      ∴∠CJD=∠CAD+∠ACJ=∠BCT+∠ACJ=60°,
      ∴∠DGE=∠CJD=60°.
      針對訓練 7.解析:(1)如圖,作∠ACB的平分線CO,交AB于點O,過點O作BC的垂線,垂足為N,以點O為圓心,ON的長為半徑畫圓,作OM⊥AC于點M,
      由作圖可得BC是☉O的切線,
      由角平分線的性質可得OM=ON,
      ∴AC是☉O的切線,
      ∴☉O即所求.
      (2)由(1)得OM⊥AC,ON⊥BC,OM=ON.
      ∵∠ACB=90°,
      又∵OA=1,OB=2,
      ∴===,
      ∴tanB==.
      針對訓練 8.解析:(1)如圖1,△EDC即所求.
      圖1
      (2)證明:如圖2,連接AE,PE,設PE與AB交于點D'.
      圖2
      ∵△ABC≌△EDC,
      ∴AC=EC,∠ACB=∠ECD,
      ∴∠BCD=∠ACE.
      ∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,AB=EC,
      ∴∠BAC=180°-2∠ABC.
      ∵CB=CD,∴∠CBD=∠CDB,
      ∴∠BCD=180°-2∠CBD,∴∠BAC=∠BCD,
      ∴∠BAC=∠ACE.
      又∵AC=CA,∴△BAC≌△ECA(SAS),
      ∴∠ACB=∠CAE,BC=AE,∴AE∥BC,
      ∴∠AED'=∠P,∠EAD'=∠PBD'.
      ∵BP=BC,BC=AE,∴AE=BP,
      ∴△AD'E≌△BD'P(ASA),∴AD'=BD',
      ∴D'是線段AB的中點.
      ∵D是線段AB的中點,
      ∴D',D為同一個點,
      ∴P,D,E三點共線.
      針對訓練 9.解析:(1)(作法不唯一)如圖1,
      ∴∠COQ=2∠CAQ;
      點O即所求
      (2)如圖2,連接BC,以點B為圓心,以BC的長為半徑畫弧交AQ于點B1,以點B1為圓心,以任意長為半徑畫弧交AQ于點C1,D1,分別以點C1,D1為圓心,以大于C1D1的長為半徑畫弧,交于點F1,連接B1F1并延長交AP于點M.
      ∵AB是直徑,
      ∴∠ACB=90°,即BC⊥AP,
      根據作圖可得B1C1=B1D1,C1F1=D1F1,
      ∴MB1⊥AQ,即∠MB1B=90°,MB1是點M到AQ的距離.
      ∵BC=BB1,
      ∴Rt△BCM≌Rt△BB1M(HL),
      ∴CM=B1M,
      點M即所求.
      (3)如圖3,根據作圖可得∠COQ=2∠CAQ,MC=MW=12,MW⊥AQ,連接BC,
      ∴在Rt△AMW中,sinA==,
      ∴AM===20,
      ∴AC=AM-CM=20-12=8.
      ∵AB是直徑,
      ∴∠ACB=90°,
      ∴sinA==,
      設BC=3x,則AB=5x,
      ∴在Rt△ABC中,(5x)2=(3x)2+82,
      解得x=2(負值舍去),
      ∴BC=3x=6,
      在Rt△BCM中,BM===6.
      針對訓練 10.解析:(1)如圖,作∠ABC的平分線交AC于點D,點D即所求.
      (2)∵AB=AC,∴∠ABC=∠C.
      ∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD.
      ∵AD=BD,∴∠A=∠ABD,
      ∴∠ABC=∠C=2∠A.
      ∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
      ∴∠A+2∠A+2∠A=180°,∴∠A=36°.
      針對訓練 11.解析:(1)如圖,☉O即所求.
      (2)證明:如圖,連接OD.
      ∵OA=OD,
      ∴∠OAD=∠ODA.
      ∵AD平分∠CAB,
      ∴∠CAD=∠DAO,
      ∴∠CAD=∠ADO,
      ∴AC∥OD,
      ∴∠ODB=∠C=90°,∴OD⊥BC.
      ∵OD是半徑,∴BC是☉O的切線.

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