資源簡介

類型一　直接(指令性)基本作圖
如圖,線段AC,BD相交于點O, 且AB∥CD,AE⊥BD于點E.
(1)尺規作圖:過點C作BD的垂線,垂足為F,連接AF,CE.(不寫作法,保留作圖痕跡,并標明相應的字母)
(2)若AB=CD,請判斷四邊形AECF的形狀,并說明理由.(若前問未完成,可畫草圖完成此問)
1.如圖,根據△ABC中尺規作圖的痕跡,下列說法不一定正確的是 ( )
A.AF=BF B.AE=AC
C.∠DBF+∠DFB=90° D.∠BAF=∠EBC
2.如圖,在△ABC中,∠ABC的平分線交AC于點F.
(1)用尺規作圖法在直線BC上求作點E,使AE∥BF,不寫作法,保留作圖痕跡.
(2)若AB=4,BC=5,AC=6,求AF的長.
3.如圖,在△ABC中,點P,Q分別在邊BC及CB的延長線上,且BQ=CP.
(1)實踐與探索:利用尺規按下列要求作圖(不寫作法,保留作圖痕跡).
①作∠PQM=∠CBA,且點M在QC的上方;
②在QM上截取QR=BA;
③連接PR.
猜想與驗證:試猜想線段AC和RP的數量關系,并證明你的猜想.
類型二　選擇規則性(理解性、應用性)尺規作圖
如圖,在△ABC中,I是△ABC的內心.
(1)求作過點I且平行于BC的直線,與AB,AC分別相交于點D,E.(要求:尺規作圖,不寫作法,保留作圖痕跡)
(2)若AB=6,AC=8,DE=,求BC的長.
4.求證:三角形的中位線平行于三角形的第三邊,并且等于第三邊的一半.
已知:如圖,D,E分別是△ABC的邊AB,AC的中點,連接DE.
求證:DE∥BC,且DE=BC.
(要求:尺規作圖畫出點D和點E,只保留作圖痕跡,不寫作法)
5.如圖,已知Rt△MON,∠MON=90°,OM=ON,A為斜邊MN上一點.
(1)求作:以點O為中心,A為一個頂點的正方形ABCD(點A,B,C,D按順時針排列).(要求:尺規作圖,不寫作法,保留作圖痕跡)
(2)在(1)的條件下,連接DN,求證:DN⊥MN.
6.如圖,在△ABC中,點D在邊AC上,且AD=AB.
(1)請用無刻度的直尺和圓規作出∠A的平分線(保留作圖痕跡,不寫作法).
(2)若(1)中所作的角平分線與邊BC交于點E,連接DE.求證:DE=BE
類型三　尺規作圖與證明(計算)
如圖,在等邊△ABC中,D為BC邊上一點,DC(1)在圖中求作四邊形BCEF,使得點F在邊AB上,且BF=2DC,點E與點D關于AC對稱.(要求:尺規作圖,不寫作法,保留作圖痕跡)
(2)在(1)的條件下,設EF與AD交于點G,求∠DGE的度數.
7.如圖,在△ABC中,∠C=90°.
(1)求作☉O分別與AC,BC相切,使得圓心O落在AB上.(要求:尺規作圖,不寫作法,保留作圖痕跡)
(2)在(1)的條件下,已知OA=1,OB=2,求tanB的值.
8.(原創)如圖,在△ABC中,AB=AC,且AB>BC.
(1)求作△EDC≌△ABC,使得點D在線段AB上,點E在直線AC右側.(要求:尺規作圖,不寫作法,保留作圖痕跡)
(2)在(1)的條件下,延長CB至點P,使得BP=BC,連接DP,若AD=BD,求證:P,D,E三點共線.
9.如圖,已知∠PAQ及AP邊上一點C.
(1)用無刻度直尺和圓規在射線AQ上求作點O,使得∠COQ=2∠CAQ.(保留作圖痕跡,不寫作法)
(2)在(1)的條件下,以點O為圓心,以OA的長為半徑的圓交射線AQ于點B,用無刻度直尺和圓規在射線CP上求作點M,使點M到點C的距離與點M到射線AQ的距離相等.(保留作圖痕跡,不寫作法)
(3)在(1)(2)的條件下,若sinA=,CM=12,求BM的長.
10.如圖,在△ABC中,AB=AC.
(1)在線段AC上求作點D,使點D到AB和BC的距離相等.(要求:尺規作圖,不寫作法,保留作圖痕跡)
(2)在(1)所作的圖形中,連接BD,若AD=BD,求∠A的度數.
11.如圖,在Rt△ABC中,∠BCA=90°,AD平分∠BAC交BC于點D.
(1)尺規作圖:求作☉O,使得圓心O在AB上,且☉O經過A,D兩點.
(2)求證:直線BC是☉O的切線.
參考答案
例1　解析:(1)下圖即所求.
(2)四邊形AECF是平行四邊形.理由如下:
∵AB∥CD,
∴∠B=∠D,∠OAB=∠OCD.
又∵AB=CD,
∴△ABO≌△CDO(ASA),
∴OA=OC.
∵AE⊥BD,CF⊥BD,
∴AE∥CF,∠AEO=∠CFO=90°.
又∵∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COF(AAS),
∴AE=CF,
∴四邊形AECF是平行四邊形.
針對訓練　1.B
針對訓練　2.解析:(1)如圖,點E即所求.
(2)∵BF∥AE,
∴∠AEB=∠FBC,∠EAB=∠ABF.
∵BF是∠ABC的平分線,
∴∠FBC=∠ABF,
∴∠AEB=∠EAB,
∴BE=AB=4.
根據平行線分線段成比例定理可知===,
∴AF=AC=×6=.
針對訓練　3.解析:(1)下圖即所求.
(2)AC=RP.
理由:∵BQ=CP,∴BQ+BP=CP+BP,∴QP=BC.
由作圖過程可知∠PQM=∠CBA,QR=AB,
∴△PQR≌△CBA(SAS),∴AC=RP.
例2　解析:(1)如圖,連接BI,作∠DIB=∠IBC,直線ID交AC于點E,則直線DE為所求.
(2)如圖,連接CI.
∵I是△ABC的內心,
∴BI平分∠ABC,CI平分∠ACB,
∴∠DBI=∠CBI,∠ECI=∠BCI.
∵DE∥BC,∴∠DIB=∠CBI,∠EIC=∠BCI,
∴∠DIB=∠DBI,∠EIC=∠ECI,
∴DB=DI,EI=EC.
設BD=x,則DI=x,CE=EI=-x.
∵DE∥BC,∴BD∶BA=CE∶CA,即x∶6=-x∶8,解得x=2,
∴AD=AB-BD=4.
∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴DE∶BC=AD∶AB,即∶BC=4∶6,
解得BC=7,即BC的長為7.
針對訓練　4.解析:分別作線段AB和線段AC的垂直平分線,交點分別為D和E,延長DE到點F,使EF=DE,連接FC,如圖所示.
∵D,E分別是AB,AC的中點,
∴AD=BD,AE=CE.
在△ADE和△CFE中,
∴△ADE≌△CFE(SAS),
∴∠ADE=∠F,AD=CF,
∴CF∥AB,CF=BD,
∴四邊形BCFD是平行四邊形,
∴DF=BC,DF∥BC,
∴DE=DF=BC.
針對訓練　5.解析:(1)如圖,四邊形ABCD即所作.
(2)證明:∵∠MON=90°,OM=ON,
∴∠OMN=∠ONM=45°.
由作圖可得OA=OD,∠AOD=90°=∠MON,
∴∠MOA=∠NOD,
∴△OAM≌△ODN,
∴∠OND=∠OMA=45°,
∴∠AND=∠OND+∠ONM=45°+45°=90°,
∴DN⊥MN.
針對訓練　6.解析:(1)如圖,AE即所求.
(2)證明:∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE=∠DAE.
∵AB=AD,AE=AE,
∴△BAE≌△DAE(SAS),
∴DE=BE.
例3　解析:(1)如圖1,四邊形BCEF即所求.
圖1
(2)如圖2,取BF的中點T,連接CT,TE,設AD交CT于點J.
圖2
∵∠ACB=∠ACE=∠CAB=60°,CD=CE,
∴AB∥CE.
∵FT=CD,
∴EC=FT,
∴四邊形ECTF是平行四邊形,
∴EF∥CT,
∴∠DGE=∠CJD.
∵△ABC是等邊三角形,
∴AC=BC,∠B=∠ACD=60°.
∵BF=2CD,BT=TF,
∴BT=CD.
在△ACD和△CBT中,
∴△ACD≌△CBT(SAS),
∴∠CAD=∠BCT,
∴∠CJD=∠CAD+∠ACJ=∠BCT+∠ACJ=60°,
∴∠DGE=∠CJD=60°.
針對訓練　7.解析:(1)如圖,作∠ACB的平分線CO,交AB于點O,過點O作BC的垂線,垂足為N,以點O為圓心,ON的長為半徑畫圓,作OM⊥AC于點M,
由作圖可得BC是☉O的切線,
由角平分線的性質可得OM=ON,
∴AC是☉O的切線,
∴☉O即所求.
(2)由(1)得OM⊥AC,ON⊥BC,OM=ON.
∵∠ACB=90°,
又∵OA=1,OB=2,
∴===,
∴tanB==.
針對訓練　8.解析:(1)如圖1,△EDC即所求.
圖1
(2)證明:如圖2,連接AE,PE,設PE與AB交于點D'.
圖2
∵△ABC≌△EDC,
∴AC=EC,∠ACB=∠ECD,
∴∠BCD=∠ACE.
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,AB=EC,
∴∠BAC=180°-2∠ABC.
∵CB=CD,∴∠CBD=∠CDB,
∴∠BCD=180°-2∠CBD,∴∠BAC=∠BCD,
∴∠BAC=∠ACE.
又∵AC=CA,∴△BAC≌△ECA(SAS),
∴∠ACB=∠CAE,BC=AE,∴AE∥BC,
∴∠AED'=∠P,∠EAD'=∠PBD'.
∵BP=BC,BC=AE,∴AE=BP,
∴△AD'E≌△BD'P(ASA),∴AD'=BD',
∴D'是線段AB的中點.
∵D是線段AB的中點,
∴D',D為同一個點,
∴P,D,E三點共線.
針對訓練　9.解析:(1)(作法不唯一)如圖1,
∴∠COQ=2∠CAQ;
點O即所求
(2)如圖2,連接BC,以點B為圓心,以BC的長為半徑畫弧交AQ于點B1,以點B1為圓心,以任意長為半徑畫弧交AQ于點C1,D1,分別以點C1,D1為圓心,以大于C1D1的長為半徑畫弧,交于點F1,連接B1F1并延長交AP于點M.
∵AB是直徑,
∴∠ACB=90°,即BC⊥AP,
根據作圖可得B1C1=B1D1,C1F1=D1F1,
∴MB1⊥AQ,即∠MB1B=90°,MB1是點M到AQ的距離.
∵BC=BB1,
∴Rt△BCM≌Rt△BB1M(HL),
∴CM=B1M,
點M即所求.
(3)如圖3,根據作圖可得∠COQ=2∠CAQ,MC=MW=12,MW⊥AQ,連接BC,
∴在Rt△AMW中,sinA==,
∴AM===20,
∴AC=AM-CM=20-12=8.
∵AB是直徑,
∴∠ACB=90°,
∴sinA==,
設BC=3x,則AB=5x,
∴在Rt△ABC中,(5x)2=(3x)2+82,
解得x=2(負值舍去),
∴BC=3x=6,
在Rt△BCM中,BM===6.
針對訓練　10.解析:(1)如圖,作∠ABC的平分線交AC于點D,點D即所求.
(2)∵AB=AC,∴∠ABC=∠C.
∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD.
∵AD=BD,∴∠A=∠ABD,
∴∠ABC=∠C=2∠A.
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
∴∠A+2∠A+2∠A=180°,∴∠A=36°.
針對訓練　11.解析:(1)如圖,☉O即所求.
(2)證明:如圖,連接OD.
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA.
∵AD平分∠CAB,
∴∠CAD=∠DAO,
∴∠CAD=∠ADO,
∴AC∥OD,
∴∠ODB=∠C=90°,∴OD⊥BC.
∵OD是半徑,∴BC是☉O的切線.

展開更多......

收起↑