資源簡介

類型一　固定圖形的證明與計(jì)算
如圖,在矩形ABCD中,對角線AC的垂直平分線EF分別交AD,AC,BC于點(diǎn)E,O,F,連接CE和AF.
(1)求證:四邊形AECF為菱形.
(2)若AB=8,BC=16,求菱形AECF的周長.
(1)根據(jù)ASA證明△AEO≌△CFO
OE=OF
四邊形AECF是平行四邊形
根據(jù)EF⊥AC判定四邊形是菱形
(2)由線段垂直平分線的性質(zhì),得AF=CF
設(shè)AF=x
在Rt△ABF中,利用勾股定理列方程求解
1.已知正方形ABCD,在BC和CD邊上各有一點(diǎn)E,F,且CE=CF,連接AF,EF,分別取AF,EF的中點(diǎn)M,N,連接DM,CN,MN.
　 　 　
圖1 圖2
(1)如圖1,連接AE.
①求證:AE=AF.
②求∠DMN的度數(shù).
(2)如圖2,將△CEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn),當(dāng)△CEF在正方形ABCD外部時,連接DN,試探究DN與MN的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
類型二　與動點(diǎn)問題有關(guān)的證明與計(jì)算
如圖,菱形ABCD的邊長為4,E,F分別是邊BC,CD上的動點(diǎn),∠BAC=∠EAF=60°,連接EF,交AC于點(diǎn)G.
(1)求證:AE=AF.
(2)求△ECF周長的最小值.
(3)若BE=1,求CG的長.
(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)得△ABC是等邊三角形
利用ASA證明△ABE≌△ACF
可證明結(jié)論
(2)證明△AEF是等邊三角形
將△ECF的周長轉(zhuǎn)化為EF+BC
求EF的最小值即可
(3)證明△CEG∽△BAE
根據(jù)對應(yīng)邊成比例可得CG的長
2.如圖,在正方形ABCD中,AB=3,M為CD邊上的一動點(diǎn)(不與點(diǎn)D重合),點(diǎn)D與點(diǎn)E關(guān)于AM所在的直線對稱,連接AE,ME,延長CB到點(diǎn)F,使得BF=DM,連接EF,AF.
　　　　　　　　　　　　 (備用圖)
(1)依題意補(bǔ)全圖形.
(2)若DM=1,求線段EF的長.
(3)當(dāng)點(diǎn)M在CD邊上運(yùn)動時,若△AEF為等腰三角形,求DM的長.
類型三　圖形旋轉(zhuǎn)、平移、折疊變換
(2024·福州三模)如圖,在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=8,AD⊥BC于點(diǎn)D,點(diǎn)E在線段AD上,連接BE,CE,將線段CE繞點(diǎn)E逆時針旋轉(zhuǎn),點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)F恰好落在BA的延長線上.
(1)如圖1,當(dāng)AD=AF時.
①求證:∠ABE=∠BCE;
②求sinF的值;
(2)如圖2,當(dāng)AE=AF時,求AE的長.
(1)①利用“三線合一”的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求得AD,BF=BC 利用SSS證明
△BEF≌△BEC 可證EB=EC 根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)求證即可
②作EH⊥BF于點(diǎn)H 可證△BHE≌△BDE 設(shè)DE=EH=x,則AE=3-x,AH=1
利用勾股定理列式計(jì)算 求得DE,CE 根據(jù)正弦函數(shù)的定義即可求解
(2)設(shè)AE=a,則DE=3-a 可證△FAE∽△FEB 推出EF2=AF·BF 利用勾股定理列式計(jì)算
利用勾股定理求得CE2=DE2+CD2 根據(jù)CE=EF,列式計(jì)算即可求解
3.如圖1,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,點(diǎn)P在邊BC上,且不與點(diǎn)B,C重合.將△APB沿直線AP折疊得到△APB',點(diǎn)B'落在矩形ABCD的內(nèi)部,延長PB'交直線AD于點(diǎn)F.
(1)求證:FA=FP.
(2)①當(dāng)P是BC的中點(diǎn)時,求AF的長;
②如圖2,直線AP與DC的延長線交于點(diǎn)E,連接BB'交AE于點(diǎn)H,G是AE的中點(diǎn).當(dāng)∠EAB'=2∠AEB'時,請判斷AB與HG的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
參考答案
例1　解析:(1)證明:∵EF是AC的垂直平分線,
∴AO=OC,∠AOE=∠COF=90°.
∵四邊形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO.
在△AEO和△CFO中,
∴△AEO≌△CFO(ASA),∴OE=OF.
又∵OA=OC,∴四邊形AECF是平行四邊形.
又∵EF⊥AC,∴平行四邊形AECF是菱形.
(2)設(shè)AF=x.
∵EF是AC的垂直平分線,AB=8,BC=16,∴AF=CF=x,BF=16-x.
在Rt△ABF中,由勾股定理,得AB2+BF2=AF2,
即82+(16-x)2=x2,解得x=10,∴AF=10,
∴菱形AECF的周長為40.
針對訓(xùn)練　1.解析:(1)①證明:∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=AD=BC=DC,∠ABE=∠ADF=90°.
∵CE=CF,∴BC-CE=DC-CF,∴BE=DF.
在△ABE和△ADF中,
∴△ABE≌△ADF(SAS),
∴AE=AF.
②∵∠ADF=90°,M,N分別是AF,EF的中點(diǎn),
∴DM=AM=FM=AF,MN∥AE,
∴∠MDA=∠DAF,∠FMN=∠FAE.
∵△ABE≌△ADF,∴∠BAE=∠DAF,
∴∠MDA=∠BAE,
∴∠FMD=∠DAF+∠MDA=∠DAF+∠BAE,
∴∠DMN=∠FMD+∠FMN=∠DAF+∠BAE+∠FAE=∠DAB=90°.
(2)DN=MN.理由:如圖,連接AC,AE.
∵M(jìn),N分別是AF,EF的中點(diǎn),
∴AE=2MN.
∵CE=CF,∠ECF=90°,∴CN⊥EF,CN=EN=FN=EF,
∴∠CNE=90°,∴∠NCE=∠NEC=45°.
∵AD=CD,∠ADC=90°,∴∠DCA=∠DAC=45°,
∴==sin 45°=.
∵∠DCN=∠ACE=45°+∠DCE,
∴△DCN∽△ACE,
∴==,∴=,∴DN=MN.
例2　解析:(1)證明:∵∠BAC=∠EAF=60°,
∴∠BAE=∠CAF.
∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=BC,AB∥CD,
∴△ABC是等邊三角形,∠ACD=∠BAC=60°,
∴AB=AC,∠B=60°,∴∠B=∠ACD,
∴△ABE≌△ACF(ASA),∴AE=AF.
(2)∵△ABE≌△ACF,∴BE=CF.
∵菱形ABCD的邊長為4,
∴△ECF的周長=EC+CF+EF=EC+BE+EF=BC+EF=4+EF,
∴當(dāng)EF最小時,△ECF的周長最小.
∵AE=AF,∠EAF=60°,∴△AEF是等邊三角形,
∴AE=EF,
即當(dāng)AE最小時,△ECF的周長最小,最小值為4+AE.
∵E是BC邊上的動點(diǎn),∴當(dāng)AE⊥BC時,AE最小.
在Rt△ABE中,AB=4,∠B=60°,∴AE=2,
∴△ECF周長的最小值為4+2.
(3)∵四邊形ABCD是菱形,∠BAC=∠EAF=60°,
∴AB=BC,
∴△ABC是等邊三角形,∴∠ABC=∠BCA=60°.
由(2)知△AEF是等邊三角形,∴∠AEF=60°,
∴∠BAE=180°-60°-∠BEA=∠CEG,
∴△CEG∽△BAE,
∴=,∴=,∴CG=.
針對訓(xùn)練　2.解析:(1)補(bǔ)全圖形如圖1所示.
圖1
(2)如圖2,連接BM.
圖2
∵點(diǎn)D與點(diǎn)E關(guān)于AM所在的直線對稱,∴AE=AD,∠MAD=∠MAE.
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AD=AB,∠D=∠ABF=90°.
∵DM=BF,∴△ADM≌△ABF(SAS),
∴AF=AM,∠FAB=∠MAD,∴∠FAB=∠MAE,
∴∠FAE=∠MAB.
又∵AB=AE=AD,
∴△FAE≌△MAB(SAS),∴EF=BM.
∵四邊形ABCD是正方形,∴BC=CD=AB=3.
∵DM=1,∴CM=2,∴BM==,
∴EF=.
故線段EF的長為.
(3)設(shè)DM=x(x>0),則CM=3-x,
∴EF=BM==.
∵AE=AD=3,AF=AM==,
∴AF>AE,∴當(dāng)△AEF為等腰三角形時,只能有兩種情況AE=EF,或AF=EF,
①當(dāng)AE=EF時,有=3,解得x=3;
②當(dāng)AF=EF時,=,解得x=.
綜上所述,當(dāng)△AEF為等腰三角形時,DM=3或.
例3　解析:(1)①證明:∵AB=AC,BC=8,AD⊥BC于點(diǎn)D,
∴BD=CD=BC=4,
∴AD==3,
∴AF=3,
∴BF=8,
∴BF=BC.
∵BE=BE,EF=EC,
∴△BEF≌△BEC(SSS),
∴∠ABE=∠EBC.
∵AD⊥BC,BD=CD,
∴AD是BC的垂直平分線,
∴EB=EC,
∴∠EBC=∠ECB,
∴∠ABE=∠BCE.
②如圖,作EH⊥BF于點(diǎn)H,即∠BHE=90°,
∵△BEF≌△BEC,
∴∠ABE=∠DBE,∠F=∠ECB.
∵∠BHE=∠BDE=90°,BE=BE,
∴△BHE≌△BDE,
∴DE=EH,BH=BD=4.
設(shè)DE=EH=x,
∴AE=3-x,AH=AB-BH=1.
∵AH2+EH2=AE2,
∴12+x2=(3-x)2,
解得x=,
∴DE=,
∴CE===,
∴sinF=sin∠ECD==.
(2)設(shè)AE=a,則DE=3-a.
∵AE=AF,
∴AF=a,∠F=∠AEF.
∵AD垂直平分BC,
∴BE=CE,
由旋轉(zhuǎn)得CE=EF,
∴BE=EF,
∴∠F=∠ABE,
∴∠AEF=∠ABE.
又∵∠F=∠F,
∴△FAE∽△FEB,
∴=,
∴EF2=AF·BF.
∵CE2=DE2+CD2,
∴CE2=(3-a)2+42,EF2=a(5+a).
∵CE=EF,
∴a(5+a)=(3-a)2+42,
解得a=,
∴AE=.
針對訓(xùn)練　3.解析:(1)證明:由折疊性質(zhì)可得∠APB=∠APF.
∵四邊形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∴∠APB=∠FAP,
∴∠APF=∠FAP,∴FA=FP.
(2)①由題意知,B'P=BP=BC=4,AB'=AB=6.
設(shè)AF=FP=x,則B'F=x-4,
在Rt△AB'F中,由勾股定理得AF2-B'F2=AB'2,即x2-(x-4)2=62,解得x=,
∴AF的長為.
②AB與HG的數(shù)量關(guān)系為AB=2HG.
理由:如圖,過點(diǎn)B'作B'M∥CD,交AE于點(diǎn)M,
∴∠AMB'=∠AED.
由折疊的性質(zhì)可得,∠BAP=∠EAB',AH⊥BB'.
∵AB∥CD,∴∠BAP=∠AED,
∴∠AMB'=∠EAB',∴B'M=AB'=AB.
由題意可知△ABH≌△MB'H,∴AH=HM,H是AM的中點(diǎn),∴AH=AM.
∵∠EAB'=2∠AEB',∴∠AMB'=∠EAB'=2∠AEB'.
∵∠AMB'=∠EB'M+∠AEB',∴∠EB'M=∠AEB',∴ME=B'M=AB.
∵G是AE的中點(diǎn),∴AG=AE,
∴HG=AG-AH=AE-AM=ME=AB,∴AB=2HG,
∴AB與HG的數(shù)量關(guān)系為AB=2HG.

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