資源簡介

章節構建二　特殊四邊形的性質及判定
回歸教材·過基礎
【考點清單】
知識點 特殊四邊形的定義及性質
特殊四邊形 平行四邊形 矩形 菱形 正方形
圖形
性質 邊 對邊① 對邊相等且平行 四條邊② , 對邊③ 四條邊相等, 對邊平行
角 兩組對角分別相等 四個角④ (都是直角) 兩組對角分別相等 四個角相等 (都是直角)
對角線 互相平分 互相平分且相等 互相⑤ , 平分⑥ 互相平分且垂直、相等,平分一組對角
對稱性 中心對稱圖形 既是中心對稱圖形,也是軸對稱圖形,有2條對稱軸 既是中心對稱圖形,也是軸對稱圖形,有2條對稱軸 既是中心對稱圖形,也是軸對稱圖形有4條對稱軸
對稱中心為對角線的交點
周長 C=2(a+b) C=2(a+b) C=4a C=4a
面積 S=ah S=ab S=ah=mn S=a2=m2
【基礎演練】
1.矩形的性質與判定:
(1)如圖1,在 ABCD中,AC,BD相交于點O,請添加一個條件 (寫出一個即可),
使四邊形ABCD是矩形.
(2)在(1)的結論下,
①若∠BAC=30°,則∠AOD= ;
②若∠ADO=60°,BD=8,則OA的長為 ,矩形ABCD的面積為 ;
③過點O作OE∥DC交BC于點E,若OE=8,BE=6,則AC的長為 ,
矩形ABCD的周長為 .
(3)如圖2,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,對角線AC,BD相交于點O,M,N分別是OC,BC的中點,連接ON,MN,則△OMN的周長為 .
2.菱形的性質與判定:
(1)如圖1,在 ABCD中,AC,BD相交于點O,請添加一個條件 (寫出一個即可),
使四邊形ABCD是菱形.
(2)在(1)的結論下,完成下列問題:
①若AC=12,BD=16,則AO= ,BO= ,AB= ,AD= ;
②若∠ABC=60°,AB=4,則∠BAD= ,∠BAC= ,∠ABD= ,
AC的長是 ,BD的長是 ,四邊形ABCD的面積是 ,
四邊形ABCD的周長是 ;
③若tan∠BAC=,AC=12,則BD的長是 ;
④若AB=10,E是CD的中點,連接OE,則OE的長是 ;
⑤過點O作OF⊥BC于點F,若AC=12,BD=16,則OF的長是 .
(3)如圖2,在菱形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,過點A作AH⊥BC于點H,
若cos∠ABC=,CH=4,則AH的長是 ,AC的長是 ,菱形ABCD的面積為 .
3.正方形的性質與判定:
如圖1,已知在正方形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O.
(1)∠ABC= ,∠BAC= ,∠AOD= ;
(2)若AD=4,則AB= ,BC= ,AC= ,BD= ,BO= ;
(3)若OC=2,則正方形ABCD的邊長是 ,面積是 ,周長是 ;
(4)如圖2,在正方形ABCD的外側作等邊△DCE,則∠EAC= .
真題精粹·重變式
考向1 矩形的性質與判定　6年4考
1.(2021·福建)如圖,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,E,F分別是邊AB,BC上的動點,點E不與點A,B重合,且EF=AB,G是五邊形AEFCD內滿足GE=GF且∠EGF=90°的點.現給出以下結論:
①∠GEB與∠GFB一定互補;
②點G到邊AB,BC的距離一定相等;
③點G到邊AD,DC的距離可能相等;
④點G到邊AB距離的最大值為2.
其中正確的是 .(寫出所有正確結論的序號)
熱點訓練 2.如圖,將矩形紙片ABCD的兩個直角進行折疊,使CB,AD恰好落在對角線AC上,點B',D'分別是點B,D的對應點,折痕分別為CF,AE.若AB=4,BC=3,則線段B'D'的長是 ( ) A. B.2 C. D.1
考向2 菱形的性質與判定　6年1考
3.(2023·福建)如圖,在菱形ABCD中,AB=10,∠B=60°,則AC的長為 .
熱點訓練 4.如圖,在菱形ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,過點C作CE∥BD交AB的延長線于點E,下列結論不一定正確的是 ( ) A.OB=CE B.△ACE是直角三角形 C.BC=AE D.BE=CE
考向3 正方形的性質與判定　6年2考
5.(2024·福建)如圖,正方形ABCD的面積為4,E,F,G,H分別為邊AB,BC,CD,AD的中點,則四邊形EFGH的面積為 .
6.(2021·福建)如圖,在正方形ABCD中,E,F為邊AB上的兩個三等分點,點A關于DE的對稱點為點A',AA'的延長線交BC于點G.
(1)求證:DE∥A'F.
(2)求∠GA'B的大小.
(3)求證:A'C=2A'B.
熱點訓練 7.四邊形具有不穩定性,對于四條邊長確定的四邊形,當內角度數發生變化時,其形狀也會隨之改變.如圖,改變正方形ABCD的內角,正方形ABCD變為菱形ABC'D'.若∠D'AB=30°,則菱形ABC'D'的面積與正方形ABCD的面積之比是 ( ) A.1 B. C. D.
核心突破·拓思維
考點1 矩形的性質和判定
如圖,在 ABCD中,AC⊥BC,過點D作DE∥AC交BC的延長線于點E,M為AB的中點,連接CM.
(1)求證:四邊形ADEC是矩形.
(2)若CM=5,AC=8,求四邊形ADEB的面積.
如圖,在矩形ABCD中,點E在邊BC上,F是AE的中點,AB=6,AD=ED=10,則BF的長為 ( )
A. B.2 C. D.2
如圖,矩形ABCD的對角線AC,BD交于點O,AB=6,BC=8,P是AD上不與點A,D重合的一個動點,過點P分別作AC和BD邊上的垂線,垂足分別為E,F,則PE+PF的值為 ( )
A. B. C. D.
已知菱形ABCD的對角線AC,BD交于點O,CE∥OD,DE∥OC.求證:四邊形OCED是矩形.
如圖,在矩形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,且∠CDF=∠BDC,∠DCF=∠ACD.
(1)求證: DF=CF.
(2)若∠CDF=60°,DF=6,求矩形ABCD的面積.
考點2 菱形的性質和判定
如圖,在菱形ABCD中,點E,F分別在邊AB,BC上,BE=BF,DE,DF分別與AC交于點M,N.
(1)求證:
①△ADE≌△CDF.
②ME=NF.
(2)連接BM,BN,求證:四邊形BMDN是菱形.
(3)若AB=4,BD=2,∠MDN=60°,求AM的長及菱形ABCD的面積.
如圖,在△ABC中,D是AC的中點,過點D作DE⊥AC交BC于點E,過點A作AF∥BC交DE的延長線于點F,連接AE,CF.
(1)求證:四邊形AECF是菱形.
(2)若CF=8,∠FAC=30°,∠B=45°,求AB的長.
考點3 正方形的性質和判定
探究:(課本改編)如圖,在正方形ABCD中,E是BC邊上一點,點F在AB的延長線上,且BE=BF,延長AE交CF于點M,連接BM.
(1)猜想AE與CF的關系,并證明你的結論.
(2)求證:AM⊥CF.
(3)求證:AE·ME=CE·BE.
(4)求證:∠AMB=45°.
(5)如果正方形ABCD的邊長為2,E是邊BC的中點,求FM的長.
(6)猜想AM,CM,BM之間的數量關系,并證明你的結論.
參考答案
回歸教材·過基礎
考點清單
①相等且平行　②相等　③平行　④相等　⑤平分且垂直　⑥一組對角
基礎演練
1.(1)∠ABC=90°　(2)①60°　②4　16　③20　56　(3)4
2.(1)AB=AD
(2)①6　8　10　10　②120°　60°　30°　4　4　8
16　③16　④5　⑤
(3)8　4　80
3.(1)90°　45°　90°
(2)4　4　4　4　2
(3)2　8　8
(4)30°
真題精粹·重變式
1.①②④　2.D　3.10　4.D
5.2　解析:如圖,連接HF,EG.
∵正方形ABCD的面積為4,
∴BC∥AD,BC=AD=2.
∵H,F分別為邊DA,BC的中點,
∴四邊形BFHA是平行四邊形,
∴AB=HF=2,AB∥HF.
同理BC=EG=2,BC∥EG.
∵AB⊥BC,
∴HF⊥EG,
∴四邊形EFGH的面積是EG×HF=×2×2=2.
故答案為2.
6.解析:(1)證明:如圖,設AG與DE的交點為O,連接GF.
∵點A關于DE的對稱點為A',
∴AO=A'O,AA'⊥DE.
∵E,F為邊AB上的兩個三等分點,
∴AE=EF=BF,
∴DE∥A'F.
(2)∵AA'⊥DE,
∴∠AOE=90°=∠DAE=∠ABG,
∴∠ADE+∠DEA=90°=∠DEA+∠EAO,
∴∠ADE=∠EAO.
在△ADE和△BAG中,
∴△ADE≌△BAG(ASA),
∴AE=BG,
∴BF=BG,
∴∠GFB=∠FGB=45°.
∵∠FA'G=∠FBG=90°,
∴F,B,G,A'四點共圓,
∴∠GA'B=∠GFB=45°.
(3)證明:設AE=EF=BF=BG=a,
∴AD=BC=3a,FG=a,
∴CG=2a.
在Rt△ADE中,DE===a=AG.
∵sin∠EAO=sin∠ADE,
∴=,
∴=,∴OE=a,
∴AO===a=A'O,
∴A'G=a.
∵AO=A'O,AE=EF,
∴A'F=2OE=a.
∵∠FA'G=∠FBG=90°,
∴∠A'FB+∠A'GB=180°.
∵∠A'GC+∠A'GB=180°,
∴∠A'FB=∠A'GC.
又∵==,
∴△A'FB∽△A'GC,
∴=,
∴A'C=2A'B.
7.B
核心突破·拓思維
例1　解析:(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,點E在BC的延長線上,
∴DA∥CB,即DA∥CE.
又∵DE∥AC,
∴四邊形ADEC是平行四邊形.
∵AC⊥BC,
∴∠ACB=∠ACE=90°,
∴平行四邊形ADEC是矩形.
(2)∵在平行四邊形ABCD中,AC是對角線,且AC⊥BC,
∴△ABC是直角三角形.
∵M為斜邊AB的中點,且CM=5,AC=8,
∴AB=2CM=2×5=10,
∴BC===6.
由(1)可知平行四邊形ADEC是矩形,AC⊥BC,DE⊥BE,
∴AC=DE=8,AD=CE=BC=6,∴BE=12,
∴S四邊形ADEB===72.
變式1　C
變式2　C
變式3　證明:∵CE∥OD,DE∥OC,
∴四邊形OCED是平行四邊形.
∵四邊形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,∴∠DOC=90°,
∴平行四邊形OCED是矩形.
變式4　解析:(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,
∴OC=AC,OD=BD,AC=BD,
∴OC=OD,
∴∠ACD=∠BDC.
∵∠CDF=∠BDC,∠DCF=∠ACD,
∴∠CDF=∠DCF,
∴DF=CF.
(2)由(1)可知 DF=CF.
∵∠CDF=60°,
∴△CDF是等邊三角形,
∴CD=DF=6.
∵∠CDF=∠BDC=60°,OC=OD,
∴△OCD是等邊三角形,
∴OC=OD=CD=6,
∴BD=2OD=12.
∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠BCD=90°,
∴BC===6,
∴S矩形ABCD=BC·CD=6×6=36.
例2　解析:(1)①證明:∵四邊形ABCD是菱形,
∴DA=DC,∠DAE=DCF,AB=CB.
∵BE=BF,∴AE=CF.
在△ADE和△CDF中,
∴△ADE≌△CDF(SAS).
②證明:由①知△ADE≌△CDF,
∴∠ADM=∠CDN,DE=DF.
∵四邊形ABCD是菱形,
∴∠DAM=∠DCN.
∵∠ADM=∠CDN,∴∠DMA=∠CND,
∴∠DMN=∠DNM,∴DM=DN,
∴DE-DM=DF-DN,∴ME=NF.
(2)證明:如圖,連接BD,交AC于點O.
∵四邊形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,OB=OD,
由(1)②知DM=DN,
∴OM=ON,
∴四邊形BMDN是菱形.
(3)如圖,∵四邊形ABCD是菱形,BD=2,AB=4,
∴AC⊥BD,OB=OD=1,
∴OA=OC==.
∵DM=DN,∠MDN=60°,
∴∠MDO=∠NDO =30°,
∴MD=2MO,
∴DM2=(2OM)2=OM2+OD2,
即3OM2=1,
∴OM=,
∴AM=OA-OM=-,
∴S菱形ABCD=AC·BD=×2×2=2.
變式　解析:(1)證明:在△ABC中,D是AC的中點,
∴AD=DC.
∵AF∥BC,
∴∠FAD=∠ECD,∠AFD=∠CED.
在△AFD和△CED中,
∴△AFD≌△CED(AAS),∴AF=CE,
∴四邊形AECF是平行四邊形.
∵EF⊥AC,
∴平行四邊形AECF是菱形.
(2)如圖,過點A作AG⊥BC于點G.
由(1)知四邊形AECF是菱形,
又∵CF=8,∠FAC=30°,
∴AE=CF=8,∠FAE=2∠FAC=60°,
∴∠AEB=∠FAE=60°.
∵AG⊥BC,
∴∠AGB=∠AGE=90°,
∴∠GAE=30°,
∴AG=AE=4.
∵∠B=45°,
∴∠GAB=∠B=45°,
∴AB=AG=4.
例3　解析:(1)AE=CF.
證明:∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠ABC=90°=∠CBF,AB=CB.
在△ABE和△CBF中,
∴△ABE≌△CBF(SAS),
∴AE=CF.
(2)證明:由(1)知△ABE≌△CBF,
∴∠AEB=∠F.
∵∠BEA=∠CEM,∠F+∠BCF=90°,
∴∠CEM+∠BCF=90°,
∴∠CME=90°,即AM⊥CF.
(3)證明:由(2)可知∠AEB=∠CEM,∠ABC=∠CME=90°,
∴△ABE∽△CME,∴=,
∴AE·ME=CE·BE.
(利用定弦定角證明A,B,M,C四點共圓)
(4)證明:如圖1,在線段AM上截取AH=CM,連接BH.
圖1
∵AM⊥CM,∴∠AMC=∠ABC=90°,
∴∠MCB+∠CEM=∠MAB+∠AEB =90°.
∵∠CEM=∠AEB,
∴∠MCB=∠MAB.
∵AH=CM,AB=BC,
∴△BCM≌△BAH(SAS),
∴BH=BM,∠CBM=∠ABH,
∴∠ABC=∠ABH+∠HBE=∠CBM+∠HBE=90°,
∴△BHM是等腰直角三角形,∴∠AMB=45°.
(5)如圖2,作BH⊥AM于點H,由(4)知∠AMB=45°,
圖2
∴△HBM為等腰直角三角形,HB=HM.
∵E為BC的中點,正方形ABCD的邊長為2,
∴BE=CE=BF=1,
∴AE=CF===,
∴AB·BE=AE·BH,
∴BH===.
在△BHE和△CME中,
∵BE=CE,∠BHE=∠CME=90°,∠BEH=∠CEM,
∴△BHE≌△CME(AAS),
∴CM=BH=,
∴MF=CF-CM=-=.
(6)AM-CM=BM.
證明:如圖3,在線段AM上截取AH=CM,連接BH.
圖3
由(4)知△BHM是等腰直角三角形,
∴MH=BM,
∴AM-CM=BM.

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