資源簡(jiǎn)介

第7節(jié)　銳角三角函數(shù)
回歸教材·過基礎(chǔ)
【知識(shí)體系】
【考點(diǎn)清單】
知識(shí)點(diǎn)1 銳角三角函數(shù)的定義
定義:在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的對(duì)邊分別為a,b,c.
(1)∠A的正弦:sin A==.
(2)∠A的余弦:cos A==.
(3)∠A的正切:tan A==.
技巧提示
銳角三角函數(shù)只能在直角三角形中使用,如果沒有直角三角形,常通過作垂線構(gòu)造直角三角形.
知識(shí)點(diǎn)2 特殊角的三角函數(shù)值
∠α三角函數(shù)值三角函數(shù) 0° 30° 45° 60° 90°
sin α 0 1
cos α 1 0
tan α 0 1 不存在
知識(shí)點(diǎn)3 解直角三角形
1.定義
由直角三角形中除直角外的已知元素,求出所有未知元素的過程,叫作解直角三角形.(直角三角形中,除直角外,一共有5個(gè)元素,即3條邊長(zhǎng)和2個(gè)銳角)
2.直角三角形的邊角關(guān)系
在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的對(duì)邊分別為a,b,c.
(1)已知三邊之間的關(guān)系:a2+b2=c2.
(2)已知銳角之間的關(guān)系:∠A+∠B=90°.
(3)邊角之間的關(guān)系:sin A=,cos A=,tan A=,sin B=,cos B=,tan B=.
3.解直角三角形的幾種類型及解法
已知條件 解法
一條邊和一個(gè)銳角 斜邊c和銳角A B=90°-A,a=csin A,b=ccos A
直角邊a和銳角A B=90°-A,b=,c=
兩條邊 兩條直角邊a和b c=,由tan A=求角A,B=90°-A
直角邊a和斜邊c b=,由sin A=求角A,B=90°-A
知識(shí)點(diǎn)4 解直角三角形的常見實(shí)際應(yīng)用
仰角、俯角 在視線與水平線所成的銳角中,視線在水平線上方的角叫仰角,視線在水平線下方的角叫俯角
坡度(坡比)、坡角 坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫坡度(坡比), 用字母i表示;坡面與水平線的夾角α叫坡角,i=tan α=
方向角 一般指以觀測(cè)者的位置為中心,將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)的方向線所成的角(一般指銳角),通常表達(dá)成“北(南)偏東(西)××度”.如圖,A點(diǎn)位于O點(diǎn)的北偏東30°方向,B點(diǎn)位于O點(diǎn)的南偏東60°方向, C點(diǎn)位于O點(diǎn)的北偏西45°方向(或西北方向)
【基礎(chǔ)演練】
(原創(chuàng))已知△ABC,∠B=30°,AB=6.
(1)如圖1,∠C=90°,則sin B= ,AC= ,BC= ,點(diǎn)C到直線AB的距離是 .
(2)如圖2,∠C=45°,則sin B= ,AC= ,BC= ,點(diǎn)C到直線AB的距離是 .
(3)如圖3,∠C=135°,則sin B= ,AC= ,BC= ,點(diǎn)C到直線AB的距離是 .
真題精粹·重變式
考向1 銳角三角函數(shù)的計(jì)算
熱點(diǎn)訓(xùn)練 1.sin 30°= .
考向2 解直角三角形
熱點(diǎn)訓(xùn)練 2.如圖,由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中,點(diǎn)A,B,C都在格點(diǎn)上,以AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)C,D,則cos∠ADC的值為 ( ) A. B. C. D.
考向3 解直角三角形的應(yīng)用　6年1考
3.(2022·福建)如圖,衣架可以近似看成一個(gè)等腰三角形ABC,其中AB=AC,∠ABC=27°,BC=44 cm,則高AD約為(參考數(shù)據(jù):sin 27°≈0.45,cos 27°≈0.89,tan 27°≈0.51) ( )
A.9.90 cm
B.11.22 cm
C.19.58 cm
D.22.44 cm
4.(2024·福建)無動(dòng)力帆船是借助風(fēng)力前行的.如圖,這是帆船借助風(fēng)力航行的平面示意圖,已知帆船航行方向與風(fēng)向所在直線的夾角∠PDA為70°,帆與航行方向的夾角∠PDQ為30°,風(fēng)對(duì)帆的作用力F為400 N.根據(jù)物理知識(shí),F可以分解為兩個(gè)力F1與F2,其中與帆平行的力F1不起作用,與帆垂直的力F2又可以分解為兩個(gè)力f1與f2,f1與航行方向垂直,被舵的阻力抵消,f2與航行方向一致,是真正推動(dòng)帆船前行的動(dòng)力.在物理學(xué)上常用線段的長(zhǎng)度表示力的大小,據(jù)此,建立數(shù)學(xué)型:F=AD=400N,則f2=CD= N.(單位:N.參考數(shù)據(jù):sin40°≈0.64,cos40°≈0.77)
熱點(diǎn)訓(xùn)練 5.如圖,小睿為測(cè)量公園一涼亭AB的高度,他先在水平地面點(diǎn)E處用高1.5 m的測(cè)角儀DE測(cè)得∠ADC=31°,然后沿EB方向向前走3 m到達(dá)點(diǎn)G處,在點(diǎn)G處用高1.5 m的測(cè)角儀FG測(cè)得∠AFC=42°.求涼亭AB的高度.(A,C,B三點(diǎn)共線,AB⊥BE,AC⊥CD,CD=BE,BC=DE.結(jié)果精確到0.1 m)(參考數(shù)據(jù):sin 31°≈0.52,cos 31°≈0.86,tan 31°≈0.60,sin 42°≈0.67,cos 42°≈0.74,tan 42°≈0.90)
核心突破·拓思維
考點(diǎn)1 解直角三角形
如圖,AC,BD為四邊形ABCD的對(duì)角線,AC⊥BC,AB⊥AD,CA=CD.若tan∠BAC=,則tan∠DBC的值是 ( )
A. B. C. D.
解題指南　根據(jù)tan∠BAC=,得出∠BAC的度數(shù),則在Rt△ACB中,設(shè)BC=1,則AC=.證明△CAD為等邊三角形,過點(diǎn)D作DE⊥CA,交CA于點(diǎn)E,設(shè)CA與BD交于點(diǎn)F,則DE∥BC,從而∠DBC=∠FDE.設(shè)CF=x,則EF=-x,根據(jù)tan∠DBC=tan∠FDE列出關(guān)于x的方程,解得x的值,則可求得tan∠DBC的值.
如圖,∠MON是一個(gè)銳角,以O(shè)為圓心,任意長(zhǎng)為半徑畫弧,分別交OM,ON于點(diǎn)A,B,再分別以點(diǎn)A,B為圓心,大于AB的長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)C,畫射線OC.過點(diǎn)A作AD∥ON,交射線OC于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DE⊥OC,交ON于點(diǎn)E.設(shè)OA=10,DE=12,則sin∠MON= .
核心方法
　　三角函數(shù)在幾何圖中的用法
1.當(dāng)所求三角函數(shù)(角或邊)在直角三角形中時(shí),考慮直接代入銳角三角函數(shù)的定義求解.
2.當(dāng)所求三角函數(shù)(角或邊)不在直角三角形中時(shí),可根據(jù)等角的銳角三角函數(shù)值相等,進(jìn)行等量轉(zhuǎn)換或作輔助線構(gòu)造直角三角形.
考點(diǎn)2 解直角三角形的應(yīng)用
如圖,這是處于工作狀態(tài)的某型號(hào)手臂機(jī)器人示意圖,OA是垂直于工作臺(tái)的移動(dòng)基座,AB,BC為機(jī)械臂,OA=1 m,AB=5 m,BC=2 m,∠ABC=143°.機(jī)械臂端點(diǎn)C到工作臺(tái)的距離CD=6m.
(1)求A,C兩點(diǎn)之間的距離.
(2)求OD的長(zhǎng)度.
(結(jié)果精確到0.1 m,參考數(shù)據(jù):sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75,≈2.24)
核心方法
　　解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用問題的方法
　　要讀懂題意,分析背景語言,再理清題中各個(gè)量的具體意義及各個(gè)已知量和未知量之間的關(guān)系,把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形中的邊角關(guān)系問題,具體方法如下:
1.緊扣三角函數(shù)的定義,尋找邊角關(guān)系;
2.添加輔助線,構(gòu)造直角三角形,作高是常用的輔助線添加方法(如圖所示);
　　3.逐個(gè)分析相關(guān)直角三角形,構(gòu)造方程求解,一般設(shè)最短的邊為x,先分別在不同的直角三角形中用含x的代數(shù)式表示出未知邊,再根據(jù)兩個(gè)直角三角形邊的數(shù)量關(guān)系(和、差或相等)列方程求出未知量.
在東海一次軍事演習(xí)中,某潛艇由西向東航行,如圖,到達(dá)A處時(shí),測(cè)得某島上的敵方預(yù)警雷達(dá)C位于它的北偏東70°方向,且與潛艇相距500海里,再航行一段時(shí)間后于當(dāng)天晚上6:00到達(dá)B處,測(cè)得島上的敵方預(yù)警雷達(dá)C位于它的北偏東37°方向.上級(jí)要求潛艇以每小時(shí)20節(jié)(海里)速度繼續(xù)航行,到達(dá)島的正南方向的D處20分鐘后使用艦對(duì)岸導(dǎo)彈攻擊,摧毀假設(shè)敵方預(yù)警雷達(dá)C,求發(fā)起攻擊的時(shí)間.(參考數(shù)據(jù):sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75,sin37°≈0.6,cos37°≈0.80,
tan37°≈0.75)
[真情境]圖1是一輛吊車的實(shí)物圖,圖2是其工作示意圖,AC是可以伸縮的起重臂,其轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)A離地面BD的高度AH為3.4 m.當(dāng)起重臂AC長(zhǎng)度為9 m,張角∠HAC為118°時(shí),求操作平臺(tái)C離地面的
高度.(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位,參考數(shù)據(jù):sin 28°≈0.47,cos 28°≈0.88,tan 28°≈0.53)
綜合與實(shí)踐活動(dòng)中,要利用測(cè)角儀測(cè)量塔的高度,如圖,塔AB前有一座高為DE的觀景臺(tái),已知CD=6 m,∠DCE=30°,點(diǎn)E,C,A在同一條水平直線上.某學(xué)習(xí)小組在觀景臺(tái)C處測(cè)得塔頂部B的仰角為45°,在觀景臺(tái)D處測(cè)得塔頂部B的仰角為27°.
(1)求DE的長(zhǎng).
(2)設(shè)塔AB的高度為h(單位:m).
①用含有h的式子表示線段EA的長(zhǎng)(結(jié)果保留根號(hào));
②求塔AB的高度(tan 27°取0.5,取1.7,結(jié)果取整數(shù)).
參考答案
回歸教材·過基礎(chǔ)
基礎(chǔ)演練
(1)　3　3　　(2)　3　3+3　
(3)　3　3-3　
真題精粹·重變式
1.　2.B　3.B
4.128　解析:如圖,
∵∠PDA=70°,∠PDQ=30°,
∴∠ADQ=∠PDA-∠PDQ=70°-30°=40°,∠1=∠PDQ=30°.
∵AB∥QD,
∴∠BAD=∠ADQ=40°.
在Rt△ABD中,F=AD=400 N,∠ABD=90°,
∴F2=BD=AD·sin∠BAD=400·sin40°≈400×0.64=256(N).
由題意可知,BD⊥DQ,
∴∠BDC+∠1=90°,
∴∠BDC=90°-∠1=60°.
在Rt△BCD中,BD=256 N,∠BCD=90°,
∴f2=CD=BD·cos∠BDC=256×cos60°=256×=128(N).
故答案為128.
5.解析:由題意得BC=FG=DE=1.5 m,DF=GE=3 m,∠ACF=90°.
設(shè)CF=x m,
則CD=CF+DF=(x+3)m.
在Rt△ACF中,∠AFC=42°,
∴AC=CF·tan 42°≈0.9x(m).
在Rt△ACD中,∠ADC=31°,
∴tan 31°==≈0.6,
∴x=6.
經(jīng)檢驗(yàn),x=6是原方程的根,
∴AB=AC+BC=0.9x+1.5=6.9(m),
∴涼亭AB的高度約為6.9 m.
核心突破·拓思維
例1　D　解析:∵tan∠BAC=,
∴∠BAC=30°.
∵AC⊥BC,
∴∠ACB=90°.
設(shè)BC=1,則AC=.
∵AB⊥AD,
∴∠BAD=90°,
∴∠DAC=60°.
∵CA=CD,
∴△CAD為等邊三角形.
過點(diǎn)D作DE⊥CA,交CA于點(diǎn)E,設(shè)CA與BD交于點(diǎn)F,如圖所示.
則CE=AC=,DE=AD·sin 60°=×=.
設(shè)CF=x,則EF=-x.
∵AC⊥BC,DE⊥CA,
∴DE∥BC,
∴∠DBC=∠FDE,
∴tan∠DBC=tan∠FDE,
∴=,
∴=,
解得x=,
∴tan∠DBC==.
變式　
例2　解析:(1)如圖,過點(diǎn)A作AE⊥CB,垂足為E,
在Rt△ABE中,AB=5,∠ABE=37°.
∵sin∠ABE=,cos∠ABE=,
∴≈0.60,≈0.80,
∴AE=3,BE=4,
∴CE=6.
在Rt△ACE中,由勾股定理得AC==3≈6.7 m.
(2)如圖,過點(diǎn)A作AF⊥CD,垂足為F,
∴FD=AO=1,
∴CF=5.
在Rt△ACF中,由勾股定理得AF==2,
∴OD=2 m≈4.5 m.
變式1　解析:在Rt△ACD中,
cos∠ACD=,
則CD=AC·cos∠ACD≈500×0.34=170(海里).
在Rt△BCD中,tan∠BCD=,
則BD=CD·tan∠BCD≈170×0.75=127.5(海里),127.5÷20=6.375(小時(shí)),
6+6.375+=12.375+,
即晚上12點(diǎn)42分30秒發(fā)起攻擊.
變式2　解析:如圖,作CE⊥BD于點(diǎn)E,AF⊥CE于點(diǎn)F,
∴∠FEB=90°,∠AFE=90°.
又∵∠AHE=90°,∴四邊形AHEF為矩形,
∴EF=AH=3.4 m,∠HAF=90°,
∴∠CAF=∠CAH-∠HAF=118°-90°=28°.
在Rt△ACF中,∵sin∠CAF=,
∴CF=9×sin 28°≈9×0.47=4.23(m),
∴CE=CF+EF=4.23+3.4≈7.6(m).
答:操作平臺(tái)C離地面的高度約為7.6 m.
變式3　解析:(1)由題意得DE⊥EC,
在Rt△DEC中,CD=6 m,∠DCE=30°,
∴DE=CD=3(m),∴DE的長(zhǎng)為3 m.
(2)①由題意得BA⊥EA,
在Rt△DEC中,DE=3 m,∠DCE=30°,
∴CE=DE=3(m),
在Rt△ABC中,AB=h m,∠BCA=45°,
∴AC==h(m),
∴AE=EC+AC=(3+h)m,∴線段EA的長(zhǎng)為(3+h)m.
②如圖,過點(diǎn)D作DF⊥AB,垂足為F,
由題意得DF=EA=(3+h)m,DE=FA=3 m.
∵AB=h m,∴BF=AB-AF=(h-3)m,
在Rt△BDF中,∠BDF=27°,
∴BF=DF·tan 27°≈ m,
∴h-3=,解得h=3+6≈11,
∴AB=11 m,
∴塔AB的高度約為11 m.

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