資源簡介

第6節　相似三角形
回歸教材·過基礎
【知識體系】
【考點清單】
知識點1 比例線段
1.性質:
(1)若=,則ad=bc(abcd≠0).
(2)合比性質:若=,則=(bd≠0).
(3)等比性質:如果==…=(b+d+…+n≠0),那么=.
2.黃金分割:點C把線段AB分成兩條線段AC和BC(AC>BC),
如果AC是線段BC和AB的比例中項,即==≈0.618,那么C叫作線段AB的黃金分割點.
知識點2 平行線分線段成比例
1.基本事實
兩條直線被一組平行線所截,所得的對應線段成比例.
2.推論
平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線),所得的對應線段成比例.
3.主要的幾種形式
　圖1　　　　　　　　　圖2　　　　　　　　　圖3
如圖1,當l3∥l4∥l5時,有=,=等.
如圖2,當DE∥BC時,有=,=等.
如圖3,當DE∥BC時,有==.
技巧提示
可通過一組平行線快速找到一組相似三角形.
知識點3 相似圖形的性質與判定
1.定義:
(1)相似多邊形:各角對應相等,各邊對應成比例的兩個多邊形叫作相似多邊形.
相似多邊形對應邊的比叫作相似比.
(2)相似三角形:如果兩個三角形的對應角相等,對應邊成比例,
那么這兩個三角形叫作相似三角形.
2.相似三角形的性質:
(1)對應角相等,對應邊成比例.
(2)周長之比等于相似比,
面積之比等于相似比的平方.
(3)相似三角形對應高的比、對應角平分線的比和對應中線的比等于相似比.
3.相似三角形的判定:
(1)兩角對應相等的兩個三角形相似.
(2)兩邊對應成比例,
且夾角相等的兩個三角形相似.
(3)三邊對應成比例的兩個三角形相似.
4.幾種基本相似三角形圖形:
(1)“平行線型”的相似三角形(有“A型”與“X型”);
(2)“斜交型”的相似三角形(需滿足∠1=∠2,有“反A共角型”“反A共角共邊型”“蝶型”);
(3)“垂直型”的相似三角形[有“雙垂直共角型”“雙垂直共角共邊型(也稱‘射影定理型’)”“三垂直型”].
核心方法
　　判定兩個三角形相似的常規思考過程:
　　1.先找兩對對應角相等,一般這個條件比較簡單;
2.若只能找到一對對應角相等,則判斷相等角的兩夾邊是否對應成比例;
3.若找不到角相等,則判斷三邊是否對應成比例;
4.若題目出現平行線,則直接運用基本定理得出相似的三角形.
知識點4 位似圖形
1.定義:如果兩個多邊形不僅相似,而且對應頂點的連線相交于一點,這樣的圖形叫作位似圖形,這個點叫位似中心.
2.位似的性質:
(1)位似圖形的對應邊成比例,對應角相等,它們的周長之比等于位似比,面積之比等于位似比的平方;
(2)位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似比;
(3)對應點的連線都經過位似中心.
3.作圖步驟:①確定位似中心;②確定原圖形中的頂點關于位似中心的對應點;③描出新圖形.
技巧提示
給出位似比,但沒有給出位似中心的情況下,一定要分兩個方向,多種情況進行討論,不要漏解.
【基礎演練】
1.如圖,在△ABC中,AB=10,D,E分別是AB,AC上的點,連接DE.
(1)若DE∥BC,=,則AD的長為 ,= ,△ADE與△ABC的周長之比為 ,= .
(2)若∠AED=∠B,寫出圖中的相似三角形: .
(3)已知AC=12,且△ADE與△ABC相似,若AE=5,則AD的長為 .
2.如圖,在△ABC中,AB=10,E是AC邊上的一點,連接BE,∠ABE=∠ACB.
(1)若AC=12,則AE= .
(2)若=,S△BEC=5,求△ABC的面積.
真題精粹·重變式
考向1 平行線分線段成比例
熱點訓練 1.如圖,在△ABC中,DE∥BC,=,若AC=6,則EC= ( )　　　 A. B. C. D.
考向2 相似三角形的性質與判定　6年1考
2.(2023·福建)閱讀下列材料,回答問題.
任務:測量一個扁平狀的小水池的最大寬度,該水池東西走向的最大寬度AB遠大于南北走向的最大寬度,如圖1. 工具:一把皮尺(測量長度略小于AB)和一臺測角儀,如圖2.皮尺的功能是直接測量任意可到達的兩點間的距離(這兩點間的距離不大于皮尺的測量長度);測角儀的功能是測量角的大小,即在任一點O處,對其視線可及的P,Q兩點,可測得∠POQ的大小,如圖3.
小明利用皮尺測量,求出了小水池的最大寬度AB.其測量及求解過程如下: 測量過程:(ⅰ)在小水池外選點C,如圖4,測得AC=a m,BC=b m; (ⅱ)分別在AC,BC上測得CM= m,CN= m;測得MN=c m. 求解過程:由測量知,AC=a m,BC=b m,CM= m,CN= m, ∴==,又∵①　　　　, ∴△CMN∽△CAB,∴=. 又∵MN=c m,∴AB=②　　　　 m. 故小水池的最大寬度為*** m.
(1)補全小明求解過程中①②所缺的內容.
(2)小明求得AB用到的幾何知識是　　　　.
(3)小明僅利用皮尺,通過5次測量,求得AB.請你同時利用皮尺和測角儀,通過測量長度、角度等幾何量,并利用解直角三角形的知識求小水池的最大寬度AB,寫出你的測量及求解過程.
要求:測量得到的長度用字母a,b,c…表示,角度用α,β,γ…表示;測量次數不超過4次
(測量的幾何量能求出AB,且測量的次數最少,才能得滿分).
考向3 圖形的位似
熱點訓練 3.如圖,△ABC和△DEF是以點O為位似中心的位似圖形.若OA∶AD=2∶3,則△ABC與△DEF的周長比是 .
考向4 相似三角形的應用
熱點訓練 4.數學興趣小組通過測量旗桿的影長來求旗桿的高度,他們在某一時刻測得高為2米的標桿影長為1.2米,此時旗桿影長為7.2米,則旗桿的高度為 米.
參考答案
回歸教材·過基礎
基礎演練
1.(1)4　　2∶5　　(2)△ABC∽△AED
(3)6或
2.解析:(1)
(2)∵∠ABE=∠ACB,∠A=∠A,
∴△ABE∽△ACB,
∴2=,
∴2==.
∵S△BEC=5,
∴=,
∴S△ABC=9.
真題精粹·重變式
1.C
2.解析:(1)①∠C=∠C;②3c.
(2)相似三角形的判定與性質.
(3)測量過程:(ⅰ)如圖,在小水池外選一點C,用測角儀在點B處測得∠ABC=α,在點A處測得∠BAC=β;
(ⅱ)用皮尺測得BC=a m.
求解過程:由測量知,在△ABC中,∠ABC=α,∠BAC=β,BC=a.
過點C作CD⊥AB,垂足為D.
在Rt△CBD中,cos∠CBD=,
即cos α=,所以BD=acos α.
同理,CD=asin α.
在Rt△ACD中,tan∠CAD=,
即tan β=,所以AD=,
所以AB=BD+AD=acos α+.
故小水池的最大寬度為acos α+m.
3.2∶5　4.12

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