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第5節　直角三角形與勾股定理
回歸教材·過基礎
【考點清單】
知識點1 直角三角形的性質與判定
直角 三角形 性質 　直角三角形的兩個銳角①
　直角三角形中斜邊上的中線等于②
判定 　有一個角為③ 的三角形是直角三角形
　有兩個角④ 的三角形是直角三角形
　如果三角形的一邊上的中線等于這條邊的一半,那么這個三角形是直角三角形
　含30°角的 　直角三角形的性質 　在直角三角形中,如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于⑤
　30°角的判定 　若一條直角邊等于斜邊的一半,則這條直角邊所對的銳角等于30°
拓展 　(1)SRt△ABC=ch=ab,其中a,b為兩直角邊,c為斜邊,h為斜邊上的高; 　(2)Rt△ABC內切圓的半徑r=,外接圓的半徑R=,即斜邊的一半
知識點2 勾股定理及其逆定理
1.勾股定理
(1)如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那么⑥ .
(2)能構成直角三角形的三條邊長的三個正整數,稱為勾股數.
2.勾股定理的逆定理
如果三角形的三邊長分別為a,c,b,且滿足⑦ ,那么這個三角形是直角三角形.
技巧提示
運用勾股定理時,應分清直角邊和斜邊,斜邊為最長邊,即斜邊的平方等于兩直角邊的平方和.
【基礎演練】
1.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,則有下列結論:
(1)∠A+∠B= ,依據是 .
(2)AC2+BC2= ,依據是 .
2.如圖,在△ABC中,請你添加一個條件,使得△ABC是直角三角形.添加的條件可以是　　　.
依據是什么
3.在直角三角形ABC中,∠C=90°,解答下列問題:
(1)若∠A=38°,則∠B= °.
(2)若分別以直角三角形三條邊為邊長向外作正方形,記兩直角邊為邊長所作的正方形面積為S1,S2,斜邊為邊長所作的正方形面積為S3,若S1=6,S3=14,則S2= .
(3)如圖1,CD⊥AB,垂足為D.
圖1
①圖中有幾個直角三角形 請寫出來.
②填空:∠ACD=∠ ,∠A=∠ ,∠ACD+∠ =90°,AC2= AD2+ =AD· ,BC2= BD2+ =BD· ,CD2= AD· ,Rt△ACD∽ ∽ .
③若∠A=30°,AC=2,則BC= ,AB= ,AD= ,∠BCD= °.
④E為AB上一點,連接CE,若AC=4,BC=3,則
(ⅰ)AB= ,CD= ;
(ⅱ)當CE為中線時,ED= ;
(ⅲ)當CE為角平分線時,若∠A=40°,則∠DCE= °.
(4)如圖2、圖3,∠ACB=90°,直線l經過點C,過點A,B分別作BD⊥l,AE⊥l,垂足分別為D,E,若AC=BC,則所得的△ACE和△CBD有什么關系 試猜想DE,BD,AE之間的數量關系,并證明你的結論.
圖2　　　　 圖3
4.如圖,以AB所在的直線為x軸,過點C的直線為y軸,建立平面直角坐標系xOy,若OA=4,OB=1,OC=2.
(1)寫出點A,B,C的坐標,并求直線BC的解析式.
(2)若點D在y軸上,將BC沿直線BD對折,使BC正好落在x軸上,點C的對應點為C',求點D的坐標.
真題精粹·重變式
考向1 直角三角形的性質與判定
1.(2021·福建)如圖,某研究性學習小組為測量學校A與河對岸工廠B之間的距離,在學校附近選一點C,利用測量儀器測得∠A=60°,∠C=90°,AC=2 km.據此,可求得學校與工廠之間的距離AB等于 ( )
A.2 km B.3 km
C.2 km D.4 km
熱點訓練 2.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=6,D是AB的中點,則CD= .
考向2 勾股定理及其逆定理
熱點訓練 3.把兩個同樣大小的含45°角的三角尺按如圖所示的方式放置,其中一個三角尺的銳角頂點與另一個的直角頂點重合于點A,且另三個銳角頂點B,C,D在同一直線上.若AB=,則CD= . 核心方法 　　利用直角三角形求線段長的方法 　　1.勾股定理是揭示直角三角形三邊關系的定理.若已知直角三角形中的兩邊長,則可求出第三邊長;若已知直角三角形三邊的關系,則可設未知邊長,根據勾股定理列方程求解. 2.在直角三角形中求邊長,首先要考慮的是用勾股定理求解.當直角三角形中出現30°角時應聯想到30°角所對的直角邊是斜邊的一半,當出現斜邊上的中線時要想到直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半,這些線段間的數量關系是直角三角形中求線段長的關鍵. 3.若圖形中含折疊,則考慮用折疊的性質,然后在直角三角形中,設未知量,列方程求解. 4.若所求為線段和(或可轉化為線段和的形式),考慮用證全等轉化到直角三角形中求解.
4.以2,3為直角邊的直角三角形的斜邊長為 ( ) A. B. C.4 D.5 5.如圖,已知正方形A的面積為3,正方形B的面積為4,則正方形C的面積為 . 6.(數學文化)我國古代數學家趙爽創制了一幅“趙爽弦圖”,極富創新意識地給出了勾股定理的證明.如圖,“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形.若大正方形的面積是25,小正方形的面積是1,則AE= . 7.《九章算術》勾股章有一問題,其意思:現有一豎立著的木柱,在木柱上端系有繩索,繩索從木柱上端順木柱下垂后,堆在地面的部分尚有3尺,牽著繩索退行,在離木柱根部8尺處時繩索用盡,請問繩索有多長 若設繩索長度為x尺,根據題意,可列方程: .
參考答案
回歸教材·過基礎
考點清單
①互余　②斜邊的一半　③90°　④互余　⑤斜邊的一半
⑥c2=a2+b2　⑦a2+b2=c2
基礎演練
1.(1)90°　直角三角形兩個銳角互為余角
(2)AB2 　直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方
2.解析:(1)∠A+∠B=90°或∠C=90°,依據是兩個銳角互為余角的三角形是直角三角形,或者有一個角是直角的三角形是直角三角形.
(2)AC2+BC2=AB2 ,依據是在三角形中,如果兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么這個三角形是直角三角形.
3.解析:(1)52　(2)8
(3)①三個直角三角形,分別是Rt△ACD,Rt△BCD,Rt△ABC.
②B　BCD 　A(或BCD)　CD2　AB 　CD2　AB 　BD 　Rt△CBD　Rt△ABC　③2　4　3　30 　④5　　　5
(4)解析:△ACE≌△CBD,DE=BD+AE(另一種情況自行證明).
證明:∵∠ACB=90°,BD⊥l,AE⊥l,
∴∠AEC=∠CDB=∠ACB=90°,
∴∠EAC+∠ECA=∠BCD+∠ECA=90°,
∴∠EAC=∠BCD.
∵在△ACE和△CBD中,∠EAC=∠DCB,∠AEC=∠CDB,AC=CB,
∴△ACE≌△CBD(AAS),
∴CE=BD,AE=CD,
∴CE +CD=BD+AE,
∴DE=BD+AE.
4.解析:(1)A(-4,0), B(1,0),C(0,2).
設直線BC的解析式為y=kx+b,
依題意得解得
∴y=-2x+2.
(2)①如圖1,當點D在y軸的正半軸上時,可得BC'=BC,
圖1
根據勾股定理,得BC==,∴OC'=BC'-OB=-1,DC'=DC=OC-OD=2-OD.
在Rt△DC'O中,∵OD2+C'O2=C'D2,
∴OD2+(-1)2=(2-OD)2,
解得OD=,∴點D的坐標為0,.
②如圖2,當點D在y軸的負半軸上時,可得BC'=BC,DC'=DC,
圖2
根據勾股定理,得BC==,∴OC'=BC'+OB=+1,DC'=DC=OD+OC=OD+2.
在Rt△DC'O中,∵OD2+C'O2=C'D2,
∴OD2+(+1)2=(2+OD)2,
解得OD=,∴點D的坐標為0,-.
綜上所述,點D的坐標為0,或0,-.
真題精粹·重變式
1.D　2.3　3.-1　4.B　5.7　6.3
7.(x-3)2+82=x2

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