資源簡介

第3節　全等三角形
回歸教材·過基礎
【知識體系】
【考點清單】
知識點1 全等三角形的概念
定義
全等三角形 能夠完全重合的兩個三角形叫作全等三角形; △ABC和△DEF全等,記作△ABC≌△DEF,讀作“三角形ABC全等于三角形DEF”
基本元素 對應邊 AB和DE,BC和EF,AC和DF是對應邊
對應頂點 點A和點D,點C和點F,點B和點E是對應頂點
對應角 ∠A和∠D,∠C和∠F,∠B和∠E是對應角
知識點2 全等三角形的性質與判定
全等三角 形的性質 (1)全等三角形的對應邊、對應角① . (2)全等三角形的對應角平分線、對應中線、對應高② . (3)全等三角形的周長、面積③
三角形全 等的判定 一般三角 形全等 SSS(三邊對應相等) SAS(兩邊和它們的夾邊對應相等) ASA(兩角和它們的夾邊對應相等) AAS(兩角和其中一個角的對邊對應相等)
直角三角 形全等 (1)斜邊和一條直角邊對應相等(HL) . (2)證明兩個直角三角形全等同樣可以用SAS、ASA和AAS
技巧提示
1.對應頂點應找對,書寫應按順序對應;2.注意公共邊、公共角這些重要的隱含條件的應用.
【基礎演練】
已知在△ABC和△DEF中,AB=DE,請回答相關問題.
(1)將兩個三角形按圖1所示方式放置.
①若AB⊥BF,DE⊥BF,BE=CF,求證:△ABC≌△DEF.
證明:∵AB⊥BF,DE⊥BF,
∴∠ABC=∠DEF=90°.
∵BE=CF,
∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF.
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SAS).
判定依據: .
②若∠A=∠D,∠B=∠DEF,求證:△ABC≌△DEF.
證明:在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(ASA).
判定依據: .
(2)將兩個三角形按圖2所示方式擺放(點D,F分別和點A,C重合).
①添加一個條件: ,利用SSS使得△ABC≌△DEF,并寫出證明過程.
②添加一個條件: ,利用HL,使得△ABC≌△DEF,并寫出證明過程.
(3)將兩個三角形按圖3所示方式擺放,∠B=∠E=∠ACF,求證:△ABC≌△DEF.
真題精粹·重變式
考向1 全等三角形的性質與判定　6年3考
1.(2023·福建)如圖,OA=OC,OB=OD,∠AOD=∠COB.求證:AB=CD.
2.(2022·福建)如圖,點B,F,C,E在同一條直線上,BF=EC,AB=DE,∠B=∠E,求證:∠A=∠D.
3.(2021·福建)如圖,在△ABC中,D是邊BC上的點,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分別為E,F,且DE=DF,CE=BF.求證:∠B=∠C.
熱點訓練 4.如圖,OB平分∠AOC,D,E,F分別是射線OA,OB,OC上的點,D,E,F不與O點重合,連接ED,EF,若添加下列條件中的某一個,就能夠使△DOE≌△FOE,你認為要添加的條件是 ( ) A.OD=OE B.OE=OF C.∠ODE=∠OED D.∠ODE=∠OFE
考向2 特殊四邊形背景下的全等三角形 6年3考
5.(2024·福建)如圖,在菱形ABCD中,點E,F分別在邊BC,CD上,且∠AEB=∠AFD.求證:BE=DF.
6.(2020·福建)如圖,點E,F分別在菱形ABCD的邊BC,CD上,且BE=DF.求證:∠BAE=∠DAF.
7.(2019·福建)如圖,E,F分別是矩形ABCD的邊AB,CD上的一點,且DF=BE.求證:AF=CE.
熱點訓練 8.如圖, ABCD的對角線AC,BD相交于點O,EF過點O且與AD,BC分別相交于點E,F.求證:OE=OF.
參考答案
回歸教材·過基礎
考點清單
①相等　②相等　③相等
基礎演練
(1)①兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等
②兩角和它們的夾邊分別相等的兩個三角形全等
(2)①BC=EF　證明:在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SSS).
②∠ABC=∠DEF=90°　證明:在Rt△ABC和Rt△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(HL).
(3)證明:∵∠ACE=∠A+∠B,∠ACE=∠ACF+∠FDE,∠B=∠ACF,
∴∠A=∠FDE.
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(ASA).
真題精粹·重變式
1.證明:∵∠AOD=∠COB,
∴∠AOD-∠BOD=∠COB-∠BOD,
即∠AOB=∠COD.
在△AOB和△COD中,
∴△AOB≌△COD(SAS),∴AB=CD.
2.證明:∵BF=EC,
∴BF+CF=EC+CF,
即BC=EF.
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SAS),∴∠A=∠D.
3.證明:∵DE⊥AC,DF⊥AB,
∴∠BFD=∠CED=90°.
在△BDF和△CDE中,
∴△BDF≌△CDE(SAS),∴∠B=∠C.
4.D
5.證明:∵四邊形ABCD是菱形,
∴AB=AD,∠B=∠D.
在△ABE和△ADF 中,
∴△ABE≌△ADF(AAS),
∴BE=DF.
6.證明:∵四邊形ABCD是菱形,
∴∠B=∠D,AB=AD.
在△ABE和△ADF中,
∴△ABE≌△ADF(SAS),∴∠BAE=∠DAF.
7.證明:∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠D=∠B=90°,AD=BC.
在△ADF和△CBE中,
∴△ADF≌△CBE(SAS),
∴AF=CE.
8.證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴OA=OC,AD∥BC,
∴∠OAE=∠OCF.
在△AOE和△COF中,
∴△AOE≌△COF(ASA),
∴OE=OF.

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