資源簡介

第2節　一般三角形及其性質
回歸教材·過基礎
【知識體系】
【考點清單】
知識點1 三角形的分類
三角形
知識點2 三角形中的重要線段
圖形 特征 性質 備注
中線 AD是△ABC的中線, D是BC邊的中點 BD=CD, S△ABD=S△ACD=S△ABC 重心:三角形的三條中線 的交點,它到三角形頂點的 距離等于它到該頂點對邊 中點的距離的2倍
高線 AD是△ABC的一條 高線,D是垂足 AD⊥BC, 即∠ADC=∠ADB=90° 垂心:三角形的三條高線 的交點
角平分線 線段AD平分∠BAC ∠1=∠2=∠BAC 內心:三角形的三條角平分 線的交點,它到三角形三邊 的距離相等
中位線 DE是△ABC的中位線 DE∥BC且DE=BC 遇到中點時,常構造三角形 的中位線,利用中位線的性 質解題
知識點3 三角形的基本性質
1.三角形的三邊關系
(1)三角形的兩邊之和大于第三邊.若已知△ABC的三邊分別為a,b,c,則①a+b>c;②a+c>b;③b+c>a.
(2)三角形的三邊關系也可以理解為三角形的任意兩邊之差都小于第三邊,即a-bb>c).
2.三角形的穩定性:如果三角形的三條邊固定,那么三角形的形狀和大小就完全確定,三角形的這個性質叫作三角形的穩定性.
技巧提示
(1)三角形的穩定性是三角形的特性,是其他任何多邊形都不具備的性質.
(2)三角形的穩定性在實際生活中有著廣泛的應用,如鋼架橋、房屋架梁等,因此要使一些圖形具有穩定的結構,往往通過連接輔助線轉化為三角形而獲得.
3.三角形的內角和定理
(1)三角形內角和定理:三角形的內角和等于180°.
(2)證明方法:剪拼成平角,通過作平行線構造平角,或構造兩平行線下的同旁內角,如圖:
4.三角形的外角性質
(1)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和;
(2)三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內角.
【基礎演練】
1.(原創) 已知線段a,c和∠α.
(1)求作△ABC,使∠ABC=∠α,AB=a,BC=c.(要求:尺規作圖,不寫作法,保留作圖痕跡)
(2)結合(1)所畫的圖形,寫出△ABC的一些性質:
邊: .
角: .
其他: .
(3)若D為BC邊上一點(不與端點重合),連接AD.
①當AD為中線時,可得結論: .
②當AD為角平分線時,可得結論: .
③當AD為高時,可得結論: .
2.在△ABC中:
(1)若∠A-∠B=40°,∠C=70°,則∠A= °,∠B= °,此時三角形是 三角形.
(2)若∠BAC=50°,∠C=70°,AD⊥BC,AE平分∠BAC,則∠DAE= °.
(3)若D為BC的中點,AB-AC=2 cm,△ACD的周長等于7 cm,則△ABD的周長等于 cm.
真題精粹·重變式
考向1 三角形的三邊關系、角的關系 6年1考
1.(2023·福建)若三角形的三邊長分別為3,4,m,則m的值可以是 ( )
A.1 B.5 C.7 D.9
熱點訓練 2.下列各組數中,能作為一個三角形三邊邊長的是 ( ) A.1,1,2 B.1,2,4 C.2,3,4 D.2,3,5 3.下列圖形中具有穩定性的是 ( ) A.三角形 B.平行四邊形 C.矩形 D.正方形 4.如圖,∠B=30°,∠CAD=65°,且AD平分∠CAE,則∠ACD等于 ( ) A.95° B.65° C.50° D.80° 5.將一副三角板按如圖所示的位置擺放在直尺上,則∠1的度數為 ( ) A.70° B.75° C.80° D.85° 6.將一副三角尺按如圖所示的位置擺放,則α-β= °. 7.三個數3,1-a,1-2a在數軸上從左到右依次排列,且以這三個數為邊長能構成三角形,則實數a的取值范圍為 .
考向2 三角形中的重要線段
8.(2022·福建)如圖,在△ABC中,D,E分別是AB,AC的中點.若BC=12,則DE的長為 .
熱點訓練 9.如圖,在△ABC中,BD為AC邊上的中線,已知BC=8,AB=5,△BCD的周長為20,則△ABD的周長為 ( ) A.17 B.23 C.25 D.28 10.如圖,在△ABC中,∠B=45°,∠C=60°,AD⊥BC于點D,BD=.若E,F分別為AB,BC的中點,則EF的長為 ( ) A. B. C.1 D. 11.若線段AM,AN分別是△ABC的BC邊上的高線和中線,則 ( ) A.AMAN C.AM≤AN D.AM≥AN
參考答案
回歸教材·過基礎
基礎演練
1.(1)解析:如圖,△ABC為所作圖形.
(2)AB+BC>AC;AB-BC(3)①BD=DC,S△ABD=S△ACD=S△ABC
②∠BAD=∠DAC=∠BAC
③AD⊥BC,∠ADB=∠ADC=90°,S△ABC=AD·BC
2.(1)75　 35 　銳角 　(2)5　(3)9
真題精粹·重變式
1.B　2.C　3.A　4.D　5.B　6.45　7.-38.6　9.A　10.C　11.C

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