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第5節(jié)　二次函數(shù)綜合
真題精粹·重變式
考向1 二次函數(shù)與直線型問題
1.(2023·福建)已知拋物線y=ax2+bx+3交x軸于A(1,0),B(3,0)兩點(diǎn),M為拋物線的頂點(diǎn),C,D為拋物線上不與A,B重合的相異兩點(diǎn),記線段AB的中點(diǎn)為E,直線AD,BC的交點(diǎn)為P.
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式.
(2)若C(4,3),Dm,-,且m<2,求證:C,D,E三點(diǎn)共線.
(3)小明研究發(fā)現(xiàn):無論C,D在拋物線上如何運(yùn)動(dòng),只要C,D,E三點(diǎn)共線,△AMP,△MEP,△ABP中必存在面積為定值的三角形.請(qǐng)直接寫出其中面積為定值的三角形及其面積,不必說明理由.
2.(2019·福建)已知拋物線y=ax2+bx+c(b<0)與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn).
(1)若拋物線與x軸的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0),求a,c滿足的關(guān)系式.
(2)設(shè)A為拋物線上的一個(gè)定點(diǎn),直線l:y=kx+1-k與拋物線交于點(diǎn)B,C,直線BD垂直于直線y=-1,垂足為D.當(dāng)k=0時(shí),直線l與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)在y軸上,且△ABC為等腰直角三角形.
①求點(diǎn)A的坐標(biāo)和拋物線的解析式;
②證明:對(duì)于每個(gè)給定的實(shí)數(shù)k,都有A,D,C三點(diǎn)共線.
解題指南　(2)①直線y=kx+1-k=k(x-1)+1,過定點(diǎn)(1,1),且當(dāng)k=0時(shí),直線l為直線y=1,平行于x軸,與y軸的交點(diǎn)為(0,1),即可求解.
②計(jì)算直線AD表達(dá)式中的k值、直線AC表達(dá)式中的k值,兩個(gè)k值相等即可求解.
核心方法
　　函數(shù)背景下關(guān)于三點(diǎn)共線證明(設(shè)三個(gè)點(diǎn)依次為A,B,C)的解題思路
方法一:取任意兩點(diǎn)確立一條直線,求出該直線的解析式,代入第三點(diǎn)坐標(biāo),看是否滿足該解析式,若滿足,則A,B,C三點(diǎn)共線.
方法二:利用兩條直線重合的方法證明,分別求出直線的解析式,直線AB:yAB=k1x+b1,直線AC:yAC=k2x+b2,若k1=k2,則兩直線重合,即A,B,C三點(diǎn)共線.
方法三:運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短證明,利用兩點(diǎn)間的距離公式分別求線段AC,AB,BC的長(zhǎng),若AB+BC=AC,則A,B,C三點(diǎn)共線.
方法四:運(yùn)用角(或角的三角函數(shù)值)相等證明,設(shè)直線AB,AC與x軸的夾角分別為α,β,證明α=β或α,β的對(duì)應(yīng)三角函數(shù)值相等,則可得A,B,C三點(diǎn)共線.
方法五:運(yùn)用平角的概念證明,任取一點(diǎn)D,證明∠ABD+∠DBC=180°,則可得A,B,C三點(diǎn)共線.
考向2 二次函數(shù)與角度問題
熱點(diǎn)訓(xùn)練 3.已知拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)A(0,2),且拋物線上任意不同的兩點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2)都滿足:當(dāng)x10;當(dāng)0y2,解決以下問題: ①求證:BC平分∠MBN. ②求△MBC外心的縱坐標(biāo)的取值范圍.
解題指南　(1)由點(diǎn)A的坐標(biāo)確定出c的值,根據(jù)已知不等式判斷出y1-y2<0,可得出拋物線的增減性,確定拋物線的對(duì)稱軸為y軸,且開口向下,求出b的值,易得△ABC為等邊三角形,確定點(diǎn)B的坐標(biāo),代入拋物線解析式即可. (2)①設(shè)點(diǎn)M(x1,-+2),N(x2,-+2),由MN與已知直線平行,得到k值相同,表示出直線MN的解析式,進(jìn)而表示出ME,BE,NF,BF,求出tan∠MBE與tan∠NBF的值相等,進(jìn)而得到BC為角平分線; ②三角形的外心即三條垂直平分線的交點(diǎn),得到y(tǒng)軸為BC的垂直平分線,設(shè)點(diǎn)P為外心,利用勾股定理化簡(jiǎn)PB2=PM2,確定出△MBC外心的縱坐標(biāo)的取值范圍即可.
核心方法
　　函數(shù)背景下證明等角、倍角及和差的方法
方法一:通過構(gòu)造直角三角形,求解角的相同三角函數(shù)值來證明角相等.
方法二:通過構(gòu)造三角形(四邊形),然后運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式求出線段的長(zhǎng),證明該三角形為等腰三角形(特殊四邊形),然后運(yùn)用特殊圖象的幾何性質(zhì)證明角相等或倍角.
方法三:運(yùn)用角平分線的性質(zhì)解決.
考向3 二次函數(shù)與最值及面積問題
4.(2024·福建)如圖,已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,其中點(diǎn)A(-2,0),點(diǎn)C(0,-2).
(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式.
(2)若P是二次函數(shù)圖象上的一點(diǎn),且點(diǎn)P在第二象限,線段PC交x軸于點(diǎn)D,△PDB的面積是△CDB的面積的2倍,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
5.(2022·福建)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線y=ax2+bx經(jīng)過A(4,0),B(1,4)兩點(diǎn).P是拋物線上一點(diǎn),且在直線AB的上方.
(1)求拋物線的解析式.
(2)若△OAB的面積是△PAB面積的2倍,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
(3)OP交AB于點(diǎn)C,PD∥BO交AB于點(diǎn)D.記△CDP,△CPB,△CBO的面積分別為S1,S2,S3.判斷+是否存在最大值.若存在,求出最大值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
解題指南　(2)過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M,PM與AB交于點(diǎn)N,過點(diǎn)B作BE⊥PM于點(diǎn)E.分別表達(dá)△OAB和△PAB的面積,根據(jù)題意列出方程求出PN的長(zhǎng).設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo),進(jìn)而表示PN的長(zhǎng),最后求出點(diǎn)P的坐標(biāo).
(3)由PD∥OB,可得△DPC∽△BOC,所以CP∶CO=CD∶CB=PD∶OB,又因?yàn)?,=,所以+=.設(shè)直線AB交y軸于點(diǎn)F,則F0,.過點(diǎn)P作PH⊥x軸,垂足為H,PH交AB于點(diǎn)G,易證△PDG∽△OBF,所以PD∶OB=PG∶OF.設(shè)Pn,-n2+n(16.(2023·張家界)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A(-2,0)和B(6,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C(0,6).D為線段BC上的一動(dòng)點(diǎn).
(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式.
(2)如圖1,求△AOD周長(zhǎng)的最小值.
圖1
(3)如圖2,過動(dòng)點(diǎn)D作DP∥AC交拋物線第一象限部分于點(diǎn)P,連接PA,PB,記△PAD與△PBD的面積和為S,當(dāng)S取得最大值時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo),并求出此時(shí)S的最大值.
圖2
核心方法
　　函數(shù)背景下有關(guān)面積問題的解決方法
函數(shù)背景下的面積問題,主要是求三角形面積,四邊形面積問題也可轉(zhuǎn)化為求三角形面積問題.對(duì)于有關(guān)線段、周長(zhǎng)、面積的最值問題,統(tǒng)一的解決方法是列出函數(shù)關(guān)系式,再根據(jù)函數(shù)的增減性求出最值.
　　三角形面積的求法一般分以下幾種情況:
方法一:三角形有一邊平行于坐標(biāo)軸的,通過作這一邊的垂線可求得該三角形面積.
方法二:三角形三邊都沒有平行坐標(biāo)軸的,過頂點(diǎn)作坐標(biāo)軸的垂線,利用三角形的面積=(水平寬×豎直高)求解.
方法三:通過作平行線,運(yùn)用同底等高或等底等高的三角形面積相等這一原理,轉(zhuǎn)化為面積相等且可以直接求解面積的方法求解.
考向4 二次函數(shù)與特殊多邊形存在性問題的探究
熱點(diǎn)訓(xùn)練 7.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=x2+bx+c與坐標(biāo)軸交于A(0,-2),B(4,0)兩點(diǎn),直BC:y=-2x+8 交y軸于點(diǎn)C.D為直線AB下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)D作x軸的垂線,垂足為G,DG分別交直線BC,AB于點(diǎn)E,F. (1)求該拋物線的表達(dá)式. (2)當(dāng)GF=時(shí),連接BD,求△BDF的面積. (3)①H是y軸上一點(diǎn),當(dāng)四邊形BEHF是矩形時(shí),求點(diǎn)H的坐標(biāo); ②在①的條件下,第一象限有一動(dòng)點(diǎn)P,滿足PH=PC+2,求△PHB周長(zhǎng)的最小值. 解題指南　(3)①過點(diǎn)H作HM⊥EF于點(diǎn)M,證明△EMH≌△FGB(AAS),推出MH=GB,EM=FG,由HM=OG,可得OG=GB=OB=2,由題意直線AB的解析式為y=x-2,設(shè)E(a,-2a+8),Fa,a-2,根據(jù)MH=BG,構(gòu)建方程求解,可得結(jié)論. ②因?yàn)椤鱌HB的周長(zhǎng)=PH+PB+HB=PC+2+PB+5=PC+PB+7,所以要使得△PHB的周長(zhǎng)最小,只要PC+PB的值最小,因?yàn)镻C+PB≥BC,所以當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí),PC+PB=BC的值最小.
核心方法
　　函數(shù)背景下存在性問題的解題思路
函數(shù)背景下的存在性問題是一類考查在已知函數(shù)圖象上是否存在某特殊點(diǎn),使得該點(diǎn)與已知點(diǎn)構(gòu)成特殊圖象或取極值的問題,主要包括存在特殊三角形(等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形),特殊四邊形(平行四邊形、矩形、菱形、正方形),以及存在與已知的三角形全等或相似的情況,還有構(gòu)成的線段和差、三角形面積(周長(zhǎng))、四邊形面積(周長(zhǎng))取最大(小)值.通常結(jié)合動(dòng)點(diǎn)、函數(shù)與幾何采用分類討論、畫分類簡(jiǎn)圖、建立等式計(jì)算來解決.
代數(shù)法:找出動(dòng)點(diǎn)所在的函數(shù)解析式,設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)并用一個(gè)未知數(shù)表示.運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式,用參數(shù)表示出相關(guān)線段的長(zhǎng)度.
(1)等腰三角形,通過線段相等得到代數(shù)等式.
(2)直角三角形,運(yùn)用勾股定理獲得等式,或k1·k2=-1.
(3)平行四邊形,根據(jù)平移性質(zhì),運(yùn)用平移前后對(duì)應(yīng)點(diǎn)橫縱坐標(biāo)之間的差相等列出等式.
幾何法:①直角三角形可構(gòu)造相似三角形(通常為K型)得出等式;②等腰三角形通過三線合一求解;③全等或相似通過目標(biāo)三角形邊角關(guān)系,進(jìn)而表達(dá)線段長(zhǎng),通過比例式得到等式;④矩形、菱形問題可以轉(zhuǎn)化為直角三角形和等腰三角形問題加以解決.
8.(2023·湘潭)如圖,二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),其中B(1,0),C(0,3).
(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式. (2)在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)P,使得S△PAC=S△ABC 若存在,請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
(3)Q是對(duì)稱軸l上一點(diǎn),且點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為a,當(dāng)△QAC是銳角三角形時(shí),求a的取值范圍.
參考答案
真題精粹·重變式
1.解析:(1)因?yàn)閽佄锞€y=ax2+bx+3經(jīng)過點(diǎn)A(1,0),B(3,0),
所以解得
所以拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x2-4x+3.
(2)證明:設(shè)直線CE對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+n(k≠0),
因?yàn)镋為AB的中點(diǎn),所以E(2,0).
又因?yàn)镃(4,3),
所以解得
所以直線CE對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=x-3.
因?yàn)辄c(diǎn)Dm,-在拋物線上,所以m2-4m+3=-,
解得m=或m=,
又因?yàn)閙<2,所以m=,
所以D,-.
因?yàn)椤?3=-,即D,-滿足直線CE對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式,
所以點(diǎn)D在直線CE上,即C,D,E三點(diǎn)共線.
(3)△ABP的面積為定值,其面積為2.
提示:如圖1,當(dāng)C,D分別運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C',D'的位置時(shí),C,D'與D,C'分別關(guān)于直線EM對(duì)稱,此時(shí)仍有C',D',E三點(diǎn)共線.
設(shè)AD'與BC'的交點(diǎn)為P',則P,P'關(guān)于直線EM對(duì)稱,即PP'∥x軸.
此時(shí)PP'與AM不平行,且AM不平分線段PP',
則P,P'到直線AM的距離不相等,即在此情形下△AMP與△AMP'的面積不相等,
所以△AMP的面積不為定值.
如圖2,當(dāng)C,D分別運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C1,D1的位置時(shí),且保持C1,D1,E三點(diǎn)共線.此時(shí)AD1與BC1的交點(diǎn)P1到直線EM的距離小于點(diǎn)P到直線EM的距離,
所以△MEP1的面積小于△MEP的面積,故△MEP的面積不為定值.
又因?yàn)椤鰽MP,△MEP,△ABP中存在面積為定值的三角形,故△ABP的面積為定值.
在(2)的條件下,∵A(1,0),B(3,0),C(4,3),D,-,
∴直線BC對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=3x-9,直線AD對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=-x+.
由解得
∴P,-2,此時(shí)△ABP的面積為2.
2.解析:(1)拋物線與x軸的公共點(diǎn)的坐標(biāo)即函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo),
所以y=a(x-2)2=ax2-4ax+4a,
則c=4a.
(2)①如圖1,直線y=kx+1-k=k(x-1)+1過定點(diǎn)(1,1),
且當(dāng)k=0時(shí),直線l為直線y=1,平行于x軸,與y軸的交點(diǎn)為(0,1).
圖1
∵△ABC為等腰直角三角形,
∴A為拋物線的頂點(diǎn).
c=1,頂點(diǎn)A(1,0),拋物線的解析式為y=x2-2x+1.
②證明:如圖2,由
圖2
得x2-(2+k)x+k=0,
解得x=(2+k±),
∴xD=xB=(2+k-),yD=-1,
則D1+,-1,
yC=(2+k2+k),
∴C1+,1+,A(1,0),
∴直線AD表達(dá)式中的k值為
kAD==,
直線AC表達(dá)式中的k值為kAC=,
∴kAD=kAC,即A,C,D三點(diǎn)共線.
3.解析:(1)∵拋物線過點(diǎn)A(0,2),∴c=2.
當(dāng)x10,得y1-y2<0,
∴當(dāng)x<0時(shí),y隨x的增大而增大,
同理當(dāng)x>0時(shí),y隨x的增大而減小,
∴拋物線的對(duì)稱軸為y軸,且開口向下,即b=0.
以原點(diǎn)O為圓心,OA為半徑的圓與拋物線交于另兩點(diǎn)B,C,如圖1所示,
圖1
∴△ABC為等腰三角形.
∵△ABC中有一個(gè)角為60°,
∴△ABC為等邊三角形,且OB=OA=2.
設(shè)線段BC與y軸的交點(diǎn)為D,則有BD=CD,且∠OBD=30°,
∴BD=OB·cos 30°=,OD=OB·sin 30°=1.
∵點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè),
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-,-1).
∵點(diǎn)B在拋物線上,且c=2,b=0,
∴3a+2=-1,
解得a=-1,
則拋物線的解析式為y=-x2+2.
(2)①證明:由(1)知,點(diǎn)M(x1,-+2),N(x2,-+2).
∵直線MN與直線y=-2x平行,
∴設(shè)直線MN的解析式為y=-2x+m,則有-+2=-2x1+m,
即m=-+2x1+2,
∴直線MN的解析式為y=-2x-+2x1+2,
把y=-2x-+2x1+2代入y=-x2+2,解得x=x1或x=2-x1,
∴x2=2-x1,即y2=-(2-x1)2+2=-+4x1-10.
作ME⊥BC,NF⊥BC,垂足分別為E,F,如圖2所示.
圖2
∵點(diǎn)M,N位于直線BC的兩側(cè),且y1>y2,則y2<-1∴ME=y1-(-1)=-+3,BE=x1-(-)=x1+,
NF=-1-y2=-4x1+9,BF=x2-(-)=3-x1.
在Rt△BEM中,tan∠MBE===-x1,
在Rt△BFN中,tan∠NBF=====-x1.
∵tan∠MBE=tan∠NBF,
∴∠MBE=∠NBF,
則BC平分∠MBN.
②∵y軸為BC的垂直平分線,
∴設(shè)△MBC的外心為P(0,y0),則PB=PM,即PB2=PM2,
根據(jù)勾股定理得3+(y0+1)2=+(y0-y1)2.
∵=2-y1,
∴+2y0+4=2-y1+(y0-y1)2,即y0=y1-1,
由①得-1∴-則△MBC外心的縱坐標(biāo)的取值范圍是-4.解析:(1)由題意,將A(-2,0),C(0,-2)代入 y=x2+bx+c得
∴
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x2+x-2.
(2)由題意,設(shè)點(diǎn)P(m,n)(m<0,n>0),
又△PDB的面積是△CDB的面積的2倍,
∴=2,即=2,
∴=2.
又CO=2,
∴n=2CO=4.
由m2+m-2=4,
∴m1=-3,m2=2 (舍去).
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-3,4).
5.解析:(1)將A(4,0),B(1,4)代入y=ax2+bx,
∴解得
∴拋物線的解析式為y=-x2+x.
(2)解析設(shè)直線AB的解析式為y=kx+t,
將A(4,0),B(1,4)代入y=kx+t,
∴
解得
所以直線AB所對(duì)應(yīng)的解析式為y=-x+.
∵A(4,0),B(1,4),
∴S△OAB=×4×4=8,
∴S△OAB=2S△PAB=8,即S△PAB=4.
如圖1,過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M,PM與AB交于點(diǎn)N,過點(diǎn)B作BE⊥PM于點(diǎn)E,
圖 1
∴S△PAB=S△PNB+S△PNA=PN·BE+PN·AM=PN×3=PN=4,
∴PN=.
設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m(1則Pm,-m2+m,
Nm,-m+,
∴PN=-m2+m--m+=,
解得m=2或m=3,
∴P2,或(3,4).
(3)存在.
∵PD∥OB,
∴∠DPC=∠BOC,∠PDC=∠OBC,
∴△DPC∽△BOC,
∴CP∶CO=CD∶CB=PD∶OB.
∵=,=,
∴+=.
如圖2,設(shè)直線AB交y軸于點(diǎn)F,則F0,.過點(diǎn)P作PH⊥x軸,垂足為H,PH交AB于點(diǎn)G.
圖2
∵∠PDC=∠OBC,
∴∠PDG=∠OBF.
∵PG∥OF,
∴∠PGD=∠OFB,∴△PDG∽△OBF,
∴PD∶OB=PG∶OF,
∴PG∶OF=CP∶CO.
設(shè)Pn,-n2+n(1由(2)可知,PG=-n2+n-,
∴+===PG=-n-2+.
∵1∴當(dāng)n=時(shí),+取得最大值,最大值為.
6.解析:(1)由題意可知,設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a(x+2)(x-6),
將(0,6)代入上式得6=a(0+2)(0-6),解得a=-,
∴拋物線的表達(dá)式為y=-(x+2)(x-6)=-x2+2x+6.
(2)如圖,作點(diǎn)O關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)E,連接EC,EB.
∵B(6,0),C(0,6),∠BOC=90°,
∴OB=OC=6.
∵O,E關(guān)于直線BC對(duì)稱,
∴四邊形OBEC為正方形,
∴E(6,6),
連接AE,交BC于點(diǎn)D,由對(duì)稱性|DE|=∣DO∣,
此時(shí)|DO|+|DA|有最小值,最小值為AE的長(zhǎng),
∴AE===10.
∵△AOD的周長(zhǎng)為DA+DO+AO,AO=2,DA+DO的最小值為10,
∴△AOD的周長(zhǎng)的最小值為10+2=12.
(3)由已知點(diǎn)A(-2,0),B(6,0),C(0,6).
設(shè)直線BC的表達(dá)式為y=kx+b.
將B(6,0),C(0,6)代入y=kx+b,
則
解得
∴直線BC的表達(dá)式為y=-x+6,
同理可得直線AC的表達(dá)式為y=3x+6.
∵PD∥AC,
∴可設(shè)直線PD的表達(dá)式為y=3x+a',
由(1)設(shè)Pm,-m2+2m+6,
將P點(diǎn)坐標(biāo)代入直線PD的表達(dá)式得a'=-m2-m+6,
∴直線PD的表達(dá)式為y=3x-m2-m+6,
由
得
∴Dm2+m,-m2-m+6.
∵P,D都在第一象限,
∴S=S△PBD+S△PAD=S△PAB-S△DAB
=|AB|·-m2+2m+6--m2-m+6
=×8×-m2+m
=-m2+9m
=-(m2-6m)
=-(m-3)2+,
∵-<0,
∴當(dāng)m=3時(shí),S有最大值,最大值為,
此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為3,.
7.解析:(1)∵拋物線y=x2+bx+c過A(0,-2),B(4,0)兩點(diǎn),
∴
解得
∴y=x2-x-2.
(2)∵B(4,0),A(0,-2),
∴OB=4,OA=2.
∵GF⊥x軸,OA⊥x軸,
在Rt△BOA和Rt△BGF中,tan∠ABO==,
即=,
∴GB=1,
∴OG=OB-GB=4-1=3,
當(dāng)x=3時(shí),yD=×9-×3-2=-2,
∴D(3,-2),即GD=2,
∴FD=GD-GF=2-=,
∴S△BDF=·DF·BG=××1=.
(3)①如圖1,過點(diǎn)H作HM⊥EF于點(diǎn)M.
圖1
∵四邊形BEHF是矩形,
∴EH∥BF,EH=BF,
∴∠HEF=∠BFE.
∵∠EMH=∠FGB=90°,
∴△EMH≌△FGB(AAS),
∴MH=GB,EM=FG.
∵HM=OG,
∴OG=GB=OB=2.
∵A(0,-2),B(4,0),
∴直線AB的解析式為y=x-2.
∵直線BC的解析式為y=-2x+8,EF⊥x軸.
∴E(2,4),F(2,-1),
∴FG=1,EG=4.
∵EM=FG,
∴4-yH=1,
∴yH=3,
∴H(0,3).
②如圖2,BH===5.
圖2
∵PH=PC+2,
∴△PHB的周長(zhǎng)=PH+PB+HB=PC+2+PB+5=PC+PB+7,
要使得△PHB的周長(zhǎng)最小,只要PC+PB的值最小.
∵PC+PB≥BC,
∴當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí),PC+PB=BC的值最小.
∵BC===4,
∴△PHB周長(zhǎng)的最小值為4+7.
8.解析:(1)將點(diǎn)B(1,0),C(0,3)代入y=x2+bx+c,則
解得
∴拋物線的解析式為y=x2-4x+3.
(2)∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1,
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1),
當(dāng)y=0時(shí),x2-4x+3=0,
解得x1=1,x2=3,
∴A(3,0),則OA=3.
∵C(0,3),則OC=3,
∴△AOC是等腰直角三角形.
∵S△PAC=S△ABC,
∴P到AC的距離等于B到AC的距離.
∵A(3,0),C(0,3),設(shè)直線AC的解析式為y=kx+3,
∴3k+3=0,解得k=-1,
∴直線AC的解析式為y=-x+3,
如圖1,過點(diǎn)B作AC的平行線,交拋物線于點(diǎn)P,
圖1
設(shè)BP的解析式為y=-x+d,將點(diǎn)B(1,0)代入得-1+d=0,解得d=1,
∴直線BP的解析式為y=-x+1,
解得或
∴P(2,-1).
∵PA==,PB==,AB=3-1=2,
∴PA2+PB2=AB2,
∴△ABP是等腰直角三角形,且∠APB=90°,
如圖1,延長(zhǎng)PA至點(diǎn)D,使得AD=PA,過點(diǎn)D作AC的平行線DE,交x軸于點(diǎn)E,則DA=PA,則符合題意的點(diǎn)P在直線DE上,
∵△APB是等腰直角三角形,DE∥AC,AC⊥PD,
∴∠DAE=∠BAP=45°,PD⊥DE,
∴△ADE是等腰直角三角形,
∴AE=AD=AP=2,
∴E(5,0),設(shè)直線DE的解析式為y=-x+e,
∴-5+e=0,解得e=5,∴直線DE的解析式為y=-x+5.
聯(lián)立
解得或
∴P,或P,.
綜上所述,P(2,-1),P,或P,.
(3)①當(dāng)a>0時(shí),如圖2,過點(diǎn)C作CG⊥AC交x=2于點(diǎn)G,當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)G重合時(shí),△ACQ是直角三角形,當(dāng)∠AQC=90°時(shí),△ACQ是直角三角形,
圖2
設(shè)AC交x=2于點(diǎn)H,
∵直線AC的解析式為y=-x+3,
則H(2,1),
∴CH==2,
∴∠CHG=∠OCH=45°,
∴△CHG是等腰直角三角形,
∴HG=CH=×2=4,
∴G(2,5).
設(shè)Q(2,q),則AQ2=12+q2,CQ2=22+(q-3)2=q2-6q+13.
∵AC2=32+32=18,
∴18=q2-6q+13+12+q2,
解得q=(舍去)或q=,
∴Q2,.
∵△QAC是銳角三角形,
∴②當(dāng)a<0時(shí),如圖3,
圖3
同理可得AQ2+QC2=AC2,
即18=q2-6q+13+12+q2,
解得q=或q=(舍去),
由(2)可得AM⊥AC時(shí),M(2,-1),
∴-1綜上所述,當(dāng)△QAC是銳角三角形時(shí),

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