資源簡介

第4節(jié)　二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)
回歸教材·過基礎(chǔ)
【知識體系】
【考點清單】
知識點1 二次函數(shù)的表達式
1.表達式的三種形式
一般式 y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0) 二次項系數(shù)為a,一次項系數(shù)為b,常數(shù)項為c
頂點式 y=a(x-h)2+k(a≠0) 其中① 為頂點坐標
交點式 y=a(x-x1)(x-x2) 其中x1,x2為函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標
注:一般式通過配方法可轉(zhuǎn)化為頂點式,通過因式分解可轉(zhuǎn)化為交點式.
2.待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的表達式
待定系數(shù)法
知識點2 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)
拋物線 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0)
圖象
頂點坐標 -,② -,
對稱軸 x=- x=-
開口方向 向上 向下
（續(xù)表）
增減性 在對稱軸的左側(cè),y隨著x的增大而減小;在對稱軸的右側(cè),y隨著x的增大而③ 在對稱軸的左側(cè),y隨著x的增大而增大;在對稱軸的右側(cè),y隨著x的增大而④
最值 當x=-時,最小值為 當x=-時,最大值為
知識點3 二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與a,b,c的關(guān)系
1.a決定開口方向與大小
2.a,b決定對稱軸x=-的位置
3.c決定與y軸的交點位置
知識點4 二次函數(shù)圖象的平移
y=ax2的圖象y=a(x-h)2的圖象y=a(x-h)2+k的圖象
知識點5 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)實際上是二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)在y=0時的一個特例.可用一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式來判斷二次函數(shù)圖象與x軸的交點個數(shù).
判別式 Δ=b2-4ac y=ax2+bx+c(a≠0) ax2+bx+c=0(a≠0) 圖象分布
a>0 a<0
Δ>0 圖象與x軸有兩個不同的交點(x1,0),(x2,0), 且x1,2= 方程有⑦ 的實數(shù)根x1,x2,且x1,2=
Δ=0 圖象與x軸有唯一交點(x1,0),且x1=- 方程有⑧ 的實數(shù)根x1,x2,且x1=x2=-
（續(xù)表）
Δ<0 圖象與x軸無交點 方程無實數(shù)根
2.利用圖象可確定不等式ax2+bx+c>0(a≠0)或ax2+bx+c<0(a≠0)的解集,也可比較一次函數(shù)與二次函數(shù)值的大小.
【基礎(chǔ)演練】
1.(原創(chuàng))如圖,結(jié)合二次函數(shù)y=x2+4x-2的圖象,請回答下列問題:
(1)拋物線開口向 .
(2)拋物線的頂點坐標為 .
(3)拋物線的對稱軸為 .
(4)拋物線與y軸的交點坐標為 ,與x軸的交點坐標為 .
(5)當 時,y有最小值,最小值為 .
(6)當 時,y隨x的增大而增大;當 時,y隨x的增大而減小.
(7)若(-5,y1),(-3,y2),(2,y3)在拋物線上,則y1,y2,y3按從小到大的排序為 .
2.如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交于點A,B,且點A的橫坐標在-1和0之間,圖象與y軸交于負半軸,對稱軸為直線x=1.對于該二次函數(shù),下列結(jié)論正確的為 .(填序號)
①b2>4ac;
②a-b+c>0;a+b+c<0;
③若點(-0.1,y1),(1.5,y2)均在拋物線上,則y1>y2;
④a>0,b>0,c<0;
⑤點(2,c)一定在該拋物線上;
⑥2a+b=0;
⑦am2+bm≥a+b.
真題精粹·重變式
考向1 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)　6年6考
1.(2024·福建)已知二次函數(shù)y=x2-2ax+a(a≠0)的圖象經(jīng)過A,B(3a,y2)兩點,則下列判斷正確的是 ( )
A.可以找到一個實數(shù)a,使得y1>a
B.無論實數(shù)a取什么值,都有y1>a
C.可以找到一個實數(shù)a,使得y2<0
D.無論實數(shù)a取什么值,都有y2<0
2.(2021·福建)二次函數(shù)y=ax2-2ax+c(a>0)的圖象過A(-3,y1),B(-1,y2),C(2,y3),D(4,y4)四個點,下列說法一定正確的是 ( )
A.若y1y2>0,則y3y4>0
B.若y1y4>0,則y2y3>0
C.若y2y4<0,則y1y3<0
D.若y3y4<0,則y1y2<0
3.(2020·福建)已知P1(x1,y1),P2(x2,y2)是二次函數(shù)y=ax2 -2ax圖象上的點,以下結(jié)論正確的是 ( )
A.若|x1-1|>|x2-1|,則y1>y2
B.若|x1-1|>|x2-1|,則y1C.若|x1-1|=|x2-1|,則y1=y2
D.若y1=y2,則x1=x2
4.(2019·福建)若二次函數(shù)y=|a|x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A(m,n),B(0,y1),C(3-m,n),D(,y2),E(2,y3),則y1,y2,y3的大小關(guān)系是 ( )
A.y1C.y35.(2023·福建)已知拋物線y=ax2-2ax+b(a>0)經(jīng)過A(2n+3,y1),B(n-1,y2)兩點,若A,B分別位于拋物線對稱軸的兩側(cè),且y16.(2022·福建)已知拋物線y=x2+2x-n與x軸交于A,B兩點,拋物線y=x2-2x-n與x軸交于C,D兩點,其中n>0.若AD=2BC,則n的值為 .
考向2 二次函數(shù)的實際應(yīng)用
熱點訓(xùn)練 7.如圖,在足夠大的空地上有一段長為a米的舊墻MN,某人利用舊墻和木欄圍成一個矩形菜園ABCD,其中AD≤MN,已知矩形菜園的一邊靠墻,另三邊一共用了100米木欄. (1)若a=20,所圍成的矩形菜園的面積為450平方米,求所利用的舊墻AD的長. (2)求矩形菜園ABCD面積的最大值.
核心突破·拓思維
考點 二次函數(shù)圖象與性質(zhì)
(原創(chuàng))已知二次函數(shù)y=x2-4x+3,在所給的平面直角坐標系中畫出y=x2-4x+3的圖象.
(1)列表如下:
自變量x … 0 1 2 3 4 …
函數(shù)值y … 0 3 …
(2)描點,連線(用平滑的曲線按自變量從小到大的順序連接,注意自變量的取值范圍).
(原創(chuàng))結(jié)合函數(shù)表達式y(tǒng)=x2-4x+3及其圖象解決下列問題.
(1)將函數(shù)寫成y=(x+h)2+k的形式: .
(2)函數(shù)圖象的開口向 ,對稱軸是直線 ,頂點坐標為 .
(3)當x 時,y隨x的增大而增大,當x 時,y隨x的增大而減小.
(4)將拋物線y=x2先向右平移 個單位長度,再把得到的圖象向 平移1個單位長度可以得到二次函數(shù)y=x2-4x+3的圖象.
(5)當-1≤x≤時,y的取值范圍為 ;當1≤x≤5時,y的取值范圍為 .
(6)當x= 時,y=0;當x 時,y>0;當 時,y<0.
(7)當0≤x≤m(m>0)時,求y的最大值與最小值.
拓展:當x>2時,函數(shù)y=x2 -4ax+3的圖象始終保持上升趨勢,求a的取值范圍.
核心方法
在填空題或選擇題中對二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的考查,主要以考查函數(shù)的對稱軸、增減、最值(區(qū)間極值)知識為主,函數(shù)多以多參數(shù)形式出現(xiàn).解決此類問題的關(guān)鍵:
1.關(guān)于增減性、最值的問題利用對稱性將點轉(zhuǎn)到對稱軸同側(cè);
2.將圖象交點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與方程、不等式問題;
3.將函數(shù)有關(guān)知識的考查轉(zhuǎn)化到研究函數(shù)圖象上點的特征,再借助數(shù)形結(jié)合、參數(shù)推理運算.
已知點P(-2,y1),Q(4,y2),M(m,y3)均在拋物線y=ax2+bx+c上,其中2am+b=0.若y3≥y2>y1,則m的取值范圍是 ( )
A.m<-2 B.m>1
C.-2如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于兩點(x1,0),(2,0),其中00;③2a-c>0;④不等式ax2+bx+c>-x+c的解集為0已知點A(x1,y1),B(x2,y2)均在拋物線y=ax2-2ax+4(a≠0)上,若x1A.當a>-1時,y1B.當a>-1時,y1>y2
C.當a<-1時,y1D.當a<-1時,y1>y2
已知函數(shù)y=ax2-2ax-1(a是常數(shù),a≠0),下列結(jié)論正確的是 ( )
A.當a=1時,函數(shù)圖象經(jīng)過點(-1,1)
B.當a=-2時,函數(shù)圖象與x軸沒有交點
C.若a>0,則當x≥1時,y隨x的增大而減小
D.若a<0,則當x≤1時,y隨x的增大而增大
如圖,二次函數(shù)y=x2+ax+3的圖象經(jīng)過點P(-2,3).
(1)求a的值和圖象的頂點坐標.
(2)點Q(m,n)在該二次函數(shù)圖象上.
①當m=2時,求n的值;
②若點Q到y(tǒng)軸的距離小于2,請根據(jù)圖象直接寫出n的取值范圍.
參考答案
回歸教材·過基礎(chǔ)
考點清單
①(h,k)　②　③增大　④減小　⑤左側(cè)　⑥右側(cè)　⑦兩個不相等　⑧兩個相等
基礎(chǔ)演練
1.(1)上　(2)(-2,-6)　(3)x=-2　(4)(0,-2)　(-2-,0),(-2+,0)　(5)x=-2　-6　(6)x>-2　x<-2　(7)y22.①②③⑤⑥⑦
真題精粹·重變式
1.C　解析:∵二次函數(shù)的解析式為y=x2-2ax+a(a≠0),
∴該二次函數(shù)的圖象開口向上,且對稱軸為x=-=a,頂點坐標為(a,a-a2).
當a>0時,0<∴a-a2當a<0時,a<<0,
∴a-a2故A,B錯誤.
當a>0時,0a>0;
當a<0時,3a<2aa,不一定大于0.
故C正確,D錯誤.
故選C.
2.C　3.C　4.D
5.-1∵a>0,
∴拋物線開口向上.
∵y1∴若點A在對稱軸x=1的左側(cè),點B在對稱軸x=1的右側(cè),
則由題意可得
不等式組無解;
若點B在對稱軸x=1的左側(cè),點A在對稱軸x=1的右側(cè),
則由題意可得
解得-1∴n的取值范圍為-1故答案為-16.8　解析:針對于拋物線y=x2+2x-n,
令y=0,則x2+2x-n=0,
∴x=-1±.
針對于拋物線y=x2-2x-n,
令y=0,則x2-2x-n=0,
∴x=1±.
∵拋物線y=x2+2x-n=(x+1)2-n-1,
∴拋物線y=x2+2x-n的頂點坐標為(-1,-n-1).
∵拋物線y=x2-2x-n=(x-1)2-n-1,
∴拋物線y=x2-2x-n的頂點坐標為(1,-n-1),
∴拋物線y=x2+2x-n與拋物線y=x2-2x-n的開口大小一樣,與y軸相交于同一點,頂點到x軸的距離相等,
∴AB=CD.
∵AD=2BC,
∴拋物線y=x2+2x-n與x軸的交點A在左側(cè),B在右側(cè),拋物線y=x2-2x-n與x軸的交點C在左側(cè),D在右側(cè),
∴A(-1-,0),B(-1+,0),C(1-,0)m,D(1+,0),
∴AD=1+-(-1-)=2+2,
BC=-1+-(1-)=-2+2,
∴2+2=2×(-2+2),
∴n=8.
7.解析:(1)設(shè)AB=x米,則BC=(100-2x)米,
根據(jù)題意得x(100-2x)=450,解得x1=5,x2=45.
當x=5時,100-2x=90>20,不符合題意,舍去;
當x=45時,100-2x=10.
答:AD的長為10米.
(2)設(shè)AD=y米,
∴S=y(100-y)=-(y-50)2+1 250.
若a≥50,則當y=50時,S的最大值為1 250;
若0綜上所述,當a≥50時,S的最大值為1 250;當0核心突破·拓思維
例1　解析:(1)3;-1;0.
(2)描點,連線如下:
例2　解析:(1)y=(x-2)2-1　(2)上　x=2　(2,-1)
(3)>2　<2　(4)2　下 　(5)-≤y≤8　-1≤y≤8
(6)1或3　>3或<1　1(7)①當0②當2≤m≤4時,函數(shù)y的最大值為3,最小值為-1;
③當m>4時,函數(shù)y的最大值為m2-4m+3,最小值為-1.
拓展:解析:函數(shù)y=x2 -4ax+3的二次項系數(shù)為1>0,所以圖象開口向上,對稱軸右側(cè)y隨x的增大而增大,根據(jù)對稱軸公式可求得函數(shù)y=x2 -4ax+3圖象的對稱軸為直線x=-=2a,
因為當x>2時,函數(shù)y=x2 -4ax+3的圖象始終保持上升趨勢,所以只需保證對稱軸不在直線x=2的右側(cè),即2a≤2,解得a≤1.
變式1　B
變式2　①③
變式3　D　解析:由拋物線y=ax2-2ax+4(a≠0)得y=a(x-1)2+4-a,故拋物線的對稱軸是直線x=1.
①當a>0時,拋物線開口向上,1-a<1,直線x==在對稱軸x=1的左側(cè),即點A比點B距離對稱軸更遠,∴y1>y2.
②當-1∴當a>-1,且x1③當a<-1時,拋物線開口向下,1-a>2,直線x==在對稱軸x=1的右側(cè),即點B比點A距離對稱軸更遠,∴y1>y2.
綜合①②③,故選D.
變式4　D
變式5　解析:(1)把P(-2,3)代入y=x2+ax+3,
得4-2a+3=3,∴a=2,∴y=x2+2x+3=(x+1)2+2,
∴圖象的頂點坐標為(-1,2).
(2)①由題意知點Q(2,n)在該二次函數(shù)圖象上,
∴n=4+4+3=11.
②n的取值范圍是2≤n<11.
提示:∵點Q到y(tǒng)軸的距離小于2,
∴|m|<2,∴-2

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