資源簡介

第3節　反比例函數
回歸教材·過基礎
【知識體系】
【考點清單】
知識點1 反比例函數的概念
反比例函數 定義 形如y=(k為常數,k≠0)的函數叫作反比例函數,其中x是自變量,y是函數.自變量x的取值范圍是不等于0的一切實數
標準形式 y=,其他表達形式:y=kx-1或xy=k(k為常數,k≠0)
結構特征 k≠0,以分式的形式出現,分母中x的指數為1
函數關系 判斷 判定兩個變量是否成反比例函數關系,需看它們能否寫成反比例函數的表達式,或者兩個變量的積是不是一個固定且不為0的常數
知識點2 反比例函數的圖象與性質
反比例函數 y=
k的符號 k>0 k<0
圖象
性質 圖象的兩個分支分別位于第一、三象限,在各個分支上,y隨x的增大而① 圖象的兩個分支分別位于第② 象限,在各個分支上,y隨x的增大而③
對稱性 是中心對稱圖形——關于④ 成中心對稱
是軸對稱圖形——既關于直線y=x對稱,也關于直線⑤ 對稱
易錯警示 比較反比例函數值的大小時,首先要判斷自變量的取值是否同號,即看它們是否在同一個象限內,若不在,則不能運用性質進行比較,此時可以通過畫草圖直觀地判斷
技巧提醒
1.反比例函數的圖象是由兩條曲線組成的,且關于原點成中心對稱;
2.連線時,注意要用平滑的曲線連接各點;3.隨著|x|的增大,雙曲線逐漸向坐標軸靠近,但永遠不與坐標軸相交,因為在反比例函數y=中,x≠0且y≠0.
知識點3 反比例函數中“k”的幾何意義
一點一垂線(及變形):S陰影=
一點兩垂線(及變形):S陰影=⑥ 兩點一垂線:S陰影=⑦
兩點兩垂線:S陰影=⑧
知識點4 利用函數圖象確定不等式ax+b>或ax+b<的解集的方法(三線四區法)
如圖,過交點A(xa,ya),B(xb,yb)分別作x軸的垂線,它們連同y軸把平面分為四部分,相應標為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ 在Ⅰ、Ⅲ部分,反比例函數圖象位于一次函數圖象的上方,則不等式ax+b<的解集為x在Ⅱ、Ⅳ部分,反比例函數圖象位于一次函數圖象的下方,則不等式ax+b>的解集為⑨
【基礎演練】
1.(原創)已知反比例函數y=.
(1)在平面直角坐標系中畫出y=的圖象.
(2)該反比例函數的圖象在第 象限,且在每個象限內,y隨x的增大而 .
(3)當y>1時,x的取值范圍為 ;當x>2時,y的取值范圍為 .
(4)若(-3,a),(1,b),(2,c)是該反比例函數圖象上的點,則a,b,c的大小關系是 (用“<”連接).
(5)在同一平面直角坐標系中,若一次函數y=2x的圖象與反比例函數y=的圖象交于點A,B,
點A的坐標為(1,2),則點B的坐標為 .
2.如圖,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,頂點A,C在雙曲線y=(k1>0)上,頂點B,D在雙曲
線y=(k2<0)上,且BD經過點O.若k1+k2=8,則菱形ABCD面積的最小值是 .
真題精粹·重變式
考向1 反比例函數的概念、圖象與性質及k的幾何意義6年3考
1.(2024·福建)如圖,在平面直角坐標系xOy中,反比例函數y=的圖象與☉O交于A,B兩點,且點A,B都在第一象限.若點A(1,2),則點B的坐標為 .
2.(2022·福建)已知反比例函數y=的圖象分別位于第二、四象限,則實數k的值可以是 (需寫出一個符合條件的實數).
3.(2021·福建)若反比例函數y=的圖象過點(1,1),則k的值等于 .
熱點訓練 4.已知反比例函數y=(k≠0),且在各自象限內,y隨x的增大而增大,則下列點可能在這個函數圖象上的是 ( ) A.(2,3) B.(-2,3) C.(3,0) D.(-3,0) 5.如圖,在平面直角坐標系中有P,Q,M,N四個點,其中恰有三點在反比例函數y=(k>0)的圖象上. 根據圖中四點的位置,判斷這四個點中不在函數y=的圖象上的點是 ( ) A.P B.Q C.M D.N
核心方法
　　反比例函數圖象的3個重要特點
1.反比例函數的圖象是雙曲線,它有兩個分支,它們關于原點成中心對稱.
2.反比例函數的圖象與x軸、y軸都沒有交點,即雙曲線的兩個分支無限接近坐標軸,但永遠不能與坐標軸相交,在畫圖時要體現出圖象和坐標軸無限貼近的趨勢.
3.反比例函數圖象的位置和函數的增減性,是由k的符號決定的;反比例函數的圖象位置和函數的增減性可以判斷k的符號.
考向2 反比例函數與一次函數
熱點訓練 6.如圖,直線y=x+m與雙曲線y=相交于A,B兩點,BC∥x軸,AC∥y軸,則△ABC面積的最小值為 .
考向3 反比例函數與特殊四邊形　6年3考
7.(2023·福建)如圖,正方形四個頂點分別位于兩個反比例函數y=和y=的圖象的四個分支上,則實數n的值為 ( )
A.-3 B.- C. D.3
8.(2020·福建)設A,B,C,D是反比例函數y=圖象上的任意四點,現有以下結論:
①四邊形ABCD可以是平行四邊形;
②四邊形ABCD可以是菱形;
③四邊形ABCD不可能是矩形;
④四邊形ABCD不可能是正方形.
其中正確的結論是 (寫出所有正確結論的序號).
9.(2019·福建)如圖,菱形ABCD的頂點A在反比例函數y=(x>0)的圖象上,函數y=(k>3,x>0)的圖象關于直線AC對稱,且經過B,D 兩點,若AB=2,∠DAB=30°,則k的值為 .
熱點訓練 10.(拓展)如圖,矩形ABCD的四個頂點均在反比例函數y=的圖象上,且點A的橫坐標是2,則矩形ABCD的面積為 . 11.如圖,△OAB為等邊三角形,點B在x軸的正半軸上,S△OAB=4.若反比例函數y=(k≠0)圖象的一支經過點A,則k的值是 ( ) A. B.2 C. D.4
考向4 反比例函數的實際應用
熱點訓練 12.已知電燈電路兩端的電壓U為220 V,通過燈泡的電流強度I(單位:A)的最大限度不得超過0.11 A.設選用燈泡的電阻為R(單位:Ω),下列說法正確的是 ( ) A.R至少2 000 Ω B.R至多2 000 Ω C.R至少24.2 Ω D.R至多24.2 Ω 13.密閉容器內有一定質量的二氧化碳,當容器的體積V(單位:m3)變化時,氣體的密度ρ(單位:kg/m3)隨之變化.已知密度ρ與體積V是反比例函數關系,它的圖象如圖所示,當V=5 m3時,ρ=1.98 kg/m3. (1)求密度ρ關于體積V的函數解析式. (2)若3≤V≤9,求二氧化碳密度ρ的變化范圍.
核心突破·拓思維
考點1 反比例函數與特殊四邊形
如圖,在矩形OABC和正方形CDEF中,點A在y軸正半軸上,點C,F均在x軸正半軸上,點D在邊BC上,BC=2CD,AB=3.若點B,E在同一個反比例函數的圖象上,則這個反比例函數的表達式是 .
核心方法
　　對于反比例函數與特殊四邊形知識綜合考查的問題,解決的重點應在圖形和圖象都具有的對稱性這一性質,通過解決特殊四邊形的點、線段、面積等問題,轉化為反比例函數圖象上的點的坐標或反比例函數面積的相關問題,從而解決問題.
如圖,菱形ABCD的兩個頂點A,C在反比例函數y=的圖象上,對角線AC,BD的交點恰好是坐標原點O,已知B(-1,1),∠ABC=120°,則k的值是 ( )
A.5 B.4 C.3 D.2
如圖,矩形OABC的頂點A在反比例函數y=(x<0)的圖象上,頂點B,C在第一象限,對角線AC∥x軸,且交y軸于點D.若矩形OABC的面積是6,cos∠OAC=,則k= .
考點2 求反比例函數的比例系數k
如圖,矩形ABCD的邊AB與y軸平行,頂點A的坐標為(1,m),C(3,m+6),反比例函數y=(x>0)的圖象同時經過點B與點D,則k的值為 .
如圖,一次函數y=x-1的圖象與反比例函數y=(k≠0,x>0)的圖象相交于點A(m,2),與y軸交于點B.
(1)求反比例函數的表達式.
(2)點D在一次函數y=x-1的圖象上,且橫坐標為4,過點D作y軸的平行線,交反比例函數的圖象于點E,連接BE.求△BDE的面積.
參考答案
回歸教材·過基礎
考點清單
①減小　②二、四　③增大　④原點　⑤y=-x　⑥|k|
⑦|k|　⑧2|k|　⑨xbxa
基礎演練
1.(1)
(2)一、三　減小　(3)0(5)(-1,-2)
2.16
真題精粹·重變式
1.(2,1)　解析:根據圓和反比例函數都是軸對稱圖形,點A與點B關于直線y=x對稱.
設直線AB的解析式為y=-x+b,
將點A(1,2)的坐標代入得2=-1+b,解得b=3,
∴直線AB的解析式為y=-x+3.
∵點A(1,2)在反比例函數圖象上,
∴反比例函數的解析式為y=.
聯立方程組
解得或
∴點B(2,1).
故答案為(2,1).
2.-2　3.1　4.B　5.C　6.6
7.A　解析:如圖,連接正方形的對角線.由正方形的性質知對角線交于原點O,過點A,B分別作x軸的垂線.垂足分別為C,D,點B在函數y=上.
∵四邊形是正方形,
∴AO=BO,∠AOB=∠BDO=∠ACO=90°,
∴∠CAO=90°-∠AOC=∠BOD,
∴△AOC≌△OBD(AAS),
∴S△AOC=S△OBD==.
∵點A在第二象限,
∴n=-3.
故選A.
8.①④　9.6+2　10.　11.D　12.A
13.解析:(1)設密度ρ關于體積V的函數解析式為ρ=(k≠0).
∵當V=5 m3時,ρ=1.98 kg/m3,
∴1.98=,∴k=9.9,
∴密度ρ關于體積V的函數解析式為ρ=(V>0).
(2)∵k=9.9>0,
∴當V>0時,ρ隨V的增大而減小,
∴當3≤V≤9時,≤ρ≤,
即二氧化碳密度ρ的變化范圍為1.1≤ρ≤3.3.
核心突破·拓思維
例1　y=　解析:∵四邊形OABC是矩形,
∴OC=AB=3.
∵四邊形CDEF是正方形,
∴CD=CF=EF.
∵BC=2CD,
∴設CD=m,BC=2m,
∴B(3,2m),E(3+m,m).
設該反比例函數的表達式為y=,
∴3×2m=(3+m)·m,解得m=3或m=0(不合題意,舍去),
∴B(3,6),∴k=3×6=18,
∴這個反比例函數的表達式是y=.
變式1　C　解析:∵四邊形ABCD是菱形,
∴BA=AD,AC⊥BD.
∵∠ABC=120°,∴∠BAD=60°,
∴△ABD是等邊三角形.
∵點B(-1,1),∴OB=,∴AO==.
∵直線BD的解析式為y=-x,∴直線AC的解析式為y=x.
∵OA=,∴點A的坐標為(,).
∵點A在反比例函數y=的圖象上,
∴k=×=3.故選C.
變式2　-
例2　9
變式　解析:(1)將y=2代入y=x-1得x=6,
∴點A的坐標為(6,2).
∵點A在反比例函數y=(k≠0,x>0)的圖象上,
∴k=2×6=12,
∴反比例函數的表達式為y=(x>0).
(2)將x=4代入一次函數y=x-1得y=1,即點D的坐標為(4,1),
∴點E的坐標為(4,3),
∴DE=3-1=2,∴S△BDE=DE·xD=×2×4=4.

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