資源簡介

第2節　一次函數及其應用
回歸教材·過基礎
【知識體系】
【考點清單】
知識點1 一次函數、正比例函數的概念
一次函數 定義 形如y=kx+b(k,b是常數,k≠0)的式子,稱y是x的一次函數
結構特征 k≠0,x的次數是1,常數項b可為任意實數
正比例函數 定義 形如y=kx(常數k≠0)的式子,叫作正比例函數
結構特征 k≠0,x的次數是1,常數項為0
聯系 正比例函數是一次函數的特殊形式
知識點2 一次函數y=kx+b的圖象與性質
k決定傾斜方向和增減性 k>0(y隨x的增大而① ) k<0(y隨x的增大而② )
圖象
b決定圖象與 y軸的交點 b>0 b③ 0 b<0 b④ 0 b=0 b⑤ 0
經過的象限 第一、二、三象限 第一、三象限 第⑥ 象限 第一、二、四象限 第二、四象限 第二、三、 四象限
與坐標軸的交點特征 當x=0時,y=b,即一次函數的圖象與y軸的交點坐標為⑦ ; 當y=0時,x=-,即一次函數的圖象與x軸的交點坐標為⑧
（續表）
圖象關系 一次函數y=kx+b(k≠0)的圖象可由正比例函數y=kx(k≠0)的圖象平移得到,若b>0,則向上平移b個單位長度;若b<0,則向下平移|b|個單位長度
拓展　兩直線l1:y=k1x+b1和l2:y=k2x+b2,則有
知識點3 用待定系數法確定一次函數的表達式
步驟
1.設:設解析式為y=kx+b(k≠0).
2.代:把已知坐標代入解析式得關于待定系數的方程組.
3.解:解方程組,求出待定系數k,b.
4.寫:將k,b代入所設解析式.
知識點4 一次函數與方程(組)、不等式的關系
1.關于x的一元一次方程kx+b=0(k≠0)的解是直線y=kx+b與x軸交點的橫坐標.
2.關于x,y的二元一次方程組的解是直線y=k1x+b1和y=k2x+b2的交點坐標.
3.關于x的一元一次不等式kx+b>0(<0)的解集是以直線y=kx+b和x軸的交點為分界點,x軸上(下)方的圖象所對應的x的取值范圍.
知識點5 一次函數的應用
利用一次函數的性質解決實際問題的主要類型
(1)利用一次函數的性質,如增減性,來解決生活中的優化問題等;
(2)利用一次函數的圖象尋求實際問題的變化規律以解題;
(3)利用兩個一次函數的圖象來解決方案選擇問題,也可以把函數問題轉化成不等式或方程問題加以解決;
(4)與方程或不等式組結合解決實際問題.
【基礎演練】
1.在如圖所示的平面直角坐標系中.
(1)畫出函數y=3x-3的圖象.
(2)(1)中圖象與x軸的交點A的坐標為 ,與y軸的交點B的坐標為 ,則S△AOB為 .
(3)若點C(x1,y1),D(x2,y2)在函數y=3x-3的圖象上,且y1”“<”或“=”)
(4)在同一平面直角坐標系中畫出直線y=x,M是直線y=x上的動點,過點M作MN⊥x軸交直線y=3x-3于點N,當MN=2時,點M的坐標為 .
2.已知一次函數的圖象與x軸,y軸的交點坐標分別是(-2,0),(0,4),則這個函數的表達式為 .
3.直線y=x+1向上平移 個單位長度得到直線y=x+5.
真題精粹·重變式
考向1 一次函數的圖象與性質
熱點訓練 1.若直線y=kx+k+1經過點(m,n+3)和(m+1,2n-1),且0y2 C.y1≤y2 D.y1≥y2 4.在平面直角坐標系中,將函數y=3x+2的圖象向下平移3個單位長度,所得圖象的函數解析式是 ( ) A.y=3x+5 B.y=3x-5 C.y=3x+1 D.y=3x-1
核心方法
　　一次函數圖象平移的規律
上加下減,左加右減.一次函數y=kx+b(k≠0)的圖象向上或向下平移m(m>0)個單位長度后的解析式為y=kx+(b±m);向左或向右平移m個單位長度后的解析式為y=k(x±m)+b.
熱點訓練 5.若一次函數y=x+b(b是常數)的圖象經過第一、第二、第三象限,則b的值可以是 (寫出一個即可).
考向2 一次函數與方程(組) 、一元一次不等式　6年1考
6.(2021·福建)如圖,一次函數y=kx+b(k>0)的圖象過點(-1,0),則不等式k(x-1)+b>0的解集是 ( )
A.x>-2
B.x>-1
C.x>0
D.x>1
熱點訓練 7.在同一平面直角坐標系中,直線y=-x+4與y=2x+m相交于點P(3,n),則關于x,y的方程 組的解為 ( ) A. B. C. D. 8.在平面直角坐標系中,一次函數y1=ax+b(a≠0)與y2=mx+n(m≠0)的圖象如圖所示,則下列結論錯誤的是 ( ) A.y1隨x的增大而減小 B.by2 D.關于x,y的方程組的解為
核心方法
　　一次函數圖象的兩個特點
1.一次函數y=kx+b的圖象是一條直線,它經過點(0,b),-,0,由k,b的符號可確定直線所經過的象限.
2.求兩條直線的交點坐標即求這兩個解析式組成的二元一次方程組的解.
考向3 一次函數的實際應用　6年3考
9.(2022·福建)某學校在開展以“勞動創造美好生活”為主題的系列活動中,八年級(1)班負責校園
某綠化角的設計、種植與養護.同學們約定每人養護一盆綠植,計劃購買綠蘿和吊蘭兩種綠植
共46盆,且綠蘿盆數不少于吊蘭盆數的2倍.已知綠蘿每盆9元,吊蘭每盆6元.
(1)采購組計劃將預算經費390元全部用于購買綠蘿和吊蘭,問可購買綠蘿和吊蘭各多少盆
(2)規劃組認為有比390元更省錢的購買方案,請求出購買兩種綠植總費用的最小值.
10.(2021·福建)某公司經營某種農產品,零售一箱該農產品的利潤是70元,批發一箱該農產品的利潤是40元.
(1)已知該公司某月賣出100箱這種農產品,共獲利潤4600元,問該公司當月零售、批發這種農產品的箱數分別是多少
(2)經營性質規定,該公司零售的數量不能多于總數量的30%.現該公司要經營1000箱這種農產品,問應如何規劃零售和批發的數量,才能使總利潤最大 最大總利潤是多少
11.(2020·福建)某公司經營甲、乙兩種特產,其中甲特產每噸成本價為10萬元,銷售價為10.5萬元;乙特產每噸成本價為1萬元,銷售價為1.2萬元.由于受有關條件限制,該公司每月這兩種特產的銷售量之和都是100噸,且甲特產的銷售量都不超過20噸.
(1)若該公司某月銷售甲、乙兩種特產的總成本為235萬元,問這個月該公司分別銷售甲、乙兩種特產各多少噸
(2)求該公司一個月銷售這兩種特產所能獲得的最大總利潤.
熱點訓練 12.一個裝有進水管和出水管的容器,開始時,先打開進水管注水,3分鐘時,再打開出水管排水,8分鐘時,關閉進水管,直至容器中的水全部排完.在整個過程中,容器中的水量y(單位:升)與時間x(單位:分)之間的函數關系如圖所示,則圖中a的值為 .
核心突破·拓思維
考點1 一次函數的圖象和性質
(原創)已知關于x的函數y=mx+3-m.
(1)若函數圖象經過原點,則m的值是 .
(2)若函數圖象與y軸的交點坐標為(0,-2),則m的值是 .
(3)若函數圖象平行于直線y=3x-3,則m的值是 .
(4)若函數y隨著x的增大而減小,則m的取值范圍是 .
(5)若函數圖象不經過第二象限,則m的取值范圍是 .
(6)若函數圖象與坐標軸圍成圖形的面積為2,則m的值是 .
(7)若直線y=-x+2與直線y=mx+3-m的交點在第一象限,則m的取值范圍是 .
(8)對于函數y=2x+1,若當x<0時,總有mx+3-m>2x+1,則m的取值范圍是 .
(9)已知平面直角坐標系上的點A(1,3),B(0,2),C(-2,6),若直線y=mx+3-m將△ABC分成面積相等的兩部分,則m的值是 .
(10)若直線y=-2x與直線y=mx+3-m關于直線y=n對稱,求m,n的值.
考點2 一次函數的應用
某學校、某電影院、市體育館依次在一條東西向的路上.某日,甲同學在距離學校200 m的電影院看電影,在電影院內停留60 min后,以70 m/min的速度步行10 min后到達市體育館.甲同學和學校的距離s(單位:m)與時間t(單位:min)的關系如圖所示.
(1)求甲同學與學校的距離s關于時間t的函數解析式.
(2)乙同學在甲到達電影院53 min后從學校出發,以50 m/min的速度步行去市體育館,他們會在路上相遇嗎 請說明理由.
核心方法
　　用一次函數解決實際問題的方法
1.在幾何問題、實際問題中建立一次函數模型,并結合方程、不等式的有關知識求解,要特別注意確定一次函數的解析式.
2.在求一次函數的解析式時,要注意自變量的取值范圍應受實際條件的制約.
鞋業是福建省莆田市的支柱產業、當家產業,歷經30多年的發展,莆田已經成為世界知名運動鞋制造基地.某鞋廠準備生產A,B兩種品牌運動鞋共100萬雙,已知生產1雙A種品牌和1雙B種品牌運動鞋共需成本185元,且每雙B種品牌運動鞋成本比A種高15元.
(1)分別求A,B兩種品牌運動鞋每雙的成本.
(2)該鞋廠主動扛起對口幫扶某鄉村振興的歷史使命,每售出1雙A種品牌運動鞋就捐出a元.根據市場供需情況,計劃生產A種品牌運動鞋至少60萬雙,B種品牌運動鞋至少20萬雙.已知A,B兩種品牌的運動鞋每雙售價分別為115元,125元,該鞋廠如何安排生產才能獲得最大利潤
世界讀書日來臨之際,育知書店決定用不多于23 000元購進甲、乙兩種圖書共1 000本進行銷售.甲、乙兩種圖書的進價分別為每本25元、20元,甲種圖書每本的售價是乙種圖書每本售價的1.4倍.若用2 800元在育知書店購買甲種圖書的本數比用1 750元購買乙種圖書的本數多10本.
(1)甲、乙兩種圖書的售價分別為每本多少元
(2)育知書店為了讓利給讀者,決定將甲種圖書售價每本降低3元,乙種圖書售價每本降低1元,那么,育知書店銷售完購進的這兩種圖書后,所獲利潤能否達到5 830元
參考答案
回歸教材·過基礎
考點清單
①增大　②減小　③=　④>　⑤<　⑥一、三、四
⑦(0,b)　⑧-,0
基礎演練
1.解析:(1)函數y=3x-3的圖象如圖1所示.
(2)(1,0)　(0,-3)　　(3)<
(4),或,
提示:如圖2,設M(m,m),則N(m,3m-3),MN=|3m-3-m|=2,解得m1=,m2=,則點M的坐標為,或,.
2.y=2x+4　3.4
真題精粹·重變式
1.C　2.D　3.A　4.D　5.1(答案不唯一,滿足b>0即可)　6.C　7.B　8.B
9.解析:(1)設購買綠蘿x盆,吊蘭y盆,
依題意得
解得
∵8×2=16,16<38,
∴符合題意.
答:購買綠蘿38盆,吊蘭8盆.
(2)設購買綠蘿m盆,則購買吊蘭(46-m)盆,
依題意得m≥2(46-m),
解得m≥.
設購買兩種綠植的總費用為w元,則w=9m+6(46-m)=3m+276,
∵3>0,
∴w隨m的增大而增大.
又∵m≥,且m為整數,
∴當m=31時,w取得最小值,最小值為3×31+276=369.
答:購買兩種綠植總費用的最小值為369元.
10.解析:(1)設該公司當月零售這種農產品x箱,則批發這種農產品(100-x)箱,
依題意得70x+40(100-x)=4600,
解得x=20,
100-20=80(箱).
答:該公司當月零售這種農產品20箱,批發這種農產品80箱.
(2)設該公司零售這種農產品m箱,則批發這種農產品(1 000-m)箱,
依題意得m≤1 000×30%,
解得m≤300.
設該公司獲得的總利潤為y元,
依題意得y=70m+40(1 000-m),
即y=30m+40 000,
∵30>0,y隨著m的增大而增大,
∴當m=300時,y取最大值,此時y=30×300+40 000=49 000(元),
∴批發這種農產品的數量為1 000-m=700(箱).
答:當該公司零售、批發這種農產品的箱數分別是300和700時,獲得最大總利潤,最大總利潤為49 000元.
11.解析:(1)設銷售甲種特產x噸,則銷售乙種特產(100-x)噸,
10x+(100-x)×1=235,
解得x=15,
∴100-x=85.
答:這個月該公司分別銷售甲、乙兩種特產15噸、85噸.
(2)設總利潤為w元,銷售甲種特產a噸,
w=(10.5-10)a+(1.2-1)×(100-a)=0.3a+20,
∵0≤a≤20,
∴當a=20時,w取得最大值,此時w=26.
答:該公司一個月銷售這兩種特產所能獲得的最大總利潤是26萬元.
12.
核心突破·拓思維
例1　解析:(1)3.　(2)5.　(3)3.　(4)m<0.　(5)m≥3.
(6)1或9.
提示:設直線y=mx+3-m與x軸,y軸分別交于點A,B,
把x=0代入y=mx+3-m,得y=3-m,把y=0代入y=mx+3-m,得x=,
則A,0,B(0,3-m),即OA=,OB=|3-m|,∴OA·OB=|3-m|·=2,
∴(m-3)2=4|m|,即m2-6m+9=4m或m2-6m+9=-4m(該方程無解,舍去),
解得m1=1,m2=9.
(7)m>1或m<-3.
圖1
提示:如圖1,由函數y=mx+3-m=m(x-1)+3可得,不論m取何值,圖象過定點P(1,3).
∵直線y=-x+2與x軸,y軸的交點分別為N(2,0),M(0,2),
∴直線PM,PN的解析式分別為
PM:y=x+2,PN:y=-3x+6,
∴結合圖象可得m>1或m<-3.
(8)m<2.
提示:當x<0時,總有mx+3-m>2x+1,即當x<0時,函數y=mx+3-m的圖象在函數y=2x+1的圖象上方.∵y=2x+1的圖象與y軸的交點為(0,1),y=mx+3-m的圖象與y軸的交點為(0,3-m),即3-m>1,解得m<2.
(9)-.
提示:如圖2,由函數y=mx+3-m可得,不論m取何值,圖象過定點(1,3).直線y=mx+3-m將△ABC分成面積相等的兩部分,即直線y=mx+3-m必經過線段BC的中點,由中點公式可求得BC中點的坐標為(-1,4),把點(-1,4)的坐標代入y=mx+3-m,得m=-.
圖2
(10)如圖3,由函數y=mx+3-m可得,不論m取何值,圖象過定點P(1,3).在y=-2x中,當x=1時,y=-2,令Q(1,-2).∵兩直線關于直線y=n對稱,即點P,Q關于直線y=n對稱,又PQ的中點坐標為1,,∴n=.設直線y=-2x與直線y=mx+3-m的交點為H,∵y=-2x,當y=時,x=-,∴H-,,即函數y=mx+3-m的圖象經過點H-,,代入可得m=2.
圖3
例2　解析:(1)由題可設lAB的解析式為s=kt+b(k≠0).
依題意,體育館與學校的距離為70×10+200=900 m,所以B(70,900).
把點A(60,200),B(70,900)的坐標分別代入s=kt+b,得
解得
所以lAB的解析式為s=70t-4 000(60≤t≤70).
所以甲同學與學校的距離s關于時間t的函數解析式為
s=
(2)他們會在路上相遇,理由如下:
由題可知,對于乙同學,s與t的關系為s=50(t-53),53≤t≤71.
即s=50t-2 650(53≤t≤70).
當53≤t<60時,甲在電影院內,乙在路上行走,兩人不會相遇;
當60≤t≤70時,解方程組可得t=67.5.
因為60≤67.5≤70,即在甲從電影院到體育館的路上,兩人會相遇.
所以他們會在路上相遇.
變式1　解析:(1)設生產A種品牌運動鞋每雙的成本為m元,B種品牌運動鞋每雙的成本為n元,
依題意得
解得
答:生產A種品牌運動鞋每雙的成本為85元,B種品牌運動鞋每雙的成本為100元.
(2)設生產A種品牌運動鞋x萬雙,則生產B種品牌運動鞋(100-x)萬雙,
則利潤w=(115-85)x+(125-100)(100-x)-ax=(5-a)x+2500.
又
解得60≤x≤80.
①當5-a>0,即a<5時,w隨x的增大而增大,
∴此時當x=80時,wmax=2900-80a;
②當5-a=0,即a=5時,w=2500;
③當5-a<0,a>5時,w隨x的增大而減小,∴此時當x=60時,wmax=2800-60a.
綜上所述,當a<5時,鞋廠選擇生產A種品牌運動鞋80萬雙,B種品牌運動鞋20萬雙能獲得最大利潤;
當a=5時,利潤均為2500萬元;
當a>5時,鞋廠選擇生產A種品牌運動鞋60萬雙,B種品牌運動鞋40萬雙能獲得最大利潤.
變式2　解析:(1)設乙種圖書的售價為x元/本,
則=+10,
解得x=25,
經檢驗,x=25是所列方程的解,
∴1.4x=35.
答:甲、乙兩種圖書的售價分別為每本35元、25元.
(2)設甲種圖書進貨a本,售完這兩種圖書的利潤為w元,
則25a+20(1 000-a)≤23 000,即a≤600.
w=(35-25-3)a+(25-20-1)(1 000-a)=3a+4 000,
∵3>0,
∴w隨a的增大而增大,
∴當a=600時,w有最大值,最大值為3×600+4 000=5 800<5 830,
∴所獲利潤不能達到5 830元.

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