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章節(jié)構(gòu)建一　實(shí)踐能力:尺規(guī)作圖
回歸教材·過基礎(chǔ)
【知識(shí)體系】
【考點(diǎn)清單】
知識(shí)點(diǎn) 尺規(guī)作圖　常考
尺規(guī)作圖 定義 在幾何里,把限定用無刻度的直尺和圓規(guī)來畫圖,稱為尺規(guī)作圖 (需要保留作圖痕跡)
作一條線段等于已知線段 (1)先畫一條射線; (2)用圓規(guī)量出已知線段的長(zhǎng); (3)再在射線上用圓規(guī)截取一條線段等于已知線段
作一個(gè)角等于已知角 (1)作一條射線作為角的一邊; (2)在已知角上構(gòu)造一個(gè)以該角為頂角的等腰三角形; (3)在所作射線上作等腰三角形的一腰; (4)再作等腰三角形的底,確定第三個(gè)頂點(diǎn); (5)作另一腰所在的射線,就得到一個(gè)角等于已知角
（續(xù)表）
尺規(guī)作圖 作已知角的平分線 (1)在已知角∠AOB的兩邊上截取點(diǎn)D,E,使OD=OE; (2)分別以D,E為圓心,以大于線段DE的長(zhǎng)為半徑作弧,而弧在∠AOB內(nèi)部交于點(diǎn)C; (3)作射線OC,則OC就是∠AOB的平分線
過一點(diǎn)作已知直線的垂線 如圖1,點(diǎn)O在直線AB上,過點(diǎn)O作AB的垂線,就相當(dāng)于作平角∠AOB的平分線; 如圖2,當(dāng)點(diǎn)C不在直線AB上時(shí),過點(diǎn)C作CO⊥AB,以點(diǎn)C為圓心,大于線段CO的長(zhǎng)度為半徑作弧交AB于點(diǎn)D,E,作線段DE的垂直平分線即可
作已知線段的垂直平分線 (1)分別以點(diǎn)A,B為圓心,以大于AB的長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧分別交于C,D兩點(diǎn); (2)過C,D兩點(diǎn)作直線CD,則直線CD垂直平分AB
【基礎(chǔ)演練】
1.(2024·廈門二模)綜合實(shí)踐課上,小明畫出△ABD,利用尺規(guī)作圖找一點(diǎn)C,使得四邊形ABCD為平行四邊形.(1)~(3)是其作圖過程.
(1)分別以點(diǎn)B,D為圓心,大于BD的長(zhǎng)為半徑作弧,相交于兩點(diǎn),作過這兩點(diǎn)的直線交BD于點(diǎn)O;
(2)連接AO并延長(zhǎng),再以點(diǎn)O為圓心,OA長(zhǎng)為半徑作弧,交AO延長(zhǎng)線于點(diǎn)C;
(3)連接DC,BC,則四邊形ABCD即所求.
在小明的作法中,可以直接用于判定四邊形ABCD為平行四邊形的依據(jù)是 ( )
A.兩組對(duì)邊分別平行
B.兩組對(duì)邊分別相等
C.一組對(duì)邊平行且相等
D.對(duì)角線互相平分
2.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D,按下列步驟作圖.
步驟1:分別以點(diǎn)C和點(diǎn)D為圓心,以大于CD的長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧相交于M,N兩點(diǎn).
步驟2:作直線MN,分別交AC,BC于點(diǎn)E,F.
步驟3:連接DE,DF.
若AC=8,BC=6,則線段DE的長(zhǎng)為 ( )
A.
B.
C.
D.
3.如圖,一位老父親要把一塊三角形的土地均分給三個(gè)兒子,∠C=90°,∠B=30°,但老人家要求把這塊三角形的地分成大小、形狀都相同的三塊.
(1)請(qǐng)你幫老人家分一分,并保留作圖痕跡.
(2)請(qǐng)推理證明你分的三塊地的大小形狀都相同.
4.(1)如圖1,在圖形內(nèi)部求作一點(diǎn)P,使點(diǎn)P到∠DAB兩邊AB,AD的距離相等,且點(diǎn)P到點(diǎn)B,C的距離相等.(要求:尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法)
(2)如圖2,△ABC為鈍角三角形.
①作△ABC中BC邊上的高;(要求:尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法)
②若AB=6,BC=4,∠B=30°,求△ABC的面積.
　 　　 圖1　　　　　　　　圖2
真題精粹·重變式
1.(2023·福建)閱讀以下作圖步驟:如圖,
①在OA和OB上分別截取OC,OD,使OC=OD;
②分別以C,D為圓心,大于CD的長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧在∠AOB內(nèi)交于點(diǎn)M;
③作射線OM,連接CM,DM.
根據(jù)以上作圖,一定可以推得的結(jié)論是 ( )
A.∠1=∠2且CM=DM
B.∠1=∠3且CM=DM
C.∠1=∠2且OD=DM
D.∠2=∠3且OD=DM
2.(2024·福建)如圖,已知直線l1∥l2.
(1)在l1,l2所在的平面內(nèi)求作直線l,使得l∥l1∥l2,且l與l1間的距離恰好等于l與l2間的距離.(要求:尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡)
(2)在(1)的條件下,若l1與l2間的距離為2,點(diǎn)A,B,C分別在l,l1,l2上,且△ABC為等腰直角三角形,求△ABC的面積.
3.(2022·福建)如圖,BD是矩形ABCD的對(duì)角線.
(1)求作☉A,使得☉A與BD相切(要求:尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡).
(2)在(1)的條件下,設(shè)BD與☉A相切于點(diǎn)E,過點(diǎn)C作CF⊥BD,垂足為點(diǎn)F.若直線CF與☉A相切于點(diǎn)G,求tan∠ADB的值.
4.(2021·福建)如圖,已知線段MN=a,AR⊥AK,垂足為A.
(1)求作四邊形ABCD,使得點(diǎn)B,D分別在射線AK,AR上,且AB=BC=a,∠ABC=60°,CD∥AB.(要求:尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡)
(2)設(shè)P,Q分別為(1)中四邊形ABCD的邊AB,CD的中點(diǎn),求證:直線AD,BC,PQ相交于同一點(diǎn).
5.(2019·福建)如圖,已知△ABC和點(diǎn)A'.
(1)以點(diǎn)A'為頂點(diǎn)作△A'B'C',使△A'B'C'∽△ABC,S△A'B'C'=4S△ABC.(尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法)
(2)設(shè)D,E,F分別是△ABC的三邊AB,BC,AC的中點(diǎn),D',E',F'分別是你所作的△A'B'C'三邊A'B',B'C',A'C'的中點(diǎn),求證:△DEF∽△D'E'F'.
6.(2020·福建)已知C為線段AB外的一點(diǎn).
(1)求作四邊形ABCD,使得CD∥AB,且CD=2AB.(保留作圖痕跡,不寫作法)
(2)在(1)的四邊形ABCD中,AC,BD相交于點(diǎn)P,M,N分別為AB,CD的中點(diǎn),求證:M,N,P三點(diǎn)在同一條直線上.
7.如圖,PC∥OB交OA于點(diǎn)C.
(1)過點(diǎn)P作PD∥OA交OB于點(diǎn)D(要求:尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡).
(2)在(1)的條件下,若∠O=55°,求∠CPD的度數(shù).
8.如圖,在△ABC中,點(diǎn)D在AC上,過點(diǎn)D作DE∥BC交AB于點(diǎn)E.
(1)求作過點(diǎn)D且平行于AB的直線,交BC于點(diǎn)F(要求:尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡).
(2)在(1)的條件下,若BD平分∠ABC,求證:四邊形BFDE為菱形.
參考答案
回歸教材·過基礎(chǔ)
基礎(chǔ)演練
1.D　2.D
3.解析:(1)如圖,△ACE,△AEF,△EFB為所求.
(2)∵EF垂直平分線段AB,
∴EA=EB,
∴∠EAB=∠B=30°.
∵∠C=90°,∠B=30°,
∴∠CAB=60°,
∴∠CAE=∠EAF=30°.
∵∠C=∠AFE=90°,AE=AE,
∴△EAC≌△EAF(AAS).
∵AF=FB,∠EFA=∠EFB=90°,EF=EF,
∴△EAF≌△EBF,
∴△EAC≌△EAF≌△EBF,
∴△ACE,△EAF,△EBF為所求.
4.解析:(1)如圖1,點(diǎn)P為所求.
(2)①如圖2,AD為所求.
　　圖1　　　　　　　圖2
②∵AD為BC邊上的高,∴∠ADB=90°.
在Rt△ABD中,∵∠B=30°,
∴AD=AB=×6=3,∴△ABC的面積=BC·AD=×4×3=6.
真題精粹·重變式
1.A
2.解析:(1)如圖1,直線l即所求.
(2)①如圖2,當(dāng)∠BAC=90°,AB=AC時(shí),
∵l∥l1∥l2,直線l1 與 l2 間的距離為2,且l與 l1 間的距離等于l與 l2 間的距離,
根據(jù)圖形的對(duì)稱性可知BC=2,
∴AB=AC=,
∴S△ABC=AB·AC=1.
②當(dāng)∠ABC=90°,BA=BC 時(shí),
如圖3,分別過點(diǎn)A,C作直線 l1 的垂線,垂足為M,N,
∴∠AMB=∠BNC=90°.
∵l∥l1∥l2,直線l1 與 l2 間的距離為2,且l與 l1 間的距離等于l與 l2 間的距離,
∴CN=2,AM=1.
∵∠MAB+∠ABM=90°,∠NBC+∠ABM=90°,
∴∠MAB=∠NBC,
∴△AMB≌△BNC(AAS),
∴BM=CN=2,
在Rt△ABM中,由勾股定理得AB2=AM2+BM2=12+22=5,
∴AB=,
∴S△ABC=AB·BC=.
③如圖4,當(dāng)∠ACB=90°,CA=CB時(shí),同理②可得,S△ABC=.
綜上所述,△ABC的面積為1或.
3.解析:(1)根據(jù)題意作圖,如圖1.
圖1
(2)如圖2,設(shè)∠ADB=α,☉A的半徑為r.
圖2
∵BD與☉A相切于點(diǎn)E,CF與☉A相切于點(diǎn)G,
∴AE⊥BD,AG⊥CG,
即∠AEF=∠AGF=90°.
∵CF⊥BD,
∴∠EFG=90°,
∴四邊形AEFG是矩形.
又∵AE=AG=r,
∴四邊形AEFG是正方形,
∴EF=AE=r.
在Rt△AEB和Rt△DAB中,∠BAE+∠ABD=90°,
∠ADB+∠ABD=90°,
∴∠BAE=∠ADB=α.
在Rt△ABE中,tan∠BAE=,
∴BE=r·tan α.
∵四邊形ABCD是矩形,
∴AB∥CD,AB=CD,
∴∠ABE=∠CDF,
又∵∠AEB=∠CFD=90°,
∴△ABE≌△CDF,
∴BE=DF=r·tan α,
∴DE=DF+EF=r·tan α+r.
在Rt△ADE中,tan∠ADE=,
即DE·tan α=AE,
∴(r·tan α+r)·tan α=r,
即tan2α+tan α-1=0.
∵tan α>0,
∴tan α=,
即tan∠ADB的值為.
4.解析:(1)如圖,四邊形ABCD為所求.
(2)證明:設(shè)PQ交AD于點(diǎn)G,BC交AD于點(diǎn)G'.
∵DQ∥AP,∴=.
∵DC∥AB,∴=.
∵P,Q分別為邊AB,CD的中點(diǎn),
∴DC=2DQ,AB=2AP,
∴===,
`∴=,
∴點(diǎn)G與點(diǎn)G'重合,
∴直線AD,BC,PQ相交于同一點(diǎn).
5.解析:(1)如圖1所示.
圖1
(2)證明:如圖2,∵D,E,F分別是△ABC的三邊AB,BC,AC的中點(diǎn),
圖2
∴DE=BC,DF=AC,EF=AB,
∴△DEF∽△ABC.
同理可得△D'E'F'∽△A'B'C',
由(1)可知△ABC∽△A'B'C',
∴△DEF∽△D'E'F'.
6.解析:(1)如圖1,四邊形ABCD即為所求.
圖1
(2)證明:如圖2,在AB,CD上分別截取中點(diǎn)M,N.
圖2
∵CD∥AB,∴∠ABP=∠CDP,∠BAP=∠DCP,
∴△ABP∽△CDP,
∴=.
∵AB,CD的中點(diǎn)分別為M,N,
∴AB=2AM,CD=2CN,∴=.
連接MP,NP,
∵∠BAP=∠DCP,∴△APM∽△CPN,
∴∠APM=∠CPN.
∵點(diǎn)P在AC上,∴∠APM+∠CPM=180°,
∴∠CPN+∠CPM=180°,
∴M,P,N三點(diǎn)在同一條直線上.
7.解析:(1)如圖,PD∥OA交OB于點(diǎn)D,即所求.
(2)∵PC∥OB,∠O=55°,
∴∠ACP=∠O=55°.
∵PD∥OA,
∴∠CPD=∠ACP=55°.
8.解析:(1)如圖,直線DF為所求.
(2)證明:∵DE∥BC,DF∥AB,
∴四邊形BFDE是平行四邊形.
∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD.
∵DE∥BC,∴∠EDB=∠CBD,
∴∠ABD=∠EDB,∴BE=DE,
∴四邊形BFDE是菱形.

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